CC BY
23
УДК 519.651
ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ СПЛАЙНОВ ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ ЛИЕВЫМИ ГРУППАМИ
А. А. Коблик
Аннотация. Предложен метод формирования интерполяционных сплайнов для точек многообразий, являющихся элементами однопараметрических групп Ли 50(3) и ЭЕ(3). Метод основан на алгоритме бе СавіеЦаи формирования сегмента кубического сплайна для лиевых групп.
Ключевые слова: интерполяционный сплайн, группа Ли, алгоритм бе СавіеІіаи,
винтовое движение твердого тела.
Введение
Многие задачи интерполяции, имеющие применения в робототехнике и мехатронике, механике движения твердого тела, компьютерной графике и САПР формулируются в многообразиях, представляемых однопараметрическими группами Ли, например группами 50(3) и 5Е(3). Как известно [4], лиевы группы 50(3) могут быть использованы для представления вращательного движения твердого тела, а группы 5Е(3) для представления винтового движения твердого тела. В работе рассмотрено распространение алгоритма de СаэЛеуаи, используемого для интерполяции полиномиальными сплайнами точек
евклидового пространства >3 [3], на методы формировании интерполяционных сплайнов для многообразий, представляемым лиевыми группами 50(3) и 5Е(3). Метод, представленный в работе, может быть распространен на многообразия, представляемые лиевыми группами 50(п) и 5Е(п).
Алгоритм de СаэЛеуаи формирования сегмента кубического сплайна по точкам евклидового пространства Ь0, Ь1зЬ2,Ь3 е > заключается в последовательном построении линейных функций [2]: Ь0(0=(1-1)Ь0 + 1Ь1;
Ь1 (1) = (1 -1)Ь1 + 1Ь2; Ь2 (1) = (1 -1 )Ь2 + 1Ь3, квадратичных полиномов:
Ь 2 (1 ) = (1 -1 )ь0 (1)+1Ь1 (1); ь2 (1 )=(1 -1 )ь1 (1)+1Ь2(1), и результирующей кубической функции сегмента сплайна: в(1) = Ь 0 (1) = (1 -1 )Ь2 (1) + 1Ь2 (1);
в(о) = Ьо;в(1) = Ьз.
В случае формирования гладкой кривой в(1): 1 ^ >3;1 е\1 о, 1ш ]е > , для которой выполняются условия интерполяции в моменты времени П; !=0,1,...,т; П/<ПМ; П/,ПМ е[П0,Пт] в форме:
8(1,- ) = Р,: ^ )= Vг , (1)
можно применить алгоритм, предложенный в [6], который определяет кривую сплайна я, (1 )е > , соединяющую точки Р/(П=0) и
р^1(П=1). Для этого формируются точки Ь0=р/,Ь1=р/+У/,Ь2=р/+1-У/+1, Ь3=р/+1, определяются линейные компоненты сегмента сплайна: 1,(0=(1 -Л)Ь0+<Ь1 ;с()=(1 -П)Ьо+ПЬ3;г,(П)=(1 -П^^, квадратичные полиномы: а,(1)=(1-1)11(1)+1с,(1);
Р/(П)=(1-П)С/(П)+ПГ/(П), для формирования кубического сплайна: в((П)=(1-П)а/(П)+Пр,(П). Результирующий сплайн в(П): в(П)=8,((П-П/)(П/+1-П)"1), Пе[П/,П/+1] в моменты времени П, удовлетворяет условиям (1).
Формирование интерполяционн ых сплайнов для многообразий, представляемых ортого н аль н ой группой
Алгоритм de СаэЛеуаи может быть распространен на методы формировании интерполяционных сплайнов для многообразий, представляемым группами Ли [1, 5]. Если многообразие - компактная и связная группа Ли 6 с инвариантными римановыми метриками, то геодезические этого многообразия выражаются через однопараметрические подгруппы. Группой будем считать множество с бинарной операцией умножения "0", определенной на
элементах группы, если выполняются аксиомы: (1) если дьд2е6, то д10д2е6; (2) существует такой элемент е, что: д0е=е0д=дн Vgе6; (3) существует обратный (инверсный)
элемент д"1е6 такой, что д0 дл=дл 0 д=е.
