CC BY
107
pedagogical sciences
УДК 372.851
ФОРМИРОВАНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО И ТВОРЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ
© 2017
Кошелева Наталья Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика и математическое образование» Павлова Елена Сергеевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика и математическое образование» Тольяттинский государственный университет (445000, Россия, Тольятти, улица Белорусская, 14, e-mail: [email protected]) Аннотация. В современном мире качество знаний выпускников школ по математике нельзя считать удовлетворительным. Об этом свидетельствуют результаты Единого государственного экзамена за последние несколько лет. Это же подтверждает снижение порога сдачи экзамена с 36 баллов до 27 баллов. Изучение математики в старших классах стало формальным и направлено только на решение тестов ЕГЭ. Подобным стало отношение к математике и в высших учебных заведениях. Внедрение новых технологий обучения, таких как: кредитно-модульная система с отказом от устных экзаменов; наличие, как разных информационных ресурсов, так и сайтов помощи в решении математических задач, все это не лучшим образом влияет на развитие математических знаний обучаемых в вузе и развитие у них связей между математическими составляющими. Эвристическое и творческое мышление является высшей ступенью самостоятельности в изучении различных дисциплин, которая подразумевает поиск, создание, анализ и синтез существенно нового продукта мыслительной деятельности. Использование преподавателем, как в средней школе, так и в высшем учебном заведении, различных методов обучения, таких как анализ, синтез, аналогия, обобщение, помогает учащимся активизировать свои усилия в изучении нового и поднимает его на более высокий уровень обучения математике. Первостепенная задача педагога заключается в том, чтобы создать у обучаемого впечатление непрерывности и взаимосвязи всех тем и задач математики, изучение каждой из которых невозможно без знаний об остальных. Мышление, которое развивается при изучении математики у студентов - это объективная реальность, возникающая путем обобщения математических символов, которые учитывают математические отношения и закономерности. Формирование эвристического и творческого мышления позволит учащимся уверенно ориентироваться в многообразии математического материала.
Ключевые слова: изучение математики, математическое образование; задания с параметрами, аналогия, эвристическое мышление, творческое мышление, мотивация.
FORMATION OF HEURISTIC AND CREATIVE THINKING IN SCHOOLCHILDREN AND STUDENTS AT THE STUDY OF MATHEMATICS
© 2017
Kosheleva Natalia Nikolaevna, candidate of pedagogical sciences associate professor of the chair "Higher mathematics and mathematical education" Pavlova Elena Sergeevna, candidate of pedagogical sciences associate professor of the chair "Higher mathematics and mathematical education" Togliatti State University (445000, Russia, Togliatti, Belorusskaya St., 14, e-mail: [email protected]) Abstract. In the modern world the quality of knowledge of graduates of schools in mathematics is not satisfactory. This is evidenced by the results of the Unified state exam in the last few years. Says the same thing about lowering the threshold pass the exam with 36 points to 27 points. Moreover, the division of mathematics at basic and specialized levels. The study of mathematics in the senior classes was formal and focused only on the solution of the test exam. The same was the attitude towards mathematics and higher educational institutions. The introduction of new learning technologies, such as: credit-modular system with the rejection of the oral exams; availability, as different information resources, and websites help in solving math problems is not the best way affects the development of the mathematical knowledge of students in the University, and developing connections between mathematical components. Heuristic and creative thinking is the highest level of independence in learning different disciplines, which involves the search, creation, analysis, and synthesis significantly new. The use of a teacher in middle school and high school various teaching methods, such as analysis, synthesis, analogy, generalization, helps pupils to increase their efforts in learning new and raises it to a higher level of learning mathematics. The primary task of the teacher lies in creating the student in mathematics experiences that all topics and objectives of mathematics continuously independent from each other, and studying one is impossible without knowledge about other topics and concepts. The mindset that develops when the study of mathematics among students is an objective reality that occurs by generalization of mathematical symbols, which take into account the mathematical relations and patterns. The formation of a heuristic and creative thinking will enable students to confidently navigate in a variety of mathematical material.
Keywords: the study of mathematics, mathematical education; job parameters, analogy, heuristic thinking, creative thinking, motivation.
В настоящее время математическое обучение в школе направлено на формирование у учащихся умений и навыков проводить различные исследования в области математики.
