CC BY
50
ФОРМИРОВАНИЕ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ С ПОМОЩЬЮ ВИНТОВЫХ ФАЗОВЫХ ДОЭ
Хонина С.Н., Алмазов А. А.* Институт систем обработки изображений РАН;
* Самарский государственный аэрокосмический университет.
Аннотация
Данная работа посвящена расчёту энергетически эффективных винтовых фазовых дифракционных оптических элементов (ДОЭ) вида ехр(1тф) для формирования мод Гаусса-Лагерра, х¥0т(г, <р), \т\<М. ДОЭ рассчитываются по модифицированному методу Лезема. Для элементов, работающих с плоской освещающей волной, осуществляется расчёт оптимального радиуса апертуры. В случае освещения гауссовым пучком проводится расчёт оптимального эффективного радиуса гауссова пучка. Хотя, в данном случае, основным критерием оценки качества синтезированных ДОЭ является энергетическая эффективность (т.е. максимизация содержания заданных мод Гаусса-Лагерра в формируемых световых полях), достигаемые значения среднеквадратичной и геометрической погрешности весьма низкие. Также приведены результаты экспериментального формирования одновременно 24-х пучков с различными винтовыми составляющими в различных дифракционных порядках.
Введение
Световые пучки с винтовыми фазовыми особенностями, т.е. содержащие угловые гармоники вида ехр(1тф), привлекают повышенный интерес исследователей в самых различных областях. Например, захват и манипуляции с микрочастицами, в частности, вращение [1,2] с помощью орбитального углового момента, который несут в себе такие световые пучки. Передача информации по оптическим волокнам [3-5], когда моды Гаусса-Лагерра (ГЛ) с различными винтовыми составляющими используются для увеличения числа информационных каналов. Винтовые фазовые особенности играют ключевую роль в теории спеклов, возникающих при формировании световых полей и изображений [6,7], а также при оптических координатных преобразованиях [8].
Существуют различные методы формирования мод ГЛ высоких порядков. Возможно напрямую получать моды из лазера, но в связи со сложностью это практикуется редко. Чаще используется техника генерации высших мод Гаусса-Эрмита с помощью установленных внутри резонатора проволок с последующей конвертацией их в моды ГЛ. В качестве модового конвертора при этом используется две цилиндрические линзы, вносящие соответствующий фазовый сдвиг [9,10]. Более просты в применении голограммы, на которых записана интерференционная картина желаемой моды с опорным, чаще плоским пучком. Для мод ГЛ такая голограмма имеет вид решетки с вилкообразной особенностью [11,12]. Однако, такие голограммы позволяют получить дифракционную эффективность в первом (полезном) порядке не более 40%.
В настоящей работе решается задача расчёта энергетически эффективных винтовых фазовых дифракционных оптических элементов для формирования высших мод ГЛ на основе модифицированного метода Лезема [13]. Модификация метода состоит учете и выборе оптимальных параметров, связанных с освещающим пучком. При этом удается достигнуть наилучшего сочетания двух конкурирующих
характеристик качества синтезированных ДОЭ -энергетической эффективности и точности формирования заданной моды.
1. ДОЭ для генерации гауссовых пучков с винтовыми особенностями
Как правило, для генерации пучков с винтовыми особенностями используются энергетически малоэффективные амплитудные голограммы [11,12] или сложные оптические устройства - лазерные резонаторы, дополненные астигматической оптикой [9,10]. Для генерации заданных мод ГЛ целесообразно использовать ДОЭ. Теоретически, наиболее простым решением является амплитудно-фазовый (АФ) оптический элемент, повторяющий амплитуду и фазу соответствующих мод. При освещении его плоской волной будет происходить генерация заданной моды. Однако, АФ элементы весьма сложны в изготовлении и имеют весьма низкую энергетическую эффективность и поэтому почти не используются на практике.
