CC BY
33
УДК 537 ББК 22.33 М 91
Муратов Т.Т.
Соискатель кафедры .методики преподавания физики Ташкентского государственного педагогического университета имени Низами, Ташкент, Узбекистан, e-mail: temur-muratov@yandex.ru
Формализм «магнетосечений» D-(A + )-центров при резонансном
рассеянии носителей заряда в невырожденных полупроводниках
(Рецензирована)
Аннотация
Развит новый подход к изучению кинетических эффектов в ковалентных полупроводниках. На примере расчета кинетических коэффициентов при резонансном рассеянии демонстрируются некоторые особенности предлагаемого подхода. Изучается влияние предельно слабого магнитного поля на кинетические эффекты. В отличие от стандартного метода, учитывающего наличие Н -поля в неравновесной функции распределения с последующий получением искомых формул для кинетических коэффициентов, в предлагаемом подходе наличие (влияние) слабого Н -поля фиксируется в качестве локального «прироста»
сечения конкретного рассеяния, в данном случае резонансного. Формальная замена °r (o)^o;ff (н) «о-зволяет сравнительно легко проанализировать влияние поля на кинетические эффекты. Показано, что при наличии Н -поля электронная проводимость достигает максимума. В процессе расчета выявляется общность результатов при любом механизме рассеяния. Главное требование сводится к тому, чтобы низкотемпературная асимптотика (lj конкретного механизма рассеяния была постоянной.
Ключевые слова: кинетические коэффициенты, резонансное рассеяние, ((+^-центры, класси-
ческие слабые и сильные магнитные поля, классическая область низких температур, магнетосечение.
Muratov T.T.
Applicant for Candidate’s degree of Department of Physics Teaching Technique, Tashkent State Pedagogical University named after Nizami, Tashkent, Uzbekistan, e-mail: temur-muratov@yandex.ru
Formalism of «magnetic sections» of D-(A+)-centers at resonant dispersion of charge carriers in nondegenerate semiconductors
Abstract
The paper develops a new approach to studying the kinetic effects in covalent semiconductors. Using an example of calculation of kinetic coefficients at resonant dispersion, we demonstrate some features of the proposed approach. Influence of extremely weak magnetic field on kinetic effects is studied. Unlike the standard method considering existence of H-field in nonequilibrium distribution function with the subsequent obtaining required formulas for kinetic coefficients, in the proposed approach, existence (influence) of weak H-field is fixed as a local «gain» of specific dispersion section, the resonant in this case. Formal replacement °r (o)^ff (h ) allows us to analyze easily the influence of a field for kinetic effects. It is shown that in the presence of H-field electronic conductivity reaches a maximum. The calculation has revealed the community of results at any mechanism of dispersion. The main requirement is that the low-temperature asymptotics of the specific mechanism of dispersion is a constant.
Keywords: kinetic coefficients, resonant dispersion, D (+) -centers, classical weak and strong magnetic fields, classical low temperature area, magnetic section.
Введение
Ситуация, когда дискретный уровень мелкой донорной (акцепторной) примеси локализован вблизи дна зоны проводимости (потолка валентной зоны), довольно часто встречается в полупроводниках. Если при этом кинетическая энергия свободного электрона (дырки) близка по величине к энергии такого уровня, то возникает резонансное рассеяние носителей заряда.
В полупроводниках примесный потенциал имеет сложную структуру, состоящую из дальнодействующей кулоновской Усои1 (г) и короткодействующей У0 (г) частей. Короткодействующая часть потенциала обусловлена как разницей химической природы примесного атома и атома матрицы, так и самих атомов матрицы. Всегда один из атомов будет обладать большим сродством к электрону, вследствие чего электронная пара будет стянута в его сторону. При очень низких температурах (1 -^10) примесь обычно находится в нейтральном состоянии, поэтому именно короткодействующая (полярная) часть потенциала ответственна за химические свойства примесей.
Следует отметить, однако, что помимо короткодействующей части У0 (г), радиус действия которой порядка постоянной решетки, потенциал мелкого нейтрального донора характеризуется также второй, более плавной частью Ух (г ) ~ ±г-п (п > 3) с глубиной порядка боровской энергии мелкого донора Ев и радиусом действия порядка боровского радиуса гв = й/^2 т *Ев (т * - эффективная масса носителя заряда). Именно У1 (г ) потенциал, природа которого обусловлена поляризационным взаимодействием между нейтральным донором и свободным электроном, приводит к образованию неглубокого уровня (так называемого D-(A + )-центра), ответственного за резонансное рассеяние.
При низких температурах наличие D-(A + )-центра можно учесть формальным методом, основанным на приближении я -рассеяния [1] (это оправдано, т.к. длина электронной волны X ~ й/л/т*кТ ~ 10-6 см гораздо больше радиуса (г0 ~ 10-8 см) У1 (г) потенциала и условие преобладания я -волны кг0 << 1, хорошо соблюдается). В рамках такого подхода удается рассчитать все основные кинетические коэффициенты в ковалентных полупроводниках [2]. Однако в работе [2] расчеты проведены только для случая резонансного рассеяния, но в то же время электроны взаимодействуют и с акустическими фононами, причем почти упруго, вплоть до очень низких температур ( Т > 1К ) (за исключением сверхчистых монокристаллов алмаза [3]) и поэтому в действительности необходимо рассматривать одновременно два механизма рассеяния. Учет рассеяния носителей на высоковозбужденных акустических фононах позволял бы корректно осуществлять формальные процедуры получения (в методическом отношении) зависимостей типа Т-р и анализировать влияние слабого магнитного поля (так и других факторов) на параметры резонансного рассеяния, что затруднительно провести на основе результатов работы [2].
В работе [4] показано насколько существенно могут отличаться при резонансном рассеянии число Лоренца Ь и фактор Холла Ук в сильно вырожденных полупроводниках от универсальных постоянных п2/з и 1 соответственно. Соответствующие интегралы 1п вычислялись численно. В работе [5] в рамках двухзонной модели проведены расчеты концентрационных зависимостей кинетических коэффициентов для РЬТе <№+Те> в диапазоне (100300)К. Расчеты 1п с учетом межзонных переходов рассмотрены в работах [5-7]. В работе [6] для 1п получены явные аналитические формулы.
