CC BY
4Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 1. С. 101-112. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 517.938.5 М8С 2010: 37J35
Фокусные особенности в классической механике
Г. Е. Смирнов
Изучаются фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Найдено топологическое препятствие к существованию фокусной особенности заданной сложности. Показано, что в типичной механической системе могут возникать лишь простые фокусные особенности. Приведены модельные примеры механических систем, допускающих сложную фокусную особенность.
Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, фокусные особенности, препятствия к существованию особенностей
Введение
Интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы представляет собой симплектическое 4-многообразие (M4,ш) (фазовое пространство) с двумя почти всюду независимыми функциями (первыми интегралами) H, F: M4 ^ R, находящимися в инволюции {H,f} = 0 относительно естественной скобки Пуассона, и векторным полем sgrad H, задающим динамику на M4. Уровень функции {H = h} называется уровнем энергии. Будем предполагать, что все уровни энергии компактны. Отображение F: M4 ^ R2(h, f), F(x) = (H(x),F(x)) называется отображением момента. Отображение момента определяет слоение на многообразии M4, называемое слоением Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты прообразов F-1(h,f). Точка x G M4 называется особой точкой ранга i (i = 0,1) гамильтоновой системы, если rankd F(x) = i, а содержащий эту точку слой называется особым слоем.
Если во всех точках слоя ранг отображения момента равен 2, то слой называется 'регулярным, и, согласно теореме Лиувилля, такой слой диффеоморфен двумерному тору T2.
Получено 8 декабря 2013 года После доработки 25 февраля 2014 года
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №14-01-00119)
Смирнов Глеб Евгеньевич glebevgen@yandex.ги
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
механико-математический факультет
119991, Россия, г. Москва, Ленинские горы, д. 1
Поэтому с топологической точки зрения интерес представляют именно особые слои отображения Т. Изложение основных понятий гамильтоновой механики можно найти в [1]. Топологические методы подробно описаны в [4, 16, 19, 21] (см. также [2, 8, 14, 20, 26, 28]).
Локальная классификация особых точек дается теоремой Элиассона (см. [20, 23]). В настоящей работе рассматривается лишь один из типов особых точек и особых слоев — так называемые фокусные особенности.
Особая точка х ранга 0 называется особой точкой типа фокус-фокус, если гессианы а2И (х), а2 Р (х) линейно независимы и для некоторой их линейной комбинации а ¿2И (х) + + Ьа2Р(х) корни многочлена
Р(X) = дв1(аа2И(х) + Ьа2Р(х) - ХП(х))
различны и имеют вид ±х ± гу, где х,у = 0. Здесь через О обозначена матрица симплекти-ческой формы.
Напомним основные свойства фокусных особенностей (подробности можно найти в [4, 7, 10, 20, 29, 30, 32]). Пусть точка х является особой точкой типа фокус-фокус. Тогда (см., например, [25, 31]) в некоторой ее окрестности существуют канонические координаты р\, 91, Р2, 92, х = (0, 0, 0, 0), такие, что исходные первые интегралы И, Р являются функциями от пары канонических интегралов /1, /2, то есть
И = И(/1, /2), Р = Р(/1,/2),
где /1 = Р191 + Р292, /2 = Р192 - Р291, причем и = ар1 Л а 91 + аР2 Л а 92.
Пусть Ь — особый слой лиувиллева слоения, содержащий одну или несколько особых точек типа фокус-фокус. Если особый слой не содержит точек ранга 1, а все особые точки ранга 0 имеют тип фокус-фокус, то будем слой Ь называть фокусным и говорить, что интегрируемая система имеет фокусную особенность.
Число особых точек на слое будем называть сложностью фокусной особенности. В случае только одной особой точки будем говорить, что особенность простая. Пусть х1,'.', хп — особые точки на слое. Тогда особый слой представляет собой последовательность вложенных лагранже-вых 2-сфер Ьг, на каждой из которых отмечена пара точек хг, хг+1, и соседние сферы склеены по этим точкам. В каждой точке хг две соседние сферы Ь-1 и Ьг в М4 пересекаются трансверсально.