Обычно вместо них используют чисто фазовые ДОЭ. Существует множество алгоритмов их расчёта. Наиболее простым из них является метод Лезема [13], предложенный для киноформов. В этом случае информация об амплитуде игнорируется (принимается постоянной), а учитывается только фаза. Однако, такие фазовые элементы имеют очень большие погрешности формирования заданного светового поля, что делает это решение неудовлетворительным. Погрешность в данном случае возникает из-за того, что уравнивается энергетический вклад в изображение участков с большой и малой амплитудой. Таким образом, участки, на которые должно приходится от 1 до 10% энергии (они составляют 30-70% площади изображения), получают энергетический вклад, пропорциональный своей площади, что сильно искажает итоговую картину. Ясно, что для повышения качества фазовых ДОЭ необходимо «отсечь» эти участки. В [14] разработан метод знаковой функции с оптимизацией апертуры, который, в отличие от метода Лезема, позволяет часть информации об амплитуде сохранить и учесть ее в параметрах
апертуры. В силу радиальной симметрии мод ГЛ, до 99% энергии сосредоточено в круге с радиусом, равным радиусу наибольшего из колец мод. Поэтому имеет смысл «обрезать» ДОЭ апертурой этого радиуса. Оптимальный радиус апертуры точно находится путём минимизации среднеквадратичного отклонения Фурье-изображения от эталонной моды.
Кроме использования ДОЭ с апертурой нужного радиуса можно использовать другие способы «гашения» лишней энергии, например освещение ДОЭ не плоской волной, а пучком с Гауссовским распределением амплитуды Г (г, ф) = ехр (-г2¡2а2), где а - радиус гауссова пучка. Оптимальный радиус а находится путём минимизации среднеквадратичного отклонения Фурье-изображения от эталонной моды.
Используя эти методы, можно рассчитывать ДОЭ, позволяющие генерировать моды ГЛ со среднеквадратичной погрешностью порядка 30-45% и геометрической погрешностью около 10% [15]. Столь большие значения погрешностей, как правило, делают подобные решения малопригодными для практического использования. Однако существует путь существенного уменьшения этих погрешностей. При использовании круговой апертуры возникает эффект уширения результирующего изображения за счёт «обрезки» входящего пучка. При этом на выходе мы получаем моды ГЛ с несколько большим
(по сравнению с использованием эталонных амплитудно-фазовых ДОЭ) эффективным радиусом а. Естественно, это не может не влиять на значения погрешностей. Для компенсации этого нежелательного эффекта имеет смысл применить масштабирование эталонного изображения с коэффициентом, равным отношению эффективных радиусов
t = ^, (1)
а АФ
где сФ - эффективный радиус моды ГЛ, формируемой фазовым ДОЭ, оАФ - эффективный радиус моды ГЛ, формируемой амплитудно-фазовым ДОЭ (эталон).
Масштабирование изображения можно осуществлять оптическими методами, например, используя каскад из двух линз.
2. Оценка погрешности формирования гауссовых мод с помощью фазовых винтовых ДОЭ
При расчете фазовых ДОЭ с круговой апертурой оптимального радиуса для мод (0,т) были получены результаты, приведенные на рис. 1, 2 и в Табл. 1. Поскольку картины распределения радиально симметричны, на рис. 1 показаны сечения, которые дают более полную и наглядную информацию, нежели сами изображения.
(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6)
Рис. 1. Поперечные сечения распределений интенсивности мод (0,т), |т|<М для первых шести мод. Вверху - распределение при использовании АФ ДОЭ, внизу - фазовых ДОЭ.
Таблица 1
№ моды (0,т) а (АФ) а (Ф) Среднеквадратичная погрешность (%) Геом. погр. (%)
для АФ для Ф для Ф
1 0,1630 0,1732 1,185 5,003 2,0203
2 0,1629 0,1739 1,064 4,269 1,4431
3 0,1628 0,1755 0,998 3,154 1,1591
4 0,1627 0,1729 1,250 2,017 1,0248
5 0,1628 0,1707 1,803 2,947 1,8608
6 0,1628 0,1709 2,583 3,610 2,5254
7 0,1628 0,1707 3,640 4,293 2,357
8 0,1627 0,1701 5,627 5,851 2,946
9 0,1626 0,1687 11,103 10,775 2,800
10 0,1617 0,1687 27,682 27,328 3,304
Как видно из табл.1 и рис.2, среднеквадратичная погрешность (рассматривается область до первого минимума) не превышает 5% для мод невысоких порядков. С ростом т наблюдается увеличение погрешности, однако, порядок такой же как для АФ ДОЭ. Основное отличие картин, формируемых АФ и фазовым ДОЭ, наблюдается за областью первого минимума.
При расчете фазовых ДОЭ, освещаемых гауссовым пучком оптимального эффективного радиуса, для мод (0,т) были получены результаты, приведенные на рис. 3, 4 и в Табл. 2.
Рис. 3. Поперечные сечения распределений интенсивности мод (0,т), \т\<Мдля первых 6мод. Вверху -распределение при использовании АФ ДОЭ, внизу - фазовых ДОЭ.
