Влияние резонансного рассеяния носителей тока на электрические и тепловые свойства ковалентных полупроводников Текст научной статьи по специальности «Физика»

2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 4. Вып. 2

ФИЗИКА

УДК 537.311.33 Т. Т. Муратов

ВЛИЯНИЕ РЕЗОНАНСНОГО РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА КОВАЛЕНТНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Ситуация, когда дискретный уровень мелкой донорной (акцепторной) примеси локализован вблизи дна зоны проводимости (потолка валентной зоны), довольно часто встречается в полупроводниках. Если при этом значение кинетической энергии свободного электрона (дырки) близко значению энергии такого уровня, то возникает резонансное рассеяние носителей тока.

При низких температурах конкретный вид рассеивающего потенциала мелкой примеси не имеет принципиального значения [1], и наличие неглубокого уровня (так называемого П-(А+)-центра), ответственного за резонансное рассеяние, можно определить формальным методом, основанным на приближении в-рассеяния. При таком подходе удаётся рассчитать все основные кинетические коэффициенты в ковалентных полупроводниках [2]. В работах [3-5] в рамках двузонной модели проведены расчёты кинетических коэффициентов в РЬТе ^а + Те) в диапазоне 100-300 К. Легко, однако, понять, что при очень низких температурах (Т = 1 + 10 К) все имеющиеся модели приводят к одной и той же температурной зависимости кинетических коэффициентов вне зависимости от энергетического спектра носителей. Кроме того, именно при столь низких температурах возможно усиление влияния резонансного рассеяния на кинетику тепловых и электрических явлений.

В связи с этим для анализа кинетических эффектов следовало бы в теоретических целях изучить температурную зависимость электропроводности, теплопроводности и магнетосопротивления в режиме Т ~ 1 К. При этом, разумеется, исключается область температур, близких к абсолютному нулю, где приближение «квазиклассики» недостаточно.

В представляемой работе на основе формулы Бете—Вигнера (которая предполагает квадратичность спектра [1]) исследуется влияние резонансного рассеяния на процессы переноса тепла и заряда и выводятся соответствующие формулы для кинетических коэффициентов.

Электропроводность и подвижность. При высоких температурах подвижность носителей тока обусловлена взаимодействием электрона (дырки) проводимости с тепловыми колебаниями решётки. Длина свободного пробега электрона в ковалентном

© Т.Т.Муратов, 2012

кристалле

¡ь = А/ (кТ).

Здесь А = Ша — постоянная, определяемая тепловыми флуктуациями решётки, где Ш — энергия порядка атомной (или несколько больше); а — постоянная решётки (т. е. ¡ь ^ а). Следует отметить, что А от кинетической энергии Е электрона не зависит. Полагая Ш = 5 эВ и 3 • 10-8 см, получим А = 2,4 • 10-19 эрг • см. Длина свободного пробега, связанного с резонансным рассеянием,

1 _ 1 _ 4 _ 2т*(£Че) _ Е + г Н паоц пао8 л:Ь?па С

где па — концентрация рассеивающих центров; е — энергия образования П-(А+ )-цен-тра (резонансный уровень). Элементарные оценки показывают, что Е + е ~ 1 мэВ [2]. Полагая, к примеру, па = 2 • 1015 см-3 (С = 0,4 • 10-11 эрг/см), находим, что ¡и на два порядка превышает ¡ь при Т ~ 300 К, это качественно согласуется с результатами работы [5]. Таким образом, есть основание полагать: при низких температурах роль резонансного рассеяния будет доминирующей.

Допуская независимость обоих механизмов рассеяния, имеем

1-^-4-2. К А £° + х СП

/ _ /ь /д' ~ кТ г + х '

где ж = Е/(кТ); е0 = е/(кТ); г = АС/(кТ)2 + е/(кТ) = АС/(кТ)2 + е0.

Удельная электропроводность в случае, когда носители подчиняются классической статистике,

сю

4пе2

3\/2лт*кТ

Взяв квадратуру с учётом (1), находим

4ne2 A

(А-Т)3/2

1 ГС \

l~WfL[z\

(3)

где L(z) = 1 - zez[- Ei(-z)], а

сю

Г e-t

Ei(-z) = - —dt.

z

Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для Ei(-z), можно показать, что [6]

1 2

L(z) « - - 4 + ... г » 1, (4)

z z2

L(z) « 1 + zlnz + ...z < 1. (5)

Чтобы исследовать поведение проводимости о и подвижности ц = a/(en) при различных температурах, необходимо, строго говоря, учесть зависимость числа нейтральных атомов примеси от температуры. При этом надо было бы учитывать рассеяние на ионах

a

a

примеси. Однако в большинстве полупроводников энергия диссоциации доноров такова, что из-за малого своего числа ионы примеси при низких температурах не оказывают заметного влияния на длину свободного пробега носителей тока, поэтому в актуальной области температур (х ^ 1) можно положить па = по — полной концентрации примесных центров. При по = 0 (т. е. С = 0) или высоких температурах (х ^ 1) из (3) и (5) получим обычный результат: ц ~ Т-3/2. При низких температурах (х ^ 1) из (3) и (4) получим

8 е2 пел/т* 4е е 1 8 еел/т*

3\/2л3/2Ь?щ\ГкТ' ^ За/^зш^С АДТ ЗуДл3/2 Н2п0л/кТ

Т-1/2, (6)

т. е. [1 ~ 1/по и [1 ~ Ел/т*.

