CC BY
44
УДК 551.501
ФОРМА СПЕКТРА РАССЕЯННОГО ПОЛЯ КАК ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ О РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ И ПРОТЕКАЮЩИХ В НЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
А.Г. ГОРЕЛИК, С.Ф. КОЛОМИЕЦ, П.В. КУПРИЯНОВ
В статье рассмотрена модель формирования спектра поля, рассеянного на частицах распределенной множественной цели, с учетом инерции последних. Обсуждается параметризация модели рассеяния. Полученные результаты позволяют оценить технические параметры радиолокационной аппаратуры и время измерения, которые необходимы для наблюдения негауссовских спектров рассеянного поля. Подобные спектры позволят извлекать больше информации о структуре рассеивающей среды и динамики атмосферы непосредственно из зондируемого объема.
Ключевые слова: метеорологическая радиолокация, доплеровская обработка сигнала, форма доплеровского спектра.
Введение
Разнообразие приложений дистанционных методов к исследованию рассеивающих сред на фоне повышающихся требований к достоверности и точности оценок заставляет искать новые источники информации, получаемой из зондируемого объема непосредственно. Одно из перспективных направлений состоит в сочетании поляриметрических и спектральных измерений. Однако применимость этого направления ограничена. Второе направление - это многоволновые измерения.
Учитывая доступность компонентной базы и возможности современных систем обработки сигналов, многоволновые оптические и радиолокационные комплексы все чаще появляются даже в небольших лабораториях. Подтверждением тому служит возобновление интереса к многоволновым методам дистанционных измерений: за последние десять лет в международных журналах опубликован ряд работ, которые на новой экспериментальной базе подтверждают перспективность использования сигналов, полученных из одного и того же объема пространства, но на разных длинах волн зондирующего излучения [1-4].
Вместе с тем следует отметить, что даже в современных работах всё также учитываются лишь «интегральные» параметры, что указывает на отсутствие надлежащей теоретической базы, необходимой для более глубокого анализа и интерпретации спектральных измерений рассеянного поля и его интенсивности, проведенных на разных длинах волн. В то же время для случая рассеяния на распределенных множественных рассеивателях задача интерпретации спектральных измерений допускает значительное усовершенствование, которое может иметь эффективное приложение именно к многоволновым измерениям.
В частности, введение в модель формирования рассеянного поля таких параметров, как инерция рассеивателей, их кластеризация (под воздействием турбулентных пульсаций), позволяет получать более достоверные оценки параметров рассеивающих сред, особенно в наиболее сложных для интерпретации условиях спектральных измерений: малая концентрация рассеивателей, инерционные рассеиватели при интенсивной турбулентности и т.п.
Пренебрежение указанными процессами обуславливает широкое использование допущения о гауссовой форме спектра в большинстве приложений. Фактическая "негауссовость" спектров, получаемых в натурных измерениях, если вообще используется, то лишь для контроля области применимости методик, опирающихся на предположение о гауссовом спектре. Учёт более тонких процессов взаимодействия среды и рассеивающих частиц фактически означает переход к использованию формы спектра в качестве дополнительного информационного параметра о рас-
сеивающей среде. Таким образом, сама форма спектра будет служить, наравне с прочими, новым источником информации о среде и процессах, которые в ней протекают.
Развитие классической модели спектральных измерений
Учитывая достаточно скромные - по современным меркам - характеристики распространенных оптических и радиолокационных приемников и средств обработки сигналов 60-х и 70-х гг. для более адекватной интерпретации середины (или «головы») спектра, достаточно было простейших доработок классической модели. Хвосты «спектральной юбки», лежащие ниже -30 дБ от максимума, в большинстве случаев искажались нелинейными цепями приемников или вообще располагались под шумами.
Современная, коммерчески доступная компонентная база позволяет относительно простыми средствами создавать линейные приемники с динамическим диапазоном, который превышает 100 дБ, и высокоскоростные системы обработки данных. Это позволяет более точно и достоверно измерять спектры в широком диапазоне значений, что, в свою очередь, открывает новые возможности для извлечения большего объема информации о параметрах рассеивающей среды.
Однако полноценная реализация существующих технических возможностей сдерживается отсутствием соответствующих математических моделей интерпретации спектральных измерений, выполненных в широком диапазоне значений амплитуд спектральных составляющих. Классические модели для этой цели непригодны: они должны быть дополнены учетом новых процессов, происходящих в рассеивающей среде и сказывающихся на уровне от -30 дБ до -100 дБ.
Среди наиболее значимых факторов, влияющих на спектр в этом интервале значений, помимо специфического характера движения самой среды, можно отметить: распределение рассеивателей по размерам [10, 11], геометрию рассеивающего объема [10], инерцию и кластеризацию рассеивающих частиц, а также их смену в зондируемом объеме [10, 12]. Характер и степень влияния каждого из них на результаты спектральных измерений может меняться в зависимости от конкретной структуры рассеивающей среды. В целом каждый из перечисленных факторов требует самого тщательного рассмотрения, что невозможно в рамках одной статьи. Ниже мы сосредоточимся на влиянии инерции рассеивателей.