Группа, которая является конечномерным вещественным гладким многообразием и в которой групповые операции умножения и инверсии гладких отображений являются гладкими отображениями, называется вещественной лиевой группой. Алгебру лиевой группы 6 будем обозначать символом д.
Определим специальную ортогональную группу
80(3) = {я е >3x3 : ЯЯТ = 1,Я = +1} . с элементами - трехмерными матрицами поворота от пространственной системы координат к системе координат, связанной с твердым телом, д=Ке50(3); с операцией - умножением матриц; а также алгебру кососимметрических матриц эо(3) = {8 е 3x3 : 8Т = -8}.
Введем
' 0 -#3 #0
й = #3 0 -а
-00 (Ох 0
оператор
л
: So(3);
О
R3
Тогда
,(З)
СО
г+l
'■г +l й г +lR г+l'
экспоненциальное отображение ехР5о(з)(*®) %ожет быть представлено в форме Родрига [4]:
exPso(3)(W )= .(2)
= I + ||ы||-1 sin(|ы||)ш + ||ы||-2 (l- cos(j|ы||))ы2 e SO(3)
Ю e so(3); ю eR3,
где ||ю|| - евклидова норма вектора ю - угловой скорости вращения относительно пространственной системы координат; логарифмическое отображение logSo(3)(R) - в форме [4]:
!°gSo(3)(R) =
= 0,5ф • cosec(ф)^ - RT )e so(3);R e SO(3) где
cos(ф) = 0,5(trace(R) -1), |ф| < n; trace(R) % -1.
Рассмотрим метод формирования сегмента сплайна - функции s,(f)eSO(3), который соединяет две ориентации твердого тела R,(f=0) и Rm(M) в группе SO(3); R„R/+1eSO(3) с соответствующими угловыми скоростями Сй.,
1,(1 ) = ехР80(3)(1 • Ъ,)я,;
С (1 )= еХР80(3)(1 • £,)Я, Н (5)
Г, (1 )= еХР80(3)((1 - 1)Ъ,+1 )Я,+1 ,
удовлетворяющие граничным условиям: 1,(о) = Я,, 1,(1) = ехР 80(3)(<я,)я,;
Г(о) = Ъ,Я,, 1г (1) = Ъ, ехр80(3)(<Я, )я, ;
Гг (о) = ехр50(3)( «я ,+1)я,+1, г,(1) = Я,+1:
С (о) = я,, С, (1)= Я ,+1;
дг (о) = £,Я, , С, (1) = £, еХР 80(3 )(£, )Я, :
Г (о) = Ъ,+1 еХР80(3)(- Ъ,+1 )Я,+1, Гг (1) = Ш,+1Я,+1,
где
£ 1 = !°ё80(3)(я,+1Я 1 )е эх(3) . (6)
Далее, определим функции:
аг (1) = еХР80(3)(1 • 80(3)(с, (1 Х" (1 Й), (1) : (7)
Ь, (1) = ехр80(3)(1 • ^80(3)(', (1 кГ (1 )))с, (1 ^
с граничными условиями:
а, (о)= Ь (о) = Я, ;а, (1) = Ь (1)= Я,+ ;
«,(о) = Ъ,Я,;Ч(1) = £, ехР 80(3 )(£, )я,;
Ь, (о) = £, Я,;Ь, (1) = Ъ> ,+1Я ,+1.
Результирующая функция сегмента сплайна определяется из соотношения:
• (1) = еХР80(3)(1 • ^80(3)(Ь,(1 )аТ (1 )))а, (1) е 80(3) . (8)
Кривая ф((П) удовлетворяет граничным условиям:
•(о) = я,,• (1)= Я;
»,(о) = *,Я,. »,(1) = Ъ „1Я,+1 . (9>
Результирующий сплайн может быть представлен в форме: ф({)=Ф1((П-П/)(П+1-П)1), Пе[П/,П/+1], который в контрольных точках удовлетворяет условиям
•(1, )=Я,; г(1, )=Ъ,Я,;, = о,1,-> т ■ Формирование интерполяционн ых
сплайнов для многообразий, представляемых евклидовой группой
Определим специальную евклидову группу 8Е(3) = {(а, Я): а е >3; Я е 80(3)}= >3 х 80(3)
относительно пространственной систе-
элемента
мы координат:
R г = 0 гR г ! R г г , г+l є S0(3) . (4)
Для этого сформируем компоненты сег-
Rd
мента:
ми: я = (а,и) = [^о 1 5Е(з);И є £0(з);а є К3 ■
где Ь - положение центра твердого тела в
евклидовом пространстве К3; К - матрица поворота твердого тела от пространственной (инерциальной) системы координат к системе
координат, связанной с твердым телом; операцией:
g1 0 g2 =
CR1 d1 Л CR2 d2 Л
О 1
О 1
( R1R2 R1d2 + d/
= V X 1 ,
и обратным элементом:
( R d Y1 ( R т
. SE(З)
g=
0l
у
0
Rr d Л
l
SE (з).