Следует также отметить работу [8], где уточняется энергия примесных резонансных состояний с использованием скорректированного фактора Холла. В [9] отмечается положительная корреляция между переходом в сверхпроводящее состояние и резонансным рассеянием, причем природа положительной корреляции до сих пор невыяснена.
В предлагаемой работе в рамках простой модели изучается влияние резонансного
рассеяния на кинетические эффекты в предельно слабом магнитном поле, и выводятся соответствующие формулы для кинетических коэффициентов.
Для достижения этой цели с помощью вспомогательной процедуры выводятся формулы в первом приближении. На основе качественного анализа полученных формул вскрывается специфика резонансного рассеяния. Наличие поля учитывается во втором приближении посредством замены аг (0)^аей. (и) в исходных формулах первого приближения (посредством (/} ~ 1/ а).
1. Электропроводность и подвижность
При высоких температурах подвижность носителей заряда обусловлена взаимодействием электрона (дырки) проводимости с акустическими колебаниями решетки. Длину свободного пробега электрона в этом случае можно аппроксимировать формулой 1Ь = А/(кТ).
Здесь А = Жа - постоянная, определяемая тепловыми флуктуациями решетки, где Ж - энергия порядка атомной (или несколько больше), а - постоянная решетки (/Ь >> а). Следует отметить, что А от кинетической энергии Е электрона не зависит. Полагая Ж = 5 эВ и а = 3 х10 - 8 см, получим А = 2,4 -10-19 эрг-см.
Длина свободного пробега, связанная с резонансным рассеянием, равна:
¡Ле ) = V ( Ое,)=4/ ( а 81е, ) = 2т* (Е+е)/(пй2 па )=(Е+е)/С,
где па - концентрация рассеивающих центров, е - энергия св. D"(А + )-центра (резонансный уровень). Простые расчеты показывают, что величина (Е + е) - порядка мэВ [2]. Полагая, к примеру, па = 2 х 1015 см - 3 (С = 0,4 х10-11 эрг/см), находим, что /гек на два порядка превышает /Ь уже при комнатных температурах (см. приложение 1).
Таким образом, есть основание полагать, что при низких температурах влияние резонансного рассеяния может стать более существенным, чем рассеяние на акустических фононах.
Предполагая независимость обоих механизмов рассеяния, имеем
11=У4+^ , 1 М=кТ-е+Х-• о»
где х = Е/кТ, е0 =е кТ и г = АС/ (кТ )2 + е/ кТ = АС/ (кТ )2 +е0.
Удельная электропроводность в случае, когда носители подчиняются классической статистике* (невырожденный газ невзаимодействующих между собой электронов), равна:
л 2 ^
а = — пе _ Г/(х)е~Ххйх, (2)
3у]2пт* кТ 0
где п - концентрация носителей в зоне проводимости.
Взяв квадратуру с учетом (1), находим
4пе А \ АС Т ( )| , >
а= 3^27т* ' (кГ)3/2 { Е^,
где Ь(г) = 1 -ге2 [-Б1(-г)], а Б1(-г) = -1(е *Д)
&.
г
* Применимость классической статистики при преобладании э -приближения при низких температурах (Т < 10К) оправдано тем, что тепловое размытие О- (а+) -центров примерно на порядок и два меньше среднего расстояния между уровнями мелкого донора.
Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для Б1 (-г), можно показать, что [10]:
Ь(г) ~ 1/г - 2/г2 + ... (2 >> 1), (4)
Ь(г) « 1 + г 1п г + ... (г << 1). (5)
Для того чтобы исследовать поведение проводимости а и подвижности
ц =а/еп при различных температурах, необходимо, строго говоря, учесть зависи-
мость числа нейтральных атомов примеси от температуры. Если быть последовательным, то при этом надо было бы учитывать рассеяние на N ионах примеси. Однако в
большинстве полупроводников (кроме, может быть, Ое [2]) энергия диссоциации доноров такова, что число ионов примеси при низких температурах столь мало, что они не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на длину свободного пробега носителей заряда, так что в актуальном диапазоне температур (1 ^ 10) можно положить па ~ п 0
( п0 - полная концентрация примесных центров).
Рис. 1. Температурная зависимость подвижности в темноте (кружочки) и при фотовозбуждении О-(а+)-центров (квадратики) [2]. Штрихами показана теоретическая зависимость (6) [12]. Горизонтальная линия соответствует модели Эргинсоя [13, 17] (крестики соответствуют глубоким центрам кислорода в ОаЛ8). Максимум л связан
с наличием Н-поля (точней для «медленных» и «быстрых» электронов иТ < и, иТ > и)
При п0 = 0 (т.е. С = 0) или высоких температурах (200300), из (3) и (5) получим обычный результат: Цй ~ Т~32 [11, с. 83]. При очень низких температурах (2 >> 1), в пределах актуального интервала (1 10), из (3) и (4) получим (доп. см. приложение 2):
8 е2 пє\т * 4 е є 1 8 вє\т
а~-------——— * ------ ц «---------—-----—--- —«--------- ч...----------т 1/2
3л/2п3/2Й2п04кТ ’ “ 3^2пт* С ^кТ 3л/2п3/2Й2п04кТ , (6)
т е. ц ~7п0 и ц ~ е^тт [12].
Из рисунка 1 видно, что теоретическая кривая качественно верно передает ход экспериментальных точек в окрестности (2 10). Относительно слабый спад подвижности указывает на наличие резонансного рассеяния.
Качественное соответствие с данными эксперимента позволяет рассматривать
D (А +)-центры как уровни, «контролирующие» подвижность носителей заряда. В этом смысле формулы (6) наиболее приспособлены к применению в случае полупроводников Б1, Ое, ЛшБу [2].
Заметим, что разложения (4) и (5) теоретически не затрагивают промежуточную область (10 200)), где рассеяние на заряженных (и других) центрах может быть существенным [13].
2. Теплопроводность и термо-э.д.с.
В соответствии с вышеизложенным мы приходим к выводу о том, что и процессы
переноса тепла носителями также должны контролироваться центрами. Однако это
предположение требует соответствующего математического обоснования.
