ФОРМИРОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР В ДВУХМОДОВОЙ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ФАЗОВОГО ПОЛЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.15350/17270529.2022.2.16

УДК 519.6:538.91

Формирование и устойчивость кристаллических структур в двухмодовой модели кристаллического фазового поля

1 2

В. Е. Анкудинов '

1 Институт физики высоких давлений им. Л.Ф. Верещагина РАН, Россия, 108840, Москва (Троицк), Калужское шоссе, 14

2 Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Россия, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

Аннотация. Двухмодовая модель кристаллического фазового поля представляет собой расширенную классическую модель, позволяющую учитывать гексагональные и другие сложные решетки с помощью параметра порядка, периодического в кристаллической и имеющего постоянное значение в разупорядоченной фазе. С помощью двухмодовой модели кристаллического фазового поля исследованы режимы кристаллизации двумерных структур. Была обнаружена квазикристаллическая анизотропная полосчатая фаза, качественно соответствующая фазам, полученным в коллоидных растворах. Исследована стабильность структур при переходах между кристаллами с симметрией различного порядка, построена фазовая диаграмма существования структур, найдена кривая плавления. В качестве промежуточной фазы при последовательных переходах обнаружены признаки существования кристалла с симметрией 5-го порядка.

Ключевые слова: кристаллическое фазовое поле, фазовые превращения, фазовое поле, численное моделирование.

И Владимир Анкудинов: vladimir@ankudinov.org

Formation and Stability of the Crystalline Structures in the Two-mode Phase-field Crystal Model

1' 2

Vladimir E. Ankudinov '

1 Vereshchagin Institute of High Pressure Physics, RAS (14, Kaluzhskoe shosse, Moscow (Troitsk), 108840, Russian Federation)

2 Udmurt Federal Research Center, UB RAS (34, T. Baramzina St., Izhevsk, 426067, Russian Federation)

Summary. The two-mode Phase-Field Crystal (PFC) model is an extended classical PFC model which allows one to describe hexagonal and other complex lattices. In such model the order parameter is periodic in crystalline state and constant in disordered or liquid phase. The PFC model allows linking mesoscopic and microscopic spatio-temporal scales and to implement in the results of the molecular dynamics method into phase-field models. In present work, the regimes of crystallization of two-dimensional structures were studied using the phase-field crystal (PFC) method. A quasicrystalline anisotropic striped phase was found; the phase qualitatively corresponds to the phases obtained in colloidal solutions. The stability of the structures was investigated during phase transitions between crystals with various symmetries. A structure diagram was constructed, and the melting curve was presented. A numerical approach for the two-mode PFC model was developed and the simulations were carried out using finite-element method in direct space. The dependence of the types of crystalline structures on the control parameters was investigated. It is shown that the scale parameters q0, qi allow to control the lattice symmetry type, and the shift parameters r0, r1 affect the position of the structures existence regions and the melting curve. Also the shift parameters permit to control the formation of the quasicrystalline structures. The stability of structures with hexagonal and quadratic symmetries was investigated. During the phase transitions the change in near- and far-order symmetry occurs sequentially. The possible existence of a crystal with 5-fold symmetry as an intermediate phase was figured out. The sequence of transitions from triangular lattice to the liquid phase through honeycomb and square lattice is shown. It is shown that the transitions themselves occur through the mixed glassy phase. The proposed model and method are applicable for modeling transitions between three-dimensional hexagonal (HCP) and cubic (FCC/BCC) lattices in metals and alloys.

Keywords: phase-field crystal, phase transitions, phase field, numerical simulations.

И Vladimir Ankudinov: vladimir@ankudinov. org

ВВЕДЕНИЕ

Модель кристаллического фазового поля [1 - 3] используется для описания континуальных переходов между однородными и периодическими фазами [4] (аналогично переходу Ландау-Бразовского [5]) на диффузионных временах [6]. Модель основана на описании свободной энергии, являющейся функционалом поля атомной плотности (концентрации), периодической в твердой фазе и однородной в жидком состоянии. Периодичность поля естественно учитывает упругие свойства и множественность кристаллографических ориентаций, что описывается континуальным уравнением движения с сохраняющимся параметром порядка. Это позволяет успешно решать задачи расчёта упорядочения структур на микронных масштабах [6, 7], в коллоидных системах [8], описывать зарождение [9, 10], движение фронтов кристаллизации [11 - 13] и формирование дендритов [14]. Модель КФП является первым приближением теории функционала плотности [15, 16], по математической форме имеет общность с теорией слабой кристаллизации [4, 17, 18].

Модель КФП позволяет связывать мезоскопические и микроскопические пространственно-временные масштабные уровни [19], использовать результаты молекулярно-динамического метода в моделях фазового поля [20]. При этом, несомненным преимуществом континуального метода КФП является скорость вычислений и возможность естественного учета дислокаций и поверхностной энергии межфазного фронта [20, 21]. Развитие двухмодовой модели КФП [22, 23] позволит описывать кристаллизацию и упорядочение в высоконеравновесных условиях [24], моделировать кристаллизацию сложных решеток, таких как ГЦК и ГПУ [25]. Перспективным и многообещающим является возможность учета решеток различных сингоний в единой модели с изотропным оператором, отвечающим за межчастичное взаимодействие [26].

В работе рассмотрена кристаллизация в двухмодовой модели кристаллического фазового поля в двумерной постановке. Было исследовано формирование кристаллических структур в зависимости от управляющих параметров. Была обнаружена квазикристаллическая анизотропная полосчатая фаза, качественно соответствующая фазам, полученным в коллоидных растворах [27 - 30]. Также были исследованы переходы между кристаллами с симметрией различного порядка, что в дальнейшем позволит описывать структурные фазовые переходы между трехмерными гексагональными и кубическими решетками.

МОДЕЛЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ФАЗОВОГО ПОЛЯ

В классической модели КФП в качестве параметра порядка рассматривается безразмерное поле п(г, /) = р(г, /) / р0—\, имеющее смысл атомной плотности (концентрации). Свободная энергия в случае изолированной системы в данной модели состоит из двух вкладов F(п) = ¥ы (п) + ¥ех (п), где Fid соответствует идеальному вкладу, описывающему фазовый переход, Fex - соответствует избыточной свободной энергии, связанной с обменным вкладом. Для идеального вклада применяется разложение в форме Ландау вблизи п(г) = 0, имеющее форму двухъямного п2 — п3 — п4 потенциала [1, 31]:

Раскладывая функциональную производную Fex вокруг малого изменения плотности и обрезав на втором члене, соответствующем парной корреляционной функции С2, получим свёртку, позволяющую описывать процесс плавления и кристаллизации [32 - 34]:

(1)

Fx (n) = -1 JdrJdfn(r)C2(jr - Г j)n(r').

