Фотомагнитный эффект при внутризонных оптических переходах в квантовой проволоке с краевой дислокацией Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. Н. Калинин

ФОТОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ ПРИ ВНУТРИЗОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДАХ В КВАНТОВОЙ ПРОВОЛОКЕ С КРАЕВОЙ ДИСЛОКАЦИЕЙ

Аннотация. В статье развита теория эффекта фотонного увлечения при внутризонных оптических переходах электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией в продольном магнитном поле. Показано, что для спектральной зависимости плотности тока увлечения характерен квантово-размерный эффект Зеемана. Найдено, что параметры дислокационной линии оказывают существенное влияние на величину пиков в дублете Зеемана.

Ключевые слова: краевая дислокация, внешнее магнитное поле, квантовая проволока, эффект фотонного увлечения электронов.

Эффект фотонного увлечения (ЭФУ) электронов как нелинейный оптический эффект, связанный с электронным транспортом, несет ценную информацию о зонной структуре и механизмах релаксации импульса носителей заряда в полупроводниках. Модификация электронных состояний в условиях наложения размерного и магнитного квантования открывает новые возможности для исследования квантово-размерного эффекта Зеемана в спектрах ЭФУ. Это актуально, поскольку эффект Зеемана в полупроводниковых наноструктурах представляет собой новое физическое явление с потенциальными перспективами приборных приложений. Целью настоящей статьи является теоретическое исследование влияния внешнего продольного магнитного поля и краевой дислокации на ЭФУ электронов в квантовой проволоке (КП) с параболическим потенциалом конфайнмента (рис. 1).

Решение задачи о ЭФУ в КП основано на кинетическом уравнении Больцмана, записанном в приближении времени релаксации. Генерационный член этого уравнения определяется внутризонными оптическими переходами, матричный элемент которых рассчитывается в линейном по импульсу фотона % д 1 приближении.

А г

Рис. 1. КП с краевой дислокацией в магнитном поле

Для описания одноэлектронных состояний в КП используем параболический потенциал конфайнмента:

и (р) = — Ю0 р2,

(1)

где р = V*2 +у2 <ьх; р,ф,г - цилиндрические координаты; т* - эффективная масса электрона; ю0 - характерная частота удерживающего потенциала КП; Ьх - радиус КП.

Векторный потенциал А продольного по отношению к оси КП магнитного поля с индукцией В (В ТТ к, к - орт оси Ог) выберем в симметричной калибровке, так что А = (-уВ/2,хВ/2,о), В = ( 0,0, В), где В - абсолютное значение вектора магнитной индукции В.

Волновая функция электрона и его энергетический спектр в КП в рассматриваемой калибровке векторного потенциала А определяются из решения соответствующей спектральной задачи в приближении эффективной массы [1]:

*п, т, кг Ф,2) = І ^

2 -\]2пЬх а1

п!

(п + \—\)!

1 —I

Р

V 2а2 у

ехр

4аі

2

V 2а12 у

ехр (—ф) ехр (і кг 2); (2)

-'п, т, к2

йювт

+ ЙЮо, 1 + —— ( 2П + —I + 1

V 4Ю0

\ Й2к2

)+ 2

(3)

2т

где п = 0,1,2,... - квантовое число, соответствующее уровням Ландау; т = о, ± 1, ± 2,... -магнитное квантовое число; кг - проекция квазиволнового вектора электрона в КП на

ось Ог; а 2 = а 2/ (2^1 + а 4/( а В)); а = ^ Й / (т *ю 0); ав =^ Й / (т *ю в) - магнитная длина; ^(х) - полиномы Лагерра; юв - циклотронная частота.

Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны Н^в в цилиндрической системе координат имеет вид

г(0 =

НІП1в = -ЙЬо/Ц“ 10 ехР(ІЧг2)х

*2 т ю

(

х

9 1 .

9 Це В .

СОБ (0-ф) —+— біп (0-ф) — —4-рБт (ф-0) др р дф 2Й

(4)

где 0 - полярный угол единичного вектора поперечной поляризации е^ в цилиндрической системе координат; д =(о, о, дг) - волновой вектор фотона; дг - проекция волнового вектора дг на ось Ог.

