Подвижность электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1

В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин

ПОДВИЖНОСТЬ ЭЛЕКТРОНОВ В КВАНТОВОЙ ПРОВОЛОКЕ С КРАЕВОЙ ДИСЛОКАЦИЕЙ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Аннотация.

Актуальность и цели. Технология выращивания квантовых проволок может сопровождаться возникновением дефектов упаковки и краевых дислокаций. Последние играют существенную роль в рассеянии носителей заряда при достаточно низких температурах, а следовательно, оказывают значительное влияние на транспортные свойства квантовых проволок. Во внешнем продольном магнитном поле появляются новые возможности для управления подвижностью носителей заряда в квантовой проволоке, что важно для приложений в полупроводниковой наноэлектронике. Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния краевой дислокации на подвижность электронов в квантовой проволоке во внешнем продольном магнитном поле, а также в сравнении с влиянием других механизмов рассеяния.

Материалы и методы. Кривые зависимости времени релаксации от кинетической энергии налетающего на краевую дислокацию электрона в квантовой проволоке при наличии внешнего магнитного поля построены для квантовой проволоки из InSb. При расчете времени релаксации использовалась модель Бонч-Бруевича и Когана и борновское приближение. Расчет подвижности выполнен для квантовой проволоки из GaAs.

Результаты. Показано, что для зависимости времени релаксации от кинетической энергии налетающего на краевую дислокацию электрона характерны осцилляции, период которых в продольном магнитном поле уменьшается, а величина времени релаксации увеличивается вследствие гибридного квантования. Найдено, что рассмотренный механизм рассеяния может быть существенным в сравнении с рассеянием на LA-фононах и на случайных неровностях границы квантовой проволоки, при этом температурный интервал его эффективности определяется величиной вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии.

Выводы. Зарядовое состояние дислокационной линии может существенно влиять на ширину температурного интервала, в котором доминирует рассеяние электронов на краевой дислокации.

Ключевые слова: краевая дислокация, время релаксации, внешнее магнитное поле, квантовая проволока, подвижность электронов.

V. D. Krevchik, V. N. Kalinin, E. N. Kalinin

ELECTRON MOBILITY IN QUANTUM WIRE WITH EDGE DISLOCATION IN EXTERNAL MAGNETIC FIELD

Abstract.

Background. Technology of quantum wire growing may be accompanied by occurrence of stacking fault and edge dislocations. The latter are very important in scattering of charge carriers at considerably low temperatures, and therefore, significantly influence transporting properties of quantum wires. In a longitudinal magnetic field there appear new opportunities for charge carriers mobility control in a quantum wire, which is important for applications in semiconductor nanoelectron-

ics. The study aims at theoretical research of the influence of edge dislocation on electron mobility in a quantum wire in an external magnetic field, and also at comparison with influences of other mechanisms of scattering.

Materials and methods. For quantum wires of InSb the authors built curves of dependency of relaxation time on kinetic energy directed to edge dislocation of an electron in a quantum wire in condition of an external magnetic field. For calculation of relaxation time the model of Bonch-Bruevich and Kogan as well as Born approximation were used. Mobility calculation was performed for a quantum wire made of GaAs.

Results. It is shown that for the dependecy of relaxation time on kinetic energy directed to edge dislocation of an electron characteristic are the oscillations, the period of which in a longitudinal magnetic field decreases, and the value of relaxation time increases due to hybrid quantization. It is revealed that the considered mechanism of scattering may be significant in comparison with scattering on LA-phonons and on occasional irregularities of quantum wire boundary, with the temperature interval of its effectiveness being determined by the valueof probability of acceptor centers filling in a dislocation line.

Conclusions. Charge state of a dislocation line may significantly influence the range of the temperature interval, at which electron scattering predominates on edge dislocation.

Key words: edge dislocation, relaxation time, external magnetic field, quantum wire, electron mobility.