Для расчета электронной теплопроводности воспользуемся известной формулой
г,=Е 1 к 3-к;)/)/), (7)
где К, - коэффициенты, которые в классическом пределе определяются через интеграл
К, =-4^]т(Е)Е* -1 х 31е-Хйх. (8)
3 т ып 0
Здесь т *(Е )- эффективное время релаксации по импульсу, которое при квадратичном законе дисперсии (и2 = 2Е/т*) определяется по формуле
Т(Е) = I(Е)/и(Е) = I(ЕУт72Е . (9)
Подставляя в (7) к , с учетом формул (1) и (9), получим:
4 т * п А I—II — I2 г х + е0
г. = 4^ - А4кТ^—±, 1п = I —0 хпе- 'ах. (10)
3 л/ п Т 11 0 г + х
Интегралы 1п выражаются через функцию Ь(г) :
11 = 1 -(г -е0 ) Ь(г ), 12 = 2-(г-е0 )[1 - гЬ(г )], 13 = 6-(г-е0 )(2 - г [1 - гЬ(г )]
Аккуратный расчет на основе разложения (4) приводит в этом случае к формуле
16 пек4кт4мт ^1/2
ге ” ПТ 3Ц—Т . (11)
3л/2п ' п0Н
Видно, что электронная теплопроводность при наличии резонансного рассеяния, как и электропроводность, пропорциональна е и л/т *, что вполне естественно в области примесной проводимости Ь0 =ге/(аТ) = 2(к/е)2. В отличие от вырожденных носителей в данном случае число Лоренца Ь0 не отклоняется сколько-либо заметно от
универсальных постоянных. Это связано с тем, что резонансное рассеяние в вырожденных полупроводниках имеет ярко выраженный селективный характер: интенсивно рассеиваются только те носители (дырки), энергии которых лежат в пределах тонкого слоя кТ . Это и проявляется на поведении Ь0 в виде характерных максимумов [4]. Напротив, в невырожденных полупроводниках резонансное рассеяние изотропно: рассеиваются все носители с энергиями ~ кТ **. Сильное резонансное рассеяние носителей вблизи Ер
** Во избежание недоразумений следует отметить, что и при более высоких температурах (Т > 10К) возможно резонансное рассеяние, поскольку носители лишь в среднем имеют энергию кТ. В соответствии с распределением Максвелла имеется некоторая часть медленных носителей, которые все же резонируют даже при (10 + 200 ) и более высоких температурах.
- уровня Ферми в пределах слоя размытия и вследствие этого резкая зависимость т*(Е) от энергии усложняет вычисление кинетических коэффициентов. Выбор параметров (М, Г, ¡1 *), необходимых для расчета 1п, осуществляется только на основе текущих экспериментальных данных [8]. Привлекает получение аналитической формулы для 1п. Трудность получения аналитической формулы заключается в том, что функцию
т*(Ер ± кТ) нельзя разлагать в ряд Тейлора в окрестности уровня Ферми. При невырожденных носителях подобное разложение было бы допустимо, и мы получили бы формулу (9) (так поступают, например, в теории колебаний, когда хотят получить формулу для периода малых колебаний механических систем, ограничиваясь квадратичным членом). Математическое требование сводится к тому, чтобы соблюдалась квадратичность спектра, тогда как формула Брейта-Вигнера для ширины примесной полосы не предполагает квадратичности. В некоторых случая все же удается получить аналитическую формулу (для электропроводности на основе уравнения электронейтральности) [14].
Таким образом, мы можем лишь констатировать, что резонансное рассеяние носителей в вырожденных полупроводниках имеет более специфичный и нетривиальный характер, нежели в невырожденных.
Отметим, что линейный закон возрастания электронной теплопроводности (Хе ~ Т) [15, с. 331] в диапазоне (1 -*10) К соответствует более быстрому росту (спаду)
последней, чем это было бы при наличии резонансного рассеяния хе ~ -\[Т (рис. 2).
2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
0
Рис. 2. Температурные зависимости теплопроводности. Прямая линия соответствует модели Эргинсоя [17]. Параболический спад (рост) характерен при преобладании резонансного рассеяния (из-за задержки). Точки соответствуют опытным данным (Ge)
I ' Вт/(м град)
Этот факт легко понять, если воспользоваться аналогией с «квазистационарными» состояниями. При резонансном рассеянии электрон не просто «натыкается» на примесь или «задевает» ее, но задерживается около нее на некоторое время. Уменьшение средней длины свободного пробега І (є, Т) из-за задержки эквивалентно некоторому приросту примесного теплосопротивления (в расчете на единицу объема). При линейном законе спада мы имели бы соответственно более низкий прирост теплосопротивления.
Выведем формулу для І (є, Т) , применяя стандартную методику усреднения
Z >> 1
по энергиям.
Как известно для тепловых электронов
1 (е, Т )= </) =
11 (х )Ее - Е"-ШйЕ _0______________
]Ее -Е/кТ4ЕйЕ
(12)
Подставляя сюда функцию I (х) из (1), получим
®е - з4Пкт ]
Є0 + X ,,, ----------е хх' йх.
2 + X
Интеграл в (13) выражается через интеграл ошибок:
I
е0 + X
0 - X
---------е X
г + X
3/2 dx
3 -П -(г-е0] 1 -2г
4
1 - г
4Пе
л/Т
-[1 - ф (гг))
Для 2 >> 1 имеет место асимптотическое разложение:
П- [1 -<■>№ 1 -Л +3 15
+ ■
(13)
(14)
(15)
л/г ь ' /л г 2 г2 4 г3 8 г
Подставляя разложение (15) в (14), после соответствующих вычислений получим
I
е о + X
-х 3/2 т 34П кТ
е X 3 dx ------------------------------е .
о 2+х 4 АС
Из (13) и (16) находим
7(е,т) = (/) = е/С — 2те^жЬ2п0)— 4х10-4 см.
(16)
(17)
Формула (17) позволяет оценить различные параметры: сечение рассеяния, среднее время релаксации (квазизадержки).
Отметим, что теоретическая формула (7) получается в результате совместного решения уравнений переноса энергии и заряда, так как в гамильтониане теории, как известно, отсутствует член, соответствующий теплопроводности.
