Об определении мобильности фронта затвердевания в чистой меди по данным молекулярной динамики Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.416:536.421.48:538.953

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ МОБИЛЬНОСТИ ФРОНТА ЗАТВЕРДЕВАНИЯ В ЧИСТОЙ МЕДИ ПО ДАННЫМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

1 ЛЕБЕДЕВА А. А., 1,2ЛЕБЕДЕВ В. Г., 2ЛАДЬЯНОВ В. И.

1 Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1

2

Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. В работе получена фазово-полевая модель затвердевания однокомпонентных систем с учетом процессов усадки, изучены условия равновесия и предел резкой границы модели. Полученные результаты использованы для определения температурной зависимости мобильности движения границы при направленном затвердевании чистой меди в рамках фазово-полевой неизотермической модели с помощью оптимизации по данным моделирования кинетики затвердевания методом молекулярной динамики. Термодинамические вычисления движущих сил и процесса перераспределения тепла при затвердевании основаны на реальных потенциалах Гиббса для меди.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: фазовое поле, динамика поверхности раздела фаз, усадка, предел резкой границы, мобильность фазового поля.

ВВЕДЕНИЕ

Описание межфазных явлений на основе диффузной границы имеет давнюю историю, в которой можно выделить вклад Ван-дер-Ваальса [1], Ландау [2, 3] и Кана [4 - 6]. На задачи затвердевания модели с диффузной границей были перенесены и исследованы Левиным [7], Лангером [8] и Кейджиналпом [9]. Результатом развития идеи диффузной границы явился метод фазового поля [10] - эффективный способ описания эволюции микроструктур при фазовых переходах. Однако используемые неизотермические модели фазового поля в основном имеют модельное феноменологическое происхождение [11]. Термодинамически согласованная модель затвердевания однокомпонентных систем, на основе локально-неравновесной термодинамики [12] и равновесных потенциалов Гиббса [13], представлена в [14].

Как и многие другие модели сплошной среды, модель фазового поля содержит ряд параметров, которые должны быть определены из эксперимента. К ним относятся поверхностная энергия, ширина и мобильность межфазной границы, являющиеся функциями температуры и состава раствора. Некоторые из них могут быть получены из микроскопического моделирования (например, методом молекулярной динамики). В этом смысле мобильность фазовой границы является "плохим" параметром, поскольку измеряется обычно кинетика границы, представленная как функции скорости от переохлаждения. Чтобы извлечь из кинетики мобильность, необходима дополнительная обработка имеющихся данных под конкретную модель [15].

Один из подходов, позволяющих получить мобильность по известной кинетике, является предел резкой границы [9, 16]. Этот предел, рассмотренный в [14] для неизотермического случая, приводит к упрощенным уравнениям модели, дающие более прямую связь мобильности фронта с кинетикой границы. Предел резкой границы, на основе работы [14] был использован в работе [17] для получения температурной зависимости мобильности фазовой границы в чистом никеле. Следует отметить, что для упрощения вычислений в работе [14] предполагалось равенство плотностей вещества фаз и независимость плотностей от температуры. Это упрощение мы исправляем в данной работе и используем полученные выражения для определения мобильности границы фаз в чистой меди.

МНОГОФАЗНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

В целях простоты рассмотрим одномерную задачу направленного затвердевания расплава меди, с учетом разницы плотностей фаз, на фоне меняющегося распределения температуры Т(х^), где х является пространственной координатой, вдоль которой движется фронт, I - момент времени. На плюс бесконечности по координате находится жидкая фаза, на минус бесконечности - твердая, так что фронт движется в направлении оси х. Разность плотностей фаз приводит к появлению "усадки", обуславливающей "подтекание" вещества из жидкой фазы со скоростью п(х,(). Давление в системе будем полагать постоянным.

Для описания состояний однокомпонентной сплошной среды затвердевающей системы используем параметр ф (фазовое поле), принимающий значения ф = 1 в твердой фазе (8), и ф = 0 в жидкой фазе (Ь). Однозначность локального фазового состояния нарушается вблизи границы раздела фаз, обладающей малой, но конечной толщиной. Объемные свойства фаз внутри диффузной границы интерполируются функциями вида:

р($>) = р2(3 - 2ф), g (?) = ?2(1 -Л2, (1)

выбор которых обусловлен требованием устойчивости фаз [18].