Введение

В последние годы заметно вырос интерес к исследованиям электронного транспорта в квантовых проволоках (КП). Одной из задач таких исследований является задача расчета температурной зависимости электропроводности КП, что важно для различных приложений в наноэлектронике. В работе [1] было получено аналитическое выражение для электропроводности КП при рассеянии невырожденных электронов проводимости продольными акустическими (LA) фононами матрицы. Было показано, что при независящей от температуры концентрации носителей заряда сопротивление КП растет с температурой более сильно, чем в объемном ковалентном полупроводнике [1]. Авторами работы [2] теоретически исследовано влияние флуктуаций толщины на подвижность электронов и статическую электропроводность КП. Показано [2], что рассмотренный механизм релаксации носителей заряда является существенным для электропроводности достаточно тонкой и чистой КП при низких температурах. В работе [3] исследовано влияние электрического поля, направленного перпендикулярно оси КП и продольного магнитного поля на электропроводность КП. Выявлены особенности, возникающие в подвижности в присутствии внешних электрического и магнитного полей.

Цель данной работы заключается в теоретическом исследовании влияния краевой дислокации на подвижность электронов в КП во внешнем продольном магнитном поле, а также в сравнении с влиянием других механизмов рассеяния, рассмотренных ранее в работах [1, 2].

Актуальность проведенных исследований определяется тем, что технология изготовления структур пониженной размерности может сопровождаться возникновением дислокаций, которые, как известно, играют существенную роль в рассеянии носителей заряда при достаточно низких температурах, а следовательно, оказывают значительное влияние на транспортные свойства КП [4].

1. Временя релаксации при рассеянии электронов на краевой дислокации в квантовой проволоке

Рассмотрим полупроводниковую КП, находящуюся в продольном по отношению к ее оси магнитном поле. Будем считать, что КП имеет форму круглого цилиндра, радиус основания Ьх которого значительно меньше его длины (Ьх << ). Предположим, что дислокация ориентирована вдоль

оси у в плоскости поперечного сечения КП, а рассеяние электронов происходит в плоскости Х2 (рис. 1).

Рис. 1. Квантовая проволока с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле

Векторный потенциал магнитного поля А (г) выберем в симметричной калибровке А = 2 В, г ^ так, что

А = (-уВ /2,хВ/2,0), В = (0,0, В).

Потенциал конфайнмента КП моделируется потенциалом двумерного гармонического осциллятора:

тл/ л m 22

Vl(P) =~Г«0 P

(l)

I 2 2 *

где р = д/х + у < Ьх; р, ф, г - цилиндрические координаты; т - эффективная масса электрона; ю0 - характерная частота удерживающего потенциала.

Гамильтониан в выбранной модели в цилиндрической системе координат имеет вид

л

H =

h

2m

papv рэр.

+

p2 дф2

i h «b д m

2 дф 2

2 «в

«2 +

0 4

V У

p2 +Hz , (2)

где Юв = |^о ІВ / т* - циклотронная частота; \во\ - абсолютное значение электрического заряда электрона; Н2 = (- Ь2 / (2т* |) д2 / д г2.

Спектр гамильтониана (2) запишется как [5] Нтвт

-n m, k

+ ЙЮп li +—22 (n + m| + i) +

4®o

^n,m,k (p,Ф,z)

i n! 2 p2 1

^/2nLz ai (n + |m|)! 2a2 J

%2 k2 2m*

m

2

X

(З)

X ехр

v 4ai J

Ln

2a2

exp (шф) exp (i k z) ,

(4)

где п = 0,1,2,... - квантовое число, соответствующее уровням Ландау; т = 0,1,2,... - магнитное квантовое число; к - проекция квазиволнового

вектора электрона в КП на ось Ог; а2 = а2/^2^1 + а4/(4а^ ) ;

а = ^Й / ( * ю о) ; а в =/ ( * ю в) - магнитная длина; -^(х) - полиномы Лагерра.

Как известно [6], краевые дислокации в полупроводниках с долей ковалентной связи действуют как акцепторные центры, поэтому в кристаллах п-типа дислокационная линия становится отрицательно заряженной и вокруг нее образуется область положительного заряда. Налетающие на дислокацию электроны испытывают с ее стороны отталкивание, приводящее к их рассеянию и тем самым уменьшению подвижности.

Согласно модели Бонч-Бруевича и Когана экранированный потенциал заряженной дислокации имеет вид [6]

\

(З)

2п££о ао

*

где /о - вероятность заполнения акцепторного центра в дислокационной ли-

*

нии; ао - расстояние между акцепторными центрами в дислокационной линии; в - диэлектрическая проницаемость материала КП; £о - электрическая

постоянная; Ко (х) - функция Макдональда; р1 = Vх2 + г2 ,

^о =.^££окоТ / (пе) - длина экранирования Дебая; ко - постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура; пе - концентрация электронов в КП.