Таблица 2
№ моды (0,т) а (АФ) а (Ф) Среднеквадратичная погрешность (%) Геом. погр. (%)
для АФ для Ф для Ф
1 0,1630 0,1442 1,185 4,253 2,4383
2 0,1629 0,1273 1,064 5,905 0,0000
3 0,1628 0,1147 0,998 3,870 3,5355
4 0,1627 0,1108 1,250 4,392 6,4282
5 0,1628 0,1043 1,803 6,821 6,1793
6 0,1628 0,1015 2,583 8,419 9,8995
7 0,1628 0,0964 3,640 9,598 13,1898
8 0,1627 0,0934 5,627 11,882 16,0100
9 0,1626 0,0902 11,103 16,552 19,6419
10 0,1617 0,0864 27,682 30,790 23,1417
3. Оценка содержания требуемых гауссовых мод в световых пучках, формируемых с помощью фазовых винтовых ДОЭ Если применять вышеописанные ДОЭ для решения задачи эффективного ввода лазерного излучения в оптические волокна соответствующей конфигурации, встаёт вопрос о процентном содержании требуемой моды ГЛ в световом поле, формируемом посредством ДОЭ. Для полей, формируемых с помощью ДОЭ, согласованных с модой ГЛ (0,т)
/т ("", Ф) = Р(г)ехр'тф , (2)
где
8 10 № моды (0,т)
Рис. 2. Среднеквадратичная (▲) и геометрическая (•) погрешности для мод ГЛ, формируемых с помощью фазового ДОЭ с круговой апертурой оптимального радиуса.
ю
Же моды (0,т)
Рис. 4. Среднеквадратичная (▲) и геометрическая
(•) погрешности для мод ГЛ, формируемых с помощью фазового ДОЭ, освещаемого гауссовым пучком оптимального эффективного радиуса.
P(r) =
circle
R
, circle
exp
(-r 72a2)
R
1, r < R 0 r > R ''
(3)
содержание различных мод ГЛ можно определить по нормированным интегралам перекрытия.
В частности, содержание моды ГЛ (п,т) в поле Р0т(р,в), которое формируется с помощью ДОЭ (2) в фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием /0:
Гт (р, 0) = 3{/0т (г, ф)} =
= JJ f0m (r= Ф)еХР
-i rp cos(6 -ф)
rdrd ф
(4)
считается по формуле:
К 2 п
Цг0 т (р, 0)-т; (р, е)ра ра е
(5)
П пй К 2 п К 2 п
| ЛТ ^ (р, е^ ра ра е -1 ЛГт (р. е )Г ра ра е
0 0 0 0
Т.к. функции ГЛ инвариантны к преобразованию Фурье:
~ ' (6)
{ (r, ф)}^ Y^ (p, 6), |Хид |2 = 1,
то модули коэффициентов разложения поля и его Фурье-образа по базису функций ГЛ одинаковы:
(7)
где
3{f ( r, ф )} = 3j£C„q Y ^ ( r , ф ) = Z Cnq nq Y „ (P , 6 ),
Cnq JJ f (r, ф) (r, Ф)rdrd ф .
(8)
С учетом вышесказанного, а также закона со-энергии:
К 2п
Г,т (р, е)|2 ра ра е = {{| /0т (г, ф)|2 гага ф (9)
хранения энергии:
К 2п
выражение (5) можно представить в более удобной для расчетов форме:
J J f0m (r, ф) - Y!q (r> ф)rdrdф
(10)
Ппд К 2п 2
пд (г, ф^ гага ф • ЛЛ /0т (г, Ф)Г гага ф
0 0 0 0
Как правило, функции ГЛ нормируются по энергии. Тогда, в случае нормированной энергии входного поля, содержание некоторой моды ГЛ в формируемом пучке будет равно квадрату модуля коэффициента разложения:
^„q = |Cnq| = JJ f0m (r, ф) - Y"nq (r, фУ^ ф 0 0
R 2п
J J P(r)ехр(шф)LGnq (r )exp(-i^)rdrdф
|Cnm| ^nm'
2nJ P(r) - LGnm (r )rdr
где
<exp
_ V n! r
+ |ш|)!
r Т1 М n if r' I21
V2aJ Ha, J J
ш
(11)
Для ДОЭ с круглой апертурой, освещаемых плоской волной, были вычислены распределения |Спт|2, приведенные на рис. 5 и в табл. 3.