Фазы характеризуется известными плотностями вещества р8 (Т) и рЬ (Т) [20,21], а также мольными плотностями потенциалов Гиббса Gт(Т) и 01т(Т) [13]. Пренебрегая давлением, полная объемная плотность Гиббса смеси фаз может быть записана в виде:

0(Т,ф) = X 0?(Т)Ха{ф) + Wg (Л, (2)

v=L,S

„/,„4 CL

где X (j) = p(j), X (j) = 1_ P(j), W - высота потенциального барьера между фазами,

Gav(T) = — Gam (T)pv(T). (3)

^Cu

Величина pv (T)/ fiCu по размерности равна моль/м3, характеризуя количество вещества в единице объема. Полное количество вещества в объеме системы, в результате фазового перехода измениться не должно, поэтому будет справедливо условие

— \YJXv(j)pv(T)dW = const. (4)

^Cu

Чтобы учесть данное условие, воспользуемся методом множителей Лагранжа. Заменим плотность энергии Гиббса GV(T) ® Gv(T) :

Gv(T) = G v(T) + Л—pv(T), (5)

Mcu

где Л - множитель Лагранжа. Очевидно, что условие (4) автоматически возникает, если варьировать по Л интеграл от плотности Гиббса (2), вычисленный по объему системы после замены G^(T) ® Gv(T) и подстановки выражения (5). Тогда, формально, из условий экстремальности необходимо найди условия равновесия, выразить из них T и j, после чего подставив их в (4), определить Л. В нашем случае, наличие плотностей как функций температуры может сдвигать температуру равновесия фаз, поэтому в качестве условия на Л можно выбрать условие неизменности температуры равновесия фаз. Физически, множитель Лагранжа играет роль некоторого химического потенциала, контролирующего число частиц в системе таким образом, чтобы температура равновесия не менялась.

Для чистой меди термодинамически устойчивыми являются только фазы FCC_A1 и жидкая фаза, лежащие по энергии ниже остальных фаз [13]. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только две эти фазы. Интерполяционные выражения для потенциалов Гиббса FCC_A1 и Liquid фаз приведены в табл. 1. Интерполяционные зависимости плотностей FCC_A1 и Liquid фаз меди от температуры, построенные по данным источников [19, 20], приведены в табл. 2 и графически представлены на рис. 1.

Таблица 1

Мольные потенциалы Гиббса для фаз чистой меди [13]

Фаза Потенциал Гиббса, Дж/моль Интервал температур, К

FCC_A1 GS = -7770,458 + 130,485235- T - 24,112392- T-ln(T) -- 2,65684E-3-T2 + 0,129223E-6-T + 52478-Г1 GS = - 13542,026 + 183,803828- T - 31,38- T ln(T) + 364,167E27- Г9 298,15 < Т < 1357,77 1357,77 < Т < 3200

LIQUID Gl = 5194,277 + 120,973331- T- 24,112392- T ln(T) -- 2,65684E-3-T2 + 0,129223E-6-52478-T"1-584,89E-23-T7 Gl = -46,545 + 173,881484 T-31,381T- ln(T) 298,15 < Т < 1357,77 1357,77< Т < 3200

Таблица 2

Интерполяционные зависимости плотностей фаз меди от температуры по данным [19,20]

Фаза Плотность вещества фаз, г/см3 Интервал температур, К

FCC_A1 рБ = 9,07366 - 4,74699Б-4-Т - 3,64682Б-8- Т2 298,15 < Т < 1357,77

LIQUID р1 = 9,06028 - 7,73489Б-4-Т - 9,03301Б-9- Т2 1357,77< Т < 3200

СОХРАНЕНИЕ ВЕЩЕСТВА

Чтобы учесть изменение средней плотности фаз при затвердевании из-за течения жидкости, запишем закон сохранения вещества в виде:

Эр

dt

- +

v(pLXLu )=о,

(6)

где и - скорость переноса. Поскольку р5 (Т) и р1 (Т) известны из эксперимента [19,20], уравнение (6) определяет скорость "подтекания" вещества из объема жидкости. В одномерном случае имеем:

Э . , (7)

v{pLXLu )=£ (rSXS +rLXL )

из которого видно, что скорость определяется из мгновенной скорости изменения плотности с помощью непосредственного интегрирования по координате.

