CC BY
43
УДК 536.491:53.044:519.633.2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕННОГО РОСТА ДЕНДРИТОВ №-20%Л1 В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
1,2обухов а. а., 1лебедев в. г., 1новикова т. а., 2обухов а. в.
1Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 2НПО МКМ, 426072, г. Ижевск, ул. Героя России И. Закирова, 24
АННОТАЦИЯ. В работе представлена фазово-полевая модель затвердевания, описывающая кинетику роста дендрита в неизотермических условиях на основе потенциалов Гиббса жидкой фазы и фазы FCC Ni-Al при мольной концентрации алюминия, меньшей 20 %. В целях простоты, взаимное влияние дендритов друг на друга учитывается только через перераспределение примеси в жидкой фазе. Динамика примеси в каждой из фаз описывается отдельным уравнением диффузии. Каждому дендриту сопоставлено отдельное фазовое поле. Начальное положение зародыша и его ориентация определяются случайным образом. Направление затвердевания задается внешним градиентом температуры. Влияние ориентации дендритов на скорость роста связано с анизотропией коэффициентов модели. В результате моделирования полученных уравнений на расчетной сетке 200*200*200 ячеек изучен одновременный рост нескольких дендритов, что позволяет качественно сравнить имеющуюся модель с ранее выполненными расчетами.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическое моделирование, дендрит, фазовое поле, микроструктура, потенциалы Гиббса.
ВВЕДЕНИЕ
На протяжении многих лет внимание исследователей привлекали структуры, возникающие при дендритном росте кристаллов [1, 2]. Большая часть эстетической привлекательности этих структур берет начало из иерархии первичных, вторичных, и высшего порядка ветвей. Как правило, ветви растут вдоль основных кристаллографических осей, хотя наблюдаются также нетипичные направления роста. Формирование дендритных микроструктур происходит в широком спектре процессов затвердевания, начиная с литья и заканчивая сваркой. Эти микроструктуры - результат морфологической неустойчивости границы раздела между твердой и жидкой фазами. По мере вытеснения примеси в междендритную жидкость в процессе затвердевания, формируется пространственно неоднородное распределение примеси в полностью затвердевшем сплаве. Дендритная структура также определяет формирование и распределение вторичных фаз, и, следовательно, имеет глубокое влияние на свойства широкого интервала технологически важных конструкционных материалов, от легких алюминиевых сплавов, применяемых в автомобильной промышленности до суперсплавов на основе никеля, используемых для турбинных лопаток. Кроме того, изучение дендритного роста имеет давний фундаментальный интерес из-за повсеместности разветвленных структур, возникающих в разнообразных самоорганизующихся системах [3 - 4].
Основные теоретические и вычислительные достижения за последние два десятилетия улучшили фундаментальное понимание процесса роста дендритов, дали новые возможности для моделирования и прогнозирования дендритных микроструктур на экспериментально существенных длинах и временах [5]. Эти достижения позволили выяснить новые механизмы структурообразования [6], что расширило масштабы понимания этих структур.
Теоретические представления о процессе формирования дендритов были в значительной степени подтверждены в последние несколько лет с помощью численного моделирования роста дендритов методом фазового поля для малых [7] и высоких темпов
роста [8]. Но, хотя метод фазового поля стал в последнее время основным инструментом моделирования дендритных структур [9], он сохранил в себе многие артефакты, присущие методу, с момента своего возникновения. В частности, это относится к проблеме затвердевания концентрированных растворов, которая является одной из центральных проблем метода фазового поля. Термодинамические основы затвердевания концентрированных растворов с резкой границей были заложены Хиллертом [10], но не использовались в фазово-полевых моделях до недавнего времени. Движущие силы, подобные конструкции Хиллерта, были введены в феноменологической модели Штайнбаха [11]. Однако подход Штайнбаха, перемешивающий термодинамические и фазово-полевые переменные в движущих силах, не допускает предела «резкой границы» [12] и термодинамически не согласован. В работе [13] также обсуждается конструкция Хиллерта, но в качестве движущей силы используется разность потенциалов Гиббса. Более последовательный подход к затвердеванию концентрированных растворов предложен в работе [14].
Данная работа направлена на обобщение результатов [14] для случая неизотермической многофазной системы. С целью качественного анализа полученной модели выполнено сравнительное моделирование дендритных структур в №-Л1.