Корреляционная функция поля, рассеянного на распределенной множественной цели
Основополагающие идеи для учета инерции рассеивателей были заложены в работах [5, 6]. Было показано, что известную корреляционную функцию вида
EE'(s) = N cos (w0 s) cos (A sa), (1)
описывающую узкополосный процесс (каким является принимаемый сигнал, модулированный по амплитуде и фазе, при рассеянии монохроматического зондирующего излучения на распределенной множественной цели), можно получить без привлечения требования некоррелированного движения рассеивающих частиц.
В формуле (1) приняты следующие обозначения: w0- частота несущей; Asa- средний набег
фазы движущихся рассеивающих частиц за время корреляции - s.
Таким образом, было фактически показано, что различные факторы, определяющие движение частиц, совместно оказывают влияние лишь на один параметр сигнала - y(s) = cos (Asa), а
их разделение требует специальной постановки эксперимента, специальных методов обработки сигнала или привлечения априорной информации.
Для интерпретации спектров, определяемых корреляционной функцией (1), в общем случае, требуются средства оперативного разделения факторов совместно определяющих сигнал. Решение этой задачи предполагает получение существенно большего объема информации из зондируемого объема.
Из общих соображений следует, что инерция относительно легких частиц, какими являются гидрометеоры и искусственные рассеиватели, может «искажать» лишь пульсации самых малых масштабов. Следовательно, извлечение из принимаемого сигнала данных об инерции рассеивателей может использоваться при изучении характера движения частиц в области именно этих, малых масштабов. Проведение таких измерений в настоящее время ограничивается в основном возможностями стереовелосиметрии частиц, помещаемых в поток.
Лабораторные велосиметры не позволяют моделировать потоки с большими числами Рейнолдса, а мобильные оптические 3Б средства появились лишь в последнее время и их возможности еще предстоит оценить. Во всяком случае, потенциал микроволновых спектральных измерений в области изучения малых масштабов до конца не исчерпан.
Спектр поля, рассеянного на распределенной множественной цели
Зная X координату 1-й частицы в пространстве в некоторый момент времени, можно определить фазу колебаний а;, приходящих от неё в приемную антенну, путем умножения удвоенной координаты частицы (для учета общего пути, проходимого волной) на волновое число V = 2 т//., то есть а = 2к£. За нулевую фазу в этом случае принимается фаза, рассчитанная от Х0 - некоторой точки в пространстве (например, положение частицы, находящейся в ближайшей к приемной антенне позиции).
Подобно этому, сдвиг фазы сигнала, приходящего от любой отдельно взятой частицы за время э, по отношению к некоторому «опорному» сигналу, можно получить, умножая удвоенное - смещение 1-й частицы за время э на волновое число Ад = 2кДХ. Требуемое в (1) рас-
пределение фаз получается умножением на волновое число к распределения 2Д£(1э - удвоенного смещения рассеивающих частиц среды за некоторое время э.
Полагая распределения смещений частиц чётными и гауссовыми при любом значении э, что соответствует условию гауссового блуждания, можно воспользоваться следующей формулой, справедливой для нормально распределенной величины х с нулевым средним значением
СОБ X = ехр
X
2
(2)
Она позволит уйти от «неудобного» косинуса в (1). Следовательно, при гауссовом блуждании огибающая функции корреляции рассматриваемого узкополосного процесса будет
у( 5) = ехр
(да)2
или
у(5) = ехр ~2к2 (д£)2
(3)
(4)
Полученная формула выражает следующий факт: при гауссовом блуждании - с учётом вышеизложенных допущений о корреляционной функции распределения частиц в пространстве и их микроструктуры - вид огибающей функции корреляции рассеянного поля определяется (при заданном к) законом диффузии - законом изменения со временем среднего квадрата перемещения рассеивателей.
Из классической теории турбулентной диффузии известно (например, [7, 8, 9]), что при больших э (много больше лагранжевого макромасштаба турбулентности) дисперсия смещения
5,
Рис. 1. Корреляционная функция узкополосного процесса (пунктирная линия) и её огибающая
2
частиц АX2 пропорциональна дисперсии скоростей Vэ2 и времени э с коэффициентом пропорциональности, равным удвоенному лагранжевому масштабу турбулентных пульсаций
(* >> КX К = } Кн (5)
А Л2
где К} (э) - лагранжев коэффициент корреляции скоростей.