Для оценки термо-э.д.с. при преобладании резонансного рассеяния носителей примем ЕС - Ер — е и е ¡(2 кТ) ~ 1 (что соответствует Т ~ 10 К), используя асимптотик
ку кинетических коэффициентов К1 и К2 при г >> 1 получим а — 3 —, что в три раза
е
меньше термо-э.д.с. при рассеянии на ионах примеси (Т ~ 30 К). Как и следовало ожидать, термосопротивление при резонансном рассеянии оказалось больше, нежели при рассеянии на ионах примеси. Учитывая на самом деле достаточно сложный характер зависимости а(Т) в более широком интервале температур можно заключить, что а(Т) слабо меняется в диапазоне Т ~ (10 30) К. При температурах Т > 30 К носители преимущественно рассеиваются на тепловых колебаниях решетки вплоть до комнатных температур. Это оправдывает формулу (1), являющуюся центральной (в нашем случае) при вычислении кинетических коэффициентов.
Таким образом, формулы (6), (11) и (17) представляют первое приближение (так называемую {I (х), Ь (г)} -аппроксимацию).
3. Эффект Холла и магнетосопротивление
Для определения холловской подвижности 1Н на опыте обычно измеряют помимо удельной электропроводности о постоянную Холла Я. Если имеются носители заряда только одного знака, и они подчиняются классической статистике, то произведение Яо ( Н ^ 0 ) равно:
0
0
Ra=-
И2
Jl2{x)e X4xdx
m {t
(r‘) V2 m • kT j I (x)
0
Подставляя сюда l (x) из (1), получим
(18)
e xxdx
Ra =
eA
J
є0 + x
0 V z + xJ
x4xdx
tJ2m* {kT)3/2
J
є0 + x
------e xxdx
z + x
(19)
Интеграл знаменателя совпадает с интегралом в (2). Интеграл числителя равен
Є0 + x 0 V z+x У
\2
Jx e x dx = Л^П v 2
1--^Cf
AC
(kT)2 V ’(kT)
(20)
где
F
Ґ \ AC
z
\
(kT)
= 4 + 2-
AC
(JFp
4 z + --------------— (1 + 2 z)
Из (19), (3) и (20) получим
e
1 -ЛгF
Ra =
{kT)М ’ {kT)
vz
AC
-ofd)].
242
32
1 -^L (z)
(21)
Для определения поведения Яа при низких температурах подставим разложения (4) и (15) в (21) (см. приложение 3):
4ж е е 1 вЛт * £ 1
Ra=^
2^2 ^m* C VkT yj2nh2 n0 -JkT
z >>1
= —. (22) 8
Если известны т* и п0, то отсюда можно оценить е.
Из (21) видно, что при п0 = 0 (С = 0) Яа ~ цй ~ Т~3/2. При высоких температу-
рах lim F
z ^ 0
V
'■ (kT )2
= 4, поэтому также Ra ~ T 332.
/
Применение разложений (4) и (15) дает для поперечного магнетосопротивления (H ^ 0) оценку (приложение 4) (по Эргинсою данный эффект отсутствует, т.к. если т = const, то (Ар/ р0 )^ = 0):
( А Л Аа f А \ \АР
к°0 ) \- ур0 ) \-
И3) И-(И
Ґ А \
Ар
V р0 А
(4 -n)m * )3рС
7 А
є 4-ж m
(o lres)
2п2Й4и2 kT 4
2kT
4-n E
k
4 kT
(н H )2.
(23)
Здесь сос - циклотронная частота, соответствующая эффективной массе на дне
e
e
0
2
e
0
z
2
зоны проводимости. Отсюда видно, что магнетосопротивление по асимптотике представляет собой эффект «второго порядка» (~£2) по сравнению с подвижностью, теплопроводностью и эффектом Холла.
— m {(Oc l res )
Величину E k =-^—— можно интерпретировать как среднюю кинетическую
энергию носителей, отклоненных в магнитном поле на фоне неупорядоченно расположенных D-(A + )-центров. В промежутках между актами рассеяния частица движется под действием поля. Прежде чем рассеяться, частица проходит малую часть орбиты. Почти прямая линия между двумя центрами является очень малой частью орбиты. Двигаясь вдоль этой «линии», носитель приобретает относительно «точки наблюдения» на
оси постоянного вектора Н кратковременный момент импульса LH ~ m *vc lres (ví:=a>Clres - циклотронная скорость), причем lres является «радиусом кривизны» (lres << rC, r- - радиус циклотронной орбиты).
При достаточно низких температурах LH является интегралом движения.
Как видно из (23) тепловое движение стремится стряхнуть частицу с орбиты. Критерий устойчивости на мгновенной орбите vc - vt .
К сожалению, неупорядоченность D-(A + )-центров не позволяет представить их поле в виде периодической функции (теорема Фурье). Концентрация n 0 считается малой, т. е. одновременное рассеяние носителей на двух и более центрах не учитывается, что соответствует обычному газовому [12, 15, 16].
Следует указать на то, что l res = const, и никакого «выигрыша», на первый взгляд, резонансное рассеяние в среднем не получает (<rr ~ 1/1 res ). Однако из-за «укорочения» lres (вдоль | Е |) между актами рассеяния, <rr (поперечник) как бы получает (в классическом смысле***) некоторое ^<rr > 0 малое приращение (квазилокальный прирост), причем в качестве параметра малости выступает множитель E k (Н )(kT) (см. приложение 5).
4. Учет «рассеивающего» влияния H -поля
На основе формулы для магнетосечения
^eff (Н)=°г (о)
1 4-п EкЛ
1 +-----------
V 4 kT J
—/ \ 2ж% — 2
где <гг (0) = —-—, Eк ~ Н (см. приложение 5) можно сравнительно легко проанализи-m * є
ровать влияние поля на тепло- и электропроводность. Качественно ясно, что оба типа проводимостей должны уменьшится из-за укорочения ігек:
и T T 1 T 1
(Гг (H) \m* _ E к ^ lm* ах (о)
аТ (0>
1 +
V kTJ
V kTJ
Из этой оценки нетрудно понять, что «точные» формулы для <г(Н) и х(н) должны иметь вид (в рамках правомерности формул (6) и (11)):
- “ После усреднения (пригодного для квазистационарного состояния) <гге5 приобретает класси-
, .