Об этом свидетельствует появление задач различного содержания в едином государственном экзамене. Это экономические, физические, транспортные и другие задачи [1]. Решение всех этих заданий подразумевает наличие у обучаемых умений осуществлять анализ математического материала, способность его систематизировать, обобщить, найти конечное решение, абстрагировавшись от конкретных примеров.
Это возможно, если человек обладает логическим, критическим, творческим и эвристическим мышлением [2, с.89]. Логическое мышление подразумевает четкое
выполнение задания в соответствие с заданным алгоритмом. Критическое мышление подразумевает наличие у индивидуума способностей к независимому и доказательному решению проблемы, к готовности каждое новое предположение подвергать критическому обосно-ванию[3, С. 25]. Творческое же мышление направлено на создание иного, принципиально нового продукта. Такое мышление позволяет применять знания и навыки в иной, принципиально новой ситуации; видеть проблему и в привычной и в необычной форме подачи; уметь определить новую функцию давно знакомой задачи. С помощью эвристического мышления обучаемые получают возможность направить свою деятельность на поиск оптимального решения, на получение совершенно другого знания в знакомой ситуации [4, с. 56].
педагогические науки
Именно этих умений требуют современные формулировки заданий по математике единого государственного экзамена. Поэтому, формирование и развитие эвристического и творческого мышления у школьников является актуальной задачей педагогов школ. Часто эвристическому мышлению отводят промежуточное положение между творческим и критическим мышлениями. Влияют на это различные понятия эвристики.
Термин "эвристика" до сих пор не имеет однозначной трактовки в современных научных источниках. Из этого можно сделать вывод о том, что теория эвристики находится на начальном этапе развития как самостоятельная научная теория, а её понятийный и методологический аппарат находится в стадии формирования [5, с. 167].
С помощью математических понятий, определений и законов происходит доказательство практически всех достижений в науке. Поэтому первым этапом в овладении творческим и эвристическим мышлениями в области математики является умение решать нестандартные, творческие и исследовательские задачи [6, с 143]. Эту мысль как нельзя лучше иллюстрирует выражение известного философа Д. Сантаяна: «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».
Формирование эвристических и творческих способностей при изучении математики начинается с мотивации. Мотивация - это совокупность внутренних и внешних движущих сил для стимулирования различных видов деятельности обучающихся самостоятельно или в группе, которые нужны, чтобы достичь поставленных целей в обучении [7, с.162]. Мастерство преподавателя должно проявляться в правильном стимулировании всех обучаемых к познавательной деятельности, которая, в конце концов, приведет к повышению их интеллектуального и личностного роста, удовлетворит их в потребности к самовыражению, научит признавать любые результаты своего труда: как положительные, так и отрицательные [8, с.223-228].
Чтобы правильно стимулировать различные виды деятельности при изучении математики на уроке, лекции, практическом занятии, факультативе или кружке, нужно верно поставить цель перед учащимися в самом начале их деятельности. Не менее важно использовать интеллектуальные операции и педагогические приемы в нужной "дозировке". Чтобы управлять мотивацией при изучении математики нужно воспитывать у обучаемых потребность в размышлении, в узнавании чего-то принципиально нового [9, с.120].
Несомненно, каждый ребенок обладает природными способностями. Роль математического мышления заключается в том, чтобы научить использовать эти способности математическими способами, исследуя математические задачи [10, с. 241]. Преподаватель должен использовать различные педагогические методы и приемы, чтобы развивать математические способности школьников и студентов, дозировать их и предлагать в разных комбинациях.
Среди средств, способствующих формированию эвристического мышления, можно выделить: абстракцию, классификацию, синтез, анализ, обобщение, сравнение.
Учащийся при решении любой задачи по математике должен применять эвристическое мышление, относиться творчески ко всему математическому материалу, что может привести к научному открытию. Главная задача того, кто решает задачу здесь и сейчас быть изобретательным, применить творчество, чтобы цель решения задачи была достигнута. Только те знания будут крепкими, что приобретены в результате собственных творческих раздумий над материалом. Преподаватель математики также должен подойти к процессу передачи знаний творчески. Абстракция, классификация, синтез, анализ, обобщение, сравнение и аналогия - все это методы и приемы, которые способны развивать творческое
и эвристическое мышление при изучении математики. Под аналогией в математике понимается схожесть объектов в различных темах. Схожие понятия согласуются между собой в отношениях. Например, прямоугольник в планиметрии с параллелепипедом в стереометрии. Они аналогичны друг другу. Так же аналогии можно найти в треугольнике и правильном тетраэдре, круге и шаре и так далее.