Принимая во внимание (4) и (5), выражение для матричного элемента

в

М , рассматриваемого процесса рассеяния запишется следующим

п,т,к ,п,т',к

образом:

i

M

в

'о2 /о*

n!n !

n,m,k ,n,m,k 4n2 Lza2eeo a* 1 (n + |m |)!(n' + |m'|)!

m|+|m'|

i/2

X

+» 2п+»

X

J J J pd pdфdz

Г p2 Л 2 V 2a2 J

Г „2 Л

ехр

v 2a2 j

Г „2 Л

V 2ai2 J

X

XLm 1

Г „2 Л Г ко

v 2ai J

Л

2 2 2 p cos ф + z

Л

о

exp[i(m -m')ф]exp[i(k -k')z]. (б)

в

При вычислении матричного элемента М , появляются инте-

п,т,к ,п ',т ',к

гралы следующего вида [7]:

Г

K

Л

p2 cos2 ф + z2

v

Ло

nai exp [(k - k ')ai ]

exp [i(k - k') z ] dz =

гexp(-p cos ф),

•\/Ло 2 +[(k - k')ai]

* * где p = p / ai; Л о = Л о / ai, а также 2п

J exp[i(m-m'^-p*cosф]dф = 2nIm-m'(p*).

(7)

(S)

где 1У (х) - функция Бесселя.

При этом правила отбора таковы, что возможны лишь такие переходы электрона, для которых выполняется условие: т — т = о, 1,2,...

Интегрирование по координате р приводит к следующему выражению [8]:

|т|+| т'\

+Г ( „2 Л 2 ( -2 Л , , ( „2 Л , ( „2 Л

J p I

2ai

exp

m-3m

v 2ai j

LI

2ai

Li

n

2ai

Г £. Л

ai

= a22 2 (i + m)n у 2 3p Г(m' + p + i)(-p)n' „

i 1 v/l /—( ■

n!n ! p=o p!r(m'-m + p + i) X з F2(-n, m' + p + i, p + i;i + m, p - n + i;i),

(9)

где з ^2(а, в, У; 5, а; х) - гипергеометрическая функция; (а)п - символ Пох-гаммера [7].

Принимая во внимание (7)-(9), для матричного элемента (6) получим

J

M

B

е0 /о°1

m-5m'

n,m,k,n',m,k 2 Lz ££0 a*

(-1)n 2 2

n!n !

(n + |m| )!(n' + |m' I)!

1/2

X

x Г(1 + m + n) exp [(k - k')a1 ] £ 2-3p Г(m' + p +1)Г(p +1) x

Xn !n'!r(1 + m)J^0-2 +[(k - k')a1 ]2 p=0 P!r(m'- m + P +1)Г(P - n' +1) X

X3F2(-n,m' + p +1,p +1;1 + m,p -n +1;1). (10)

В борновском приближении обратное время релаксации т-1 (n,m,k) при рассеянии электронов на краевой дислокации в КП запишется как

2 Т +” 2 т-1 (n,m,k)= J ^^(1 - cos0)

M

B

n,m,k ,n ,m ,k

5(E' - E )dk', (11)

где 5(х) - дельта-функция Дирака; 0 - угол рассеяния, который при нормальном падении на дислокацию принимает значения 01 = о и 02 = п .

Вычисление интеграла в (11) связано с нахождением корней к{2 аргумента 5 -функции Дирака, удовлетворяющих закону сохранения энергии для переходов электрона из состояния с квантовыми числами п, т, к в возбужденные состояния КП при рассеянии на краевой дислокации:

(т — т)аВ—2 + а—2(2п — 2п + т — т) — к2 + к/2 = о. (12)

Корни к{ 2 уравнения (12) имеют вид

k{ 2 = ±k2 -(m -m)a-2 - a- 2(2n' -2n + m' -m) .