—(Н )-ст(0) 1 -
4-п Eк 4 1T
х,(н)=х(о)
У
4-п EкЛ
4 kT
(24)
Следовательно, суперслабое магнитное поле не «возмущает» число Лоренца L (о)~ L(H). Закон Видемана-Франца выполняется с достаточным запасом точности. Факт уменьшения <г(Н) и х(Н) (в среднестатистическом аспекте) можно также выразит в терминах укорочения средней длины свободного пробега
l... (н )=
1
1
n 0 —eff (Н ) п—((Л
n0 — r (0)
1 +
4-п E 4 ~kT
4-п Eк 4 1T
У
: М
l res (Н )= l res (о)- const[ res (0)J , [const] = ] где lres (0) задается формулой (17). Общая динамика представлена на рисунке 3.
(25)
Цну/Цо)
область резонанса
Jt:
(5)'
1 — с о n s t
Н
Рис. 3. Зависимость длины свободного пробега от суперслабого Н -поля Зависимость (25) налагает ограничение на l гек (0):
l re. (0)i-^,
°с\
8 kT,
Вне предела
(Oc V
8 kT,
(4 -п)
m
(4 -п)ш*
{l (x), L (z )}-апроксимация неправомерна (T, - тем-
пература, соответствующая поперечному отклонению носитетлеи, при которой «маг-
E / \
нитный момент» орбиты — = const, TL ~ (1 ^ 2) К (рис. 1)).
H
На основании (24) и (25) можно сформулировать правило: пусть известно усредненное сечение рассеяния электрона на D-(A +)-центре в отсутствие магнитного поля; сечение рассеяния в суперслабом магнитном поле будет таким же, как и сечение без поля с поправкой E k (Н)/(kT).
Влияние слабого поля на а определяется зависимостью (9), из которой после усреднения следует Т , т.е. время свободного пробега для «медленных» электро-
нов больше, чем для «быстрых», а это значит а(Н )> а(0).
Отметим, что если использовать стандартные методы расчета [11, 15], то объем различных вычислений возрос бы, а результаты были бы почти те же. В этом основное преимущество данного подхода - учет влияния слабого магнитного поля осуществляется на основе замены — (0)^— eff (Н) (образно гибридное сечение). Исходя из
такого квазиклассического «расширения», можно в принципе рассчитать всевозможные кинетические эффекты в слабом -поле, число которых велико, при этом важно
1
1
придерживаться схемы {(х),L(z)}-аппроксимации (при одном превалирующем механизме рассеяния).
E
Замена <гг (о)^ае{Г (Н) не претендует на числовой множитель при —- для
кТ
х(Н), так как данная замена предполагает суперслабое поле и отражает лишь умень-
шение х(Н). В случае <г(Н) стандартный метод и <гг (о)^ (ГеП (н) приводят к одному и тому же числовому множителю [11, с. 96].
5. Электропроводность тонких полупроводников
Если травлением или протяжкой уменьшить диаметр полупроводника d до такой степени, что d ~ l, то значительная часть электронов проводимости будет рассеиваться
на поверхности. Отсюда следует, что поверхностное рассеяние будет существенной добавкой к объемным эффектам. Для полупроводников в отличие от металлов поверхностное рассеяние носит сугубо упругий характер: Л = 4т*кТ ~10-6 см, Л>> a, т.е.
электроны не «чувствуют» «интерференционную» структуру поверхности. Получение соответствующих формул требует решения кинетического уравнения Больцмана с подходящими граничными условиями на поверхности [16, с. 210]. Наибольший практический интерес может представлять формула [15, с. 261] (d << l):
I d
P = Pv-;, ° = °у-, (26)
d I
где pv - объемное сопротивление, Gv - определяется выражением (6).
Подставляя в (27) формулу (17), получаем (для оценки Т ~ 10К, d > 10- 5 см): d 4 e2nd 4 ed
- (105 *106)см!/с. (27)
1 3^¡2яkTm 3д/2п kTm
Как следует из числового интервала ¡1Л, электроны не «чувствуют» наличие нейтральной примеси вообще, не говоря уже о D-(A + )-центрах. Поверхностное рассеяние затушевывает остаточное примесное рассеяние: ое8 ~ 1/(пеа)^ ~10-8 см2 (см. приложение 1). В этом смысле можно сказать, что ковалентный кристалл ведет себя как ква-зиидеальный. Вопреки традиционному воззрению, что нейтральные примеси ответственны за остаточное сопротивление, полученный результат показывает, что это не всегда так: электрофизика образца во многом регламентируется именно тем, в каком отношении соотносятся диаметр а и средняя длина свободного пробега электронов I,
кроме того увеличение концентрации носителей за счет фотовозбуждения D-(A + )-центров может привести к уменьшению поверхностного рассеяния и проявлению других механизмов рассеяния. По-видимому, также обстоит ситуация и в случае обычного нерезонансного рассеяния носителей заряда на нейтральных примесях [13].
Выводы
Основное содержание настоящей работы можно свести к формулам (6), (11), (17), (22) - (25) и (27), которые имеют прямой физический смысл, раскрывая специфику резонансного рассеяния, и которые необходимы для осмысленного изучения поведения температурных зависимостей различных кинетических коэффициентов при низких температурах и слабых Н -полях.
Полученные формулы дают право критически оспорить формулу Эргинсоя, со-
гласно которой подвижность носителей заряда в интервале Т = (1 10 )К не зависит от
температуры. Ведь совершенно ясно, что подвижность ц в отличие от термо-э.д.с. \а\
весьма чувствительна к температуре. Формула Эргинсоя носит эмпирический характер и ее нельзя конечно воспринимать буквально. На наш взгляд резонансное рассеяние на нейтральных примесях более физично во многих отношениях, что подтверждается конкретными числовыми оценками.
При высоких и низких температурах Я а пропорционально ¡1Л и имеет различную температурную зависимость. Если откладывать на графике зависимость ^(Яа) от \%Т, то при высоких и низких температурах получаются прямые с угловыми коэффициентами (- 3/2) и (-1/2). Для определения Т - температуры перехода от одной температурной зависимости к другой, необходимо, строго говоря, решить сложное трансцендентное уравнение. Для оценки Т положим /ь ~ ¡ге8 и Е ~ кТ , тогда
~(е+кТ„ер)/С .