Рис. 1. График зависимости плотности фаз от температуры [19, 20]

СОХРАНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ

При наличии конвективного переноса со скоростью и, наиболее просто картина процессов теплопередачи выглядит в системе отсчета Лагранжа, движущейся с потоком. Из-за фиксированного давления тепловое состояние среды определяется ее энтальпией.

Выражая энтальпию через функцию состояния как

н = О - т—, дт

и дифференцируя по времени, с учетом закона сохранения

—+ ? (у )= о, дт

находим, что скорость изменения температуры определяется соотношением

дг

■т—2% , дт2

Из определения теплоемкости

С

дф

д2Оа

дф

ПЦ ^ дт 2

(8) (9) (10)

(11)

(12)

следует, что уравнение (9) является уравнением теплопроводности

срК = _? (у )Му н +],

р дt у ' дг дф дф)

учитывающим тепловыделение в процессе превращения фаз. Обозначая для краткости производные по времени как

дт . дф

т = —, ф = ^ дг ^ д г

(13)

и переходя в исходную, покоящуюся систему отсчета Эйлера, с учетом движения только жидкой фазы, получаем, следуя [22]:

Ср (т + V х)) = -V (у)- ф 2 н + Ж фф

РЕЛАКСАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФАЗОВОГО ПОЛЯ

(14)

Поскольку рассматриваемая задача является неизотермической, в качестве управляющего функционала Ляпунова выберем полную энтропию системы, термодинамически сопряженную с температурой и записанную в системе отсчета Лагранжа:

* (г)=-/

дт 2тщУ

СП,

(15)

где О = О(т, ф) - объемная плотность многофазного потенциала Гиббса, те, - температура равновесия фаз. Вклад межфазной границы учитывается градиентным слагаемым (~ Vф) [4]. В выражении (15) О - кинетический коэффициент, определенный ниже. Локально-неравновесные эффекты [12] в данной работе учитываться не будут, чтобы не усложнять дальнейший анализ.

Из условия возрастания энтропии, следуя работе [12], требуем, чтобы

ч

т 2Х

д2Ос

дт2

(

+ ф

2

\

дО1дЛ_о? 2ф

дт дф тщ ^

са> о.

(16)

Выражая Г из соотношения (10), находим:

=-1

1 -дХ

т

_ \

=- \

?($ )+ф2 н+

[ дф дф

+ ф

Л

2

2ф

дт дф Ге, ^

со =

$ [ ? I+ф

(

2 2ф+К*

^ т дф т*т дф

V

сп> 0.

Производная энтропии будет неубывающей величиной при выборе

3 = мт уГ-1 = - V = -ЛУГ,

T.

T2

м„

p-

т

eq

SV

Y т

Teq Lr

dp

W-Z- + AG— dp dp

(18)

где Мт и Мр - тепловая и фазовая мобильности, Л- коэффициент теплопроводности, АО = О5 - Оь - разность потенциалов Гиббса фаз. После замены М /Тщ ® М , перепишем уравнение (17) в эйлеровой системе отсчета [21]:

РР +

V X

= м„

SV 2p-^

Y т

Teq (ш dg

dp

Y

W-2- + AG— dp dp

(19)

Уравнение (19), совместно с уравнением теплопроводности (14), (17) и соотношениями (3), (5), образует полную систему уравнений для описания затвердевания в однокомпонент-ных системах с учетом усадки.

РАВНОВЕСИЕ ФАЗ

В случае равновесия между фазами, скорость переноса й, тепловой поток 3 и производные по времени

р = ф = Т = р = 0 (20)

обращаются в ноль. В одномерном случае из равенства нулю теплового потока следует постоянство температуры во всем пространстве Т = Тед. Тогда законы сохранения (5) и (12)

выполняются автоматически, а от уравнений (18) остается стационарное уравнение

SV 2Р-

(

dg , А ndP

\

= 0.