МЕТОД ФАЗОВОГО ПОЛЯ
Наличие резких, постоянно меняющихся границ между жидкостью и дендритом, делает описание процесса формирования дендритов в трехмерном пространстве сложной задачей [15]. Вместо явного отслеживания точных границ дендритов, метод фазового поля контролирует динамику некоторой функции ф, называемой фазовым полем. Функция ф, по сути, является параметром порядка, принимающим однозначные значения внутри объемов фаз.
По сравнению с другими подходами к задаче описания роста дендритов, метод фазового поля имеет существенное преимущество, допуская возможность термодинамического обоснования. Поэтому этот метод давно и успешно используется при описании фазовых переходах первого рода [16], задачах образования трещин [17], моделирования многофазных материалов [18] и т.д. Параметр порядка позволяет описать диффузионную границу между твёрдой и жидкой фазами непрерывным образом. На диффузной границе фазовое поле ф изменяется достаточно резко, оставаясь непрерывной и дифференцируемой функцией в интервале значений от нуля до единицы.
Расширение фазового пространства состояний за счет введения фазовых полей позволяет описать физические характеристики системы непрерывным образом. При этом для интерполяции величин в пространстве обычно используется модельная функция вида:
рф) = ф (3 - 2ф), (1)
описывающая плавную ступеньку на единичном интервале. Другой интерполяционной функцией в методе фазового поля, часто используемой для описания межфазных энергетических барьеров, является g(ф) - модельная функция вида:
Е (ф) = ф -ф)2. (2)
Несмотря на кажущийся произвол в выборе интерполяционных функций р(ф) и Е(ф), в работе [19] показано, что существенными свойствами этих функций, сохраняющимися в пределе резкой границы, являются лишь их значения и значения их производных на границе единичного интервала. Поэтому выбор (1) - (2) является наиболее простым способом удовлетворить данным требованиям.
Наличие диффузной границы также позволяет описать плотность поверхностной энергии между фазами как
|(Ш)2, (3)
связав параметр а с коэффициентом поверхностного натяжения
(4)
где ö - полуширина диффузной границы [19].
ТЕРМОДИНАМИКА И ДВИЖУЩИЕ СИЛЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
Явления, описываемые фазовым полем имеют мезоскопические характерные масштабы и связаны с расстояниями порядка 10"' - 10-8 1 м. На таких масштабах справедливо представление «сплошной среды» и возможно использование аппарата уравнений частных производных и принципов неравновесной термодинамики. Это выгодно отличает метод фазового поля как от макроскопического описания, представленного законами сохранения и фазовыми диаграммами, так и от микроскопических методов, таких как молекулярная динамика, требующих слишком детального описания системы.
Термодинамические основы метода фазового поля тесно связаны с развитием вычислительной термодинамики [20], возникновение которой пришлось на 80-е годы XX века. Для чистых веществ данные по потенциалам Гиббса можно найти в [21], для бинарных систем - в базе данных NIMS [19], для более сложных систем - в журналах Calphad, Intermetallics, и т.д.
Несмотря на успехи, достигнутые с помощью вычислительной термодинамики, использование метода фазового поля для задач структурообразования до недавнего времени в значительной степени ограничивалось модельными потенциалами, в частности, по причине отсутствия свободного доступа к базам данных по потенциалам Гиббса. Работы, выполненные на основе потенциалов Гиббса для реальных (например, [22, 23]), а не модельных систем, в основном используют коммерческие пакеты типа ThermoCalc [24] или Pandat [25]. Достоинства и недостатки такого подхода достаточно очевидны. К достоинствам можно отнести простоту использования термодинамического описания фаз, поскольку многие классы веществ уже «зашиты» в пакеты, а к недостаткам относятся высокая стоимость термодинамических пакетов и замедление времени расчетов из-за сопряжения с внешним (по отношению к расчетному) пакетом программ. По этим причинам, далее мы ограничимся задачей роста дендритов из 20%-ного расплава Al в Ni, используя для расчетов данные из открытой базы NIMS [26]. При указанном ограничении (20 %) достаточно рассмотреть потенциалы Гиббса для жидкой фазы и фазы FCC твердого раствора Al-Ni. Каждый из дендритов будет описываться собственным фазовым полем фк, сумма которых для N дендритов, вместе с фазовым полем жидкой фазы ф0 в каждой точке пространства и в каждый момент времени должна быть равна единице:
N
Yjjk = 1 (5)
к=1
Предполагая, в целях простоты, что растущие дендриты оказывают влияние друг на друга только через перераспределение примеси в расплаве, будем учитывать лишь переходы из жидкой фазы в фазу FCC. Соответствующие доли единицы объема, занятые дендритом с номером к определим как рк=р(фк), а долю жидкой фазы как
N
Р0 ° рШ =1 - Z Рк. (6)
к=1
Для неизотермической многофазной системы управляющим параметром является полная энтропия, которая может быть записана как интеграл по объему от суперпозиции производных по температуре от объемных плотностей потенциалов Гиббса Окг отдельных фаз [27]:
N 1 N
Б = -{ X РОк (Т, Хк ) + Wg({р}) + - X ^ $<Рк)
2 к=1
к=0 ^ к=1
(V, (7)
где градиентное слагаемое учитывает наличие межфазных границ, выражено из соотношения (5), а функция g задает потенциальный барьер между фазами, по аналогии с выражением (2):
g ({р}) = 1 Ро2 ЕРк2- (8)
4 к
Величина хк в выражении (7) соответствует мольной концентрации примеси (А1) в к-й фазе.