Особый слой Ь является пределом семейства регулярных торов. Этот предельный переход выглядит следующим образом: на регулярном торе выделяются п параллельных Рис. 1. Фокусный особый слой. нетривиальных циклов, каждый из которых стягивается
в точку. В результате получается предельный «тор с п перетяжками» (рис. 1).
Фокусные особенности возникают во многих интегрируемых системах механики. Укажем для примера случаи интегрируемости Клебша [11, 15] и Лагранжа [27] из динамики твердого тела, сферический маятник, а также движение эллипсоида по гладкой плоскости [3, 6]. За исключением последней задачи, во всех перечисленных системах возникающие фокусные особенности просты. В то же время можно построить модельный пример сколь угодно сложной особенности [10] (см. также [4]). Естественно ожидать, что существуют некие топологические препятствия к существованию сложной фокусной особенности
на симплектическом многообразии. Следующий раздел работы посвящен обсуждению широко известного вопроса: как по данному симплектическому многообразию понять, какие фокусные особенности оно допускает? В такой форме вопрос сформулирован в обзоре [20].
Топологическое препятствие к существованию фокусной особенности заданной сложности
Напомним необходимые сведения из алгебраической топологии [5, 24]. Пусть 5 — замкнутое компактное ориентированное 2-подмногообразие в ориентированном 4-многообра-зии М4. Тогда этому подмногообразию может быть сопоставлен класс когомологий де Рама с компактным носителем [пв] £ Н?(М), однозначно определяемый условием
1Ф Чф Л пв для любой замкнутой 2-формы * (1)
5 М
и называемый двойственным по Пуанкаре к подмногообразию 5. Каждый класс когомологий в Н?(М) естественно определяет класс в Н2(М), который, вообще говоря, может оказаться тривиальным. Однако в рамках данной работы эти тонкости несущественны, и в дальнейшем будем говорить о классе [пв] как о классе когомологий в Н2(М). Для любого компактного замкнутого ориентированного двумерного подмногообразия X, трансверсаль-но пересекающегося с 5, значение интеграла пв будем обозначать через X 5 и называть алгебраическим числом точек пересечения X с 5 или индексом пересечения X с 5.
Индекс пересечения двух трансверсально пересекающихся 2-подмногообразий X и 5 также можно определить чисто геометрически. Пересечение 5 П X состоит из конечного числа точек Х\, ...,хп. Пусть Тг(5) — ориентирующий касательный репер к 5 в точке хг, а Тг^) — ориентирующий касательный репер к X в точке х^ точке Хг приписывается знак «+», если ориентация репера (тг^),тг(5)) совпадает с ориентацией М4 в точке хг, и знак « —» в противном случае; этот знак обозначим sgnХг. Тогда индексом пересечения подмногообразий X и 5 называется целое число
X•5 = ^ sgn хг.
г
Индекс пересечения не меняется при замене вложений X и 5 на гомотопные. Для каждого вложения подмногообразия 5 существует гомотопное ему вложение 5', такое, что подмногообразия 5 и 5' пересекаются трансверсально. Алгебраическое число точек пересечения подмногообразий 5 и 5' называется индексом самопересечения подмногообразия 5. Для индекса самопересечения 5-5 верна формула
5-5 = У пв = ! Пв. (2)
в
Нам потребуется следующий хорошо известный факт из симплектической топологии (см. [9]).
Лемма 1. Индекс самопересечения вложенного лагранжева 2-подмногообразия X сим-плектического многообразия (М4,ш), ориентированного формой ( — 1)ш Л ш, равен его эйлеровой характеристике XX)■
Доказательство. На кокасательном расслоении T*X существует каноническая 1-форма а, внешний дифференциал которой определяет на T*X симплектическую форму. В стандартных локальных координатах (q, p), где q £ R2 и p £ R2 — координаты базы и слоя соответственно, каноническая 1-форма и ее дифференциал задаются формулами
а = pi d qi + p2 d q2, d а = dpi Л d qi + dp2 Л d q2.