Результаты можно интерпретировать, рассматривая П-(А+)-центры как уровни, «контролирующие» подвижность носителей тока. В этом смысле формулы (6) наиболее приспособлены к применению в случае полупроводников системы Se—Аэ, легированных галогенами [7].

Теплопроводность. В соответствии с вышеизложенным мы приходим к выводу, что и процессы переноса тепла носителями также должны контролироваться центрами. Однако это предположение требует соответствующего математического обоснования. Для расчёта электронной теплопроводности воспользуемся известной формулой

_ К1К3 -

Хе - К{Г , (')

где К8 — коэффициенты, которые в классическом пределе определяются через интеграл:

сю

4п

К =

= [х*(Е)Е8-1х3/2е-:Ч,х, х = Е/(кТ). п .]

3 л?

о

Здесь п — концентрация носителей тока в зоне проводимости; т* (Е) — эффективное время релаксации по импульсу, которое при квадратичном законе дисперсии (у2 = = 2Е/т*) определяется по формуле

Подставляя в (7) К3 с учётом формул (1) и (8), получим

сс

_ 4т*» А ^ Уз - Го _ [ X + е0 ,

Хе о /— г/л т ? I X С (IX.

За/л Т 1\ ' ] : + х

о

Интегралы 18 выражаются через функцию Ь(х):

11 = 1 - (х - ео)Ь(х);

12 = 2 - (х - ео)[1 - хЬ(х)];

13 = 6 - (х - ео)(2 - х[1 - хЬ(х)]).

Аккуратный расчёт на основе разложения (4) приводит к формуле

\у„,у1.лТТ\— 1/2

Хе З^лУЬгоП2 ' [ '

5

о

Таким образом, электронная теплопроводность при наличии резонансного рассеяния, как и электропроводность, пропорциональна е и л/т*, что вполне естественно в области примесной проводимости: %е/о = 2(к/е)2Т.

Отметим, что линейный закон убывания электронной теплопроводности в диапазоне Т = 1 10 К соответствует более быстрому спаду последней, чем это было бы при наличии резонансного рассеяния: %е ~ л/Т. Этот факт легко понять, если воспользоваться аналогией с «квазистационарными» состояниями. При резонансном рассеянии электрон не просто «натыкается» на примесь или «задевает» её, но задерживается около неё на некоторое время. Уменьшение средней длины свободного пробега /(е, Т) из-за задержки эквивалентно некоторому приросту примесного теплосопротивления (в расчёте на единицу объема). При линейном законе спада мы имели бы соответственно более низкий прирост теплосопротивления.

Выведем формулу для /(е,Т) при г ^ 1, применяя стандартную методику усреднения по энергии. Как известно, для тепловых электронов

/ 1Ее~&\/Ё<1Е

/е, Т) = (I) = (1)е =

¡Ее-

Подставляя функцию 1(х) из (1), получим

сю

4А [ е0 + х

(1)1

Зл/лкТ У г + х

С3/2(1х.

(10)

Интеграл в (10) выражается через интеграл вероятностей:

е-хх3'2<Ь = ^ - (г - (1-2;

г+х 4 1 7 2 1

л/г

(11)

При г ^ 1 имеет место асимптотическое разложение:

/пе'

ж, ^ 1 1 3 15

(12)

Подставляя (12) в (11) после соответствующих вычислений, получим

оо

г + х

4 АС

(13)

Из (10) и (13) находим

е 2т* е

г>>1 С ~ яП?

по

0,4 • 10-3 см.

(14)

Формула (14) позволяет оценить различные параметры: сечение захвата, среднее время пробега (задержки), угол Холла (ф# ~ е) и т. д.

кТ

Эффект Холла и магнетосопротивление. Для определения холловской подвижности на опыте обычно измеряют, помимо удельной электропроводности о, постоянную Холла Я. Если имеются носители тока только одного знака и они подчиняются классической статистике, то в классическом пределе Н ^ 0. Тогда

Roc =

Подставляя l(x), получим

Roc

(СО2)

(т*) а/2 т*кТ

f l2(x)e Xy/xdx

f l(x)e-0

cxdx

eA

00 / \ 2

V2^*(kT)3/2

r e~xxdx

J z+x

(15)

Интеграл знаменателя совпадает с интегралом в (2). Интеграл числителя

ËQ + X

z + x

1 ас

(kT )2

'' (kT)2

(16)

где

F

АС

WT

= 4 + 2

АС

(ИТ2

AC

4z + WT{1 + 2z).