Волновая функция начального состояния в соответствии с (2) принимает вид (п = о, т = о):

*0, о, кг (р, ф, 2) = I 1 ехР рта

( ' 4а,2

ехР (кг2).

(5)

Матричный элемент рассматриваемых внутризонных оптических переходов

можно записать в виде

M

i%

I * т

a I„

f ,0

^2%Lza^

n!

1

2 +^ 2%+«>

(n' + |m'|)!

j j j p dp <іф &exp(igzz)

x

v2a2у

exp

x

cos

(е-ф)

( P2 л

v 2ai У

exp

2 л ( r\2 Л

p Lm1 P

4af J V 2ai2 У

2 *

P io>Bm D r\

4afy , p 2Й

exp(-іт'ф)exp(-ik'z z)

x

p sin (ф-е)exp —_ exp (ikzz).

4ai

/У

(6)

Вычисление интегралов в (6) приводит к следующим результатам [2]:

¿.її

j cos(e^)exp(-im9):

0

2%

j sin^-e)exp(-im9):

Г+лexp(+ie), если m _ ±1, [0, если m Ф ±i;

[+%i exp(+ie), если m _ ±1, |o, если mV±i,

(7)

(8)

знак «—» в показателе степени exp (+i 9) соответствует значению m' = +i, а знак «+» -m' = -1. Из (7) и (8) видно, что оптические переходы из основного состояния КП могут происходить только в состояния КП со значениями магнитного квантового числа m' = ±1. Последующее интегрирование по р и z дает [2]:

+^/ 2 2 j| -0 V 2a У

mi

—L + 1

exp

V 2ai У

2

ai Г

( mi+3 л

v 2ai2 У

dp _-

m -1

- + n

Tin'! Г

m

-1

2

v У

(9)

~—-

j exp(i(qz - k'z + kz )z)dz _ 2nad8(ad (qz - k'z + kz)),

(10)

где 8( х) - дельта-функция Дирака.

В результате для квадрата модуля матричного элемента в (6) будем иметь

2 _ ft4A0%3a2 a* I0 n'!

aB ai

ai aB у

x

( (

x

m + 3

\

m -1

-+n

n' !Г

m

-1

2

V У

S(ad (qz - k'z + kz)).

(11)

m

0

В режиме короткого замыкания выражение для плотности тока увлечения (ТУ) электронов j (ю) в КП, помещенной в продольное магнитное поле, можно записать в виде

Єо| Пє ____

2 П 2 Й 2 1 -1-1 9 к,

х8

ЇІІ-ЩТ *)

Йюв т

И

а) / ,0

/о (о,о,к, )-І0 (

X

Йю- Ео,о,к ^ В

Й 2 к,2

Й ю0 1 +—— (2 П+|т'| + і)

2 V 4 ю0 2 т

dkzdk/z, (12)

где пе - концентрация электронов в КП; |е0| - абсолютное значение заряда электрона; йю - энергия фотона; т(п>, т, к'г ) - время релаксации электронов в КП; /о (Е) - квази-равновесная функция распределения электронов в КП; 8(х) - дельта-функция Дирака; Ео, о, К = йю^1 + ю| /(4ю0) + й2к2 / (2т*);

Еп,т\к = йю вт/2 + йю0^1 + ю| /(4ю0)(п' + |т'| + 1^ + й2К^2 /(2т*).

Для исследования спектральной зависимости плотности тока увлечения (ТУ) следует рассмотреть конкретный механизм рассеяния носителей заряда в КП и в соответствии с этим определить время релаксации в (12). Будем предполагать, что электроны в гибридно-квантованной зоне проводимости КП испытывают упругое рассеяние на краевой дислокации. Тогда согласно [3] обратное время релаксации запишется как

-1 -1 /0 а (і ®) Xі X2 г-.“5т' -1 (• • -2 -2 (п ' '’Л 1/2

т =то -----------------ГТл------------ II 2 5 «1 • - тав - а (2П + т)) х

п'=0 т'=0

( ( -т а-.2 - а-2 (2п' + т'))

А о-2 +

ехр

(к, -у]( -т'ав2 -а12 (2п' + т')) (к, + -^к2 _т«В2 - а-2 (2п'+т') )

А о-2 +

(к, + .у/к2 _тк«2 -а12 (2п' + т'))

х

I

2 3р Г(р + 1)