По теореме Вейнстейна (см., например, [9]) существует симплектоморфизм ф: U(X2) ^ ^ V(X2) некоторой окрестности U(X2) С M подмногообразия X в M4 на окрестность V(X) С T*X нулевого сечения расслоения T*X с симплектической формой d а, переводящий X в нулевое сечение.
Форма (—1)d а Л d а задает на T*X стандартную ориентацию, определяемую порядком координат (q, p). Для стандартной ориентации индекс самопересечения нулевого сечения совпадает с суммой индексов векторного поля общего положения на X и равен х(Х)- U
Теорема 1. Пусть интегрируемая гамильтонова система на симплектическом 4-мно-гообразии M4 содержит фокусную особенность сложности n ^ 2. Тогда
а) П2 (M) = 0,
б) размерность группы когомологий де Рама dim H2 (M) ^ n — 1,
в) если многообразие M4 является компактным, то dim H2(M4) ^ п.
Доказательство. Ориентируем многообразие M4 формой (—1)и Л и. Тогда алгебраическое число точек самопересечения лагранжева подмногообразия X С M4 равно его эйлеровой характеристике X X = x(X).
а) Особый слой сложной фокусной особенности содержит лагранжеву сферу. Согласно лемме 1, лагранжева сфера имеет ненулевой индекс самопересечения и, следовательно, не гомотопна нулю.
б) Рассмотрим цепочку сфер Li,...,Ln фокусного особого слоя сложности п ^ 2. Обозначим через классы, двойственные по Пуанкаре сферам Li. Так как каждая из сфер лагранжева, ее индекс самопересечения равен +2. Тогда из формулы (2) имеем
f^i = 2.
Li
Таким образом, классы ] нетривиальны. Докажем, что они порождают подпространство размерности не меньше п—1 в H2(M4). Выбросим из цепочки одну сферу. В новой незамкнутой цепочке Li,..., Ln-i ориентируем сферы таким образом, чтобы индекс пересечения соседних сфер был равен +1. Достаточно показать, что не существует такой нетривиальной линейной комбинации классов [^>i],..., [^>n_i], интеграл от которой по любой сфере особого слоя равен нулю. Для линейной комбинации ^i Xi^i интегрирование по сферам Li приводит к следующей однородной системе линейных уравнений на коэффициенты:
2Xi + X2 = 0,
Xi_i +2Xi + Xi+i =0, i = 2,...,n — 2 Xn_2 + 2Xn_i = 0.
Ее определитель равен n, поэтому единственное решение — нулевое.
в) Рассмотрим отображение умножения на симплектическую форму
\и: Н2(М4) ^ Н4(М4) = М. Согласно формуле (1), все классы лежат в ядре данного отображения:
У и \ = J и = 0.
М4 Si
Симплектическая форма и не принадлежит ядру, так как и \ и — форма объема, которая не является точной в силу компактности М4. Таким образом, классы [<рц\, двойственные к лагранжевым сферам особого слоя, не порождают класс когомологий симплектической формы, и, следовательно, сНтН2(М4) ^ п. Я
Рассмотрим некоторые примеры применения данной теоремы. Сразу отметим, что в этих примерах оценка сложности фокусной особенности, доставляемая теоремой 1, не точна, и ее можно улучшить, прибегнув к использованию иных топологических инвариантов. Примеры:
• М4 = СР2
Так как Н2(СР2) = М, то из пункта (в) следует, что СР2 допускает только простые фокусные особенности.
• М4 = М2Х х М22 (произведение сфер с ручками)
Если числа д\ и д2 одновременно больше нуля, то Ж2(М21 хМ22) = 0. Тогда из пункта (а) имеем, что фокусные особенности в М4 просты.
Пусть д2 = 0, а дг = д = 0, то есть М4 = М| х Б2. Так как группа Н2(М| х 52) = М2, то из пункта (в) следует, что не существует особенностей сложности выше 2. Далее, группа П2(М2 х Б2) = Ъ. Гомотопический класс любой сферы в М2 х Б2 является кратным гомотопического класса сферы-сомножителя и, следовательно, имеет нулевой индекс самопересечения. Таким образом, в М2 х Б2 не существует сложных фокусных особенностей при д = 0.