Для большинства моделей в качестве движущих сил фазового перехода выступала разность потенциалов Гиббса различных фаз, хотя это и противоречит известным термодинамическим представлениям о фазовых переходах. Причина этого лежит в общем непонимании того, как перенести известные движущие силы фазового перехода на резкой границе [10] на модель фазового поля с диффузной границей [11, 13]. Поскольку термодинамические движущие силы являются основной проблемой современных моделей фазового поля, коротко остановимся на точке зрения Хиллерта для задачи с резкой границей [10], представленной на рис. 1. с помощью модельных потенциалов Гиббса.
2
Плотность потенциала Гиббса
Плотность потенциала Гиббса
£
Концентрация
А
г1 I
■У
Концентрация
а)
б)
Рис. 1. Расширенное пространство состояний в бинарной системе при наличии двух фаз: а) - потенциалы Гиббса двух фаз при некоторой температуре Т; б) - поверхность в расширенном пространстве состояний с помощью фазового поля ф
При заданных концентрациях хь и хБ на границе раздела фаз, касательные к потенциалам Гиббса в точках А и В определяют химические потенциалы д?(хБ) и ^ь(хь) (точнее разность химических потенциалов компонент) соответственно. Движущие силы фазового перехода на рис. 2 равны величинам вертикальных отрезков ВА и ЕВ, отсекаемых линиями химических потенциалов и параллельными к ним. В данной ситуации переход Ь ^ Б (затвердевание) возможен, поскольку линия химического потенциала к фазе Ь пересекает график потенциала Гиббса фазы Б. Эта линия проходит через точку В, лежащую выше точки А, при концентрации хБ. Поэтому переходу Ь ^ Б на рис. 2 соответствует положительная движущая сила 0:
пь* = ОЬ (Т, хь) - а* (Т, х*)-т (Т, ХЬ )(х* - х£), (9)
геометрически представленная направленным отрезком ПЛ. Поскольку линия химического потенциала к фазе * проходит (через точку Е при концентрации хь) вне графика фазы Ь, движущая сила
пЬ = О* (Т, х*) - ОЬ (Т, Хь) -т (Т, Х*)(х* - Хь), (10)
соответствующая направленному отрезку ЕВ на рис. 2, будет отрицательной (й*ь<0).
Следовательно, процесс плавления * ^ Ь происходить не может. Полная движущая сила фазового перехода (затвердевания на рис. 2) разделяется, по Хиллерту [18, 19], на движущую силы кинетики межфазной границы СЛ=\@$ь\ и движущую силы диффузии через межфазную границу ВС=\Оьз\ - \Я$ь\.
■и
10
г11
Ш>
.V и,5 х '
Концентрация, мольные доли
1,0
Рис. 2. Модельные потенциалы Гиббса и движущие силы: для фазового перехода Ь ^ S и для перехода S ^ Ь
Исходя из условия монотонного роста энтропии в процессе релаксации к равновесию > 0, с учетом разделения общего уравнения диффузии на уравнения диффузии для каждой из фаз в отдельности, по аналогии с [22], нетрудно показать, что выражения (9) и (10) действительно появляются в движущих силах для уравнений фазовых полей.