(2)

В дальнейшем, аналогичная запись парной корреляционной функции в обратном пространстве в градиентном разложении использовалась при описании кристаллизации твёрдых сфер [34]. Таким образом, полная свободная энергия в модели КФП примет вид [4]:

F (n) = J

n r a 3 v 4

— L„n—n + — n 2 R 3 4

dr, (3)

где Z - дифференциальный оператор, полученный с помощью приближенного градиентного разложения ур. (2) в обратном пространстве. Этот оператор может быть представлен в одномодовом приближении, R = 1, как:

L=AB0 + BX (V2 + q2)2. (4)

Для описания более сложных структур, таких как ГЦК или гексагональные решетки, требуется двухмодовое, R = 2, разложение более высокого порядка [23]:

L - ABo + Bx0 (r0 + (V2 + q02 )2 )(ri + (V2 + q2 )2 ). (5)

Здесь коэффициенты r0, r1, q0, q1 позволяют подогнать форму пика парной корреляционной функции к экспериментальной (или полученной с помощью молекулярной динамики) [25, 31]. Коэффициенты масштаба q0,q соответствуют равновесным значениям

параметров подрешеток первой и второй координационных сфер. Коэффициенты сдвига r0, r влияют на стабильность воспроизводимых кристаллических структур [22, 35]. Тем не менее, остается не до конца ясным, возможно ли численно воспроизвести переходы между различными симметриями решетки и описать квазикристаллы в модели КФП. Двухмодовое разложение позволяет описывать кристаллизацию и плавление как в двумерных, так и в трёхмерных системах. Свободная энергия модели КФП (3) в одномодовом приближении с одномодовым оператором (4) имеет форму, схожую с энергией периодической фазы в теории слабой кристаллизации [5, 17], применимой к упорядочению в жидких кристаллах.

Определим движущую силу АВ0 = В(] - В": как разницу между модулем объемной упругости жидкости Bq и модулем упругости кристалла . Управляющий параметр Л50

может рассматриваться как переохлаждение, в форме, предложенной в моделях фазового поля для описания кристаллизации в метастабильные переохлажденные жидкости [25, 36]. Чтобы найти связь с переохлаждением предположим, что в точке равенства энергий жидкой фазы и кристалла T=Tm безразмерное переохлаждение s = AT / Tm, где AT = T -T, а Tm - температура плавления. Таким образом, связь между переохлаждением AT и AB0 можно формализовать следующим образом:

AT=Tm(ABo -AB)/AB; (6)

s=(ABo -AB)/AB. (7)

Здесь ABg - движущая сила соответствующая температуре плавления Tm, которую можно выразить с помощью коэффициентов ур. (3) как AB* = 2a1 /(9v) . При AB0 = AB* достигается равенство энергий жидкой и кристаллической фазы [25, 37].

Модифицированная модель кристаллического поля (МКФП) [21] помимо описания динамики п учитывает время релаксации т потока концентрации J [11,38]. Такой вид уравнения, отличающийся от классического уравнения КФП [1] наличием второй производной по времени в левой части был альтернативно предложен для учёта быстрой

упругой релаксации и одновременно концентрационной диффузии [39]. Также, это уравнение можно получить при помощи динамической теории функционала плотности [40].

д2п дп 2 г ч /оч

т—г + — = М V 2и(п). (8)

дt дt

Мобильность М имеет смысл диффузионного коэффициента для сохраняющегося параметра порядка и включает подвижность фазового поля (по аналогии с физическим смыслом, подразумеваемым в моделях фазового поля [41]). Правая часть уравнения включает обобщенную движущую силу, имеющую смысл химического потенциала ц(п). Химический потенциал определяется через функциональную производную свободной энергии уравнения (3):

/л{п) = 8¥ (п)/ 8п. (9)

Уравнение в частных производных (8) учитывает условие невозрастания свободной энергии уравнения (3) во времени. В то же время, его можно получить в приближении Смолуховского, считая динамику частиц броуновской и усредняя траектории движения отдельных частиц по фазовому пространству [42 - 44]. Вывод этих уравнений был сделан для процесса кристаллизации коллоидных частиц, однако, если не рассматривать динамику отдельных частиц, с помощью таких уравнений можно описывать кристаллизацию металлов [15]. Подобная формулировка уравнения движения приводит к появлению дополнительной спинодальной линии на фазовой диаграмме и стабильным полосчатым (страйп) периодическим решениям. Дискуссионным является также включение аддитивного "шумового" члена в правую часть уравнения (8). Для подобных континуальных моделей флуктуации являются необходимым условием для начала зарождения и запуска фазового перехода. В нашей работе мы воспользуемся иным механизмом инициации кристаллизации в метастабильной жидкости, а именно неоднородным начальным распределением поля п.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ФАЗОВОГО ПОЛЯ

Численное решение динамического уравнения (8) с двухмодовым оператором ур. (5) было выполнено с помощью метода конечных элементов в пакете COMSOL МиШрЬувюБ [45] в прямом пространстве. Для понижения степени пространственных производных введем дополнительные переменные Р2, Р4, Р6 и запишем уравнение (8) следующим образом:

д2п дп ,_,2 т— + — = V V, д? д1

V = (Щ + ВО ) п - ап2 + упъ + ВОV2 (2<2п + ^ + 204Рл + Р6), (Ш)

Р2= V2 п, Р4 = V2 Р2, Рб ^2 Р4.

Здесь Q\.A - константы, в которые входят масштабные параметры д0, ц1, г0, г1:

° = дХ + + + уь 02 = (^14 + + г) + Л ^

° = д04 + 4д02д2 + д4 + г + Г, °4 = + д2.

Вторая производная по времени рассчитывалась при помощи интегрирования назад с точностью до пятого порядка. Для расчётов в данной работе использовалась двумерная область с изолированными граничными условиями ^ =150, £ =150 с лагранжевыми

элементами С2 максимального размера I = 1.3. Начальное распределение в расчетной области задавалось в виде константного распределения п = п0 с единичной флуктуацией, размещенной для инициации фазового превращения.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Выполненные расчеты призваны продемонстрировать зависимость типа упорядочения от параметров двухмодового дифференциального оператора уравнения (5). Начальные параметры соответствовали области равновесного существования сотовидной решетки АБ0 = -1, и0 = -0.55, а = 0, Б£ = 1 (см. диаграмму рис. 6).

На рис. 1 приведены численные решения двухмодового уравнения КФП в фиксированный момент времени t = 50000, демонстрирующие мгновенные распределения параметра порядка поля п. Здесь параметры q0 = 1 и ^ = 1 выбраны таким образом, чтобы соответствовать параметрам сотовидной структуры вблизи кривой плавления.

Го

-0.4

-0.2

• «• я•а * . t * * ■■

» •» » . • • • • . I I , . «11» * »» • « ■ . . I • • ............• а

И» • ■ ■ ■ * *м #

• » ■ * ■ • . « . .