Наиболее интересным является случай д\ = д2 = 0, то есть М4 = Б2 х Б2. Здесь Н2(М4) = М2. То есть из пункта (в) снова получаем, что не существует особенностей сложности 3 и выше. Могут ли существовать особенности сложности 2? Ориентируем некоторым образом сомножители, а на всем многообразии М4 зададим ориентацию прямого произведения. Пусть а, Ь — образующие группы Н2(Б2 х Б2, Ъ) = Ъ2, реализуемые сомножителями. Для произвольного класса гомологий аа + (ЗЬ вычислим индекс самопересечения
(аа + /ЗЬ) ■ (аа + /ЗЬ) = 2а$.
Будем считать, что ориентация, задаваемая формой (—1) и \ и, противоположна ориентации прямого произведения. В этом случае, индекс самопересечения лагранжевой сферы равен -2, и, следовательно, она реализуется только классом а — Ь (или Ь — а). Далее,
J и = ! и — J и = 0. (3)
а—Ь а Ь
Интеграл от симплектической формы по данному классу равен нулю в том и только в том случае, если симплектические площади сфер-сомножителей одинаковы. Условие (3) является необходимым условием существования в S2 х S2 фокусных особенностей сложности 2.
• M4 = Mg х R2 (произведение сферы с ручками на плоскость)
При g = 0 имеем n2(M2 х R2) = 0; из пункта (а) получаем, что M4 не допускает сложных фокусных особенностей.
В случае g = 0 группа H2(S2 х R2) = R. Тогда из пункта (б) вытекает, что в
S2 R2
не может быть особенностей сложности выше 2. Класс гомологий, реализуемый сферой, будет иметь нулевой индекс самопересечения, так как любая сфера в S2 х R2 гомотопна сфере-сомножителю (или кратному). Окончательно получаем, что многообразие S2 х R2 допускает только простые фокусные особенности.
Замечание 1. В отличие от сложных особенностей простые фокусные особенности являются локальными, то есть могут быть реализованы в пространстве (R4, и) со стандартной симплектической формой. В качестве примера укажем следующую пару функций:
Н=^(р1 +р\) + (</l + ql ~ if , F = Plq2 - p2qi,
и = dpi Л d qi + dp2 Л d q2.
Точка (0, 0,0, 0) является особой точкой типа фокус-фокус. Компактность фокусного особого слоя следует из компактности уровней энергии H = const. Таким образом, не существует топологического препятствия к существованию простой фокусной особенности.
Приложения к механике
Этот раздел посвящен исследованию фокусных особенностей в интегрируемых системах классической механики. Кроме работ, упомянутых выше, о приложениях к механике см. книгу [22] и приведенную в ней библиографию.
В системах гамильтоновой механики, сводимых к двум степеням свободы, фазовое пространство является кокасательным расслоением T*M2 к двумерному многообразию M2 (конфигурационному пространству). Предположим, что конфигурационное пространство замкнуто (компактно и без края), то есть в ориентируемом случае является сферой Mg2 с g ручками, а в неориентируемом — сферой N2 с ц пленками Мёбиуса. На фазовом пространстве рассмотрим симплектическую форму вида
и = d а + п* к. (4)
Здесь через d а обозначена стандартная симплектическая форма кокасательного расслоения, п: T*M2 ^ M2 — проекция, а к — замкнутая 2-форма на M2 (форма гироскопических сил; подробности см., например, в [18]).
Теорема 2. Рассмотрим двумерное замкнутое многообразие M2 и интегрируемую гам,и,.льт,онову систему на кокасательном расслоении T*M2 с симплектической формой и вида (4). Тогда
1) Если M2 = M2 и g > 0, либо если M2 = N2 то в системе могут возникать лишь простые фокусные особенности.
2) При д = 0 могут возникать фокусные особенности сложности 1 и 2. Особенности сложности 2 могут быть лишь в случае, когда форма к точна.
