CC BY
26
_ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS_
DOI: https:/10.23670/IRJ.2019.79.1.001
ФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФЕНОМЕНА КРАСОТЫ ФРАКТАЛОВ
Научная статья
Короленко П.В.1' *, Мишин А.Ю.2
1 2 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия;
1 Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, Москва, Россия
*Корреспондирующий автор (pvkorolenko[at]rambler.ru)
Аннотация
Рассмотрены особенности восприятия зрительной системой человека изображений фрактальных объектов, формирующих чувство красоты. На основе оптико-физических представлений с использованием численного моделирования дана интерпретация феномена красоты фракталов и многочисленных изложенных в литературе фактов положительного влияния фрактальных изображений на психологическое состояние человека. Было установлено, что независимо от модели фрактального объекта и вариации в широком диапазоне его параметров имеет место самоподобие пространственных спектров изображения фрактала в различных спектральных диапазонах. Есть все основания полагать, что наличие самоподобия, упрощая обработку оптической информации в коре головного мозга, формирует ощущение комфорта и возбуждает чувство прекрасного.
Ключевые слова: красота фракталов, пространственные частоты, фрактальная размерность, нейронная сеть головного мозга, обработка оптических сигналов.
PHYSICAL ASPECTS OF FRACTAL BEAUTY PHENOMENON
Research article
Korolenko P. V.1' *, Mishin A. Yu.2
1 2 Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia;
1 Lebedev Physical Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
Corresponding author (pvkorolenko[at]rambler.ru)
Abstract
The features of fractal object perception by the human visual system forming a sense of beauty are considered in the paper. The interpretation of a fractal beauty phenomenon and the numerous facts of the positive influence of fractal images on the psychological state of a person described in the literature are presented based on optical and physical concepts using numerical modeling. It is found that regardless of the model of a fractal object and variations in a wide range of its parameters, there is a self-similarity of the spatial spectra of a fractal image in different spectral ranges. We have a reason to believe that the presence of self-similarity, simplifying the processing of optical information in the cerebral cortex, creates a feeling of comfort and excites a sense of beauty.
Keywords: the beauty of fractals, spatial frequencies, fractal dimension, the neural network of the brain, optical signal processing.
Введение
Среди публикаций, в которых описывается работа головного мозга, видное место занимают работы, посвященные изучению когнитивных процессов [1], [2]. Среди последних следует отметить процессы обработки изображений фрактальных объектов [3], [4], [5], приводящие, в частности, к формированию чувства прекрасного [6], [7]. Изучение эффекта красоты фракталов [8], [9] показало, что он во многом обусловлен особенностями пространственных спектров изображений фрактальных структур [10], [11].
B нейронной сети затылочной части головного мозга осуществляется спектральная фильтрация сигналов от зрительных органов. Отдельные элементы сети ответственны за восприятие и обработку различных диапазонов пространственных спектров [12]. Сигналы от этих фрагментов передаются на участки мозга, обеспечивающие интегрирование информации. Частотное представление оптических сигналов упрощает узнавание знакомых объектов с увеличенными или уменьшенными размерами. При этом в системе памяти фиксируется только гармонический состав. Это делает опознание образа более экономным, не зависящим от реального размера объекта. В тех случаях, когда обработка пространственных спектров в силу их самоподобия не требует больших затрат времени и энергии, у человека формируется ощущение комфорта и обостряется чувство прекрасного, улучшающее, в частности, креативные способности индивидуума [6], [7]. Данное научное направление находится лишь на начальном этапе развития, и многие вопросы еще ждут своего решения. В частности, необходимо расширение доказательной базы сформулированной выше концепции.
Целью данной работы является установление связи между особенностями структуры анализируемого объекта и скейлинговыми свойствами его пространственных спектров. Для придания большей общности рассмотрению анализ выполнен для произвольной фрактальной структуры, при этом особое внимание уделено устойчивости ее спектральных характеристик к геометрическим возмущениям.
Структура пространственных спектров фрактальных объектов
Изучение характеристик фрактальных структур тесным образом связано с исследованием фурье-образов изучаемых объектов. Фурье-представление зрительных сигналов позволяет по новому осветить некоторые проблемы в гуманитарной области, в частности, найти подход к объяснению феномена красоты фракталов.
Для реализации указанных представлений был изучен вопрос о масштабной инвариантности фурье-спектров фрактальных изображений и их устойчивости к случайным и детерминированным изменениям структуры. С этой целью было осуществлено численное моделирование скейлинговых свойств специально построенной двумерной фрактальной структуры с произвольными фрактальными характеристиками. Распределение амплитуды световых колебаний Wkm в структуре, играющей роль тестового объекта, задавалось следующими формулами:
™к,т = И 1 Кт+И2 Кт, (1)
где
И1 кт = V2 а-^1=!ь(2Д_4)(,+1)]У2-, (2)
И2 к,т = V2 а-^=!ь(2Д-4)(,+1)]У2-. (3)
Здесь W1k?m и Ш^2к?т — распределение амплитуды изображений по поперечным индексам к и т. с — стандартное отклонение распределения поля, Б — фрактальная размерность, N — количество гармоник, Ь — параметр пространственно-частотного масштабирования, 5 — масштабирующий коэффициент, уп, у 1П — случайные фазы гармоник.