» •• •» • f М* »

• ..........

• ••••„ ..Л*1

• •• •!■ • * »• «»*, 1 • • ■ * * » • • » *

• • » ■■ •

' ......... •*.

..... » • » « < ••

.... , . » , . I",',1

V.-ч-

• *.... •. • ••

•• .а • «• . •• •

.......

_ • • .. «ф *

* • . . * *• . •• * •' •»» •• • . • * »

••*• а • а а. • *а

•Л" V • • .. ... .

■..■•..•v.. .v • ........

••••••

. •.*• •

v...--

I'.tV» * '

' . . • »а« «'Л *

0.4

• • ' ••• ♦ • •• 'Л, ...... • • V» • • • Л.

• • • • * •• Л« • • V» ••■••• ..........■

• * ...........

> • • • « » » • • • _ _ • ••• • •••••

•••*•• . . . , • • Л,

• • •• V .......•

• * • • «*» • • • • *«

« • • * * | •■■•••••*

It»* «»•••« •!»••

!»•••• • • • • • • • •

• ■•■•«• • ■ • • • • • • •

••»» • « « *•••»• . , • • • • • ft • ' v.*

• • • • • ••••»«*«• •

• • *••••••• *••• ■

• •••••«•« •»»**•*

»»••••••••«•• *■ *

0

• * Ф т. Ш ж Ш •••

. .• . , ....

...........

• •• • - • •

• а**' • • • * Л** • «.. ..... * *

* .........

.... .* .... ....■

«* .а '

» о • •

V* "i iV»V» • • • •. • ••* •*»••♦•

........•

'•"■vX'.v.v v-.v/.v

Л Л ...........

........ ••

(■••••• •• • * •• • • • * *• * • •

• • • * » УЛУЛ'Л'м

■■••■•••««••••••А

••••• *_**•* * 1

• V»ViVtV»VAVt # 1

0.2

0.4

• • • • • * * V. • • •••

it»« ми» :

• ......

.........

..........Л*.

......»V.V/tV *.

■ .......

■■■■««••••••A •• •

•••It*•••«• •• «(I ■ •««*••*•• •• « ft «

• •••••** • * «ft ft ■ I

•• ■■«•

• • • • • MVtVtVtVMi

V

IVmV/MVMV/M • * •■•«•«•■■••••ft ft,

• •• ft • • • f ft • M ••• • • •*•••* •••<

1 • ■«*•*•*«•••• *• ■•*••••• ,««•*««»■

•••• ft 1 .«•«*•••! ...... •• •••••••

■•■• •••••••••■• •

)•(• ••••••_ •• («4

«•••••«••ft • ••

••••••• •«••••* .

•••••••••«•ft* *•*

■ •••••••■••ft» ••

••••••••••ft ••••<

Рис. 1. Мгновенные распределения поля плотности n при t=50000, рассчитанные по двухмодовой модели КФП ур. (10), показывающие типы упорядочения при различных параметрах сдвига r0, r1,

при фиксированных q0=1, q1=1

Fig. 1. Snapshots of the density field n at t=50000 obtained with numerical simulations of two-mode PFC model Eq. (10). The ordering shown at different shift parameters r0, r1, scale parameters are fixed g0=1, q1=1

Согласно полученным данным, сдвиговые параметры приводят к формированию различных типов гексагональных решеток при сохранении основной симметрии. Так при (г0 = 0, г1 = 0), (г0 = -0.2, г1 = 0.2), (г0 = 0.2, г1 = -0.2) видна линия существования равновесной сотовидной решетки (см. также рис. 2, а), которая является гексагональной решеткой второго порядка. Увеличение параметров сдвига приводит к формированию треугольной решетки, что, похоже, соответствует, смещению кривой плавления и области сосуществования сотовидной и треугольной фаз. Это подтверждается также тем, что при достижении г0 = 0.4, г1 = 0.4 кристаллическая решетка перестаёт формироваться и равновесной для системы остаётся однородная (жидкая фаза). При положительных значениях сдвига в основном наблюдается треугольная решетка (см. также рис. 2, Ь). При уменьшении сдвига меньше ноля

(г0<0, г1<0) показано формирование разупорядоченной стеклообразной фазы, которая затем переходит в квазикристаллическую. В качестве примера на рис. 2, c приведен Фурье-образ поля плотности ^(п), демонстрирующий отсутствие дальнего порядка. Важным является формирование квазикристаллической структуры при дальнейшем уменьшении сдвиговых параметров г0 = -0.2, г1 = -0.2. На рис. 2, d явно видно наличие анизотропии решетки, при этих параметрах наблюдается полосчатая модуляция на треугольной решетке. Такие фазы наблюдаются в коллоидных системах с конкурирующим отталкиванием на дальних масштабах и притягиванием на малых [27 - 30]. Появление второго устойчивого характерного масштаба в кристалле в данной модели возможно только в двухмодовом приближении [35]. На основании полученных данных можно заключить, что основное влияние г0 и г1 заключается в стабилизации кристаллических структур при сохранении симметрии. Даже значительное изменение этих параметров не приводит к появлению новых симметрий, но позволяет получать квазикристалл и достигать стеклообразного состояния (по аналогии с высокоскоростным затвердеванием [12, 46, 47]).

Особенностями формирующегося квазикристаллического состояния при отрицательных г0, г1 является период модуляции, близкий к периоду второй подрешетки сотовидного кристалла.

(а) ro = 0, п = 0 (b) ro = 0, rx = 0.4 (c) ro = 0, rx = -0.4 (d) ro = -0.4, rx = -0.4

Рис. 2. Мгновенные распределения Фурье-образа поля плотности F(n) при t=50000' рассчитанные по данным, показанным на рис. 1. Значения q0=1, q1=1 фиксированы, соответствующие параметры сдвига указаны под изображениями

Fig. 2. Snapshots of Fourier transforms of density field F(n) at t=50000 calculated based on data obtained with numerical simulations of two-mode PFC model, presented panels correspond to ordering snapshots from Fig. 1. Scale parameters are fixed q0=1, qi=1 and correspondent shift parameters are shown in the panels

На рис. 3 приведены структурные факторы S(k) квазикристалла, треугольного и сотовидного кристаллов. Положение первого горба S(k), соответствующего квазикристаллическому состоянию (непрерывная линия) близко по значениям к положению пика второй подрешетки сотовидного кристалла (штриховая линия). Также наблюдается сдвиг основного пика сотовидной структуры в сторону уменьшения плотности решетки по сравнению с треугольной структурой (штрих-пунктирная линия). Это может объяснить сдвиг кривой плавления увеличением равновесной плотности при увеличении коэффициентов r0, r1, с последующей потерей стабильности кристалла. Соотношение положения пиков сотовидной решетки (k2/k1 = 1.68) близко к теоретическому.