Для фазовых ДОЭ, освещаемых гауссовым
пучком, получены распределения |Сп ные на рис. 6 и в табл. 4.
приведен-
Таблица 3. Содержание, Г)гш, генерируемых мод в поле, создаваемом фазовым ДОЭ
при освещении плоской волной.
2
2
R 2п
2
X
nm
Порядок винтовой составляющей т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Содержание моды (0,т) в поле ДОЭ 0,865 0,859 0,839 0,818 0,796 0,777 0,758 0,741 0,725 0,711 0,700 0,684
Содержание мод (п,т), 1<п<24 0,103 0,113 0,128 0,145 0,165 0,183 0,197 0,209 0,219 0,228 0,237 0,246
Содержание мод (п,т), п>24 0,032 0,028 0,033 0,037 0,039 0,040 0,045 0,050 0,056 0,061 0,063 0,070
Таблица 4. Содержание, т]пт, генерируемых мод в поле, создаваемом фазовым ДОЭ при освещении гауссовым пучком._
Порядок винтовой составляющей т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Содержание моды (0,т) в поле ДОЭ 0,626 0,515 0,520 0,454 0,449 0,392 0,382 0,350 0,327 0,311 0,301 0,296
Содержание мод (п,т), 1<п<24 0,369 0,440 0,478 0,540 0,528 0,575 0,572 0,594 0,609 0,619 0,624 0,625
Содержание мод (п,т), п>24 0,005 0,045 0,002 0,006 0,023 0,033 0,046 0,056 0,064 0,07 0,075 0,079
т=1
т=3
■0,1,0 ■а
£ 0,8 0,6 0,4 0,2 О
■0.1,0
I § 0,8
0,6
0,4
0,2
О
■0.1,0 •а
!§ 0,8 0,6 0,4 0,2 О
■ ■
т=5
0,8
■е. ■а
0,4 0,2 0
т = 7
■о,0-8 •а
^ 0,6
т=9
0,4 0,2 0
■0.0,8 ■а
0,4 0,2 0
л
т=11
12
12
12
12
16
16
16
16
12
20
20
20
20
16 20
24
п т=2
24 I
п т=4
24 < п т=6
•а 1,0 •а
¡3 0,8 0,6 0,4 0,2 0
•а 1,о
I § 0,8
0,6
0,4
0,2
0
•а 1,о •а
!§ 0,8 0,6 0,4 0,2 0
0,8
24
■а ■а
0,4 0,2 0
^ о
п т=8
12 16 20 24
Л8 0,6 0,4 0,2 0
п т=10
24
■О0'8
■а $0.6
0,4
0,2
0
■ ■ .
о.
о.
^ 1 ~> п т=12
12
16
12
16
12
16
12
16
■I. —
12
20
20
20
20
24 п
24 п
24
24
12 16 20 24
16 20
24 п
Рис. 5. Диаграмма распределения квадратов модулей коэффициентов разложения |Ст для полей, формируемых
фазовыми ДОЭ при освещении плоской волной.
0,8
§
^ 0,6 0,4 0,2 О
т=1
~1 Г^ I I П 8 12
•©.0,6
0,4
0,2
16 20
•4-0,6 ■е.
0,4
24 , п т=2
1_.
—1 I I Г
4 8
12
16
0,2
т=4
12
16
■40,6
0,4
0,2
т=5
•в. 0,5 •в.
0,3 0,2 0,1 0
-в. 0,5
О
¡§0,4 0,3 0,2 0,1 0
20 24 , п т=3
12
16 20
24 < п т=6
0,5
о
¡§0,4 0,3 0,2 0,1 0
12
16
т=7
■40,4
Л
0,2 0,1 0
•40,4 £
0,2
0,1
1. -...- 0 т=8
0 4 8 12 16 20 24
I —1||.- —
12
16
т=9
4 8 12 16
■40,4
■е.
0,2 0,1 0
\ I I I I I I I
16 20 24 1Л п т=10
4 8 12 16
20 24 п
0 4 8 12 16 20 24 п
20 24 п
20 24 п
и
||1-
0
I
4 8
12
16
20 24 , -п т=12
■40,4
Л
0,2 0,1 0
20 24 п
I
0
8
12
^ I I I I I I
16 20 24 п
т=11
Рис. 6. Диаграмма распределения квадратов модулей коэффициентов разложения |Спт|2 для полей, формируемых
фазовыми ДОЭ при освещении гауссовым пучком.