ме: I =
0l
eXP SE (з)(| ):
A(l|) = I + ||ф||-2 (1 - cos(|ф||))| ■
; (10)
где:
log se(3)(R, P) =
1 = logs0(3)(R), (11)
I(, I,+! є se(3); I =
С <0 v Л
0l
Г (0) = 1 (g( , l( (l) = 1 г eXPSE(3)(|г )g( ’
Сг (0)= g(, Сг (l)= g(+l і l (0) = £ (g(, l (l) = £ г eXP SE (3)(£ г )g, H
Гг (0) = eXPSE(3)(- Iг+1 )g(+l, Гг (l) = g(+l ’
l (0) = Iг+1 eXPSE(3)(- Iг+1 )gг+1 ’l (l) = I(+1 g,+l ,
где
se(3). (14)
V w * J Элементы алгебры se(3) могут быть представлены в фор-
r+r ;
e se(3); й e s0(3); v e R3.
v~ V
Тогда экспоненциальное отображение expsE(3)(X)eSE(3); X = (у, q) e se(3) имеет
вид [4]:
( exP 50(3)('И ) A(y )q1.
0 1
P +i - P ■
0 1 Определим функции: at (t) = exp• l°gж(3)(сг (t)))i, (t); (15)
br (t) = expж(3)(t • logж(3)(гг (t)c:1 (t)))сг (t) , с граничными условиями:
аг(о) = b (о)=gt; a(l) = b (l)=&+ н «,■ (0) = Iн аг (1) = £, exP5Я(3)(£г )gi н
Ь (0)= £,g, ;Ьг (1)= Iг+1 g+1 .
Сегмент сплайна определяется из соот-
ношения:
(t) = eXPSE(3)(t • logSE(з)(Ъг (t)аг-1 (t)))аг (t) .
+ ||ф||-3 (|ф|| - si n(ф||))ф2 e SO(3) у e se(3) н у e R3 н логарифмическое отображение log5B(3)(R, p) e se(3):
^ у A_1 (у )P '1.
где:
А- (\(/) = I - о,5\}/ + (1 - о,5||у|| • со1(о,5||у||))у|| 2 у2;||у|| % о .
Рассмотрим метод формирования сегмента сплайна - функции ф((П), который соединяет две точки д(П=0) и д/+1(П=1) в группе 5Е(3); д/,д,+1е5Е(3) со скоростями:
£, = £,И,: £,+1 = I,+1 И,+1:
е эе(3). (12)
V
Для этого сформируем компоненты сегмента:
1, (1 )= еХР8Е(3)(1 • £, к:
С, (1 )= еХР8Е(3)(1 • £, к-: (13)
Г, (1 )= ехр8Е(3)((1 - 1)1 ,+1 )^.+1 .
удовлетворяющие граничным условиям:
1, (о)= И,, 1г (1)= еХР8Е(3)(£, & !
(16)
Кривая s (f) удовлетворяет граничным условиям:
Si (0)= g, , Sг (1)= g,+1 н
^ (0) = 1 гgг , $г (1)= 1 г+1 gi+1 . (17)
Результирующий сплайн может быть представлен в форме: s(f)=si((t-t)(ti+1 -t)~
1), te[ti,ti+1], который в контрольных точках удовлетворяет услови-
я м S(tr )= gг ; S(tr )= 1 rgr ;г = 0,1v, m ■
Заключе н ие
В работе рассмотрен метод формирование интерполяционных сплайнов для многообразий, представляемых группами SO(3) и SE(3). В работе [3] представлены методы вычисления экспоненциальных отображений для элементов лиевых алгебр so(n)^SO(n),
se(n)^SE(n) и логарифмических отображений для элементов лиевых матричных групп SO(n)^so(n), SE(n)^se(n) при значениях п>3. Поэтому метод формирования интерполяционных сплайнов для многообразий может быть распространен на группы SO(n) и SE(n) [7].