Пространственная структура, сформированная с помощью вышеприведённых формул, соответствовала следующим значениям параметров: Ь=2, с=3.3, Б = 1.35, N=5 (рис.1). Наличие фрактальных свойств в построенном изображении доказывает наличие самоподобных элементов и скейлинга в сечении изображения, выполненном по поперечным координатам (рис.2).
Фурье-образ получившегося сечения двумерной структуры можно построить, используя преобразование
Т7 =
1 Бес]
1 У (Икдоое^еаге * к) I . (4)
¿—Чс=О4
511
Рис. 1 - Изображение тестового объекта (Ь=2, с=3.3, Б=1.35, N=5)
Рис. 2 - Поперечное сечение тестового объекта вдоль линии т=100
Рассчитанное по формуле (4) фурье-распределение (рис.3) обладает системой убывающих по амплитуде максимумов. Поскольку величина относительного смещения максимумов убывает в два раза, можно утверждать, что коэффициент скейлинга также равен двум.
Рис. 3 - Результат фурье-преобразования графика сечения тестового объекта
Двумерный фурье-образ тестовой структуры рассчитывался по формуле
Z511
V-<511 . 27Г . . 27Г \
I m - oK^4 fc+^ .
k=О
Здесь q и t — пространственные частоты.
Ниже приведены графические представления изображений структуры и ее фурье-образа.
Рис. 4 - Тестовый объект (а) и его фурье-спектр (б), а также проекции фурье-спектра на оси q (в) и t (г), (0=1.35)
Хорошо видно, что фурье-образ тестовой структуры обладает высоким уровнем самоподобия. Помеченные цифрами 1, 2, 3, 4 рефлексы на графическом представлении фурье-образа удовлетворяют условию скейлинга с коэффициентом ^=2. Помеченные разными цветами на рисунках 4в, г максимумы фурье-образа соответствуют разным коэффициентам растяжения проекции. Их наложение свидетельствует о фрактальном характере спектра пространственных частот. Pасчёты показали, что на структуру фурье-образа очень слабо влияет изменение величины фрактальной размерности в пределах 1 - 1.75. Следует также отметить, что фурье-преобразование тестового объекта практически не зависит и от величин случайных фаз гармоник, входящих в формулы (2, 3).
Таким образом, регистрируемая устойчивость формы фурье-спектров и их скейлинговых свойств в различных спектральных диапазонах во многом объясняет причины эстетической ценности фрактальных изображений. Если
9
учесть, что многочисленные природные объекты обладают фрактальными признаками [3], то полученные результаты позволяют дать интерпретацию одному из основных положений современной эстетики. Согласно этому положению наиболее сильное эмоциональное воздействие на человека оказывают структуры, близкие по своей форме к природным объектам [6].
Заключение
Проведенный в данной работе анализ, выполненный для ранее не использованной модели, существенно дополняет данные ранее выполненных исследований [11]. Он подтверждает возможность апелляции к структуре спектров пространственных частот для объяснения феномена прекрасного.
Описанные в литературе иные методы [13] и вытекающие из них результаты не могут рассматриваться как взаимоисключающие, а скорее как взаимодополняющие друг друга. Существующие некоторые несоответствия в выводах, которые делают отдельные авторы, отражают особенности современного этапа исследований когнитивных процессов. Есть веские основания считать, что сейчас преимущественно происходит накопление данных и сведений об изучаемых явлениях. Этот период неизбежен, поскольку в его рамках рассматриваются сложные междисциплинарные проблемы, ещё требующие всестороннего изучения.
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан. None declared.
Список литературы / References
1. Velichkovsky B.M. Cognitive Science: Foundations Of Epistemic Psychology / B.M. Velichkovsky // - Moscow, Academia (in Russia) - 2006. - 896 p.
2. Бушов Ю.В. Фазовые взаимодействия между ритмами ЭЭГ: связь с когнитивными процессами и механизмами сознания. / Ю.В. Бушов, М.В. Светлик // Международный научно-исследовательский журнал. - 2013. - № 8 (15). -С. 79-82.
3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт // - М.: «Институт компьютерных исследований». - 2002. - 656 c.
4. Короленко П.В. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования / П.В. Короленко // - М.: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. - 2004. - 82 с.
5. Иванов В.В. Kомпактные детерминистические гибридные структуры на основе двух взаимопроникающих фрактальных подрешеток на квадратной сетке / В.В. Иванов // Международный научно-исследовательский журнал. -2013. - № 7 (14). - С. 30-31.
6. Частоколенко Я.Б. Фрактальность спонтанного творчества / Я.Б. Частоколенко // Сибирский психологический журнал. - 2008. - №30. - С. 70-74.