(21)

W^- + AG— ч dp dpy

Умножая (20) на Vp, и интегрируя в бесконечных пределах с учетом граничных условий

lim p(x) = 1 и limp(x) = 0, и вида функций g (p) и p(p) из выражения (1), находим:

AG(To) = GS (To) - Gl (To) = —{GsmpS - GLmpL +A(pS - pL))т = 0. (22)

ßcu 0

Термодинамическое определение равновесия связано с равенством мольных потенциалов Гиббса:

Gs (T ) = Gl (T ).

m V eq / m V eq /

Поскольку уравнение (22) из-за множителей плотности не может иметь корней T0 = Teq, выберем в нем коэффициент Л так, чтобы при температуре T0 = Teq выражение (22) обращалось в ноль, тогда

Л =

(GSmpS - GLpL)

(pS-PL)

(23)

Оставшееся уравнение (19), после подстановки (20), при умножении на V р сводится к полным производным и дает решение в виде:

1 ( ( х ^

1 ^ Л х П . - (24)

p( x)=^

1 + tanhl — l d

где 5 = у1 2е2 / Ж,

описывающее равновесие двух состояний среды по направлению х с полушириной фронта 3.

T

Интегрирование градиентного вклада в потенциале (14) для равновесного решения (22) дает поверхностную энергию

| +[(Уф( х))2 йх = <8 = %, (26)

где % - коэффициент поверхностного натяжения межфазной границы. Тогда коэффициенты < и Ж определяются через % и 8 как

12С

< = 6%8 и Ж = -

8

(27)

При отсутствии равновесия между фазами АО(Т) = О* (Т) - О^ (Т) Ф 0, для динамики фазового поля в уравнении (19) появляется движущая сила фазового перехода (МфАО / Т)(др / дф), отличная от нуля только внутри диффузной границы и определяющая скорость движения фронта затвердевания.

ПРЕДЕЛ РЕЗКОЙ ГРАНИЦЫ

Покажем, что из полученной системы уравнений (3), (5), (14), (17) и (19) в пределе резкой границы [9, 16] следует задача Стефана [22]. Для простоты ограничимся одномерной задачей направленной кристаллизации, чтобы избежать влияния кривизны границы.

Предел резкой границы основан на предположении о существовании малого параметра 8 = 8/Ь, где Ь - характерный размер области, в которой происходит фазовый переход. Используем безразмерную координату х = х/ Ь, и время, обезразмеренное на характерное время теплового процесса ^ = где выбрано г0) = Ь2С1 /1г, Т - начальная температура расплава, Сг = СР (Т), 1г = 1(Т). Безразмерную скорость выберем как и = / Ь. Тогда уравнения модели (5), (14), (17) и (19) могут быть переписаны в виде

у(р?Ьи ) = д= (р?* +р?ь ),

СР [Т + У(Т?Ьй)) = У(1УТ)-ф

ф+ У(?Ьфи ) = а

Т

АН — + Ж^ ф ф

Тщ ( 2 дg , АО др

(28)

82 дф+ 8 дф

где СР = СР /Сг, 1=1/1, АН = АН/Сг, Ж = Ж/Сг, АО = ЬАО/6%, а = М<оСг /1.

Поскольку безразмерные коэффициенты от изменения масштабов, рассмотрим предельный переход в решениях уравнений (28) по параметру 8.

Внешняя область к диффузной границе. Умножим уравнение фазового поля (28) на 82 и устремим 8 ® 0. Тогда уравнение фазового поля сведутся к выражению

^ = о,

дф

которое автоматически выполняется вне диффузной границы, поскольку внутри фаз ф= 0, или ф = 1. Из-за постоянства ф внутри объемов фаз имеем ф = 0, поэтому оставшиеся уравнения (28) запишутся в жидкой фазе как

((■ , (29)

СР (Т + У(Ти ))=У(1УТ),

а для твердой фазы останется только уравнение теплопроводности

СРТ = У(1УТ). (30)

Внутренняя область диффузной границы. Будем считать, что граница фаз движется с постоянной безразмерной скоростью V. Переходя в систему отсчета движущейся границы г = х - Vt, сопоставим начало отсчета по координате значению ( = у2. Натекающий на границу поток будет иметь отрицательную скорость, равную — (и + V). Для анализа задачи удобно расширить область диффузной границы на бесконечный интервал, сделав замену г = 778. Тогда система уравнений (28) примет вид:

УрХ (и+V ))=V • УрХ5 + рьхь)

сР (уУТ+у(т££ (и + V )))8 = У(ЛУТ)+V •

г

(V У( + У{хь((й + V )))8 =

а

г Г

АН дР + ¥ ^ Ъ( Ъ(

С 2 ^ + АО дР 8

Л

У (8,

(31)

V

д( д(

Решение системы (31) для имеющихся функций (Л), Т(л), 0(0),... будем искать в виде разложения в асимптотический ряд вида

/ (0) = /о (0) + /107)8 + /2{Л)82 +..., (32)

по степеням малого безразмерного параметра 8. Порядок 8о: Имеем систему уравнений

у(?о£Х (й, + V ))=V -У(гХо5 +рь

X)

у(Ло У То )=о, У 2 (о —

(33)

2 ( 2Тед ^о = о

То (о

При л ® ±¥ предельные условия для фазового поля и температуры в нулевом порядке должны быть согласованы с внешними функциями [18]:

Л1т(оЛ) =1 (34)

11т (0(л) = Ит У(о(0) = о,

11т То(0) = Т(г)|

Л®±¥

±о

(35)

(36)

В соотношении (36) Т(г)| — температуры, взятые из внешней областей,

соответственно, справа ( + о ) и слева ( — о ) от диффузной границы (находящейся при г = о ). Физически приемлемые решения системы (33) с условиями (34) - (36),

РоХоЧ = VPоS (X — 1)

Го = const,

(о(л)=2

(

(

1 — 1аиЬ

Л-

Т

Щ

Т

лл

JJ

(37)

Смысл полученных выражений (37) достаточно очевиден: в порядке 80 температура внутри диффузной границы должна быть постоянной, а поскольку (36) на границах диффузной границы внешнее решение совпадает с внутренним, должна выполняться непрерывности температуры на границе раздела фаз. Решение (37) для фазового поля аналогично стационарному решению (24), с той разницей, что его полуширина уменьшается по мере увеличении величины переохлаждения. Выражение для скорости подтекания

жидкости в (37) обусловлено изменением объемных долей фаз и обращением потока вещества в ноль при X ® -:

Порядок 8х: Поскольку закон сохранения вещества имеет первый порядок по производным, для уравнения (5) в порядке 81 мы не получим новых соотношений. Опуская данное уравнение, имеем систему уравнений

V 2р -

У^УТ; )=сР0т0Уп0v(Xoi )-Ур • V • ал,

V

2Тед Эgп , 2Тед дgо„ Тед ( к7т ЭР о 1

77 ЭРо , Ш Эg

+ж-

Эро ро

То р

ф; +

То2 Эфо

Т = ^ АОп

Т

о V

Эф

о У

-У р - ПоУ(ХоЬфо ))

(38)

где По = р80 / Г -; > о.

Предельные условия для фазового поля р; и температуры Т; при г ® ±: снова должны быть согласованы с внешними функциями [18] как:

(39)

Нш <р;(г) = Нт V <р;(г) = о,

г®±¥ г®±¥

Иш УТ;(г) = УТ(г)\

г®±

±о

(4о)

Интегрируя уравнение для Т; в бесконечном интервале и отождествляя производные на границах интервала с внешними решениями (4о), находим условие скачка потоков на границе фаз:

1 УТ(7)|+: = СроТоУПо + V •АЛо, (41)

обусловленное как усадкой, так и выделением скрытой теплоты фазового перехода. Уравнения теплопроводности внутри объемов фаз (29), (3о) дополненные граничными условиями (41) и условием непрерывности температуры, образуют температурную задачу Стефана [22].

Рассмотрим в (38) уравнение на р;. В частности, оператор Ь, действующий на р;:

< = У 2<;

То Эро2

р;

(42)

может быть получен прямым дифференцирование уравнения для ро в (33)

(

V

V 2Ро

Т Эg(

Л

То Э<

= У2 (Уро )-

Т Э2gо

Уро = Ь(Уро ) = о.