Существуют аналогии и в теоремах. Так самая известная теорема в планиметрии - это теорема Пифагора, которая описывает взаимосвязь катетов и гипотенузы. У данной теоремы существует аналог в пространстве, где описывается зависимость площади основания тетраэдра от площадей остальных граней при условии, что все плоские углы тетраэдра при вершине прямые.
Аналогия присутствует практически во всем. Она проникла в наше мышление и повседневную речь. Её элементы можно встретить в художественных и литературных произведениях. Нельзя переоценить роль аналогии в поисках решений научных проблем и исследований, где каждый её вид может сыграть огромную роль[8, с. 223-228].
Существует целый ряд математических задач в школе и в ВУЗе, при решении которых в той или иной степени применяется прием аналогии. Например, задачи на нахождение скорости, времени или расстояния имеют схожую структуру решения с задачами на нахождение работы, времени и производительности. Освоив метод интервалов при решении неравенств, можно распространить его на логарифмические, показательные, тригонометрические и другие неравенства. Везде решение будет аналогичным: сначала выражение раскладывается на множители; потом каждый множитель приравнивается к нулю для определения корней; найденные корни выносятся на числовую прямую; в полученных интервалах расставляются соответствующие данному выражению знаки; выбираются те интервалы (или отрезки), которые отвечают начальному условию. Отличия в решении зависят от условия задачи. Поэтому степень аналогии бывает различной [11, с.321].
Отличительной чертой аналогии, например от обобщения, можно считать конечный результат её применения. Так используя приемы обобщения, достигается более высокий уровень умственной деятельности, а при аналогии на выходе получается продукт такого же уровня и порядка, как и исходный. Рассмотрим в качестве примера составление математической задачи. Если делать это с помощью приемов аналогии, то получится задача такого же порядка сложности, что и исходная. Если же использовать приемы обобщения, то задание неминуемо перейдет на более высокий и сложный уровень мыслительной деятельности, чем первоначально данное и, возможно, будет содержать в себе элементы экспери-ментирования[12, с.48].
К приемам обобщения, используемым в школьном курсе математики, можно отнести уплотнение и систематизацию знаний, а также установление различного рода связей между объектами. Анализ педагогической литературы позволил выявить и систематизировать такие связи, как:
- иерархические,
- причинно-следственные,
- структурно - логические,
- классификации [4, с. 121].
Весь многолетний курс математики подразумевает использование логических операций обобщения и аналогии. Обучаемые осваивают данные операции с помощью специально разработанных комплексов упражнений. Все это направлено на развитие эвристического и творческого мышления обучаемого, на создание в его сознании единой целостной картины мира. Наблюдаемые в последние годы тенденции российского образования, наряду с положительными сторонами создания единого образовательного пространства, не могут не влиять на
pedagogical sciences
качество образовательной системы страны в целом [13, с. 330].0ни направлены на то, чтобы сделать образование доступным, развивать его и совершенствовать [14, с. 53; 15, с. 69]. Об эффективности проводимых в различных странах образовательных реформ свидетельствуют данные международного рейтинга качества школьного математического и естественнонаучного образования PISA [16].
В существующих за рубежом аналогах единого государственного экзамена давно уже стало привычным присутствие части, называемой «научное размышление», где требуется понять и проанализировать определенную информацию, проанализировать объект исследований, оценить две или три альтернативные гипотезы, теории или точки зрения на какие-нибудь явления [17]. В отечественном выпускном экзамене по математике самыми «креативными», требующими нестандартного подхода к решению, являются последние три задания под номерами 17,18,19.
Все восемнадцатые задания содержат параметр. В своих формулировках они могут включать:
1) функции, заданные в явном виде, которые содержат параметры. В формулировке условий данных задач фигурируют свойства функций, заданных явно, такие как: область определения, непрерывность, дифферен-цируемость, нули функции, промежутки знакопосто-янства, четность, нечетность, периодичность, монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения;
2) функции, заданные в неявном виде, которые содержат параметры. При решении данных задач используются формулы расстояния между точками, уравнения прямой, уравнения окружности и другие;
3) уравнения с параметрами;
4) неравенства с параметрами;
5) системы уравнений и неравенств с параметрами.