(13)

С учетом (10) и (13) выражение для обратного время релаксации (11) запишется в виде

^ (.... ,л_ -1 /o2a3 (1 - cos 0) Г г(1 + m + n) I2 N N

т (n, m, k) = T-

Lz

*2

Г(1 + m + n)

£ £ 2m-5m'a-1 X n'=0 m'=0

X

exp

Г(1 + m)

x(k2 - ( - m)aB2 - a--2 (2n' - 2n + m' - m)) X (k - -\jk2 - ( - m)a~B2 - a--2 (2n' - 2n + m' - m) )

- +

ь0-2 +

(k - k2 - ( - m)a^2 - a- 2 (2n' - 2n + m - m) ) (k + ^k2 - ( - m)aB>2 - a--2 (2n' - 2n + m' - m))

X

X 2-3 p Г(Щ + p + 1)Г( p +1) x

p=0 p!гШ -m + p + 1)Г(p -n +1)

где

X3 F2(-n,m' + p +1,p +1;m +1,p -n' + l;l)

T-1 = m*'o4 /(е2е2); ) = ^; N1 =[Ci],N2 =[C2] -' 1 ai

Ci = (kai)2 /2 -(m -m){( / a- +1)/ 2 + n,

C2 =((kai)2 + m(ai /a-)2 -2n + 2n-m)/(j2 /a- +1).

(14)

целые части чисел

Для случая, когда налетающий на дислокацию электрон находился в основном состоянии (п = о, т = о) КП выражение (14) примет вид

т 1 (0,0, k) = T-

-1 f°2 al I1 - cos °)

Lz

*2

X

X

n; n'2

X X 2 3m ai 1 (k2 - ma-2 - ai 2 (2n + m'))

n'=0 m'=0

-i/2

X

X

ехр

+

-1 *-2 Л0 +

+

ехр

(k--\J k2 - ma-2 - ai 2 (2n + m') ) (k + k2 - ma-2 - a-2 (2n + m') )

-1 *-2

Ло +

(k + ^ k2 - ma-2 - ai 2 (2n + m') )

X

X

2-3 p r( p +1)

X --'.14 3F2(0,m + p +1,p + l;l,p -n' + i;i)

p=0 p!r(p - n +i)

(ІЗ)

где N1 = [с/ ], N2 = [с2 ] - целые части чисел

\2 '/„2,2

' = (kai) m'(ai / a- +1) с' = (kai) - 2n

' 2 • 2 = a,2/ 4 +1

с =

На рис. 2 приведены зависимости времени релаксации т от кинетической энергии Ег налетающего на краевую дислокацию электрона для случая 1и8Ь КП. Как видно из рис. 2,а, в магнитном поле уменьшается период осцилляций в зависимости т( Ег), при этом величина времени релаксации возрастает вследствие гибридного квантования (сравн. кривые 1 и 2 на рис. 2,а).

2

Ez, мэВ

О 30 60 90 120 150

Е2, мэВ б)

Рис. 2. Зависимость времени релаксации т от кинетической энергии Б2 налетающего на краевую дислокацию электрона для ІпБЬ КП при а* = 0,65 нм; пе = 5 • 1016 см-3; и0 = 0,2 эВ; Ьх = 50 нм; = 1 мкм; Т = 65 К: а - для различных зна-

чений величины внешнего магнитного поля В: 1 - В = 0; 2 - В = 2 Тл (/0* = 0,15); б - для различных значений вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии /*: 1 - 0,12; 2 - 0,15; 3 - 0,17

Из рис. 2,б можно видеть, что с ростом вероятности заполнения акцеп-

*

торных центров в дислокационной линии / время релаксации уменьшается из-за увеличения заряда краевой дислокации и соответствующего усиления ее рассеивающего действия.

2. Особенности подвижности электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле

Выражение для плотности тока в КП можно записать в виде

. И й

j = -

3п Lxm n,m

IS kz /i(n, m, kz )dkz,

(Іб)

где /\(п, т, к2) - неравновесная добавка к функции распределения

/о(п, т, к2), определяемая выражением [9]

г( і \ ИЙ d/0(n,m.kz) ( )

/l (n, m, kz )= * -------т( n, m, kz) (E • k),

m dEn,m,kz

(17)

где Е = (0,0, Ег) - напряженность электрического поля.

Равновесная функция распределения электронов в КП согласно [5] определяется следующим выражением:

/о (n, m, kz ) = sVnnga;3

Г Ed_ Л

koT,

i/2

-lj Ed R-l.