Рис. 3. Нормированные структурные факторы различных структур, рассчитанные по двухмодовой

модели КФП ур. (10), показывающие различные типы структур при фиксированных q0=1, q1=1: изменение параметров сдвига r0, r1 приводит к изменению типа и равновесного параметра решетки

Fig. 3. Normalized structure factors calculated using the data obtained with numerical simulations of two-mode PFC model Eq. (10). The types of structures are shown for different shift parameters r0, rb which lead to the equilibrium lattice parameter change. Scale parameters are fixed q0=1, q1=1 and correspondent shift parameters are shown in the legend

Зафиксируем параметры сдвига г0, г1 и рассмотрим формирование структуры при изменениях масштабных параметров д0, дь На рис. 4 приведены семейства структур различной симметрии, образующиеся вблизи кривой плавления. Показано, что масштабный параметр д0 напрямую влияет на усредненную плотность структур, так увеличение д0 приводит к увеличению плотности. Модель очень чувствительна к изменению д\, при этом изменяется симметрия воспроизводимых структур. Например, при изменении д1 (для фиксированного д0 = 1) наблюдается переход от гексагональной к квадратной симметрии 4-го порядка (см. рис. 5, В двухмодовой модели КФП подобный переход также наблюдался при изменении обобщенной движущей силы (давления) [26]. Тем не менее, здесь проявляются ограничения двухмодовой модели в отсутствии таких решеток высшего порядка как кагомэ, димерные (которые были получены в трехмодовой модели [35]). Вопрос о существовании смешанной пятиугольной структуры (д0 = 0.8, д1 = 1.1) должен быть исследован дополнительно, так как данная структура в двумерном случае является фрустрированной [48].

При увеличении д1 происходит переход от треугольной к квадратной решетке через промежуточную сотовидную. Малые д0 расширяют переходную зону от треугольной к квадратной решетке, что ведет к образованию смешанных структур и, возможно, пятиугольной структуры, как промежуточной. Как видно на рис. 5, а при д0 = 0.8, д1 = 0.9 симметрия ближнего (гексагональная) и дальнего (квадратичная) порядка структуры отличается, то есть имеет смешанный характер. Затем при д0 = 0.8, д1 = 1.0 (рис. 5, Ь) происходит разрушение ближнего порядка, симметрия дальнего порядка сохраняется. Далее, при увеличении д1 до 1.1, ближний порядок показывает проявление пиков 5-го порядка, (рис. 5, с), что говорит о возможном существовании пентагонов (некоторое их количество можно наблюдать на соответствующей панели рис. 4).

1

Рис. 4. Мгновенные распределения поля плотности n при t=50000, рассчитанные по двухмодовой модели КФП ур. (10), показывающие типы упорядочения при различных масштабных параметрах q0, q1,

при фиксированных r0 = -0.22, r1 = 0.08

Fig. 4. Snapshots of the density field n at t=50000 obtained with numerical simulations of two-mode PFC model Eq. (10). The ordering shown at different scale parameters q0, qb shift parameters are fixed r0 = -0.22, r = 0.08

(a) q0=0.8, q1=0.9 (b) q0=0.8, q1=1.0 (c) q0=0.8, qx=1.1 (d) q0=1, qx=1.2

Рис. 5. Мгновенные распределения Фурье-образа поля плотности F(n) при t=50000, рассчитанные по данным, показанным на рис. 4. Значения r0 = -0.22, r1 = 0.08 фиксированы, соответствующие масштабные параметры указаны под изображениями

Fig. 5. Snapshots of Fourier transforms of density field F(n) at t=50000 calculated based on data obtained with numerical simulations of two-mode PFC model, presented panels correspond to ordering snapshots from Fig. 4. Shift parameters are fixed r0 = -0.22, r = 0.08 and correspondent scale parameters are shown in the panels

A Triangles

Honeycomb ■ Square • Glass/mixed — Stripes X Liquid

Плотность (Density), щ

Рис. 6. Структурная диаграмма "движущая сила, -AB0 - плотность, и0.., полученная численно для двухмерной модели КФП при фиксированных q0 = 1, q1 = 1. r0 = -0.22, ri = 0.08. На врезных панелях показан вид полученных структур: (а) однородная структура (Liquid), (b) стеклообразная разупорядоченная структура или смешанные структуры (Glass/mixed), (с) полосчатая структура (Stripes), (d) сотовидная решетка (Honeycomb), (e) треугольная решетка (Triangles), f квадратная решетка (Square). Символами нанесены границы областей существования перечисленных фаз, левая нижняя подобласть соответствует однородной фазе, правая верхняя подобласть - треугольной

Рис. 6. Structure diagram "Driving force, -ДВ0 - density, n0" obtained numerically for two-mode PFC model at fixed parameters q0=1, #1=1, r0=-0.22, ri=0.08. Examples of the obtained structures are shown in built-in panels: (a) Homogeneous structure (Liquid), (b) Glassy or mixed structure (Glass/mixed), (c) Striped structure (Stripes), (d) Honeycomb structure (Honeycomb), (e) Triangle structure (Triangles), (f) Square structure (Square). The borders of the existence regions are depicted with correspondent symbols. The bottom-left region corresponds to the homogeneous phase, the top-right corresponds to the triangle structure

На основе численных решений двухмодовой модели КФП была построена структурная диаграмма "движущая сила, -ДВ0 - плотность, n0" при параметрах q0 = 1, q1 = 1, r0 = -0.22, r1 = 0.08. Рассчитана кривая плавления и области переходов треугольная-сотовидная-квадратная решетка. Между выделенными фазами существуют области смешанных и стеклообразных структур (по аналогии со смешанными структурами в одномодовой модели КФП [49]). Сотовидная структура является гексагональной решеткой, так же как и треугольная, при этом понижение плотности приводит к появлению довольно широкой области существования сотовидной решетки. Обобщенная движущая сила приводит к переходам между решетками с различной симметрией вблизи линии плавления, а также к появлению полосчатой фазы. В моделях КФП полосчатая фаза обычно становится выгодной при малых плотностях [4], но в данном случае смешение структур двух пространственных масштабов приводит к модуляции стеклообразной структуры и последующему плавлению при повышении температуры (повышении ДВ0).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью модели кристаллического фазового поля в двухмодовой постановке исследованы режимы кристаллизации двумерных структур. Разработана численная постановка, реализация модели выполнена с помощью метода конечных элементов. Построена зависимость типов структур от управляющих параметров. Показано, что