В задачах с параметрами наряду с аналитическими
способами решения часто применяются и графические. Особенно удобен этот метод в случаях, когда нужно исследовать уравнение или неравенство на наличие корней или их количество. В отличие от аналитического, графический метод гораздо более нагляден [18, с. 419-422]. Минусом такого метода решения является его неточность, приблизительность. Задачи с параметрами подразумевают наличие у обучаемого опыта творческого отношения к материалу.
Не менее креативным является девятнадцатое задание единого государственного экзамена по математике. Их можно условно разделить на следующие подразделы:
1) числа и их свойства. При решении данных заданий нужно применять теорию делимости чисел;
2) числовые наборы на карточках и досках. Данные задания требуют в своем решении творческого подхода и умения анализировать и обобщать;
3) последовательности и прогрессии;
4) сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки и так далее;
5) решение уравнений и неравенств в целых числах.
Получение результата при решении представленных
выше заданий, подразумевает прохождение обучаемыми следующих этапов:
- анализ условия задачи;
- синтез знаний из различных разделов математики;
- проведение аналогии;
- обобщение и разделение ответов;
- разведение понятий;
- правильный выбор способов решения (аналитический, графический, табличный);
- обоснование ответа [19, с. 42-53].
Использование различных форм обучения для формирования творческого и эвристического мышления возможно и вне урока. Например, в работе математических кружков и факультативов, различных семинаров, круглых столов и других мероприятий. В процессе получения знаний, организованном в таком формате, у
обучаемых зачастую проявляется творческий подход к математическому материалу. Окружение единомышленников, искренне увлеченных математикой, грамотный подход педагогов, зрелость мышления в совокупности обеспечивают резкое увеличение познавательной активности школьников и студентов. И как следствие, у обучаемых появляется желание участвовать в олимпиадах, где они могут в полной мере реализовать свои творческие способности. Именно здесь школьники и студенты могут проверить свои возможности в решении нестандартных задач, в анализе условий, в нешаблонном подходе к решению, в нахождении неожиданных зависимостей и формулировке закономерностей. Чтобы добиться хороших результатов в олимпиадах, обучаемые должны пройти определенный подготовительный этап. А именно: глубоко изучить отдельные вопросы математики, проанализировать рекомендованную литературу, рассмотреть всевозможные способы решения задач [20, с. 374-378].
Участие в олимпиаде благотворно влияет на развитие личности обучаемого. У него повышается чувство собственной значимости, творческие, познавательные и исследовательские способности переходят на более высокий уровень. Появляется искренний интерес к математике, что приводит в движение все сферы мыслительной деятельности.
Математика, несомненно, является чудом международной культуры. В ней, как ни в одной другой науке, отражается история человеческой мысли и развитие достижений человечества [21, с. 332]. Обучение математике - это сложный и многогранный процесс, в котором соединяются усилия педагогов и обучаемых. Грамотное применение способов воздействия на умственную и мыслительную деятельность обучаемого свидетельствует о высоком профессионализме преподавателя. В результате таких воздействий у школьника или студента не только сформируются элементы творческого и эвристического мышления, но и появится желание делать пусть маленькие, но открытия, с помощью которых он сможет подняться на уровень обобщений.
Являясь неотъемлемым элементом математического образования, эвристическое и творческое мышление способствует выбору обучаемым оптимальных методов и средств, с помощью которых неизвестная ранее проблема будет решена наиболее продуктивно и рационально. Обдумывая задачу, субъект самостоятельно подбирает не только способы действия, но и ключи к ответу. Процесс решения задачи и поиска ответа на нее, при применении творческого подхода и элементов эвристического мышления, всегда является уникальным, так как основывается на индивидуальных способностях, склонностях и возможностях решающего, на накопленном им багаже знаний и личном опыте. Из всего вышесказанного следует, что эвристическое и творческое мышление обучаемого являются неотъемлемой частью характеристики индивидуальности человека.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. ЕГЭ-2016: мифы и реальность. [Электронный ресурс]. ВЦИОМ. Пресс-выпуск № 3147.