\

Pro sh —— в ro

I k0T

Г E,

ехр

n,m,kz

\

, (is)

где

P = LxE]j2 /(2adUQ/2); ® = yj 1+ P2 (ad / aB )4 ; sh(x) - гиперболический

синус.

С учетом (17) и (18) выражение для ] перепишется в виде

. Se2h2neadEd/2pro-1 h Г Ed P-i Л1/2 j = —3/2 sh vd:P ®

3yfn Lxm*2 (k0T)

3/2

v koT'

x

xJS kz (E • k )T(n , m, kz )exp

Г E,

n,m,kz

k0T

dkz.

(19)

Ограничиваясь вкладом основной подзоны размерного квантования для подвижности носителей тока в КП, получим

Іб|е\Й2adE1J2P®~1 shГ Ed в-1

Л

i/2

3л/П L2xm*2 (k0T)3/2 v k0T

P ro

x

2a

-l

x I kz4(0,0, kz)

Г E,

ехр

o,o,kz

koT

dkz .

(20)

На рис. 3 представлены температурные зависимости подвижности электронов в ОаЛБ КП при рассеянии на ЬЛ-фононах [1] (кривая 1), на флуктуациях толщины КП [2] (кривая 2) и на краевой дислокации согласно (20) для параметров ОаЛБ [2]: плотность р = 5,3 ■ 103 кг/м3, продольная скорость звука

V = 5,2 ■ 103 м/с, константа деформационного потенциала С = 2,2 ■ 10-18 Дж,

_8

корреляционный радиус Л = 1 ■ 10 м [2].

5 10 20 30

т,к

Рис. 3. Температурная зависимость подвижности электронов в ОаЛв КП при пе = 4,16-1017 см_3; 2ЬХ = 7 нм; Ь2 = 1 мкм; а* = 0,65 нм; /* = 0,15, для различных механизмов рассеяния: 1 _ рассеяние на ЬЛ-фононах [1];

2 _ рассеяние на флуктуациях толщины КП [2]; 3_6 _ рассеяние на краевой дислокации (кривые 1_3, 5_6 построены при В = 0 Тл; кривая 4 _ при В = 2 Тл, кривая 5 построена при /* = 0,06, кривая 6 _ при /* = 0,08)

Из рис. 3 следует, что вклад механизма релаксации, связанного с рассеянием электронов на краевой дислокации, зависит от величины параметра /0 _ вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии

*

(сравн. кривые 5 и 3). При /0 < 0,08 данный механизм в области температур от 5 до 30 К может быть существенным в сравнении с рассеянием на акустических фононах и на случайных неровностях границ КП (сравн. кривые 1, 2 и 3). В области температур от 50 до 100 К рассмотренный механизм становится

*

эффективным по сравнению с рассеянием на ЬЛ-фононах при /0 < 0,15 (сравн. кривые 1 и 4 на рис. 4). В магнитном поле подвижность электронов уменьшается за счет сжатия электронной волновой функции в радиальной плоскости КП (сравн. кривые 3 и 4 на рис. 3 и кривые 5 и 4 на рис. 3).

60 70 80 90 100

т,к

Рис. 4. Температурная зависимость подвижности электронов в ОААб КП при пе = 4,16 • 1017 см 3; 2ЬХ = 7 нм; Ь2 = 1 мкм: 1 - рассеяние на ЬА-фононах [1]; 2-6 - рассеяние на краевой дислокации (кривые 1-3, 6 построены при В = 0 Тл; кривая 5 - при В = 2 Тл) для различных значений параметров дислокационной

** * * - * * линии а0 и /о : 2 - а0 = 0,65 нм; f0 = 0,15; 3 - а0 = 0,65 нм; f0 = 0,12;

4 - а0 = 0,5 нм; /0 = 0,15 ; 5 - а0 = 0,65 нм; /0 = 0,15 ; 6 - а0 = 0,65 нм; /0 = 0,11

Заключение

В борновском приближении в рамках модели Бонч-Бруевича и Когана получено аналитическое выражение для времени релаксации импульса при рассеянии электронов на краевой дислокации в КП при наличии внешнего продольного магнитного поля. Показано, что для зависимости времени релаксации от кинетической энергии налетающего на краевую дислокацию электрона характерны осцилляции, период которых в продольном магнитном поле уменьшается, а величина времени релаксации увеличивается вследствие гибридного квантования. Рассчитана подвижность электронов при рассеянии на краевой дислокации в ОаЛБ КП. Найдено, что рассмотренный механизм рассеяния может быть существенным в сравнении с рассеянием на ЬА-фононах и на случайных неровностях границы КП, при этом температурный интервал его эффективности определяется величиной вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии.