Доказательство. 1) Фазовое пространство Т*М2 стягивается на конфигурационное пространство М2. Группы ^(М2),"^^2) нетривиальны только в случае д = 0 (сфера) и /л = 1 (проективная плоскость). В случае М2 = МР2 имеем Н2(МР2) = 0. Теперь утверждение следует из пунктов (а) и (б) теоремы 1.
2) Так как Н2(Б2) = М, то из пункта (б) теоремы 1 получаем, что особенностей сложности выше 2 быть не может. Обозначим через [ф] класс, двойственный к одной из сфер Б особого слоя сложной фокусной особенности, а через [ш] — класс когомологий симплекти-ческой формы. Тогда [ш] = к[ф], ¡к € М. Из (2) и леммы 1 получаем, что ^ ф = Б • Б = 2. Так как сфера Б лагранжева, то ^ ш = 0. Тогда
J ш = ^ ф = 2к = 0.
Таким образом, к = 0, и симплектическая форма точна. ■
Другую интересную с физической точки зрения серию интегрируемых систем представляют системы на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Пусть д — конечномерная
алгебра Ли, а д* — пространство линейных функций на д. Рассмотрим базис в\,...,еп в ал-
пк
"гз
гебре д. Пусть скз — структурные константы алгебры д в этом базисе:
[ег,е3] ^ ^ скек. к
Рассмотрим линейные координаты х1,...,хп на д*, соответствующие базису, дуальному
к е1,..., еп. На д* определена естественная скобка Пуассона, задаваемая формулой
г,3,к г 3
Она называется скобкой Ли-Пуассона.
Для произвольной гладкой функции Н на д* уравнения
хг = {хг,Н} (5)
называются уравнениями Эйлера на д* с гамильтонианом Н.
На пространстве д* определено слоение на орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли. Ограничение на эти орбиты скобки Ли-Пуассона невырожденно и, следовательно, определяет на них естественную симплектическую форму. Подробности см. в [13].
В случае, когда орбиты имеют размерность 4, интегрируемость системы (5) означает существование дополнительного интеграла, функционально независимого с Н на орбитах. При ограничении гамильтониана и дополнительного интеграла на конкретную орбиту приходим к рассмотрению обычной интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, и можно поставить вопрос о существовании у нее сложных фокусных особенностей.
Многие динамические системы, описывающие задачи механики и физики, могут быть представлены в виде гамильтоновых систем на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Например, уравнения Кирхгофа с современной точки зрения представляют собой гамильто-нову систему на е(3)*. Задача о движении по инерции четырехмерного твердого тела может быть записана в форме уравнений Эйлера на зо(4)*. Подробно рассмотрим эти два случая.
Случай 0 = е(3)
Скобка Ли-Пуассона в е(3)* в переменных ш\, тз, д\, д2, дз имеет вид
[Шг,Шу} = £гзк т, [тг,ду} = ечк дк, } = 0' (6)
к к
а орбиты коприсоединенного представления задаются уравнениями
Од,т = {/1 = + д| + д3 = д2, ¡2 = тд + т2д2 + тздз = тд).
Теорема 3. В интегрируемых гамильтоновых системах на подмногообразиях коприсоединенного представления в е(3)*7 за исключением, быть может, орбит т = 0, могут возникать лишь простые фокусные особенности. На орбитах т = 0 фокусные особенности имеют сложность не выше двух.