Библиографический список
1. Crouch P., Кип G., Leite F. The De Casteljau algorithm on Lie groups and spheres. // J.Dynam.Control Systems. - 1999. - Vol.5, No3. - pp.397-429.
2. Farin Gerald. Curves and surfaces for CAGD. -Academic Press Inc. - 2002.
3. Gallier J., Xu D. Computing exponentials of skew-symmetric matrices and logarithms of orthogonal matrices. //Int.Journ.of Robotics and Automation. - 2002. - Vol. 17, No. 4. - pp. 1-11.
4. Murray R.M., Li Z., Sastry S.S. A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation - CRC Press. -1994.
5. Park F.C., Ravani B. Bezier curves on Rie-mannian manifolds and Lie groups with kinematics applications. //ASME J. Mechanical Design. - 1995. -Vol.117, No.1. - pp.36-40.
6. Rodrigues R., Leite F., Jakubiak J. A new geometric algorithm to generate smooth interpolating curves on riemannian manifolds // LMS J.Comp.Math. -2005.-Vol.8. -pp.251-266
7. Чуканов С.Н., Коблик A.A. Формирование интерполяционных сплайнов для многообразий, представляемых однопараметрическими группами
Ли. // Моделирование систем, том 32, №2, 2012. -стр.74-81.
THE FORMATION OF INTERPOLATING SPLINES FOR VARIETIES SUBMITTED LIE GROUP
A. A. Koblik
A method of forming the interpolation spline for the points of a manifolds, which are elements of one-parameter Lie groups, is proposed in the paper. The method is based on de Casteljau algorithm for formation of cubic spline segments for Lie groups.
Коблик Андрей Александрович - аспирант ФГБОУ ВПО <<СибАДИ?■ Основные направления научной деятельности: Системы поддержки принятия решений в САПР■ Общее количество опубликованных работ: 2 ■ E-mail: dron_as87@maiiru
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 10-07-00032а и № 11-08-01349а)
УДК 515.2/б21.8б7
МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРШРУТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ШТУЧНЫХ ГРУЗОВ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СКЛАДАХ КРАТЧАЙШИМИ СВЯЗЫВАЮЩИМИ ЛИНИЯМИ
К. А. Куспеков
Аннотация. В статье рассматривается геометрическая модель автоматизированного склада в виде трехмерной ортогональной сети. Маршрут перемещения грузов определяется шаговым алгоритмом.
Ключевые слова: кратчайшее дерево, кратчайшие линии, трехмерная сеть.
Введение
Цель создания и функционирования любого склада состоит в том, чтобы принимать с транспорта грузопоток с одними параметрами, перерабатывать и выдавать его на другой транспорт с другими параметрами и выполнять эти преобразования с минимальными приведенными затратами. Трудности при проектировании складов возникают вследствие многовариантности возможных технических решений и постоянной изменяемости состояния складов в процессе эксплуатации.
Геометрическое моделирова н ие авто-матизирова нн ого склада. Анализ состояния складских работ проводят как по предприятию или организации в целом, так и по отдельным участкам, складам. При этом исследованию подлежат все операции, связанные с переме-
щением и складированием грузов. Перемещение и складирование грузов осуществляется в физических пространствах с различной размерностью и метрикой. Если транспортировка грузов происходит в одной плоскости, то траектория движения грузов определяется двумя координатами. При транспортировке грузов в пространстве, траектория движения определяется тремя координатами.
Одним из главных факторов, влияющих на стоимость внутризаводских транспортировок грузов, является расстояние (маршруты) и количество перевозимых грузов.
Поэтому эффективная и бесперебойная работа производства в целом зависит от выбора оптимальных маршрутов следования и адресования грузов.