Необходимо различать два крайних случая. Если е <<VАС , то легко показать, что
Т,,, ~1АС/к . (28)
В противоположном случае, когда е>>л/ АС ,
Тпер ~ АС(ке) . (29)
Когда е ~ VАС , то по порядку величины применим критерий (28), как это видно из критерия (29).
Выше мы оценили А = 2,4 х 10-19 эрг-см и С = 0,4 х10-11 эрг/см. Таким образом, 4АС = 0,97 х 10 15 эрг (е~0,61 мэВ) ^Т ~10К. Отсюда можем предположить, что переход будет наблюдаться и при более высоких температурах в зависимости от степени легирования. Легко показать, что если в более общем случае /ь ~ Т~р, то при низких температурах, когда можно пренебречь решеточным сопротивлением, Яа по-прежнему ~ Т ~12.
При не слишком слабых полях {(0Ст > 1) (когда разложение —1— ~ 1 - х не вполне
1 +
1 + X
L ~ E, !k ~H2
4 — ж Ek kT + Ek
правомерно) <г(Н) =-----_-----------4^^ , ~ EkJk ~ H2
4 kT
(H)~ (Ek)—1 ,!~1/H. (30)
Наличие максимума радикально отличается от случая Н = 0 [2].
Формулы (30) практически совпадают с формулами, полученными в работе [12],
при этом <г(Н) резонансно возрастает как l/VT (рис. 1).
При очень низких температурах при наличии суперслабых Н -полей реализуются весьма благоприятные условия для повышения эффективности термопар (из-за квазипостоянства ): = 2а(7Ла/хе > 0 [14].
На основе (17) нетрудно оценить величину поля, необходимую для туннелирования носителей. Для оценки |е| положим eE(Pj ~ £, тогда
Е~ 7th2n0l(2m*e)= 2,5 В/см.
Полученное значение напряженности соответствует области суперслабых полей.
Коэффициент «просачивания» при этом практически равен единице. Так что говорить о наличии какого-либо потенциального барьера (ямы) при резонансном рассеянии особо не приходиться, и он имеет в этом случае скорее формальный, нежели реальный смысл. Эффект задержки (передергивания электронной волны) здесь выражается в том, что медленный электрон начинает при этом слегка спотыкаться, что качественно отражено на графиках (1) и (2).
Критически оценивая формулы (27), можно прийти к выводу, что джоулевы потери могут происходить только на поверхности, но тогда поверхностное рассеяние носителей не будет «абсолютно упругим», оно будет скорей квазиупругим (аналогично столкновению фононов со стенками сосуда).
Приложение 1 (к пункту 1.1)
При высоких температурах (2 << 1) иер = 1/(пр/ь)~ Йютах/(А N^10"16см2, а сечение (Тк;. может проявиться лишь как одиночный «всплеск» на фоне акустического
рассеяния, но так как число резонирующих носителей исчезающе мало, то резонансное рассеяние весьма маловероятно (см. сноску ** на странице 40).
При низких температурах (1 10) К , <7ге;. = 1/(п0)~10-12см2 ; число фононов 7 х2 ёх
|---1—:---Т3 (0 - температура Дебая, N - число атомов);
¿С л
пр = 9N
'ех
р(х)-1
1 и
Т
пр/ер 9^(0)(иЛаН00Т)? 9Nа и? 0
10-18 см2
Т
3/2
Рис. 4. Примерный ход температурной зависимости усредненного эффективного сечения при различных механизмах рассеяния. Как видно, конкуренцию резонансному рассеянию может составит лишь рассеяние на ионах примеси (из-за сильного кулоновского, потенциала), но вне актуального интервала
0
2
1
Для точечных дефектов и примесных атомов (по Эргинсою) аи~ка2, а1тр ~ 10-15см2. Кулоновское сечение: а 1 ~ Т~2 ~ 10-13см2, <т1еа/а 1 ~ Т*.
Следовательно, резонансное рассеяние в указанном интервале полностью доминирует (рис. 4).
Приложение 2 (к пункту1.2)
При очень сильных магнитных полях отношение предельных значений электропроводности равно
а,
а,
■ X + £„
-хе Хёх
г + х
х + г
х2 е Хёх
£
Первый интеграл I имеет классическую асимптотику ~^кТ, второй равен
2 АС
12 (2 ^£0 )= 2 — £0 - г)[1- £0Ь£0)] и имеет классическую асимптотику ---------. В ре-
£кТ
а,
зультате имеем
а
= -32 в полном соответствии с результатом Давыдова-9п
Шмушкевича [11, с. 105]. В данном случае асимптотика
а,
а
г >>1
32
9п
означает, что в
пределе классически сильного магнитного поля рассеяние носителя на атоме примеси аналогично рассеянию последнего на высоковозбужденном акустическом фононе. При такой трактовке мы приходим к независимости I от скорости. К этому же выводу можно прийти и на основе теории Дебая [15].
Вывод справедлив и при произвольном I ~ Т — р.
Приложение 3 (к пункту 3.1)
(кТ)
3/2
АС
АС
АС (кТ )2
Ь (г)
АС
(кТ )2
2 3
г г
АС 1 (кТ )2 г2
(кТ)
3/2
АС ( 1 2! 3!
I —
г >>1
(кТ )2
2 + 3
г г
А
АС
А кТ £ 1
£ =
(кТ)3/2 £ (кТ)3/2 АС С ,[кТ
Т -1/2
АС
Приложение 4 (к пункту 3.2)
Общая теоретическая формула:
= ар.
ТГ
А2 т * 2 {кТ )3
х
г >>1
г
\2
х
АС
М
АС
(кТ)2 ^ • (кТ)2) _п
1 — т^^Ь (г) 4
(кТ )
АС (кТ )
V
АС (кТ г
\\1
1 —^Ь (г)
Здесь М
АС
(кТ)2 I I (кТ)
АС
2
1 — гЬ (г) АС 3Ь (г) 1 — Ь (г)
+ 3------—, а функция
(кТ )2
АС
(кТ) (С = 0)
определена интегралом (20). Из исходной формулы видно, что при п 0 = 0
V
■Юг
А 2 т *(4 —п) = 4 — п т *(Юс1ь )2 ~ Т-3 ( ^ 0)
8 (кТ )3 ' ,
4
2 кТ
V Р | ± С 8 (-Г )3
При низких температурах на основе разложения (4) имеем:
I —
АС (кТ )2
М
АС (кТ )
АС (кТ )
АС
(кТ )2
АС
(кТ )2
\2
АС
(кТ )2
\2
3 3АС 1 6 АС 1 18 АС 1
(кТ)2 г2
+
(кТ )2 г3
(кТ)2 г4
+ •
АС (1 2! 3!