7. Yannick J. Some reflections on the relevance of fractals for art therapy / J. Yannick // The Arts in Psychotherapy. Elsevier Inc. - 2006. - № 33. - Р. 143-147.
8. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов / Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер // - М.: Мир. -1989. - 176 c.
9. Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики. под ред. И. Ренчлера, Б. Херцбергер, Д. Эпстайна. - М.: Мир.
- 1995. - 335 c.
10. Averchenko A.V. IEEE Progress in Electromagnetic Research Symposium Proceedings. / A.V. Averchenko, P. V. Korolenko, A.Yu. Mishin- 2017.
11. Короленко П.В. // Здоровье и образование в XXI веке / П.В. Короленко, А.А. Каштанов, А.Ю. Мишин // -2017. -19(2). - С. 90.
12. Николаева Е.И. Психофизиология. Психологическая физиология с основами физиологической психологии / Е.И. Николаева // «Когито-Центр» - 2008. - 293 с.
13. Анохин К.В. Когнитом - гиперсетевая модель мозга / К.В. Анохин // Отдел нейронаук НИЦ «Курчатовский институт» 2015. http://neuroinfo.ru/
Список литературы на английском языке / References in English
1. Velichkovsky B.M. Cognitive Science: Foundations Of Epistemic Psychology / B.M. Velichkovsky // - Moscow, Academia (in Russia) - 2006. - 896 p.
2. Bushov Yu.V. Fazovyye vzaimodeystviya mezhdu ritmami EEG: svyaz' s kognitivnymi protsessami i mekhanizmami soznaniya [Phase interactions between EEG rhythms: connection with cognitive processes and mechanisms of consciousness]. / Yu.V. Bushov, M.V. Svetlik // Mezhdunarodnyy nauchno-issledovatel'skiy zhurnal [International Research Journal]. - 2013.
- No 8 (15). - P. 79-82. [in Russian]
3. Mandelbrot B. Fractal geometry of nature / B. Mandelbrot // - H. B. Fenn and Company Ltd. - 1982. - 458 p
4. Korolenko P.V. Fraktal'nyye i mul'tifraktal'nyye metody, veyvlet-preobrazovaniya [Fractal and multifractal methods, wavelet transform]. / P.V. Korolenko // - M.: Moskovskiy gosudarstvennyy universitet im. M. V. Lomonosova [Lomonosov Moscow State University]. - 2004. - 82 p. [in Russian]
5. Ivanov V.V. Kompaktnyye deterministicheskiye gibridnyye struktury na osnove dvukh vzaimopronikayushchikh fraktal'nykh podreshetok na kvadratnoy setke [Compact deterministic hybrid structures based on two interpenetrating fractal sublattices on a square grid] / V.V. Ivanov // Mezhdunarodnyy nauchno-issledovatel'skiy zhurnal [International Scientific Research Journal]. - 2013. - No 7 (14). - P. 30-31. [in Russian]
6. Chastokolenko Ya.B. Fraktal'nost' spontannogo tvorchestva [Fractality of spontaneous creativity] / Ya.B. Chastokolenko // Sibirskiy psikhologicheskiy zhurnal [Siberian Psychological Journal]. - 2008. - №30. - P. 70-74. [in Russian]
7. Yannick J. Some reflections on the relevance of fractals for art therapy / J. Yannick // The Arts in Psychotherapy. Elsevier Inc. - 2006. - 33. - Р. 143-147.
8. Peitgen H.-O., Richter P.H. The beauty of fractals / H.-O. Peitgen, P.H. Richter // Springer-Verlag. - 1986. - 197 p.
9. Krasota i mozg. Biologicheskiye aspekty estetiki. pod red. [Beauty and the brain. Biological aspects of aesthetics. by ed.] I. Renchlera, B. Khertsberger, D. Epstayna // -M.: Mir. - 1995. - 335 p. [in Russian]
10. Averchenko A.V. IEEE Progress in Electromagnetic Research Symposium Proceedings. / A.V. Averchenko, P.V. Korolenko, A.Yu. Mishin - 2017.
11. Korolenko P.V. // Zdorov'ye i obrazovaniye v 21 veke [Health and education in the twenty-first century] / A.A. Kashtanov, P.V. Korolenko, A.Yu. Mishin // - 2017. - 19(2). P. 90. //. 2017. 19. № 2. S. 90. [in Russian]
12. Nikolayeva Ye.I. Psikhofiziologiya. Psikhologicheskaya fiziologiya s osnovami fiziologicheskoy psikhologii [Psychophysiology. Psychological physiology with the basics of physiological psychology] / Ye.I. Nikolayeva // «Kogito-Tsentr» ["Kogito-Center" ] - 2008. 293 p. [in Russian]
13. Anokhin K.V. Kognitom - gipersetevaya model' mozga / K.V. Anokhin // [Cognitum is a hypernet model of the brain] Otdel neyronauk NITS «Kurchatovskiy institut» [Department of Neuroscience, NRC "Kurchatov Institute"] - 2015. http://neuroinfo.ru [in Russian]