3"2

#,(0, т' + р + 1, р + 1; 1, р - п' + 1; 1)

(13)

£0 Р! г( Р - п' +1)

где т-1 = т*е4/(3е0е2); е0 - абсолютное значение электрического заряда электрона;

X0 =Х0/а,; ^ =,/ ££0к0Г/(пе) - длина экранирования Дебая; к0 - постоянная Больцмана; пе - концентрация электронов в КП; е0 - электрическая постоянная; е - диэлектрическая проницаемость материала КП; /0* - вероятность заполнения акцепторного центра в дислокационной линии; а0 - расстояние между акцепторными центрами в дислокационной линии; N1 = [С 1 ], N2 = [С2 ] - целые части чисел С1 = (ка1)2 / 2 - т'(а2 / а| +1)/ 2, С2 = ((ка )2 - 2п') / (а^ / а| +1).

Функцию распределения электронов /0 („/, т, к^ ) в КП для рассматриваемого случая можно представить в виде

/о (', т',к, ) = ^(Пе^ ))гРш^(8ТР"1 ш)ехР

( Е , , ,/ Л

п , т, к, -8^----------------

(14)

где 8Т = Еа / (к0 Т); Т - температура; бЬ(х) - гиперболический синус [4].

Рассмотрим ситуацию, когда 8Т = 1. Например, для КП на основе 1п8Ь это соответствует Т ~ 7К и можно считать что все состояния КП полностью заполнены, т.е. принять

в С12^ что /0 (Е0,0, кг )= 1.

В выражении (12) при вычислении интеграла по к'г необходимо вычислить корни к'12 аргумента дельта-функции Дирака, которые удовлетворяют уравнению вида

X - та * 2 -Р 1 ш (2п' + \т | + 2) - 2к-2 а2 + к'^а = о. Решения уравнения (15) запишутся следующим образом:

к'^’2 =—qz +—1—\І2.(X-т'а* 2-Р 1ш(2п'+|т'| + 2)). 4 2ad

(15)

(16)

Окончательное выражение для плотности ТУ после вычисления интегралов с учетом (16) в линейном по дг приближении:

( ( Ш' 1+з л

( Л2

а0

j(ю) = jo 0 * ((4)

/оа1а

ав -V а1 ав )

X +1 п' !

% 8шI,1 (п' + | т'|)!

п =0т =-1 Т I"1 и-

V__________У

т -1

- + п

п !Г

т

-1

2

V )

х

I I 2-5т' I 1, ГПр+1) зЕ2(0,т'+р+1р +1;1,р--+1;1)

\2Л

X

чр=0 Г(р - П' + 1)

+1 I—2---------- 1

I 8|ЛдД/Спт + Апт

См

Л=-1

(к к л 1

пт + пт V 0пт Ипт )

X

х (2Я1/2Пе а\Й2(т*Ed)-1 рш -1 ( р-1Ш )пт + ПптНптСпт + ^I ,

(17)

где j0 =-2 1 я|е0| 3 Й4пе (А0єє0adт* 1)2 а*/; X = [С] - целая часть числа

С = Р( X + а*-2)/(2ш)-3/2; Х1 = [С1] - целая часть числа С1 = a12/(2ad )2(Х - а*-2 - 2Р-1 ш) ; N2 = [С2] - целая часть числа С2 = (a12/(2ad)2(X -Р-1 ш(2п' + 2))-2п')/(а2/ а«+1);

Н =

пт

КптИпт + Кпт0пт

( ( Ип

Рпт^пт

оп

Л А

оп

V V пт )

(

Т К

N і пт пт пт и

V пт ))

£пт = 1 -^8у/ппеа3л18ТРю 1бЬ(8г Р 1ю))

4 СПт + Ат

Й2

1 -8Т(-та -Р ю(2п + т +1))-8Т ;—С\

\

Т *^пт 2т ^ )

°пт =С2 +а2 (Спт ЧС2т + Апт ) ; Кпт = 1 + 2аГ (Спт ЧС^т + А Спт (Спт + 7 Спт + Ап

2

пт I ;

р = — а2

± пт 2 1

5пт = за2

1 —

С2 + А

^пт пт

Спт ( Спт +'1Спт+Ап

1 --

С 2 + А

^пт пт

(Спт VСпт + Апт ) ; Спт Спт + Апт ) ;