Доказательство. Любая неособая (д = 0) орбита Од,т диффеоморфна кокасательному расслоению сферы Т*Б2. При различных значениях т и д получаем различные симплекти-ческие формы шд,т вида (4) на Т*Б2 и, таким образом, оказываемся в условиях теоремы 2. С помощью введения сферических координат (подробности см. в [12]) можно вычислить интеграл от симплектической формы по базе Б2:
У =
й2
Согласно пункту 2 теоремы 2, многообразие Т*Б2 не допускает фокусных особенностей сложности выше 2, причем особенности сложности 2 возможны только в случае точной симплектической формы, то есть только если т = 0. Отметим, что нетривиальность класса когомологий симплектической формы при тд = 0 также следует из результатов работы [17]. ' ■
Случай 0 = во(4)
Рассмотрим координаты т1, т2, тз, д1, д2, дз на зо(4)*. Базисные скобки Пуассона определяются следующим образом:
[тг ,ту} = ^ еу тк, [тг ,ду} = ^ еу дк, [дг,ду} = ^ е^к тк. к к к
Пара функций
¡1 = д2 + д! + д2 + т\ + т2 + тз, ¡2 = т1д1 + т2д2 + тздз задает слоение в зо(4)* на орбиты коприсоединенного представления
Ост = {¡1 = с2, ¡2 = те}. (7)
Теорема 4. В интегрируемых гамильтоновых системах на орбитах коприсоединенного представления в зв(4)*, за исключением, быть может, орбит т = 0, могут возникать лишь простые фокусные особенности. На орбитах т = 0 фокусные особенности имеют сложность не выше двух.
Доказательство. Доказательство основано на использовании хорошо известного изоморфизма алгебр во(4) и во(3) ф во(3). В переменных $1, в2, вз, Р1, Р2, Рз на пространстве во(3)* ф во(3)* скобки Пуассона имеют вид
} = ^ £^кви, {Si,Рj } = 0, {Рi,Рj } = £^кРк, к к
а изоморфизм задается формулами
т = Si + pi, qi = pi - в^ Уравнения орбит коприсоединенного представления в переменных Si,Рi имеют простой вид:
2 2 2 2 2 2 2 2 в1 + в2 + в2 = в , Р1 + р2 + Рз = Р . (8)
Отсюда видно, что орбиты О3рР общего положения диффеоморфны Б2 х Б2. Каждое из уравнений (8) задает сферу в во(3)*. Эти сферы представляют собой орбиты коприсоединенного представления в во(3)* и имеют естественную симплектическую форму. Пусть ш3 и шд являются симплектическими формами на сферах Б2 и Б^ соответственно. Тогда симплектическая форма ш3рР на О3рР = Б^ х Бр имеет вид
Ы3,р = П*Ш3 + П*Шр,
где отображения п3 и пр — это проекции на сомножители.
Ориентируем сферы Б^ и Бр формами ш3 и ыр соответственно. Тогда ориентация прямого произведения на Б^ х Бр задается формой п*ш3 Л п*ыр. Далее,
ыз,р Л = 2(п*3ш3) Л (п*шр), и, как уже отмечалось выше, необходимым условием существования сложной фокусной
особенности является равенство симплектических площадей сфер Б^ и Бр
Переходя к сферическим координатам, можно показать, что
!и3 = 4пв, Jup = 4пр.
Таким образом, сложные особенности бывают только на орбитах в = Р. В терминах значений исходных функций и /2 эти орбиты выделяются условием т = 0. ■
Модельный пример механической системы с фокусной особенностью сложности 2
В этом разделе будет показано, что оценки на сложность фокусной особенности, доставляемые теоремами 2, 3 и 4, являются точными, то есть будут приведены соответствующие примеры интегрируемых систем с фокусной особенностью сложности 2. На пространстве е(3)* рассмотрим пару функций
Я = ±(т? + т| + т|) + Г т3, (9)
находящихся в инволюции относительно скобки (6) и, следовательно, определяющих на орбитах Од,т интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Обозначим через Н и / константы интегралов Н и ^ соответственно.
Предложение 1. Система (9) на орбите Од,о = {/1 = д2,/ = 0} в е(3)* имеет фокусную особенность сложности 2. Фокусный особый слой Ь задается уравнениями Ь = = {И = д2,^ = 0}.