При малых э, много меньше лагранжевого микромасштаба А* - дисперсия смещения частиц А Л2 пропорциональна дисперсии скоростей Vэ 2 и квадрату времени э с коэффициентом пропорциональности единица
А Л2
2к
а„
(6)
где аЭ - средний квадрат пульсационных ускорений частиц.
В области промежутка между лагранжевым микромасштабом А* и лагранжевым макромасштабом Ь} зависимость дисперсии смещения частиц А Л2 более сложная и зависит от формы корреляционной функции скоростей. В окрестности лагранжевого микромасштаба, который представляется достаточно близким к нулю, она может быть представлена в виде ряда. Если разложить коэффициент корреляции Я} (э) из (5) в точке э = 0 в ряд, то после отбрасывания членов порядка выше второго, имеем
А Л2
1 —
6А2
(7)
Исходя из вышеизложенного, для огибающей функции корреляции можно записать следующие выражения
(8)
и
2 2 2 -2к vs • ^
(8’)
Заметим в связи с этим, что преобразование Фурье приведенных выражений дает, вообще говоря, не гауссов спектр, так как функция у (э) не является гауссовой
1
(9)
С,( / )=о (. /0)-
1+ Р
и
О2 ( / ) = О ( /о ) еХР
Г У
к2к2• V — Р ( / — /о )2
2kv2
(9’)
О2 (/) - это и есть тот результат, к которому приводит трактовка, пренебрегающая с самого начала неравномерностью движения рассеивателей. В общем случае, с учетом инерции реальных рассеивателей, спектр может принимать любую «негауссову» форму, вплоть до «резонансной кривой» вида (9). Полагая далее корреляционную функцию пульсации скорости среды экспо-
ненциальной с некоторым параметром —
Т
V Т У
(10)
0
2
2
0
о
где э - корреляционный сдвиг времени; Т - некоторая постоянная (время корреляции скорости).
Вводя далее безразмерный параметр, который физически представляет собой отношение пути, пройденного рассеивателем за время Т , к длине волны зондирующего излучения
Ь = 2кп/7, (11)
можно получить для (р( э) следующее выражение, справедливое в общем случае
р( ы) = ехр
2р
Т
[ + ехр
V Т У
1
(12)
Спектр, соответствующий огибающей, найдем, используя косинус-преобразование, так как
функция корреляции предполагается четной
(
I (Р2 , й) = 21 ехр -2р
Т+ехр I-Т1 -1
Л
008 I (й— I іІ ( — І .
(13)
0 V 1Т V ТУ JJ V ТУ VТJ
На рис. 2 приведены спектры, рассчитанные для различных длин волн зондирующего излучения, постоянных времени рассеивателей и средних квадратичных скоростей турбулентных пульсаций.
Для возможности сравнения графики изображены на «приведенной частоте» ТЮ. Формы расчетных спектров, приведенные к одинаковой амплитуде на нулевой частоте (правые диаграммы), позволяют оценить динамический диапазон линейного приемника, требуемый для изучения отклонений их формы от гауссовой кривой при различной инерционности рассеивателей и на различных длинах волн зондирующего излучения. Формы спектров, рассчитанные по нормированным корреляционным функциям (значение функции, равное единице при нулевом сдвиге во времени), указывают на возможность использования амплитуды спектра в нуле как информационного параметра, как в случае одноволновых, так и многоволновых измерений.
Рис. 2. Спектры, рассчитанные для длин волн зондирующего излучения 20 и 5 см, значений постоянной времени рассеивателей т=0,001 с, т=0,005 с, т=0,01 с, т=0,1 с и среднеквадратичных скоростей турбулентных пульсаций й= 0.5 м/с и й= 0.7 м/с
Учитывая, что
( (О cos I — • s
exp I +/ • 0s- J + exp i -i • 0ОО-
2
Получим
exp (2ß2 )x xj exp I -2ß2
s ( s ^ > ( • s ^ ( . s ^
-+exp I — J exp I +/ • a— I + exp I -/ • a— J
t I tj_ j _ I tj I
d (t.
x
= exp (2ß2)
I exp(-2ß2
t
- + exp
Л
+ i 0-
t
d I — | + I exp
(
-2ß2
t
- + exp
s ^ J s V
- !• a— d I _ I
Uj_
Проводя подстановку s = 201, x = — и используя далее табличный интеграл вида
t
If ( ) ( ч \ . g([(s± i-w)],s)
J exp(-a exp(-x)-(s±i- w)- x)dx =--------siW]-----,
0 s
и после применения теоремы масштабирования в Фурье преобразование, имеем
I (ß,-) = exp(2ß2)•-•
g((2ß2 + i• -о),2ß2) g((2ß2 -i t w),2ß2)
2ß
2| 2ß2 +i • t 0 I
2ß
21 2ß2-i • t 0 I
(14)
x
где g(a, x) = j exp(-t) ta-1dt - неполная гамма-функция.