Как видим, ДОЭ с круговой апертурной функцией, т.е. освещаемые плоской волной, позволяют формировать световые поля с более высоким процентным содержанием заданных мод, нежели ДОЭ, освещаемые гауссовым пучком. Это объясняется тем, что у гауссового пучка основная доля энергии сконцентрирована в центральной части, а у мод ГЛ (0,т) в центре имеется провал. На диаграммах также можно видеть хорошо различимые (особенно в случае ДОЭ, освещаемых гауссовым пучком) «всплески» значений коэффициентов \Спт\2 высоких порядков п. Они проявляются для тех мод ГЛ, у которых радиус какого-либо из колец приближается к радиусу ДОЭ.
4. Экспериментальное формирование нескольких винтовых пучков.
Для одновременного формирования нескольких пучков с различными винтовыми составляющими можно использовать многопорядковые ДОЭ с использованием несущих пространственных частот [16]:
т(г, ф) =
= £ Ст еХР
2п
Л/0
^(ф-бт )
(12)
Такой ДОЭ формирует сразу несколько винтовых пучков, распространяющихся под различными углами к оптической оси. Угол распространения пропорционален значениям пространственных частот (рт, вт). Такие элементы позволят, например, захватывать сразу несколько частиц в определенных позициях, выстраивая их в желаемые структуры, и управлять каждой частицей по-разному (например, вращать с различной скоростью).
Кроме того, такой ДОЭ можно использовать в качестве пространственного фильтра для обнаружения в анализируемом световом поле соответствующих угловых гармоник. В частности, он может служить для измерения орбитального углового момента световых полей [17] или модовым демультиплексо-ром на выходе телекоммуникационной оптоволоконной системы.
В данной работе был рассчитан и изготовлен фазовый ДОЭ, формирующий одновременно 24 пучка с ехр(/тф), т=±1,±2,...,±12, в различных дифракционных порядках. Пространственные частоты рт,0т) были выбраны так, чтобы получить бинарный микрорельеф - наиболее простой при изготовлении методами электронной литографии. Кроме того, дифракционные порядки располагались так, чтобы достичь максимальной компактности при определенном шаге дискретизации маски элемента (размер шага является критическим параметром при изготовлении).
На рис. 7а показана схема расположения дифракционных порядков т=±1,±2,...,±12, а на рис.7б - бинарная фаза ДОЭ. Далее, на рис. 7в и 7г, соответственно, приведены результаты численного моделирования и эксперимента по одновременному формированию винтовых пучков различного порядка в фокальной плоскости линзы.
+9
+4
+10 Ч
+5 Ч
+1К
+7 /+3 +б\ +12
/ / +1 +2\ \
-12 V' Ч__>'' -3/ -7
Х-11
V -5
а)
\ -10
-4
Рис. 7. Схема расположения дифракционных порядков т=±1,±22,...,±12 (а) и бинарная фаза ДОЭ (б). Результаты моделирования (в) и эксперимента (г) по формированию винтовых пучков различного порядка в фокальной плоскости линзы.
Как видно из рис. 7 результаты моделирования и эксперимента практически полностью совпадают, за исключением центрального паразитного порядка, поя-
вившегося в результате рассогласования размеров ДОЭ и освещающего пучка. Именно из этих соображений центральный дифракционный порядок не использовался при расчете ДОЭ. В дальнейшем планируется провести натурные эксперименты по демультиплексированию световых полей, представляющих собой композицию угловых гармоник, как в свободном пространстве, так и на выходе из оптического волокна. Привлекательность уплотнения каналов именно по угловым гармоникам, а не по определенным модам волокна (гауссовым или бесселевым), состоит в унифицированности (один элемент подходит для различных типов волокон) такого подхода и независимости от размера световых пучков (отпадает необходимость согласования с размером элемента).
Заключение
В данной работе осуществляется расчёт фазовых ДОЭ для энергетически эффективной генерации обобщённых мод Гаусса-Лагерра х¥0ш(г,ф), |m|<M с помощью винтовых фазовых ДОЭ вида ехр(/'тф). Установлено высокое энергетическое содержание (около 80%) требуемых мод ГЛ в световом поле, получаемом при помощи таких ДОЭ, освещаемых плоской волной. При использовании в качестве освещающего гауссового пучка результаты оказались хуже (содержание моды около 30-60%). При этом достигаемые значения среднеквадратичной и геометрической погрешности для мод не выше 7-го порядка были не выше 5%, что сравнимо с экспериментальными погрешностями генерации и регистрации. С ростом числа т наблюдается некоторое уменьшение процентного содержания требуемых мод и существенный рост погрешности.