УРАВНЕНИЯ КИНЕТИКИ РОСТА ДЕНДРИТА
Предполагая справедливым закон сохранения внутренней энергии при наличии нескольких фаз, из изменения внутренней энергии находим уравнение теплопроводности
С Т = -УЛ + -Фк -1 ркфк (0к - ТОТ) -1 ркхк (тк - ТтТ),
к офк к к
(11)
где JT - тепловой поток, рк = Ър(срк)/дрк, а ОТ, тТ - частные производные от плотностей потенциалов Гиббса и химпотенциалов по температуре. Теплоемкость С равна
Ср =-ТХРкОТТ , (12)
к
где Ок[Т - втроая производная потенциалов Гиббса по температуре.
Соответствующий закон сохранения вещества, следуя [22], запишем отдельно для каждой из фаз, учитывая предположение об обмене примесью только через жидкую фазу. Тогда, получим:
- для твердых фаз
Ркхк = -(хк - х0)ркРкв(рк) - V • Jk + Рк,
- для жидкой фазы
N
Р0 х 0= -Х (хк - х0)рРк Р'кв(-Фк ) -V• J 0 + ^0.
к=1
(13)
(14)
где К0 = -X К - источники обмена примесью через границу фаз, Jk - диффузионные
к =1
потоки.
Складывая уравнения диффузии для всех фаз, получим закон сохранения средней по фазам примеси
N
х=X Ркхк.
к=0
Вычисляя производную по времени от энтропии (7), и выражая производные от концентрации из уравнений (13) - ( 14), из условия возрастания энтропии, находим
К =
1
к 2ЯТ 0
Ч 0 с2к0 0(рк
(15)
где Я - газовая постоянная, ч0>0 - кинетический параметр обмена, а величина
Ск 0 = хкРк&(-АМк 0) + х0 Р0&(АМк 0Х
определяет наличие примеси на границе, в зависимости от соотношения химических потенциалов фаз Ацк0 =тк - .
Полученные уравнения динамики, с учетом анизотропии [37] имеют вид:
- для фазового поля:
( Л"
т(п )фк = Ы.
V((Гк -VРк)-1 ^(п)+ Р'(0к - О° - (хк - х0)(мЛФк)-М00(-Фк))) Т др.
(16)
гдет(Я) - время кинетики фазового поля и W(п) - величина толщины анизотропной границы определяются так
10 ас(п)
т(п) = т0 ас (п)ак (п)
1 + а г,
ар0 ак(п)
W (п ) = Wо ас (п ),
(17)
где т0 - временная шкала для кинетики фазового поля, параметр толщины границы W0 = К0/а1, где а1 = (5/8)212 и а2 = 0,6267. Анизотропия межфазной энергии задается с
■•0/ ' помощью величин
ас (п) = 7 = (1 - 3*с)
70
1 +
(п4+плу + п4) 1 - 3е х у
(18)
где 7(п) - поверхностная энергия, 70 - среднее значение межфазной энергии вдоль границы раздела, ес - параметр анизотропии. Анизотропия кинетики прилипания атомов к границе задается
ак (П) = ДП = (1 - 3*к ) Д0
4е
1 + 3е
(п4х + п4у + Пг4)
(19)
где Д(П) - кинетический коэффициент, Д0 - усредненный коэффициент кинетического
вдоль границы раздела, ек - параметр анизотропии. Выражение при р' в (16) определяет
движущую силу межфазной границы, и очевидно, совпадает с ожидаемым выражением по Хиллерту [12, 18];
- выражения для диффузионного и теплового потоков:
к = 0... N,
Jk = -Мк У
Т
V 1 у
Jт = -Мт уГ ^
(20) (21)
где М , М к, МТ - соответствующие положительно определенные мобильности.
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Уравнения (11), (13) - ( 21) образуют полную систему уравнений, которая совместно с потенциалами Гиббса для №-20%А1 [25] численно решалась в трехмерном случае для задачи направленного роста, задаваемом градиентом температуры. Параметры анизотропии взяты из работы [28]. Для сравнения исследовался рост дендритов при начальном, однородном по пространству переохлаждением с учетом и без учета выделения тепла в уравнении (11).