параметры масштаба q0, qi позволяют управлять типом симметрии, а параметры сдвига r0, ri влияют на смещение областей стабильного существования структур и кривой плавления. Также параметры сдвига позволяют управлять формированием квазикристаллических структур. Была обнаружена квазикристаллическая анизотропная полосчатая фаза, качественно соответствующая фазам, полученным в коллоидных растворах. Исследована стабильность структур при переходах между кристаллами с гексагональной и квадратичной симметрией. При этом изменение симметрии ближнего и дальнего порядка происходит последовательно. В качестве промежуточной фазы обнаружены признаки существования кристалла с симметрией 5-го порядка. Построена фазовая диаграмма существования структур, найдена кривая плавления. Показана последовательность переходов от треугольной через сотовидную и квадратную решетку к жидкой фазе. При этом, сами переходы происходят через смешанную стеклообразную фазу. На основе разработанной модели и подхода возможно описание кристаллизации и структурных переходов между ОЦК-ГЦК-ГПУ решетками в металлах и сплавах.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-73-00263, https://rscf.ru/project/21-73-00263/

This study was financially supported by Russian Science Foundation, project 21-73-00263, https://rscf.ru/project/21-73-00263/

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Elder K. R., Katakowski M. , Haataja M., Grant M. Modeling Elasticity in Crystal Growth // Physical Review Letters, 2002, vol. 88, no. 24, pp. 245701(4). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.245701

2. Elder K. R., Grant M. Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals // Physical Review E, 2004, vol. 70, no. 5, pp. 51605(18).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.70.051605

3. Elder K. R., Provatas N., Berry J., Stefanovic P., Grant M. Phase-field crystal modeling and classical density functional theory of freezing // Physical Review B, 2007, vol. 75, no. 6, pp. 64107(14). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.75.064107

4. Анкудинов В. Е., Галенко П. К., Кропотин Н. В., Кривилёв М. Д. Функционал атомной плотности и диаграмма структур в модели кристаллического фазового поля // Журнал экспериментальной и теоретическрй физики, 2016. Т. 149, № 2. С. 343-356. https://doi.org/10.7868/S0044451016020115

5. Бразовский С. А. Фазовый переход изотропной системы в неоднородное состояние // Журнал экспериментальной и теоретическрй физики, 1975. Т. 68, № 1. С. 175-185.

6. Elder K. R., Rossi G., Kanerva P., Sanches F., Ying S-C., Granato E., Achim C. V., Ala-Nissila T. Patterning of heteroepitaxial overlayers from nano to micron scales // Physical Review Letters, 2012, vol. 108, no. 22, pp. 226102(5).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.226102

REFERENCES

1. Elder K. R., Katakowski M. , Haataja M., Grant M. Modeling Elasticity in Crystal Growth. Physical Review Letters, 2002, vol. 88, no. 24, pp. 245701(4). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.245701

2. Elder K. R., Grant M. Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals. Physical Review E, 2004, vol. 70, no. 5, pp. 51605(18).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.70.051605

3. Elder K. R., Provatas N., Berry J., Stefanovic P., Grant M. Phase-field crystal modeling and classical density functional theory of freezing. Physical Review B, 2007, vol. 75, no. 6, pp. 64107(14). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.75.064107

4. Ankudinov V. E., Galenko P. K., Kropotin N. V., Krivilyov M. D. Atomic density functional and diagram of structures in the phase field crystal model. Journal of

Experimental and Theoretical Physics, 2016, vol. 122, pp. 298-309.

http://dx.doi.org/10.1134/S1063776116020011

5. Brazovskii S. A. Phase transition from an isotropic system to a nonuniform state. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1975, vol. 41, no. 1, pp. 85-94. http://www.ietp.ras.ru/cgi-bin/dn7e 041 01 0085.pdf

6. Elder K. R., Rossi G., Kanerva P., Sanches F., Ying S-C., Granato E., Achim C. V., Ala-Nissila T. Patterning of heteroepitaxial overlayers from nano to micron scales. Physical Review Letters, 2012, vol. 108, no. 22, pp. 226102(5).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.226102

7. Provatas N., Dantzig J. A., Athreya B., Chan P., Stefanovic P., Goldenfeld N., Elder K. R.et al. Using the phase-field crystal method in the multi-scale modeling of microstructure evolution // The Journal of the Minerals, Metals and Materials Society, 2007, vol. 59, no. 7,

pp. 83-90. http://dx.doi.org/10.1007/s11837-007-0095-3

8. Emmerich H., Löwen H., Wittkowski R., Gruhn T., Toth G. I., Tegze G., Granasy L. Phase-field-crystal models for condensed matter dynamics on atomic length and diffusive time scales: an overview // Advances Physics, 2012, vol. 61, no. 6, pp. 665-743. http://dx.doi.org/10.1080/00018732.2012.737555

9. Toth G. I., Tegze G., Pusztai T., Toth G., Granasy L. Polymorphism, crystal nucleation and growth in the phase-field crystal model in 2D and 3D // Journal of Physics Condensed Matter, 2010, vol. 22, no. 36,

pp. 364101(18).

http://dx.doi.org/10.1088/0953-8984/22/36/364101

10. Granasy L., Toth G., ames Warren J. A., Podmaniczky F., Tegze G., Ratkai L., Pusztai T. Phase-field modeling of crystal nucleation in undercooled liquids - A review // Progress in Materials Science, 2019, vol. 106, pp. 100569.

http://dx.doi.org/10.1016/i.pmatsci.2019.05.002

11. Galenko P., Danilov D., Lebedev V. Phase-field-crystal and Swift-Hohenberg equations with fast dynamics // Physical Review E, 2009, vol. 79, no. 5, pp. 51110(11). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.79.051110

12. Ankudinov V., Galenko P. K. Growth of different faces in a body centered cubic lattice: A case of the phase-field-crystal modeling // Journal of Crystal Growth, 2020, vol. 539, pp. 125608.

http://dx.doi.org/10.1016/i.icrvsgro.2020.125608

13. Tegze G., Granasy L., Toth G. I., Podmaniczky F., Jaatinen A., Ala-Nissila T., Pusztai T. Diffusion-controlled anisotropic growth of stable and metastable crystal polymorphs in the phase-field crystal model // Physical Review Letters, 2009, vol. 103, no. 3, pp. 035702(4). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.035702

14. Tang S. et al. Three-dimensional phase-field crystal modeling of fcc and bcc dendritic crystal growth // Journal of Crystal Growth, 2011, vol. 334, no. 1. pp. 146-152. http://dx.doi.org/10.1016/i.icrysgro.2011.08.027

15. Archer A .J., Ratliff D. J., Rucklidge A. M., Subramanian P. Deriving phase field crystal theory from dynamical density functional theory: Consequences of the approximations // Physical Review E, 2019, vol. 100,

no. 2, pp. 022140(25).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.100.022140

16. Wu K.-A., Karma A. Phase-field crystal modeling of equilibrium bcc-liquid interfaces // Physical Review B, 2007, vol. 76, no. 18, pp. 184107(10). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.76.184107

17. Лебедев В. В., Муратов А. Р. Теория слабой кристаллизации пленок // Физика твердого тела. 1990. Т. 32, № 3. С. 837-840. http://iournals.ioffe.ru/articles/viewPDF/20897