Полученные результаты позволяют говорить о пригодности винтовых ДОЭ для генерации мод ГЛ Т0т(г,ф), |т|<М, с высокой энергетической эффективностью и достаточно низкой погрешностью. Это открывает перспективы использования рассмотренных ДОЭ для ввода лазерного излучения в оптические волокна. Привлекательность уплотнения каналов именно по угловым гармоникам, а не по определенным модам волокна (гауссовым или бесселевым), состоит в унифицированности (один элемент подходит для различных типов волокон) такого подхода и независимости от размера световых пучков (отпадает необходимость согласования с размером элемента).
Результаты экспериментальной апробации 24-порядкового ДОЭ, предназначенного для одновременного формирования нескольких пучков с различными винтовыми составляющими, показали полное согласование с результатами моделирования. Такой элемент может служить модовым демульти-плексором на выходе телекоммуникационной оптоволоконной системы. Кроме того, винтовые пучки, распространяющиеся под различными углами к оптической оси, можно использовать для захвата сразу несколько частиц в определенных позициях (расположение дифракционных порядков задается при расчете ДОЭ) и управления каждой частицей по-разному (например, скорость вращения частицы зависит от порядка т винтового пучка).
Литература
1. Gahagan K.T., Swartzlander G.A. Jr. Optical vortex trapping of particles // Optics Letters 21(11), 827829 (1996).
2. Paterson L., MacDonald M.P., Arlt J., Sibbett W., Bryant P.E., Dholakia K. Controlled rotation of optically trapped microscopic particles // Science 292, 912-914 (2001).
3. Shinmura Y., Ezoe H., Yoshikawa M. Observation of mode in graded-index optical fibers with bending and cross talk in MDM // IEICE Trans. Electron. E80-C(6), 828-830 (1997).
4. Johnson E.G., Stack J., Koehler C. Light coupling by vortex lens into graded index fiber // J. Lightwave Technology 19(5), 753-758 (2001).
5. Chen Y.F., Lan Y.P., Wang S.C. Generation of Laguerre-Gaussian modes in fiber-coupled laser diode end-pumped lasers // Appl. Phys. B 77, 167-170 (2001).
6. Aagedal H., Schmid M., Beth T., Teiwes S., Wy-rowski F. Theory of speckles in diffractive optics and its application to beam shaping // J. Mod. Optics 43(7), 1409-1421 (1996).
7. Walford J.N., Nugent K.A., Roberts A., Scholten R.E. High-resolution phase imaging of phase singularities in the focal region of a lens // Optics Letters 27(5), 345-347 (2002).
8. Roux F.S. Diffractive optical implementation of rotation transform performed by using phase singularities // Applied Optics 32(20), 3715-3719 (1993).
9. Basistiy I. V., Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., Vas-netsov M.V. Optics of light beams with screw dislocations // Opt. Comm. 103, 422-428 (1993).
10. Abramochkin E., Losersky N., Volostnikov V.Generation of spiral-type laser beams // Opt. Comm. 141, 59-64 (1997).
11. Szwaykowski P. Self-imaging in polar coordinates // J. Opt. Soc. Am. A, 5(2), 185-191 (1988).
12. Padgett M., Arlt J., Simpson N., Allen L. An experiment to observe the intensity and phase structure of Laguerre-Gaussian laser modes // Am. J. Phys. 64(1), 77-82 (1996).
13. Lesem L.B., Hirsh P.M., Jordan J.A. The kinoform: a new wavefront reconstruction device // IBM J. Res. Develop. 13(3), 150-155 (1969).
14. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Melekhin A.S., Soifer V.A. Fractional encoding method for spatial filters computation // Asian Journal of Physics 8(3), 273286 (1999).
15. Khonina S.N., Almazov A.A. Design of multichannel phase spatial filter for selection of Gauss-Laguerre laser modes // Proceedings of SPIE 4705, 30-39 (2002).
16. Котляр В.В., Хонина С.Н. Фазовый фильтр для селекции угловых гармоник // Компьютерная оптика, 20, 51-55 (2000).
17. Котляр В .В., Хонина С.Н., Сойфер В.А., Ванг Я. Измерение орбитального углового момента светового поля с помощью дифракционного оптического элемента // Автометрия 38(3), 33-44 (2002).