Доказательство. Точки Р± = {д1 = = Ш1 = = 0, тз = ±т, дз = ±д} на орбитах Од,т при \т\ < 2 у/2 д являются особыми точками типа фокус-фокус. При т = 0 две этих точки находятся на одном уровне Ь = {Л = д2,д = 0}. Докажем, что особый слой Ь, содержащий точки Р±, связен, то есть орбита Од,о действительно содержит сложную фокусную особенность, а не пару простых. Слой Ь задается в пространстве М6(т,1 ,т2,т33,д1 ,д2,дз) системой из четырех уравнений
2,2,2 2 д2 + д2 + д2 = д ,
тд + т2д2 + тздз = 0, ^(т? + т\ + т2) + д23=д2,
тз = 0,
которая имеет явное решение, а именно: точка q = (д1,д2,дз) — любая на сфере д2 + д| + + д2 = д2, а точка т = (т1, т2, тз) определена уравнениями
гпг = ±\/2д2, т2 = Т^Яг, тз = 0.
Ясно, что каждый выбранный знак (оба верхних или оба нижних) дает сферу и эти сферы пересекаются ровно по двум точкам Р+ и Р-.
Таким образом, система (9) представляет собой пример интегрируемой системы на Од,о с фокусной особенностью сложности 2, причем при переходе на близкие орбиты Од,т, то есть при малом интегрируемом возмущении, сложная фокусная особенность распадается на пару простых. ■
Функции (9) находятся в инволюции не только относительно скобки на е(3)*, но и относительно целого семейства скобок Пуассона вида
{тг,ту} = ^2 £гзк тк, {тг,ду} = ^ е^и дк, {дi,дj } = Х^е^ити. (10)
к к к
Уравнения орбит коприсоединенного представления для таких скобок следующим образом зависят от параметра Л:
Ос,т = {/1 = Л(т1 + т2 + т|) + (д2 + + д2) = с2, /2 = т^ + т2д2 + тздз = тс).
При Л > 0 законна замена переменных вида т^ = т», дг = \Z\gi, после которой видно, что скобка (10) соответствует алгебре зо(4).
Предложение 2. Система (9) со скобкой (10) на орбите Ос,о = {/1 = с2,/2 = 0} в зо(4)* имеет фокусную особенность сложности 2. Фокусный особый слой Ь задается уравнениями Ь = {И = с2, Г = 0}.
Доказательство. Рассмотрим систему (9) на регулярной (с = 0) орбите Ос,о. Точки Р± = {д1 = д2 = т1 = т2 = тз = 0,дз = ±с} для достаточно малых Л имеют тип фокус-фокус.
Ь:
/1 = /2 =
И= ^ =
Как и в предыдущем примере, особый слой Ь можно задать в пространстве явно»: точка q = (д1, д2, дз) — любая на эллипсоиде
«почти
1
1 — 2Л
д + д1) + д2 = с2
и для любой такой точки q
т1 = ±д2
2
1 - 2Л'
т2 = Тд1
2
1 - 2Л'
тз = 0.
Как и ранее, получаем пару сфер, трансверсально пересекающихся по точкам Р+ и Р-.
Таким образом, система (9) является интегрируемой системой с двумя степенями свободы на орбите 0с,о> которая имеет фокусную особенность сложности 2. ■
Автор благодарен А. А. Ошемкову за внимание к работе.
Список литературы
[1] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва: Едиториал УРСС, 2003. 416 с.
[2] Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН, 2010, т. 65, №2(392), с. 71-132.
[3] Болсинов А. В., Казаков А. О., Килин А. А. Топологическая монодромия в неголономных системах // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 203-227.
[4] Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы: Геометрия, топология, классификация: В 2-х тт. Ижевск: УдГУ, 1999. 444 с.; 448 с.
[5] Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Москва: Наука, 1989. 336 с.
[6] Ивочкин М. Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости // Матем. сб., 2008, т. 199, №6, с. 85-104.
[7] Изосимов А. М. Гладкие инварианты особенностей типа фокус-фокус // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2011, №4, с. 59-61.
[8] Лерман Л. М., Уманский Я. Л. Классификация четырехмерных интегрируемых гамильтоновых систем и пуассоновских действий М2 в расширенных окрестностях простых особых точек: 1 // Матем. сб., 1992, т. 181, № 12, с. 141-176.