На рис. 3. представлен рост одного дендрита из сферического зародыша с начальным переохлаждением 80 °С. Грани роста ориентированы по сетке, хорошо видны первичные и вторичные ветви дендрита. Расстояние между вторичными ветвями 0,4 мкм.
1
Рис. 3. Размер области 5,4 мкм. Расстояние между вторичными ветвями 0,4 мкм. Начальное переохлаждение 80 °С; размер сетки 200x200x200. Грани роста зародыша ориентированы по сетке
На рис. 4. показаны концентрация в жидкой фазе, концентрация в твердой фазе и температурное поле. Концентрация в твердой фазе и жидкой отличаются, причем из рисунка видно, что происходит сегрегация в жидкость.
а) б) в)
Рис. 4. Концентрация в жидкой фазе (а), концентрация в твердой фазе (б) и температурное поле (в) соответственно
На рис. 5. показан рост пяти дендритов. Начальное переохлаждение выбрано 120 °С, с такой температурой получились иглообразные дендриты. В отличие от рис. 3, где грани роста зародыша ориентированы по сетке, на рис. 5 грани роста ориентированы произвольно. Направление роста основной ветви направлено произвольно вверх, при этом начальный градиент температуры направлен вверх по оси 2, что заставляет выбрать основное направление роста дендритов в одном направлении.
Рис. 5. Размер сетки 200x200x200. Грани роста зародыша ориентированы произвольно по сетке. Градиент температуры направлен вверх (по Z координате). Начальное переохлаждение 120 °С
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе представлена модель фазового поля, описывающая кинетику роста дендрита в неизотермических условиях. В модели были использованы потенциалы Гиббса жидкой фазы и фазы FCC Ni-Al при мольной концентрации алюминия, меньшей 20 %. Для простоты расчетов взаимное влияние дендритов друг на друга учитывалось только через перераспределение примеси в жидкой фазе. Каждому дендриту сопоставлено отдельное
фазовое поле, а динамика примеси в каждой из фаз описывалась отдельным уравнением диффузии. Начальное положение зародыша и его ориентация определялись случайным образом. Направление затвердевания задавалось внешним градиентом температуры. Влияние ориентации дендритов на скорость роста связано с анизотропией коэффициентов модели. В результате моделирования полученных уравнений на расчетной сетке 200*200*200 ячеек изучен одновременный рост, как нескольких дендритов, так и одного дендрита, что позволяет качественно сравнить имеющуюся модель с ранее выполненными расчетами.
В дальнейшем планируется учитывать изменение концентрации твердой фазы. Рассмотреть влияние различных модификаторов на внутреннюю дендритную структуру, и скорость зародышеобразования. Обобщить фазово-полевую модель на случаи эвтектического и перитектического затвердевания. Учитывая кинетику роста дендрита перейти от моделирования единичного дендрита к зеренной структуре.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Langer J. S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics, 1980, vol. 52, iss. 1, pp. 1-28. doi: 10.1103/RevModPhys.52.1
2. Haxhimali T., Karma A., Gonzales F., Rappaz M. Orientation selection in dendritic evolution // Nature Materials, 2006, vol. 5, iss. 8, pp. 660-664. doi: 10.1038/nmat1693
3. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth // Nature, 1990, vol. 343, no. 6258, pp. 523-530. doi: 10.1038/343523a0
4. Drolet F, Elder K. R., Grant M., Kosterlitz J. M. Phase-field modeling of eutectic growth // Physical Review E, 2000, vol. 61. iss. 6. pp. 6705-6720. doi: 10.1103/PhysRevE.61.6705
5. Boettinger W. J., Warren J. A., Beckermann C., Karma A. Phase-field simulation of solidification // Annual Review of Materials Research, 2002, vol. 32, pp. 163-194. doi: 10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803
6. Granasy L., Ratkai L., Szallas A., Korbuly B., Toth G. I., Kornyei L., Pusztai T. Phase-Field Modeling of Polycrystalline Solidification: From Needle Crystals to Spherulites - A Review // Metallurgical and Materials Transactions A, 2014, vol. 45, iss. 4, pp. 1694-1719. doi: 10.1007/s11661-013-1988-0