(кТ )2 I г г2 + г3
АС 1 кТ ~ 1---------------£ .
/ \ т
АС
(кТ)
АС
(кТ )2
кТ
АС
\3
£
+3
I — -
кТ
АС
2
£
кТ
АС
£
+ О
АС
(кТ )2
(кТ )3
АС ( 1 2! 3!
(кТ)
2 | 2 + 3
гг г
кроме того,
(кТ )3
АС
кТ
АС'
л3
£
кТ Л2 £ 1
£
(кТ)3 £ (кТ)31 АС ) С2 кТ ’
АС
АС
(кТ )2 Г (кТ )
кТ
2
£
(кТ)3/2 АС I С 4кТ
£ 1
2
£2 1
С2 кТ
г
г
г
г
г
2
г >>1
1
3
4
2
г
г
г
г
т
1
п
г
2
2
2
2
2
1
г >>1
Следовательно,
f А \
Ap
V ро Ji
2 л 2 *
»(2 A да
2 (kT)3
1 AC
1 —^-----------г^г M
(kT )2 ■ (kT)
AC
I-------------------------------------------------------
AC (kT )
L (z)
AC
i-------------------------------------------------------
F
AC
\\
(kT )2 Г (kT )
i-------------------------------------------------------
AC (kT )
L (z)
z >>1
f л ^
Ар
V p0 Ji
2 * /"
», да
2
£_ J_
C2 kT
(4— п)(да *)3
col e2
2n2 h4 и2
kT
т.е. получаем формулу (23), являющуюся связующим звеном между первым и вторым приближением ( ~ £ 2).
Результат (23) требует качественного разъяснения: в актуальной области подавляющее большинство носителей (которые резонируют) лишь в среднем имеют энергию Е ~ кТ ~ £, и для них I не «укорачивается». Но носители с энергией, меньше средней
(Е < Е ~ £), будут отклоняться в сторону «электрической» силы, а носители с энергией (Е > Е ~ £ ) - в противоположную сторону. И для тех, и для других I уменьшится (рис. 3), при этом число отклоняющихся носителей ничтожно мало: Ап/п ~ Е к/кТ ~ 12 ~ £2, откуда следует, что Ар/р~ £2.
Приложение 5 (к пункту 3.3)
Усреднение сечения резонансного рассеяния (см. сноску 3)
| (г(Е )E exp (-E/kT ))e dE _о________________________
JE exp (- E/kT) )E dE
4 2nh2 1 ~r x 3/2 exp (-x)
— f-—dx ^ hT J
m* kT 0 x+e
—( ) i \ 4 Ink2 1
O (0) = (°r)E =--------*—-¡~r
' 'E 3 да kT
1 — £
-[1 - ф ((70)
£0 >> 1 t ^ 0
2nk2 1
да
В актуальном диапазоне
Al " Ap
^7 z >>1 V Ро У
4 — n E i
4 kT
, Al = l (H)—/(0), Or (0) = -L °r (H ) = —
П l ,l0l0
n 0 lH
. /ут\ > 1 Al 1 4 — п Ek 4 — n Ek л/.\ /гЛ
Aor = O(H)—O(о), Aor ~ _ ;r= —-----------------— —= —;——(V4)°r(о),
n0 l0 n0l0 4 kT 4 kT
l0 ~2да* £{jth2n0)= const, только поэтому Aor = (1/4) Aor (H), тогда
Oeff (H )-°r (0)
4 kT
= Or (0)
У
^ constл 1 +-------
V T у
2
0
0
0
£
Как видно из асимптотической оценки при очень низких температурах тепловой разброс не существенен для статистического сечения резонансного рассеяния. Среднее сечение рассеяния определяется только одним единственным параметром є ^-(А +)-
центра) и m* (носителя) (при этом нет необходимости, чтобы E было близко к є (см. сноску 2)). Однако тепловой разброс существенен при наличии поля! Существенно, что приращение сечения квадратично по полю.
В формуле для аей- (н) отражено результирующее влияние магнитного поля и
«поля» D-(A + )-центра. Область в окрестности центра как бы слегка набухает, радиус действия его «поля» слегка возрастает. Другими словами, влияние слабого Н -поля на резонансное рассеяние (как, впрочем, и на другие механизмы рассеяния) эквивалентно (при нашем подходе) квазилокальному «растяжению» (А г ~Н2 ^ 0) поперечника центра. Растяжение поперечника лимитировано сменой механизма рассеяния. Во избежание «дифракции» должно соблюдаться условие Eк << є ~ Ш, которое, как правило, хорошо соблюдается в суперслабых полях.
Рассеивающее действие -поля наиболее эффективно на границе центра. В соответствии с «гипотезой локального равновесия», которое налагает ограничение на АT, а
именно, АТ|^^ << Т|^у мы предполагаем, что изменением температуры в Г^-
окрестности центра можно пренебречь. Относительная доля носителей, преодолевающих заслон, пренебрежимо мала: Ап ¡и ~ р2 << 1, (р> %/(т *ьТ Аг)), так что подав-
ляющее большинство носителей интенсивно рассеиваются и в формулах кинетических коэффициентов не надо вводить поправок на п (8п = 0).
Как видно, формула для сечения формально схожа с формулой Сезерленда для газокинетического сечения.
Таким образом, магнитное поле столь слабо (Н ^ 0), что оно лишь слегка искривляет траекторию носителей между актами рассеяния, и можно не учитывать его влияние на специфику рассеяния:
Ііто-е* (Н ) = ^г (0).
0
Примечания:
1. Ландау Л Д., Лифшиц ЕМ. Квантовая механика. М.: Физматлит, 2001. Т. 3. 803 с.
2.