'ne

Из (15), (3) и (16) получим

Roc =

A

I ~ГТ— I \ '• • АС

(fcT)2

(кТУ2

2А/2 А/Ш*" (А-Т)З/2

1 -

АС

(W

L(z)

(17)

Для определения поведения Roc при низких температурах подставим разложения (4) и (12) в (17):

Roc

1

e^J m* е

1

Цн

2А/2 А/^* С ,ДТ А/2згЙ2 п0 АДТ

Ц '

~ М, ~

T-1/2.

(18)

Если известны m* и по, то можно определить е. При z ^ 1: Roc ~ T-3/2.

Разложения (4) и (12) дают для поперечного магнетосопротивления (H ^ 0) формулу

О2 (m* )3 е2

(Ар/р).

T-

(19)

2п2ПАп0 кТ

Здесь О — циклотронная частота, соответствующая эффективной массе на дне зоны проводимости. Видно, что магнетосопротивление по асимптотике представляет собой эффект «второго порядка» (— е2) по сравнению с подвижностью, теплопроводностью и эффектом Холла. Однако наличие температурного множителя может обусловливать вполне ощутимый эффект. В связи с этим присутствие магнитного поля приводит к усилению влияния резонансного рассеяния носителей на процессы переноса тепла и заряда (Т - 1 К).

e

!

m

2

x

e

2

e

e

е

Выводы. Основной вывод можно свести к формулам (6), (9), (14), (18) и (19), которые имеют прямой физический смысл, раскрывая специфику резонансного рассеяния, и необходимы для изучения поведения температурных зависимостей различных кинетических коэффициентов при низких температурах.

При высоких и низких температурах Rae пропорционально ц и имеет различные температурные зависимости. Если откладывать на графике зависимость lg(Rac) от lg Т, то при высоких и низких температурах получаются прямые с угловыми коэффициентами —3/2 и -1/2. Чтобы определить Тпер., температуру перехода от одной зависимости к другой, необходимо, строго говоря, решить сложное трансцендентное уравнение. Для оценки Тпер. положим II — Ir и E — kT, тогда

A/ (kTnep.)

£ к.Тпер_

nepj ' ^

Необходимо различать два крайних случая. Если е <С л/АС, то

Тпер. ~ VÄC/k. (20)

В противоположном случае

Тпер. ~ AC/k). (21)

Когда е ~ а/АС, то по порядку величины приложим критерий (20), как это видно из критерия (21).

Если, по нашей оценке А = 2,4 • Ю-19 эрг • см и С = 0,4 • Ю-11 эрг/см, то VАС = = 0,97 • 10-15 эрг (е « 0,61 мэВ). Таким образом, Тпер. — 10 K. Во всяком случае, мы можем заключить, что переход может наблюдаться и при более высоких температурах в зависимости от степени легирования. Если в общем случае II — Т-n, то при низких температурах, когда можно пренебречь решёточным сопротивлением, Rae по-прежнему порядка Т-1/2.

На основе (14) нетрудно оценить значение поля, необходимое для туннелирования носителей. Для оценки E положим eE(l) — е; тогда

E - nh2n0/(2m*e) = 2,5 В/см.

Полученное значение напряжённости соответствует области суперслабых полей. Коэффициент «просачивания» при этом практически равен единице. Так что говорить о наличии какого-либо потенциального барьера (ямы) при резонансном рассеянии особо не приходится, и он имеет в этом случае скорее формальный, нежели реальный смысл. Эффект задержки при этом выражается в том, что медленный электрон начинает слегка «спотыкаться», что качественно отражено формулами (6) и (9).

Литература

1. БазьА. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971. 544 с.

2. Банная В. Ф., ВеселоваЛ. И, ГершензонЕ. М. Особенности температурной зависимости холловской подвижности в легированных и некомпенсированных полупроводниках // Физика и техника полупр. 1989. Т. 23. Вып. 2. С. 338-345.

3. Кайданов В. И., Немов С. А., РавичЮ. И. Резонансное рассеяние носителей тока в полупроводниках типа Л1УБ1У. (Обзор) // Физика и техника полупр. 1992. Т. 26. Вып. 2. С. 201-222.

4. Прокофьева Л. В., Шабалдин А. А., Корчагин В. А. и др. Число Лоренца и фактор Холла в вырожденных полупроводниках при резонансном рассеянии носителей тока // Физика и техника полупр. 2008. Т. 42. Вып. 10. С. 1180-1189.

5. Прокофьева Л. В., Пшенай-Северин Д. А., Константинов П. П., Шабалдин А. А. Электронный спектр и рассеяние носителей тока в РЬТе < Ма + Те > // Физика и техника полупр. 2009. Т. 43. Вып. 9. С. 1195-1198.

6. ЯнкеЕ, ЭмдеФ., ЛешФ. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344 с.

7. Казакова Л. П., Лебедев Э. А., Исаев А. И. и др. Влияние примесей галогенов на перенос носителей заряда в стеклообразных полупроводниках системы Яе—Лб // Физика и техника полупр. 1993. Т. 27. Вып. 6. С. 959-965.

Статья поступила в редакцию 19 сентября 2011 г.