7. Karma A., Rappel W. J. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions // Physical Review E, 1998, vol. 57, iss. 4, pp. 4323-4349. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.57.4323
8. Bragard J., Karma A., Lee Y. H., Plapp M. Linking phase-field and atomistic simulations to model dendritic solidification in highly undercooled melts // Interface Science, 2002, vol. 10, pp. 121-136. doi: 10.1023/A: 1015815928191
9. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. Weinheim // Wiley-VCH, 2010, pp. 254. doi: 10.1002/9783527631520.ch1
10. Hillert M., Rettenmayr V. Deviation from local equilibrium at migrating phase inter phase // Acta Materialia, 2003, vol. 51, iss. 10, pp. 2803-2809. http://dx.doi.org/10.1016/S1359-6454(03)00085-5
11. Steinbach I., Zhang L., Plapp M. Phase field model with finite interface dissipation // Acta Materialia, 2012, vol. 60, iss. 6-7, pp. 2689-2701. http://dx.doi.org/10.1016/j.actamat.2012.01.035
12. Kessler D. Sharp interface limits of a thermodynamically consistent solutal phase field model // Journal of Crystal Growth, 2001, vol. 224, pp. 175-186. doi: 10.1016/S0022-0248(01)00814-4
13. Wang H., Galenko P. K., Zhang X., Kuang W., Liu F., Herlach D. M. Phase-field modeling of an abrupt disappearance of solute drag in rapid solidification // Acta Materialia, 2015, vol. 90, pp. 282-291. http://dx.doi. org/10.1016/j. actamat. 2015.02.021
14. Лебедев В. Г., Галенко П. К. Высокоскоростное затвердевание и плавление концентрированных растворов и конструкция параллельных Хиллерта // Расплавы. 2016. Т. 5. C. 421-433.
15. Gurtin M. E., Voorhees P. W. The thermodynamics of evolving interfaces far from equilibrium // Acta Materialia, 1996, vol. 44, iss. 1, pp. 235-247. https://doi.org/10.1016/1359-6454(95)00139-X
16. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems // Physical Review E, 2005, vol. 71, pp. 046125. doi: 10.1103/PhysRevE.71.046125
17. Karma A., Levine H., Kessler D. Phase-Field Model of Mode-III Dynamic Fracture // Physical Review Letters, 2001, vol. 87, iss. 4, pp. 045501-5504. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.045501
18. Singer-Loginova I., Singer H. M. The phase field technique for modeling multiphase materials // Reports on Progress in Physics, 2008, pp. 71. doi: 10.1088/0034-4885/71/10/106501
19. Available at: http://cpddb.nims.go.jp/cpddb/periodic.htm (accessed January 25, 2017).
20. Hillert M. Phase Equilibia, Phase Diagrams and Phase Transformations: their thermodynamic basis. UK, Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 510 p.
21. Dinsdale A. T. SGTE data for pure elements // Calphad, 1991, vol 15, iss 4, pp. 317-425. https://doi.org/10.1016/0364-5916(91)90030-N
22. Eiken J. Phase-field simulation of microstructure formation in technical magnesium alloys // International Journal of Materials Research (formerly Zeitschrift fuer Metallkunde), 2010, vol. 101, iss. 4, pp. 503-509. doi: 10.3139/146.110302
23. Zhu J. Z., Wang T., Ardell A. J., Zhou S. H., Liu Z. K., Chen L. Q. Three-dimensional phase-field simulations of coarsening kinetics of y' particles in binary Ni-Al alloys // Acta Materialia, 2004, vol. 52. pp. 28372845. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.actamat.2004.02.032
24. Available at: http://www.thermocalc.com/products-services/databases/ (accessed January 25, 2017).
25. Available at: http://www.computherm.com (accessed January 25, 2017).
26. Available at: http://cpddb.nims.go.jp/cpddb/periodic.htm (accessed January 25, 2017).
27. Danilov D. A., Lebedev V. G., Galenko P. K. A grand potential approach to phase-field modeling of rapid solidification // Journal Non-Equilibrium Thermodynamics, 2014, vol. 39, iss. 2, pp. 93-111. doi: 10.1515/jnetdy-2013-0032
28. Galenko P. K., Herlach D. M., Phanikumar G., Funke O. Phase-Field Modeling of Dendritic Solidification in Undercooled Droplets Processed by Electromagnetic Levitation // Materials Science Forum, 2006, vol. 508. pp. 431-435. doi: 10.4028/www.scientific.net/MSF.508.431
MATHEMATICAL MODELING OF THE DIRECTED GROWTH OF DENDRITES OF NI-20% AL IN NON-ISOTHERHERMAL CONDITIONS
1,2Obuhov A. A., 1Lebedev V. G., 1Novikova T. A., 2Obuhov A. V.