центрах в кинетических явлениях при низкой температуре / Э.З. Имамов, НМ. Кол-чанова, Л.Н. Крещук, И.Н. Яссиевич // ФТТ. 1985. Т. 27, вып. 1. С. 69-76.
3.
алмазе при низких температурах / А.С. Батурин, В.Н. Горелкин, В.Р. Соловьев, И.В. Черноусов // ФТП. 2010. Т. 44, вып. 7. С. 897-901.
4. -
денных полупроводниках при резонансном рассеянии носителей тока / Л.В. Прокофьева, А А. Шабалдин, В А. Корчагин, С. А. Немов, ЮЛ. Равич // ФТП. 2008. Т. 42, вып. 10. С. 1180-1189.
References:
1. Landau L.D., Lifshits E.M. Quantum mechanics. M.: Fizmatlit, 2001. Vol. 3. 803 pp.
2. The role of dispersion on small neutral centers in kinetic phenomena at low temperature / E.Z. Imamov, N.M. Kolchanova, L.N. Kresh-chuk, I.N. Yassievich // FTT. 1985. Vol. 27, Iss. 1. P. 69-76.
3. Calculation of mobility of charge carriers in diamond at low temperatures / A. S. Baturin, V.N. Gorelkin, V.R. Solovyev, I.V. Chernou-sov // FTP. 2010. Vol. 44, Iss. 7. P. 897-901.
4. Lorentz number and Hall factor in degenerate semiconductors at resonant dispersion of currents / L.V. Prokofyeva, A.A. Shabaldin, V.A. Korchagin, S.A. Nemov, Yu.I. Ravich // FTP. 2008. Vol. 42, Iss. 10. P. 1180-1189.
5. -
лей тока в РЬТе <№+Те> / Л.В. Прокофьева, . . - , . . , А А. Шабалдин // ФТП. 2009. Т. 43, вып. 9. С. 1195-1198.
6. . . -
ходов на термоэлектрические свойства вещества // ФТТ. 1966. Т. 8, вып. 4. С. 9991003.
7. - . ., . .
Влияние межзонного рассеяния на термоэлектрические свойства полупроводников и полуметаллов // ФТТ. 2010. Т. 52, вып. 7.
С. 1257-1261.
8. . ., . ., . .
Энергия примесных резонансных состояний в теллуриде свинца с различным содержанием примеси таллия // ФТП. 2011.
. 45, . 6. . 740-742.
9.
8и0 62РЬ0 330е0 05Те / С А. Немов, ПА. Осипов, В.Й. Прошин [и др.] // ФТТ. 2000. Т. 42, вып. 7. С. 1180-1182.
10. ., ., .
функции. М.: Наука, 1977. 344 с.
11. . .
полупроводниках. Л.: Наука, 1970. 302 с.
12. Андреев С Л., Павлова ТБ., Небогатое
..
циклотронного резонанса нейтральными примесями в двух- и трехмерных полу//
НКЯУ МИФИ-2010. Т. III. Современные проблемы физики конденсированного состояния. М., 2010. С. 89-92.
13. . ., . .
носителей заряда на глубоких нейтральных центрах в высокоомных кристаллах // . . . Гумилева. 2010. № 6. С. 136-138.
14. Кайданов В.И., Немов СА., Равич ЮЛ. Резонансное рассеяние носителей тока в полупроводниках типа А1УВУ1 // ФТП. 1992. Т. 26, вып. 2. С. 201-222.
15. . -
мости в твердых телах. М.: Мир, 1971, 472 .
16. . . -
лах и полупроводниках. М.: Наука, 1969. 296 .
17. Ег§т8оу С. №ига1 1шригйу 8сайепп§ 8ешюоМис1;ог8 // РЬу8. Яеу. 1950. Уо1. 79, N0. 6. Р. 1013-1014.
5. Electronic spectrum and dispersion of current carriers in PbTe <Na+Te> / L.V. Prokofyeva,
D.A. Pshenay-Severin, P.P. Konstantinov, A.A. Shabaldin // FTP. 2009. Vol. 43, Iss. 9. P. 1195-1198.
6. Kolomoyets N.V. Influence of interzonal transitions on thermoelectric properties of a substance // FTT. 1966. Vol. 8, Iss. 4. P. 9991003.
7. Pshenay-Severin D.A., Fedorov M.I. Influence of interzonal dispersion on thermoelectric properties of semiconductors and semimetals // FTT. 2010. Vol. 52, Iss. 7. P. 12571261.
8. Nemov S.A., Ravich Yu.I., Korchagin V.I. Energy of impurity resonant states in lead tel-luride with the various content of thallium impurity // FTP. 2011. Vol. 45, Iss. 6. P. 740742.
9. Superconductivity of alloys
Sn0 62Pb0 33Ge0 05Te / S.A. Nemov, P.A. Osipov, V.I. Proshin [etc.] // FTT. 2000. Vol. 42, Iss. 7. P. 1180-1182.
10. Yanke E., Emde F., Lesh F. Special functions. M.: Nauka, 1977. 344 pp.
11. Askerov B.M. Kinetic effects in semiconductors. L.: Nauka, 1970. 302 pp.
12. Andreev S.P., Pavlova T.V., Nebogatov V.A. Broadening of a curve of a classical cyclotron resonance by neutral impurity in two-and three-dimensional semiconductors // Works of Scientific Session of NIYaU MIFI-2010. Vol. III. Modern problems of physics of the condensed state. M., 2010. P. 89-92.
13. Petrikova E.A., Simakin M.V. Dispersion of charge carriers on the deep neutral centers in high-resistance crystals of gallium arsenide // The Bulletin of the ENU of L.N. Gumilev. 2010. No. 6. P. 136-138.
14. Kaydanov V.I., Nemov S.A., Ravich Yu.I. Resonant dispersion of charge carriers in AIVBVI semiconductors // FTP. 1992. Vol. 26, Iss. 2. P. 201-222.
15. Blatt F. Physics of electronic conduction in rigid bodies. M.: Mir, 1971, 472 pp.
16. Fiks V.B. Ionic conduction in metals and semiconductors. M.: Nauka, 1969. 296 pp.
17. Erginsoy C. Neutral Impurity Scattering Semiconductors // Phys. Rev. 1950. Vol. 79, No. 6. P. 1013-1014.