[9] Макдафф Д., Саламон Д. Введение в симплектическую топологию. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2012. 568 с.
[10] Матвеев В. С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло // Матем. сб., 1996, т. 187, №4, с. 29-58.
[11] Морозов П. В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша // Матем. сб., 2002, т. 193, № 10, с. 113-138.
[12] Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника - Шнирельмана - Морса (ЛШМ): 1 // Функц. анализ и его прил., 1981, т. 15, №3, с. 54-66.
[13] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва: Мир, 1989. 639 с.
[14] Ошемков А. А. Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых га-мильтоновых систем // Матем. сб., 2010, т. 201, №8, с. 63-102.
[15] Погосян Т. И. Критические интегральные поверхности в задаче Клебша // МТТ, 1984, №16, с. 19-24.
[16] Смейл С. Топология и механика // УМН, 1972, т. 27, №2(164), с. 77-134.
[17] Харламов М. П. Характеристический класс расслоения и существование глобальной функции Рауса // Функц. анализ и его прил., 1977, т. 11, №1, с. 89-90.
[18] Харламов М.П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии к теории механических систем // МТТ, 1979, №11, с. 37-49.
[19] Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Ленинград: ЛГУ, 1988. 200 с.
[20] Bolsinov A. V., Oshemkov A. A. Singularities of integrable Hamiltonian systems // Topological methods in the theory of integrable systems / A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, A. A. Oshemkov (eds.). Cambridge: Camb. Sci. Publ., 2006. P. 1-67.
[21] Cushman R., Bates L. Global aspects of classical integrable systems. Basel: Birkhauser, 1997. 435 pp.
[22] Efstathiou K. Metamorphoses of Hamiltonian systems with symmetries. (Lect. Notes in Math., vol.1864.) Berlin: Springer, 2005. 149 pp.
[23] Eliasson L. H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case // Comment. Math. Helv., 1990, vol.65, no. 1, pp.4-35.
[24] Hatcher A. Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. 550 pp.
[25] Ito H. Convergence of Birkhoff normal forms for integrable systems // Comment. Math. Helv., 1989, vol.64, no. 3, pp. 412-461.
[26] Leung N.C., Symington M. Almost toric symplectic four-manifolds //J. Symplectic Geom., 2010, vol.8, no. 2, pp. 143-187.
[27] Oshemkov A. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of the rigid body motion equations // Topological classification of integrable systems / A. T. Fomenko (ed.). (Adv. Soviet Math., vol.6.) Providence, RI: AMS, 1991. P. 67-146.
[28] Nguyen T. Z. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems: 1. Arnold-Liouville with singularities // Compositio Math., 1996, vol.101, no. 2, pp. 179-215.
[29] Nguyen T. Z. A note on focus-focus singularities // Differential Geom. Appl., 1997, vol. 7, no. 2, pp.123-130.
[30] Nguyen T.Z. Another note on focus-focus singularities // Lett. Math. Phys., 2002, vol.60, no. 1, pp. 87-99.
[31] Vey J. Sur certains systemes dynamiques separables // Amer. J. Math., 1978, vol. 100, no. 3, pp. 591614.
[32] Vu Ngoc S. On semi-global invariants for focus-focus singularities // Topology, 2002, vol.42, no. 2, pp. 365-380.
Focus-focus singularities in classical mechanics
Gleb E. Smirnov
Lomonosov Moscow State University Faculty of Mechanics and Mathematics Leninskye gori 1, GSP-1, Moscow, 119991, Russia glebevgen@yandex.ru
In this paper the local singularities of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom are studied. The topological obstruction to the existence of a focus-focus singularity with given complexity is found. It is shown that only simple focus-focus singularities can appear in a typical mechanical system. Model examples of mechanical systems with complicated focus-focus singularity are given.
MSC 2010: 37J35
Keywords: integrable hamiltonian systems, focus-focus singularities, obstruction to the existence of singularities
Received December 8, 2013, accepted February 25, 2014
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2014, vol. 10, no. 1, pp. 101-112 (Russian)