:Udmurt State University, Izhevsk, Russia 2MKM Ltd., Izhevsk, Russia
SUMMARY. The paper presents a phase-field model of solidification that describes the kinetics of dendrite growth under non-isothermal conditions on the basis of the Gibbs ' potentials of the liquid phase and the FCC of phase Ni-Al with the molar concentration of aluminum less than 20 %. For the purposes of simplicity, the mutual influence of dendrites on each other is taken into account only through redistribution of the solute in liquid phase. Dynamics of an solute in each phase is described by a separate diffusion equation. Each dendrite is mapped to a separate phase field. The set of equation consistently with Gibbs potentials for Ni-20%Al was obtained and solved for the 3d-problem of directed growth which is initiated by temperature gradient. The growth of the dendrite from the spherical nucleus under initial undercooling 80 °C was obtained. Grains of the growing nucleus are oriented according to the grid, primary and secondary dendrite arms are clearly seen. Secondary dendrite arm spacing is 0.4 mkm. The resulting fields of concentrations in liquid and solid phases and temperature were obtained. Concentration in liquid phase differs from the concentration in solid phase, and according to the simulation results it is shown that the segregation goes into the liquid. Also the growth of 5 dendrites is presented. Initial undercooling was 120 °C, needle-shaped dendrites were obtained using that condition, it was observed that grains of the growing nucleus are undirected. The growth direction of the general arm is oriented randomly upwards, and the initial temperature gradient is directed up along the z-axis, that forces dendrites to choose main growth direction along the same line. The initial position of the embryo and its orientation are determined at random. The direction of solidification is specified with an external temperature gradient. The effect of orientation of dendrites on the growth rate is determined by anisotropy of coefficients of the model. As result of simulation of the received equations on the calculation grid 200*200*200 cells simultaneous growth of several dendrites was studied what allows to compare qualitatively the present model with earlier made calculations.
KEYWORDS: mathematical modeling, dendrite, phase-field, microstructure, the Gibb's potentials.
REFERENCES
1. Langer J. S. Instabilities and pattern formation in crystal growth. Reviews of Modern Physics, 1980, vol. 52, iss. 1, pp. 1-28. doi: 10.1103/RevModPhys.52.1
2. Haxhimali T., Karma A., Gonzales F., Rappaz M. Orientation selection in dendritic evolution. Nature Materials, 2006, vol. 5, iss. 8, pp. 660-664. doi: 10.1038/nmat1693
3. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth. Nature, 1990, vol. 343, no. 6258, pp. 523-530. doi: 10.1038/343523a0
4. Drolet F, Elder K. R., Grant M., Kosterlitz J. M. Phase-field modeling of eutectic growth // Physical Review E, 2000, vol. 61. iss. 6. pp. 6705-6720. doi: 10.1103/PhysRevE.61.6705
5. Boettinger W. J., Warren J. A., Beckermann C., Karma A. Phase-field simulation of solidification. Annual Review of Materials Research, 2002, vol. 32, pp. 163-194. doi: 10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803
6. Granasy L., Ratkai L., Szallas A., Korbuly B., Toth G. I., Kornyei L., Pusztai T. Phase-Field Modeling of Polycrystalline Solidification: From Needle Crystals to Spherulites - A Review // Metallurgical and Materials Transactions A, 2014, vol. 45, iss. 4, pp. 1694-1719. doi: 10.1007/s11661-013-1988-0
7. Karma A., Rappel W. J. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions. Physical Review E, 1998, vol. 57, iss. 4, pp. 4323-4349. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.57.4323
8. Bragard J., Karma A., Lee Y. H., Plapp M. Linking phase-field and atomistic simulations to model dendritic solidification in highly undercooled melts // Interface Science, 2002, vol. 10, pp. 121-136. doi: 10.1023/A: 1015815928191
9. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. Weinheim // Wiley-VCH, 2010, pp. 254. doi: 10.1002/9783527631520.ch1
10. Hillert M., Rettenmayr V. Deviation from local equilibrium at migrating phase inter phase // Acta Materialia, 2003, vol. 51, iss 10, pp. 2803-2809. http://dx.doi.org/10.1016/S1359-6454(03)00085-5
11. Steinbach I., Zhang L., Plapp M. Phase field model with finite interface dissipation // Acta Materialia, 2012, vol. 60, iss. 6-7, pp. 2689-2701. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.actamat.2012.01.035
12. Kessler D. Sharp interface limits of a thermodynamically consistent solutal phase field model // Journal of Crystal Growth, 2001, vol. 224, pp. 175-186. doi: 10.1016/S0022-0248(01)00814-4
13. Wang H., Galenko P. K., Zhang X., Kuang W., Liu F., Herlach D. M. Phase-field modeling of an abrupt disappearance of solute drag in rapid solidification // Acta Materialia, 2015, vol. 90, pp. 282-291. http://dx.doi. org/10.1016/j. actamat. 2015.02.021
14. Lebedev V. G., Galenko P. K. Vysokoskorostnoe zatverdevanie i plavlenie kontsentrirovannykh rastvorov i konstruktsiya parallel'nykh Khillerta [High speed solidification and melting of concentrated solutions and parallel design Hillert]. Russian metallurgy (Metally), 2016, vol. 5, pp. 421-433.