Кпт = 1 + ^ (Спт +>1 С1т + Апт ) ; Мпт = С* + (Спт + 4С1т + А

Спт (Спт + >/С1т + Ап

2

пт I ;

N = за2

пт

1 + -

С 2 + А

пт пт

ь = — а 2

^пт 2

Спт (Спт + у1СШт+-Ап

1+

С 2 + А

пт пт

Спт +VСтгт + Апт ) ; Спт +'Ст+Апт ) ;

Апт =-т'а^2 -а-2(2п' + т'); Спт = —^2((-т'а* 2-р 1 ю(2п, + |т'| + 2));

2а^ 4

8 - символ Кронекера: 8х у = ]1 Х У’

[0, х ф у.

На рис. 2,а-в приведена спектральная зависимость плотности ТУ, вычисленная с помощью формулы (17) при различных значениях параметров дислокации и величины внешнего магнитного поля.

а)

Рис. 2. Спектральная зависимость плотности ТУ Дю)//о (в относительных единицах) (начало): а - для различных значений величины внешнего магнитного поля В:

1 - В = 2 Тл; 2 - В = 3 Тл (/0 = 0,15; аО = 0,65 нм; Ц = 0,2 эВ; IX = 50 нм; Lz = 1 мкм; Т = 7 К)

О 7,2 21.6 36 50.4 64.8

hra, мэВ

б)

О 7.2 21.6 36 50.4 64.8

hui, мэВ

в)

Рис. 2. Спектральная зависимость плотности ТУ j(w)//0 (в относительных единицах) (окончание): б - для различных значений вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии f0 : 1 - f0 = 0,15; 2 - f0 = 0,12 (a0 = 0,65 нм; B = 2 Тл; Uo = 0,2 эВ; Lx = 50 нм; Lz = 1 мкм; Т = 7 K); в - для различных значений расстояния между акцепторными центрами в дислокационной линии а0 : 1 - а0 = 0,65 нм; 2 - а0 = 0,50 нм

(f0 = 0,15; B = 2 Тл; U0 = 0,2 эВ; Lx = 50 нм; Lz = 1 мкм; Т = 7 K)

Как видно из рис. 2,а-в, для спектральной зависимости плотности ТУ характерны осцилляции, связанные с эффектом размерного квантования. В магнитном поле имеет место квантоворазмерный эффект Зеемана (см. рис. 2). При этом расстояние между пиками в дублете определяется циклотронной частотой, а период появления дублетов - гибридной частотой. Из рис. 2,6 можно видеть, что с ростом вероятности заполнения акцепторных центров в дислокационной линии /0* амплитуда пиков в дублете Зеемана

уменьшается из-за увеличения заряда краевой дислокации и соответствующего усиления ее рассеивающего действия. С уменьшением расстояния между акцепторными центрами в дислокационной линии (см. рис. 2,в) величина плотности ТУ уменьшается из-за существенного влияния зарядового состояния краевой дислокации.

Таким образом, в КП возможно эффективное управление ЭФУ путем вариации величины внешнего продольного магнитного поля, что имеет важное значение для разработки детекторов лазерного излучения с управляемой чувствительностью в ИК-диапазоне.

Список литературы

1. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Наука, 1974. - Т. 3. - 752 с.

2. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Физматгиз, 1962. - 1108 с.

3. Кревчик, В. Д. Подвижность электронов в квантовой проволоке с краевой дислокацией во внешнем магнитном поле / В. Д. Кревчик, В. Н. Калинин, Е. Н. Калинин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). -С. 70-84.

4. Гейлер, В. А. Проводимость квантовой проволоки в продольном магнитном поле / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, Л. И. Филина // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1998. -Т. 113, вып. 4. - С. 1377-1396.

Калинин Владимир Николаевич Kalinin Vladimir Nikolaevich

аспирант, postgraduate student,

Пензенский государственный университет Penza State University

E-mail: physics@pnzgu.ru

УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322 Калинин, В. Н.

Фотомагнитный эффект при внутризонных оптических переходах в квантовой проволоке с краевой дислокацией / В. Н. Калинин // Вестник Пензенского государственного университета. - 2014. -№ 2 (6). - C. 82-89.