7. Provatas N., Dantzig J. A., Athreya B., Chan P., Stefanovic P., Goldenfeld N., Elder K. R.et al. Using the phase-field crystal method in the multi-scale modeling of microstructure evolution. The Journal of the Minerals, Metals and Materials Society, 2007, vol. 59, no. 7,

pp. 83-90. http://dx.doi.org/10.1007/s11837-007-0095-3

8. Emmerich H., Löwen H., Wittkowski R., Gruhn T., Toth G. I., Tegze G., Granasy L. Phase-field-crystal models for condensed matter dynamics on atomic length and diffusive time scales: an overview. Advances Physics, 2012, vol. 61, no. 6, pp. 665-743. http://dx.doi.org/10.1080/00018732.2012.737555

9. Toth G. I., Tegze G., Pusztai T., Toth G., Granasy L. Polymorphism, crystal nucleation and growth in the phase-field crystal model in 2D and 3D. Journal of Physics Condensed Matter, 2010, vol. 22, no. 36,

pp. 364101(18).

http://dx.doi.org/10.1088/0953-8984/22/36/364101

10. Granasy L., Toth G., ames Warren J. A., Podmaniczky F., Tegze G., Ratkai L., Pusztai T. Phase-field modeling of crystal nucleation in undercooled liquids - A review. Progress in Materials Science, 2019, vol. 106, pp. 100569.

http://dx.doi.org/10.1016/i.pmatsci.2019.05.002

11. Galenko P., Danilov D., Lebedev V. Phase-field-crystal and Swift-Hohenberg equations with fast dynamics. Physical Review E, 2009, vol. 79, no. 5, pp. 51110(11). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.79.051110

12. Ankudinov V., Galenko P. K. Growth of different faces in a body centered cubic lattice: A case of the phase-field-crystal modeling. Journal of Crystal Growth, 2020, vol. 539, pp. 125608.

http://dx.doi.org/10.1016/i.icrysgro.2020.125608

13. Tegze G., Granasy L., Toth G. I., Podmaniczky F., Jaatinen A., Ala-Nissila T., Pusztai T. Diffusion-controlled anisotropic growth of stable and metastable crystal polymorphs in the phase-field crystal model. Physical Review Letters, 2009, vol. 103, no. 3, pp. 035702(4). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.035702

14. Tang S. et al. Three-dimensional phase-field crystal modeling of fcc and bcc dendritic crystal growth. Journal of Crystal Growth, 2011, vol. 334, no. 1. pp. 146-152. http://dx.doi.org/10.1016/i.icrysgro.2011.08.027

15. Archer A .J., Ratliff D. J., Rucklidge A. M., Subramanian P. Deriving phase field crystal theory from dynamical density functional theory: Consequences of the approximations. Physical Review E, 2019, vol. 100, no. 2, pp. 022140(25).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.100.022140

16. Wu K.-A., Karma A. Phase-field crystal modeling of equilibrium bcc-liquid interfaces. Physical Review B, 2007, vol. 76, no. 18, pp. 184107(10). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.76.184107

17. Lebedev V. V., Muratov A. R. Teoriya slaboy kristallizatsii plenok [Weak crystallization theory of films]. Fizika tverdogo tela [Physics of the Solid State], 1990, vol. 32, no. 3, pp. 837-840. (In Russian). http://iournals.ioffe.ru/articles/viewPDF/20897

18. Kats E. I., Lebedev V. V, Muratov A. R. Weak crystallization theory // Physics Reports, 1993, vol. 228, no. 1, pp. 1-91.

http://dx.doi.org/10.1016/0370-1573(93)90119-X

19. Guerdane M., Berghoff M. Crystal-melt interface mobility in bcc Fe: Linking molecular dynamics to phase-field and phase-field crystal modeling // Physics Review B, 2018, vol. 97, no. 14, pp. 144105(10). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.97.144105

20. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. Weinheim, Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., 2010. 312 p.

21. Стародумов И. О., Галенко П. К., Кропотин Н. В., Александров Д. В. Об аппроксимации периодического решения уравнения кристаллического фазового поля при расчетах методом конечных элементов // Программные системы: теория и приложения. 2018. Т. 9, № 4. С. 265-278.

https://doi.org/10.25209/2079-3316-2018-9-4-265-278

22. Emdadi A., Zaeem M. A, Asadi E. Revisiting phase diagrams of two-mode phase-field crystal models // Computation Materials Science, 2016, vol. 123,

pp. 139-147.

http://dx.doi.org/10.1016/i.commatsci.2016.06.018

23. Asadi E., Zaeem M. A Quantifying a two-mode phase-field crystal model for BCC metals at melting point // Computation Materials Science, 2015, vol. 105,

pp. 101-109.

http://dx.doi.org/10.1016/J.C0MMATSCI.2015.03.051

24. Starodumov I., Ankudinov V., Nizovtseva I. A review of continuous modeling of periodic pattern formation with modified phase-field crystal models // The European Physical Journal Special Topics, 2022, vol. 231, pp. 11351145. http://dx.doi.org/10.1140/epis/s11734-022-00518-5

25. Ankudinov V., Elder K. R., Galenko P. K. Traveling waves of the solidification and melting of cubic crystal lattices // Physical Review E, 2020, vol. 102, no. 6,

pp. 062802(14).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE. 102.062802

26. Shuai X., Mao H., Kong Y., Du Y. Phase field crystal simulation of the structure evolution between the hexagonal and square phases at elevated pressures // Journal of Mining and Metallurgy, Section B: Metallurgy, 2017, vol. 53, no. 3, pp. 271-278. http://dx.doi.org/10.2298/JMMB170527027S

27. Reichhardt C. J. O., Reichhard C., Martin I., Bishop A. R. Dynamics and melting of stripes, crystals, and bubbles with quenched disorder // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2004, vol. 193, no. 1-4, pp. 303309. http://dx.doi.org/10.1016/i.physd.2004.01.027

28. Yang Y., Fu L., Marcoux C., Socolar J. E. S., Charbonneau P., Yellen B. B. Phase transformations in binary colloidal monolayers // Soft Matter, 2015, vol. 11, no. 12, pp. 2404-2415. http://dx.doi.org/10.1039/c5sm00009b

18. Kats E. I., Lebedev V. V, Muratov A. R. Weak crystallization theory. Physics Reports, 1993, vol. 228, no. 1, pp. 1-91.

http://dx.doi.org/10.1016/0370-1573(93)90119-X

19. Guerdane M., Berghoff M. Crystal-melt interface mobility in bcc Fe: Linking molecular dynamics to phase-field and phase-field crystal modeling, Physics Review B, 2018, vol. 97, no. 14, pp. 144105(10). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.97.144105

20. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. Weinheim, Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., 2010. 312 p.