о У

То Эро2

Таким образом, Vро является нулевой модой оператора Ь, входящего в уравнение (38). Поскольку V ро входит в источник уравнения (36), его наличие приводит к резонансному росту решения р;, не совместимого с предположением о существовании асимптотического разложения (32). Чтобы избежать резонанса, потребуем ортогональности Vро и правой части уравнения (38) для р;, что приводит к условию:

V

^(АОо р 1 -а(Ур0 -пУр))

Т , Эр а

о У

Уро ёг = о,

или

- АОо -УI р - По у(Хоь ро )р ёг = о. Т а

(43)

(44)

Подставляя в интегралы выражение ро из (37): + ;

I (уро)2 ёг

3\

Т

ед

Т

, |у(ХоЬро рёг = -

Т

ед

Т

из выражения (44) находим:

V

3оа

(Ю + по И

Т -

То

(45)

Полученная формула (45), если пренебречь изменением плотности (по = о), переходит в аналогичное выражение из работы [14].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОБИЛЬНОСТИ ПО ДАННЫМ МД

Возвращаясь к размерным переменным, находим

V =

18оМ(8 (Ю + по) \

Т

АО.

Т

^ л

(46)

Для определения мобильности меди по данным молекулярной динамике использованы данные Хойта [23], по которым построена целевая функция вида

Ф(М о, Е о) = X (V, — V (М о, Ео, Тк) )2. (47)

Для анализа л андш афта целевой функции ее поверхность исследована численно, рис. 2. Из него видно, что целевая функция унимодальна, поэтому для уточнения минимума использован метод градиентного спуска. Дифференцируя (47) по неизвестным параметрам, находим уравнения движения по итерационному времени:

8Ф

Мп =—-

ЕЕ о =

8М о 8Ф

8Еп

В результате поиска минимума найдено, что для мобильности вида

М (= М о ехр(—Ео/ Т), значения параметров могут вы б р аны как:

М„ = Ю,о18-

м

Ео = 1689,71 К.

(48)

(49)

(5о)

Дж • с

На рис. 3 представлен график зависимости (46), при выборе (5о) (сплошная линия) по сравнению с данными Хойта (точки).

Рис. 2. Поверхность целевой функции (47)

Рис. 3. Сравнение расчетной кинетики с данными по молекулярной динамике [23]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе получена неизотермическая модель затвердевания однокомпонентных систем, основанная на потенциалах Гиббса реальных систем и температурных зависимостей плотностей фаз. Условия равновесия системы с зависящими от температуры плотностями вещества фаз показывают, что сохранение температуры фазового перехода в такой системе требует введения дополнительного слагаемого в э нергию Гиббса.

В работе рассмотрен предел резкой границы для полученной системы. В первом порядке по безразмерной толщине границы получено условие разрешимости модели, связывающее скорость движения фронта с разностью потенциалов Гиббса. Использование данных по моделированию фазового перехода в меди позволило получить зависимость коэффициента мобильности фазового поля (мобильности границы фазового перехода) в виде:

М(= Мо ехр(—Ео/ Т),

со значениями параметров:

3

Мо = 1о,о18—м—, Ео = 1689,71 К.

Дж • с

Полученная мобильность для движения плоского фронта, в силу того что влияние кривизны фронта на кинетику затвердевания проявляется в виде аддитивных вкладов, позволяет в дальнейшем провести моделирование процессов фазовых переходов в меди и роста дендритов. При наличии аналогичных данных по кинетики для других металлов, а также определении для них мобильностей, мобильность соответствующих растворов может быть получена через мобильности однокомпонентных систем с помощью линейной интерполяции по составу.

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке по проекту РФФИ № 18-02-00643, а также при частичной поддержке РФФИ и Правительства Удмуртской Республики в рамках научного проекта № 18-42-180002.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rowlinson J. S. Translation of J. D. van der Waals' "The thermodynamik theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density" // Journal of Statistical Physics, 1979, vol. 20, iss. 2, pp. 197-200.

2. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов. I // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1937. Т. 7. С. 19-32.

3. Гинзбург В. И., Ландау Л. Д. К теории сверхпроводимости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1950. Т. 20, № 12. C. 1064-1082.

4. Cahn J. W., Hilliard J. E. Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy // The Journal of Chemical Physics, 1958, vol. 28, iss. 2, pp. 258-267.

5. Cahn J. W. Theory of Crystal Growth and Interface Motion in Crystalline Materials // Acta Metallurgica, 1960, vol. 8, pp. 554-562.