2. Загашев И.О., Заир - Бек С.И. , Муштавинская И.В. Учим детей мыслить критически. Издание 2-е. СПб: "Альянс "Дельта" совм. с издательством "Речь", 2003. 78 с.
3. Линдсей Г., Халл К.С., Томпсон Р.Ф. Творческое и критическое мышление // Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.В. Петухова. М.: Изд-во Московского университета, 2001. 150 с.
4. Вудвордс Р. Этапы творческого мышления // Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.В. Петухова. М.: Изд-во Московского университета, 2001 г. 225 стр.
5. Соколов В.Н. Педагогическая эвристика. Введение в теорию и методику эвристической деятельности: Уч.
педагогические науки
пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Аспект Пресс, 1995. 60 с.
6. Казанцева В.Ю. Решение учебных задач как фактор развития эвристического мышления учащихся: дис. ...канд. пед. наук. Улан - Удэ, 2004, 199 с.
7. Подласый И.П. Педагогика . М. : Гуманитар, изд. центр ВЛАДОС, 2007. 463 с.
8. Емельянова С.Г., Демченкова Н.А. Основные элементы проблемного обучения в высшей школе В сборнике: Актуальные проблемы естественнонаучного и математического образования материалы Международной научно-практической конференции. Самара. 2016. С. 223-228.
9. Авраамова Е. М., Клячко Т. Л., Логинов Д. М. Эффективность школы - позиция родителей // Вопросы образования. 2014. № 3. С. 118-134.
10. Мэйсон Дж., Бёртон Л., Стэйси К. Математика
- это просто 2.0. Думай математически [Электронный ресурс]. М. : Техносфера, 2015. 352 с.
11. Павлова Е.С., Палфёрова С.Ш. Модели структурирования математической информации // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. 2014. № 3. С. 318-322.
12. Собкин В. С., Белова О. В. Отношение учителей к ЕГЭ как показателю уровня подготовки выпускников и особенности контроля знаний учащихся // Социальная психология и общество. 2014. № 1. С. 42-53.
13. Pardala A. The Traditions and Development of Mathematics Education. Case of Poland. W.: In A. Karp, B. Vogeli (Eds.), Russian Mathematics Education. History and World Significance, London-New Jersey-Singapore: World Scientific 2010, 327-337.
14. Pardala A., Ashirbayev N.K., Rakhymbek D. Modern mathematical education - crisis and the future // Mathematical Transgressions and Education edited by Anna K. Zeromska, Pedagogical University of Cracow, Cracow 2015, p.45-60.
15. Pardala A. Wspolczesnapolskamatura z matematyki
- praktyka, problemy i wyzwania. W.: Pracemonograficzne z dydaktykimatematyki. Wspolczesne Problemy Nauczania Matematyki 4.BielskoBiala 2011, 43 - 73.
16. Результаты международного исследования PISA [Электронный ресурс] // URL: http:// www. оeсd.org/ pisa/key.findings/pisa-2012-results/html) (дата обращения: 05.12.2016).
17. TheACT. [Электронныйресурс]. URL: http:// www.actstudent.org (дата обращения: 10.01.2017).
18. Кошелева Н.Н., Крылова С.А., Никитина М.Г. Задачи с параметрами как элемент математического моделирования в школе // В сборнике: Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования материалы международной научно-практической конференции. Рязань. 2016. С. 419-422.
19. Собкин В. С., Белова О. В. Отношение учителей к ЕГЭ как показателю уровня подготовки выпускников и особенности контроля знаний учащихся // Социальная психология и общество. 2014. № 1. С. 42-53.
20. Никитина М.Г. Олимпиады по математике: от школьных к вузовским // Ученые записки Санкт-Петербургского имени В.Б. Бобкова филиала Российской таможенной академии.2008.№3(32). С.374-378.
21. Pardala A. The Traditions and Development of Mathematics Education. Case of Poland. W.: In A. Karp, B. Vogeli (Eds.), Russian Mathematics Education. History and World Significance, London-New Jersey-Singapore: World Scientific 2010, р. 327-337.
Статья поступила в редакцию 14.07.2017.
Статья принята к публикации 25.09.2017.