15. Gurtin M. E., Voorhees P. W. The thermodynamics of evolving interfaces far from equilibrium // Acta Materialia, 1996, vol. 44, iss. 1, pp. 235-247. https://doi.org/10.1016/1359-6454(95)00139-X
16. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems // Physical Review E, 2005, vol. 71, pp. 046125. doi: 10.1103/PhysRevE.71.046125
17. Karma A., Levine H., Kessler D. Phase-Field Model of Mode-III Dynamic Fracture. Physical Review Letters, 2001, vol. 87, iss. 4, pp. 045501-5504. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.045501
18. Singer-Loginova I., Singer H. M. The phase field technique for modeling multiphase materials // Reports on Progress in Physics, 2008, pp. 71. doi: 10.1088/0034-4885/71/10/106501
19. Available at: http://cpddb.nims.go.jp/cpddb/periodic.htm (accessed January 25, 2017).
20. Hillert M. Phase Equilibia, Phase Diagrams and Phase Transformations: their thermodynamic basis. UK, Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 510 p.
21. Dinsdale A. T. SGTE data for pure elements // Calphad, 1991, vol 15, iss 4, pp. 317-425. https://doi.org/10.1016/0364-5916(91)90030-N
22. Eiken J. Phase-field simulation of microstructure formation in technical magnesium alloys // International Journal of Materials Research (formerly Zeitschrift fuer Metallkunde), 2010, vol. 101, iss. 4, pp. 503-509. doi: 10.3139/146.110302
23. Zhu J. Z., Wang T., Ardell A. J., Zhou S. H., Liu Z. K., Chen L. Q. Three-dimensional phase-field simulations of coarsening kinetics of y' particles in binary Ni-Al alloys // Acta Materialia, 2004, vol. 52. pp. 2837-2845. http://dx.doi.org/10.1016Zj.actamat.2004.02.032
24. Available at: http://www.thermocalc.com/products-services/databases/ (accessed January 25, 2017).
25. Available at: http://www.computherm.com (accessed January 25, 2017).
26. Available at: http://cpddb.nims.go.jp/cpddb/periodic.htm (accessed January 25, 2017).
27. Danilov D. A., Lebedev V. G., Galenko P. K. A grand potential approach to phase-field modeling of rapid solidification // Journal Non-Equilibrium Thermodynamics, 2014, vol. 39, iss. 2, pp. 93-111. doi: 10.1515/jnetdy-2013-0032
28. Galenko P. K., Herlach D. M., Phanikumar G., Funke O. Phase-Field Modeling of Dendritic Solidification in Undercooled Droplets Processed by Electromagnetic Levitation // Materials Science Forum, 2006, vol. 508. pp. 431-435. doi: 10.4028/www.scientific.net/MSF.508.431
Обухов Александр Андреевич, магистрант УдГУ, НПО МКМ, e-mail: obuh87@bk.ru
Лебедев Владимир Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретической физики УдГУ, тел. (3412)916-130, e-mail: lvg@udsu.ru
Новикова Татьяна Алевтиновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей физики УдГУ, тел. (3412)916-139, e-mail: Novikovata 72@mail. ru
Обухов Андрей Владимирович, НПО МКМ, e-mail: oav1961@mail.ru