6. Allen S. M., Cahn J. W. A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening // Acta Metallurgica, 1979, vol. 27, iss. 6, pp. 1085-1095.

7. Collins J. B., Levine H. Diffuse interface model of diffusion-limited crystal growth // Physical Review B, 1985, vol. 31, p. 6119(R).

8. Langer J. S. Models of pattern formation in first-order phase transitions // In Directions in Condensed Matter Physics, World Scientific, Singapore, 1986, vol. 1, pp. 165-186.

9. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1986, vol. 92, iss. 3, pp. 205-245.

10. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, Germany, 2010. 305 p.

11. Li J-R., Calhoun D., Brush L. Efficient thermal field computation in phase-field models // Journal of Computational Physics, 2009, vol. 228, pp. 8945-8957.

12. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems // Physical Review E, 2005, vol. 71, p. 046125.

13. Dinsdale A. T. SGTE data for pure elements // Calphad, 1991, vol. 15. iss. 4. pp. 317-425.

14. Лебедев В. Г., Лебедева А. А., Галенко П. К. О мезоскопическом описании локально-неравновесных процессов затвердевания чистых веществ // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2015. Т. 101, № 2. С. 143-147.

15. Hoyt J. J., Asta M., Karma A. Atomistic and continuum modeling of dendritic solidification // Materials Science and Engineering R, 2003, vol. 41, iss. 6, pp. 121-163.

16. Penrose O., Fife P. C. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetic of phase transitions // Physica D: Nonlinear Phenomena, 1990, vol. 43, iss. 1, pp. 44-62.

17. Novokreshchenova A. A., Lebedev V. G. Determining the Phase-Field Mobility of Pure Nickel Based on Molecular Dynamics Data // Technical Physics, 2017, vol. 62, iss. 4, pp. 642-644.

18. Kessler D. Sharp interface limits of a thermodynamically consistent solutal phase field model // Journal of Crystal Growth, 2001, vol. 224, iss. 1-2, pp. 175-186.

19. Зиновьев В. Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах. М.: Металлургия, 1989. 384 с.

20. Чиркин В. С. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. М.: Атомиздат, 1968. 484 с.

21. Дымников В. П. Избранные главы гидродинамики. М.: Изд-во ИВМ РАН, 1998. 97 с.

22. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, СО, 1986. 239 с.

23. Hoyt J. J., Sadigh B., Asta M., Foiles S. M. Kinetic phase field parameters for the Cu-Ni system derived from atomistic computations // Acta materialia, 1999, vol. 47, iss. 11, pp. 3181-3187.

DETERMINATION OF THE SOLIDIFICATION FRONT MOBILITY IN PURE COPPER BASED ON THE MOLECULAR DYNAMICS DATA

:Lebedeva A. A., 1,2Lebedev V. G., 2Ladyanov V. I.

1 Udmurt State University, Izhevsk, Russia

2 Udmurt Federal Research Center, Ural Brunch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The article presents a phase-field model of solidification of one-component systems taking into account the processes of shrinkage. It is studied the equilibrium conditions and the sharp interface limit of the model. The obtained results are used to determine the temperature dependence of the mobility of the interface migration by the directed solidification of pure copper in the framework of non-izotermical phase-field model by optimizing the results of molecular dynamics simulation. Thermodynamic calculations of the driving forces and the heat redistribution process during solidification are based on the actual Gibbs potentials for copper.

KEYWORDS: phase field, the interface dynamics, shrinkage, the sharp interface limit, phase field mobility. REFERENCES

1. Rowlinson J. S. Translation of J. D. van der Waals' "The thermodynamik theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density". Journal of Statistical Physics, 1979, vol. 20, iss. 2, pp. 197-200. https://doi.org/10.1007/BF01011513

2. Landau L. D. K teorii fazovykh perekhodov. I [To the theory of phase transitions. I]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics], 1937, vol. 7, pp. 19-32.

3. Ginzburg V. I., Landau L. D. K teorii sverkhprovodimosti[To the theory of superconductivity ]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics], 1950, vol. 20, no. 12, pp. 1064-1082.