Список литературы

1. Поклонский, Н. А. О температурной зависимости статической электропроводности полупроводниковой квантовой проволоки в изоляторе. / Н. А. Поклонский, Е. Ф. Кисляков, С. А. Вырко // Физика и техника полупроводников. -2003. - Т. 37, № 6. - С. 735.

2. Рувинский, М. А. О влиянии флуктуаций толщины на статическую электропроводность квантовой полупроводниковой проволоки / М. А. Рувинский, Б. М. Рувинский // Физика и техника полупроводников. - 2005. - Т. 39, № 2. -С. 247.

3. Синявский, Э. П. Особенности подвижности в нанопроволоках в поперечных электрическом и магнитном полях / Э. П. Синявский, С. А. Карапетян // Физика и техника полупроводников. - 2014. - Т. 48, № 2. - С. 229.

4. Создание и исследование оптических свойств квантовых проволок InGaAs/GaAs / Н. А. Берт, С. А. Гуревич, Л. Г. Гладышева, С. О. Когновицкий, С. И. Коханов-ский, И. В. Кочнев, С. И. Нестеров, В. И. Скопина, В. Б. Смирницкий, В. В. Травников, С. И. Трошков, А. С. Усиков // Физика и техника полупроводников. - 1994. -Т. 28, № 9. - С. 1605.

5. Кревчик, В. Д. Эффект увлечения одномерных электронов при фотоионизации _0(-)-центров в продольном магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин // Физика твердого тела. - 2003. - Т. 45, № 7. - С. 1272.

6. Бонч-Бруевич, В. Л. К теории электронной плазмы в полупроводниках /

B. Л. Бонч-Бруевич, С. М. Коган // Физика твердого тела. - 1959. - Т. 1, № 8. -

C. 1221.

7. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Физматгиз, 1962.

8. Прудников, А. П. Интегралы и ряды : в 4 т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брыч-ков, О. И. Маричев. - М. : Физматлит, 2003.

9. Ансельм, А. И. Введение в теорию полупроводников / А. И. Ансельм. - М., 1978. - 616 с.

References

1. Poklonskiy N. A., Kislyakov E. F., Vyrko S. A. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2003, vol. 37, no. 6, р. 735.

2. Ruvinskiy M. A., Ruvinskiy B. M. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2005, vol. 39, no. 2, р. 247.

3. Sinyavskiy E. P., Karapetyan S. A. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2014, vol. 48, no. 2, р. 229.

4. Bert N. A., Gurevich S. A., Gladysheva L. G., Kognovitskiy S. O., Kokhanovskiy S. I., Kochnev I. V., Nesterov S. I., Skopina V. I., Smirnitskiy V. B., Travnikov V. V., Troshkov S. I., Usikov A. S. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 1994, vol. 28, no. 9, р. 1605.

5. Krevchik V. D., Grunin A. B. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2003, vol. 45, no. 7, р. 1272.

6. Bonch-Bruevich V. L., Kogan S. M. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1959, Vol. 1, no. 8, р. 1221.

7. Gradshteyn I. S. I., Ryzhik M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy [Tables of integrals, sums, series and products]. M.: Fizmatgiz, 1962.

8. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly i ryady: v 4 t. [Integrals and series: in 4 volumes]. M.: Fizmatlit, 2003.

9. Ansel'm, A. I. Vvedenie v teoriyu poluprovodnikov [Introduction into the theory of semiconductors]. M., 1978. - 616 р.

Кревчик Владимир Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, декан физикоматематического факультета, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Калинин Владимир Николаевич

аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Калинин Евгений Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: kalinin_en@mail.ru

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of physics and mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Kalinin Vladimir Nikolaevich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Kalinin Evgeniy Nikolaevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of general physics and physics teaching technique, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 539.23; 539.216.1 Кревчик, В. Д.

Подвижность электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле / В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 167-179.