21. Starodumov I. O., Galenko P. K., Kropotin N. V., Aleksandrov D. V. Ob approksimatsii periodicheskogo resheniya uravneniya kristallicheskogo fazovogo polya pri raschetakh metodom konechnykh elementov [On approximation of a periodic solution of the phase field crystal equation in simulations by the finite elements method]. Programmnye sistemy: teoriya i prilozheniya [Program Systems: Theory and Applications], 2018, vol. 9, no. 4, pp. 265-278. (In Russian). http://dx.doi.org/10.25209/2079-3316-2018-9-4-265-278

22. Emdadi A., Zaeem M. A, Asadi E. Revisiting phase diagrams of two-mode phase-field crystal models.

Computation Materials Science, 2016, vol. 123, pp. 139-147.

http://dx.doi.org/10.1016/i.commatsci.2016.06.018

23. Asadi E., Zaeem M. A Quantifying a two-mode phase-field crystal model for BCC metals at melting point.

Computation Materials Science, 2015, vol. 105, pp. 101-109.

http://dx.doi.org/10.1016/J.CQMMATSCI.2015.03.051

24. Starodumov I., Ankudinov V., Nizovtseva I. A review of continuous modeling of periodic pattern formation with modified phase-field crystal models. The European Physical Journal Special Topics, 2022, vol. 231, pp. 11351145. http://dx.doi.org/10.1140/epis/s11734-022-00518-5

25. Ankudinov V., Elder K. R., Galenko P. K. Traveling waves of the solidification and melting of cubic crystal lattices. Physical Review E, 2020, vol. 102, no. 6,

pp. 062802(14).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE. 102.062802

26. Shuai X., Mao H., Kong Y., Du Y. Phase field crystal simulation of the structure evolution between the hexagonal and square phases at elevated pressures. Journal of Mining and Metallurgy, Section B: Metallurgy, 2017, vol. 53, no. 3, pp. 271-278. http://dx.doi.org/10.2298/JMMB170527027S

27. Reichhardt C. J. O., Reichhard C., Martin I., Bishop A. R. Dynamics and melting of stripes, crystals, and bubbles with quenched disorder. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2004, vol. 193, no. 1-4, pp. 303-309. http://dx.doi.org/10.1016/i.physd.2004.01.027

28. Yang Y., Fu L., Marcoux C., Socolar J. E. S., Charbonneau P., Yellen B. B. Phase transformations in binary colloidal monolayers. Soft Matter, 2015, vol. 11, no. 12, pp. 2404-2415. http://dx.doi.org/10.1039/c5sm00009b

29. Han Y., Shokef Y., Alsayed A. M., Yunker P., Lubensky T. C., Yodh A. G. Geometric frustration in buckled colloidal monolayers // Nature, 2008, vol. 456, no. 7224, pp. 898-903. http://dx.doi.org/10.1038/nature07595

30. Leunissen M. E., Vutukuri H. R., Van Blaaderen A. Directing colloidal self-assembly with biaxial electric fields // Advanced Materials, 2009, vol. 21, no. 30,

pp. 3116-3120. http://dx.doi.org/10.1002/adma.200900640

31. Jaatinen A., Achim C. V., Elder K. R., Ala-Nissila T. Thermodynamics of bcc metals in phase-field-crystal models // Physical Review E, 2009, vol. 80, no. 3,

pp. 1-10. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.80.031602

32. Ryzhov V. N., Tareyeva E. E. Towards a statistical theory of freezing // Physics Letters A, 1979, vol. 75, no. 1-2, pp. 88-90.

http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(79)90287-1

33. Рыжов В. Н., Тареева Е. Е. Микроскопический подход к вычислению модулей упругости и модуля Франка в теории двумерного плавления // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 92, № 2. С. 331-343.

34. Ramakrishnan T. V, Yussouff M. First-principles order-parameter theory of freezing // Physical Review B, 1979, vol. 19, no. 5, pp. 2775-2794. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.19.2775

35. Mkhonta S. K., Elder K. R., Huang Z. F. Exploring the complex world of two-dimensional ordering with three modes // Physical Review Letters, 2013, vol. 111, no. 3, pp. 035501(5).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett. 111.035501

36. Podmaniczky F., Toth G. I., Tegze G., Pusztai T., Granasy L. Phase-field crystal modeling of heteroepitaxy and exotic modes of crystal nucleation // Journal Crystal Growth, 2017, vol. 457, pp. 24-31. http://dx.doi.org/10.1016/i.icrvsgro.2016.06.056

37. Galenko P. K., Sanches F., Elder K. R. Traveling wave profiles for a crystalline front invading liquid states // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2015, vol. 308, pp. 1-10. http://dx.doi.org/10.1016/i.physd.2015.06.002

38. Galenko P. K., Gomez H., Kropotin N. V., Elder K. R. Unconditionally stable method and numerical solution of the hyperbolic phase-field crystal equation // Physical Review E, 2013, vol. 88, no. 1, pp. 013310(11). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.88.013310

39. Stefanovic P., Haataja M., Provatas N. Phase-field crystals with elastic interactions // Physical Review Letters, 2006, vol. 96, no. 22, pp. 225504(4). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.225504

40. Archer A. J. Dynamical density functional theory for molecular and colloidal fluids: A microscopic approach to fluid mechanics // The Journal Chemical Physics, 2009, vol. 130, no. 1, pp. 014509(11). https://doi.org/10.1063/L3054633

29. Han Y., Shokef Y., Alsayed A. M., Yunker P., Lubensky T. C., Yodh A. G. Geometric frustration in buckled colloidal monolayers. Nature, 2008, vol. 456, no. 7224, pp. 898-903. http://dx.doi.org/10.1038/nature07595

30. Leunissen M. E., Vutukuri H. R., Van Blaaderen A. Directing colloidal self-assembly with biaxial electric fields. Advanced Materials, 2009, vol. 21, no. 30,

pp. 3116-3120. http://dx.doi.org/10.1002/adma.200900640

31. Jaatinen A., Achim C. V., Elder K. R., Ala-Nissila T. Thermodynamics of bcc metals in phase-field-crystal models. Physical Review E, 2009, vol. 80, no. 3, pp. 1-10. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.80.031602

32. Ryzhov V. N., Tareyeva E. E. Towards a statistical theory of freezing. Physics Letters A, 1979, vol. 75, no. 1-2, pp. 88-90.

http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(79)90287-1

33. Ryzhov V. N., Tareeva E. E. Microscopic approach to calculation of the shear and bulk moduli and the frank constant in two-dimensional melting. Theoretical and Mathematical Physics, 1992, vol. 92, no. 2, pp. 922-930. https://doi.org/10.1007/BF01015558

34. Ramakrishnan T. V, Yussouff M. First-principles order-parameter theory of freezing // Physical Review B, 1979, vol. 19, no. 5, pp. 2775-2794. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.19.2775