Формула (14) является точным выражением спектра мощности случайного процесса с корреляционной функцией вида (10). Результаты расчета формы спектров, для длины волны 20 см и 5 см, а также среднеквадратичной скорости турбулентных пульсаций, равной 0,5 м/с и 0,7 м/с, приведены в полулогарифмическом масштабе на рис. 2.
Выводы
В случае нормирования корреляционной функции на единицу в начале отсчета амплитуду спектра на нулевой частоте (левая диаграмма на рис. 2) можно рассматривать как информационный параметр, что требует дальнейшего изучения.
В целом полученные формы спектров для различных значений т и длин волн зондирующего излучения позволяют сделать следующий предварительный вывод. Линейные приемники с динамическим диапазоном порядка 80-90 дБ на интервалах спектрального усреднения порядка 5-10 с позволят использовать для интерпретации форму регистрируемых спектров при работе на длинах волн от 5 см и более по большинству «легких» атмосферных рассеивателей (снег, крупа, пыль, пепел).
Крупный дождь и град в коротковолновом участке указанного интервала длин волн не дадут существенных отклонений формы спектра от гауссовой.
0
s
s
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Active rain-gauge concept for liquid clouds using W-band and S-band Doppler radars. IEEE Trans. Geoscience and Remote Sensing, 41, No. 1, pp.863-972, April 2009.
2. Firda J.M. Application of Dual-Frequency Millimeter-Wave Doppler Spectra for the Retrieval of Drop Size Distributions and Vertical Air Motion in Rain, Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 16, pp. 216-236, 1999.
3. Hogan R.J., A.J. Illingworth, H. Sauvageot Measuring crystal size in cirrus using 35- and 94-GHz radars, Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 17, pp.27-37, 2000
4. Estimating drizzle drop size and precipitation rate using two-colour lidar measurements. Atmos. Meas. Tech., 3, 671-681, 2010.
5. Горелик Г.С. К теории рассеяния радиоволн на блуждающих неоднородностях // Радиотехника и электроника. - 1956. - Т. 1. - № 6.
6. Горелик Г.С. О влиянии корреляции скоростей рассеивателей на статистические свойства рассеянного поля // Радиотехника и электроника. - 1957. - Т. 1. - № 10.
7. Taylor G.I. Diffusion by Continuous Movements, Proc. London Math, Soc., A20, 196-211, 1921.
8. Kampe de Feriet J. Les fonctions aleatoires stationnaircs et la theorie de la turbulence homogene, Ann. soc. sci. Bruxelles, 1-59, 145-194 (1939).
9. Френкиль ФЛ. Турбулентная диффузия // ИЛ. Сб. «Проблемы механики», 1955. - С. 384-421.
10. Горелик А.Г. Доплеровская радиолокация в метеорологии. - М.: МГАПИ, 1996.
11. Горелик А.Г., Коломиец С.Ф. Рассеяние радиоволн разреженной средой и статистическая радиометеорология // Научный Вестник МГТУ ГА, серия "Радиофизика и электроника". - 2006. - № 137.
12. Коломиец С.Ф. Вертикальное зондирование атмосферы с осадками доплеровскими методами в широком диапазоне пространственно-временных масштабов и длин волн зондирования: дис... канд. физ.-мат. наук, МФТИ, 2009.
SCATTERED SPECTRUM SHAPE AS A NEW INFORMATION SOURCE ABOUT SCATTERING MEDIUM CHARACTERISTICS AND DYNAMIC PROCESSES INVOLVED
Gorelik A.G., Kolomiets S.F., Kupriyanov P.V.
A model of Doppler spectrum formation on scattered particles is discussed in the article taking into account particles’ inertia. Parameterization of models of Doppler spectrum formation is presented and discussed. As a result all necessary prerequisite are given to evaluate performance characteristics and measurement time required for observing non Gaussian spectrum shapes. This type of Spectra allows us to retrieve more data about scattering medium characteristic and dynamical processes involved from radar volume directly.
Key words: radar meteorology, Doppler signal processing, Doppler spectrum shape.
Сведения об авторах
Горелик Андрей Габриэлович, 1931 г.р., окончил ГГУ (1954), доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, автор более 300 научных работ, область научных интересов - радиофизика, радиолокация, радиометеорология.
Коломиец Сергей Фёдорович, 1971 г.р., окончил МФТИ (1993), кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник МФТИ, автор более 20 научных работ, область научных интересов -статистическая радиофизика, применение доплеровских методов обработки радиолокационных сигналов, электродинамика.
Куприянов Павел Васильевич, 1964 г.р., окончил Таганрогский радиотехнический институт (1986), доктор технических наук, начальник отделения микроволновой техники НИИ «Исток», автор 25 научных работ, область научных интересов - радиолокация, доплеровские методы обработки радиолокационных сигналов, микроэлектроника СВЧ.