4. Cahn J. W., Hilliard J. E. Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy. The Journal of Chemical Physics, 1958, vol. 28, iss. 2, pp. 258-267. http://dx.doi.org/10.1063/L1744102

5. Cahn J. W. Theory of Crystal Growth and Interface Motion in Crystalline Materials. Acta Metallurgica, 1960, vol. 8, pp. 554-562. https://doi.org/10.1016/0001 -6160(60)90110-3

6. Allen S. M., Cahn J. W. A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening. Acta Metallurgica, 1979, vol. 27, iss. 6, pp. 1085-1095. https://doi.org/10.1016/0001 -6160(79)90196-2

7. Collins J. B., Levine H. Diffuse interface model of diffusion-limited crystal growth. Physical Review B, 1985, vol. 31, p. 6119(R). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.31.6119

8. Langer J. S. Models of pattern formation in first-order phase transitions. In Directions in Condensed Matter Physics. World Scientific, Singapore, 1986, vol. 1, pp. 165-186. https://doi.org/10.1142/9789814415309 0005

9. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1986, vol. 92, iss. 3, pp. 205-245. https://doi.org/10.1007/BF00254827

10. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, Germany, 2010. 305 p.

11. Li J-R., Calhoun D., Brush L. Efficient thermal field computation in phase-field models. Journal of Computational Physics, 2009, vol. 228, pp. 8945-8957. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2009.08.022

12. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems. Physical Review E, 2005, vol. 71, p. 046125. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.71.046125

13. Dinsdale A. T. SGTE data for pure elements. Calphad, 1991, vol. 15. iss. 4. pp. 317-425. https://doi.org/10.1016/0364-5916f9n90030-N

14. Lebedev V. G., Lebedeva А. А., Galenko P. K. On the mesoscopic description of locally nonequilibrium solidification of pure substances. Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, 2015, vol. 101, no. 2, pp. 136-140. https://doi.org/10.1134/S0021364015020101

15. Hoyt J. J., Asta M., Karma A. Atomistic and continuum modeling of dendritic solidification. Materials Science and Engineering R, 2003, vol. 41, iss. 6, pp. 121-163. https://doi.org/10.1016/S0927-796Xf03100036-6

16. Penrose O., Fife P. C. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetic of phase transitions. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1990, vol. 43, iss. 1, pp. 44-62. https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90015-H

17. Novokreshchenova A. A., Lebedev V. G. Determining the Phase-Field Mobility of Pure Nickel Based on Molecular Dynamics Data. Technical Physics, 2017, vol. 62, iss. 4, pp. 642-644. https://doi.org/10.1134/S1063784217040181

18. Kessler D. Sharp interface limits of a thermodynamically consistent solutal phase field model. Journal of Crystal Growth, 2001, vol. 224, iss. 1-2, pp. 175-186. https://doi.org/10.1016/S0022-0248(01 )00814-4

19. Zinovjev V. E. Teplophisicheskije svojstva metallovpri vysokih temperaturah [Thermophysical properties of metals at high temperatures]. Moscow: Metallurgija Publ., 1989. 384 p.

20. Chirkin V. S. Teplophisicheckie svojstva materialov jadernoj tehniki [Thermophysical properties of materials of nuclear engineering]. Moscow: Atomizdat Publ., 1968. 484 p.

21. Dymnikov V. P. Izbrannye glavy gidrodynamiki [Selected chapters of hydrodynamics]. Moscow: IVM RAN Publ., 1998. 97 p.

22. Mejrmanov A. M. Zadacha Stefana [Stefan's task]. Novosibirsk: Nauka, SO Publ., 1986. 239 p.

23. Hoyt J. J., Sadigh B., Asta M., Foiles S. M. Kinetic phase field parameters for the Cu-Ni system derived from atomistic computations. Acta materialia, 1999, vol. 47, iss. 11, pp. 3181-3187. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(99)00189-5

Лебедева Алла Анатольевна, инженер лаборатории компьютерной физики ИМИТИФ УдГУ, тел. 9(3412)916-130, e-mail: alla091081@gmail.com

Лебедев Владимир Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретической физики ИМИТИФ УдГУ, старший научный сотрудник НЦМФМ УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: lvg@udsu.ru

Ладьянов Владимир Иванович, доктор физико-математических наук, руководитель Научного центра МФМ УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: las@udman.ru