35. Mkhonta S. K., Elder K. R., Huang Z. F. Exploring the complex world of two-dimensional ordering with three modes. Physical Review Letters, 2013, vol. 111, no. 3, pp. 035501(5).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett. 111.035501

36. Podmaniczky F., Toth G. I., Tegze G., Pusztai T., Granasy L. Phase-field crystal modeling of heteroepitaxy and exotic modes of crystal nucleation. Journal Crystal Growth, 2017, vol. 457, pp. 24-31. http://dx.doi.org/10.1016/i.icrvsgro.2016.06.056

37. Galenko P. K., Sanches F., Elder K. R. Traveling wave profiles for a crystalline front invading liquid states. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2015, vol. 308, pp. 1-10. http://dx.doi.org/10.1016/i.physd.2015.06.002

38. Galenko P. K., Gomez H., Kropotin N. V., Elder K. R. Unconditionally stable method and numerical solution of the hyperbolic phase-field crystal equation. Physical Review E, 2013, vol. 88, no. 1, pp. 013310(11). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.88.013310

39. Stefanovic P., Haataja M., Provatas N. Phase-field crystals with elastic interactions. Physical Review Letters, 2006, vol. 96, no. 22, pp. 225504(4). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.225504

40. Archer A. J. Dynamical density functional theory for molecular and colloidal fluids: A microscopic approach to fluid mechanics. The Journal Chemical Physics, 2009, vol. 130, no. 1, pp. 014509(11). https://doi.org/10.1063/L3054633

41. Лебедева А. А., Лебедев В. Г., Ладьянов В. И. Об определении мобильности фронта затвердевания в чистой меди по данным молекулярной динамики // Химическая физика и мезоскопия. 2018. Т. 20, № 4. С. 471-482.

42. Ankudinov V, Starodumov I., Kryuchkov N. P., Yakovlev E. V., Yurchenko S. O., Galenko P. K. Correlated noise effect on the structure formation in the phase-field crystal model // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2021, vol. 44, no. 16, pp. 12185-12193. https://doi.org/10.1002/mma.6887

43. Aranson I. S., Malomed B. A., Pismen L. M., Tsimring L. S. Crystallization kinetics and self-induced pinning in cellular patterns // Physical Review E, 2000, vol. 62, no. 1, pp. R5-R8.

https://doi.org/10.1103/PhysRevE.62.R5

44. Van Teeffelen S., Backofen R., Voigt A., Löwen H. Derivation of the phase-field-crystal model for colloidal solidification // Physical Review E, 2009, vol. 79, no. 5, pp. 051404(10).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.79.051404

45. COMSOL Multiphysics® versio n 6.0. COMSOL AB, Stock. Sweden. 2022. https://www.comsol.com

46. Berry J., Grant M. Phase-field-crystal modeling of glass-forming liquids: Spanning time scales during vitrification, aging, and deformation // Physical Review E, 2014, vol. 89, no. 6, pp. 062303(10). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.89.062303

47. Zhang W., Mi J. Phase field crystal modelling of the order-to-disordered atomistic structure transition of metallic glasses // IOP Conference Series: Materials Science Engineering, 2016, vol. 117, no. 1, pp. 012056(7). http://dx.doi.org/10.1088/1757-899X/117/1/012056

48. Skinner T. O. E., Martin H. M., Aarts D. G. A. L., Dullens R. P. A. Frustrated crystallisation and melting in two-dimensional pentagonal confinement // Soft Matter, 2013, vol. 9, no. 44, pp. 10586-10591. http://dx.doi.org/10.1039/C3 SM51627J

49. Starodumov I., Ankudinov V., Galenko P. Simulation of crystalline pattern formation by the MPFC method // MATEC Web Conferences ICMTMTE 2017, 2017,

vol. 129, pp. 02035(4).

http://dx.doi.org/10.1051/matecconf/201712902035

41. Lebedeva A. A., Lebedev V. G., Lad'yanov V. I. Ob opredelenii mob il ' no sti fronta zatverdevaniya v c histo ï medi po dannym mo lekulyarnoï dinamiki [Determination of the solidification front mobility in pure copper based on the molecular dynamics data]. Khimicheskayafizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2018, vol. 20, no. 4, pp. 471-482. (In Russian).

42. Ankudinov V, Starodumov I., Kryuchkov N. P., Yakovlev E. V., Yurchenko S. O., Galenko P. K. Correlated noise effect on the structure formation in the phase-field crystal model. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2021, vol. 44, no. 16, pp. 12185-12193. https://doi.org/10.1002/mma.6887

43. Aranson I. S., Malomed B. A., Pismen L. M., Tsimring L. S. Crystallization kinetics and self-induced pinning in cellular patterns. Physical Review E, 2000, vol. 62, no. 1, pp. R5-R8.

https://doi.org/10.1103/PhysRevE.62.R5

44. Van Teeffelen S., Backofen R., Voigt A., Löwen H. Derivation of the phase-field-crystal model for colloidal solidification. Physical Review E, 2009, vol. 79, no. 5, pp. 051404(10).

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.79.051404

45. COMSOL Multiphysics® version 6.0. COMSOL AB, Stock. Sweden. 2022. https://www.comsol.com

46. Berry J., Grant M. Phase-field-crystal modeling of glass-forming liquids: Spanning time scales during vitrification, aging, and deformation. Physical Review E, 2014, vol. 89, no. 6, pp. 062303(10). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.89.062303

47. Zhang W., Mi J. Phase field crystal modelling of the order-to-disordered atomistic structure transition of metallic glasses. IOP Conference Series: Materials Science Engineering, 2016, vol. 117, no. 1, pp. 012056(7). http://dx.doi.org/10.1088/1757-899X/117/1/012056

48. Skinner T. O. E., Martin H. M., Aarts D. G. A. L., Dullens R. P. A. Frustrated crystallisation and melting in two-dimensional pentagonal confinement. Soft Matter, 2013, vol. 9, no. 44, pp. 10586-10591. http://dx.doi.org/10.1039/C3SM51627J

49. Starodumov I., Ankudinov V., Galenko P. Simulation of crystalline pattern formation by the MPFC method.

MATEC Web Conferences ICMTMTE 2017, 2017, vol. 129, pp. 02035(4).

http://dx.doi.org/10.1051/matecconf/201712902035

Поступила 24.04.2022; принята к опубликованию 25.05.2022 Received 24 April 2022; accepted 25 May 2022

Информация об авторе

Анкудинов Владимир Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник теоретического отдела ИФВД РАН, Москва, Российская Федерация; старший научный сотрудник УдмФИЦ УрО РАН, Ижевск, Российская Федерация e-mail: vladimir@,ankudinov. org

Author Information

Vladimir E. Ankudinov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Researcher, Theoretical Department, Institute of High Pressure Physics RAS, Moscow, Russian Federation; Senior Researcher, Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russian Federation, e-mail: vladimir@ankudinov. org