Особенности применения направленного мультифрактального метода итерационных покрытий в задачах анализа изображений Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

УДК 004.931; 004.932

ГРНТИ 28.23.15

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ НАПРАВЛЕННОГО МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО МЕТОДА ИТЕРАЦИОННЫХ ПОКРЫТИЙ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ИЗОБРАЖЕНИЙ

А.Н. ПОТОЦКИЙ

ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и ЮА. Гагарина» (г. Воронеж)

В работе рассмотрены особенности обработки изображений с позиции теории фракталов, представлена краткая характеристика фрактальных признаков текстуры изображений. Сделаны выводы о недостаточной информативности существующих признаков при анализе высокодетальных изображений. Рассмотрены основные этапы обработки изображений направленным мультифрактальным методом итерационных покрытий, позволяющим учесть сингулярные, мультифрактальные и анизотропные свойства текстуры изображений. Приведены сравнительные результаты оценки точности извлекаемых фрактальных признаков, а также особенности использования функциональных возможностей синтезированного метода. Рассмотрены особенности направленной морфологической мультифрактальной сигнатуры изображений, удовлетворяющих и неудовлетворяющих свойству самоподобия, характеризующей фрактальные свойства изображений с учетом их взаимных связей.

Ключевые слова: текстура изображений, мультифрактальная сигнатура, направленная мультифрактальная сигнатура, локальные морфологические мультифрактальные показатели.

APPLICATION PECULIARITIES OF THE DIRECTIONAL MULTIFRACTBLANKET

METHOD IN THE TASKS OF IMAGE ANALYSIS

A.N. POTOTSKIY

MESC AF «N.E. Zhukovsky and YA. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)

In this paper, peculiarities of image processing from the viewpoint of fractal theory are considered, a brief description of the fractal attributes of the image texture is presented. Conclusions are drawn about the insufficient information content of existing features in the analysis of highly detailed images. The main stages of image processing by a directional multifractal blanket method are considered, allowing to take into account the singular, multifractal and anisotropic properties of the image texture. The comparative results of the extracted fractal features accuracy estimation are presented, as well as the peculiarities of using the synthesized method functionality. The peculiarities of the directional morphological multifractal signature of images satisfying and not satisfying the self-similarity property, and characterizing the fractal properties of images, considering their mutual ties are considered.

Keywords: texture image, multifractal signature, directional multifractal signature, local morphologic multifractal exponents.

Введение. Современные системы мониторинга земного пространства воздушно-космического базирования обеспечивают формирование высокодетальных оптических и радиолокационных изображений (РЛИ) в интересах решения ряда разведывательных и специальных-задач. Возросшая разрешающая способность систем формирования изображений (вплоть до единиц сантиметров) обусловливает возможность при тематической обработке РЛИ и оптических изображений все более эффективно использовать текстурные особенности и признаки наблюдаемой сцены [1]. В основе применения текстурного подхода лежит тот факт, что в боль-

шинстве случаев пространственные конфигурации отсчетов яркости высокодетальных изображений в пределах границ разнородных классов объектов обладают существенными отличиями. Конкретные числовые значения текстурных признаков определяются с помощью различных математических аппаратов, среди которых можно выделить вейвлет-анализ, фрактальный анализ и ряд других [1].

Актуальность. В настоящее время фрактальная обработка является многообещающим подходом к обработке изображений и подразумевает получение численных оценок показателей масштабной инвариантности текстуры изображения посредством исследования локальных и глобальных топологических особенностей пространственной структуры поля его интенсивности, и последующую дифференциацию изображения на однородные области на основе измеренных значений [2]. В настоящее время разработаны методы автоматического анализа и тематической обработки изображений, основанные на раздельном использовании оцениваемых значений различных фрактальных признаков. К числу таких признаков, получивших наибольшее практическое применение, относятся фрактальная (ФР) и мультифрактальные размерности (МФР), фрактальная (ФС) и мультифрактальная сигнатура (МФС), позволяющие с различной эффективностью определять области текстурной однородности на изображениях. Получение численных оценок фрактальных признаков относят в отдельный класс исследовательских задач. На сегодняшний день существует большое число методов измерения фрактальных признаков, учитывающих такие особенности фрактальных множеств, как мультифрактальность, сингулярность (в широком смысле - локальная неоднородность), ограниченный скейлинговый характер и анизотропность.

Высокодетальные оптические и РЛИ с существенно неоднородной текстурой характеризуются как масштабными сингулярностями, так и анизотропными и мультифрактальными свойствами. Поэтому результативное использование известных фрактальных признаков при обработке изображений подобного характера наталкивается на ряд ограничений, вызванных следующими обстоятельствами. С одной стороны, фрактальные признаки описывают преимущественно отдельные аспекты свойств текстуры, без учета ее комплексного, интегративного характера, а с другой стороны, в случае их совместного использования, не осуществляется учет наличия взаимосвязей между составляющими элементов текстуры. Иначе говоря, связанные, по существу, компоненты признаков в действительности вычисляются «изолированно» (независимо) друг от друга. В конечном итоге, измеренные подобным образом характеристики теряют целостность описания указанных свойств текстуры изображений.

Основываясь на анализе рассмотренных особенностей, в работе [3] предложено ввести в практику обработки изображений новый текстурно-фрактальный признак - направленную морфологическую мультифрактальную сигнатуру (НММФС), описывающий в пределах некоторого участка с ограниченным скейлинговым характером взаимосвязанные мультифрактальные и сингулярные свойства текстуры с различной пространственной организацией ее тоновых непроизводных элементов. В работе [3] также сформулированы и определены базисные операции нового направленного мультифрактального метода итерационных покрытий, позволяющего одновременно измерять параметры скейлинговых, мультифрактальных и анизотропных свойств текстуры с последующим получением численных значений НММФС.

Целью настоящей работы является исследование функциональных возможностей и особенностей применения направленного мультифрактального метода итерационных покрытий, а также оценка точности измерения некоторых фрактальных признаков при обработке тестовых синтезированных и реальных изображений как удовлетворяющих, так и не удовлетворяющих условию самоподобия.

Характеристика фрактальных признаков текстуры изображений. Существующие методы измерения фрактальных признаков изображений позволяют численно оценить следующие топологические характеристики их текстуры: ФР; массив ФР по направлениям анализа (НФР); МФР (распространенный случай - спектр размерностей Реньи (СРР)); морфологические мультифрактальные показатели (ММП); ФС и направленная ФС (НФС); морфологическую МФС (ММФС) и лакунарность (Л) [3]. Фрактальные признаки систематизированы в таблице 1, основные свойства которых поясняются следующим образом.

Таблица 1 - Фрактальные признаки текстуры изображений

№ п/п

Признак

Условное обозначение

Математическая формулировка

Область определения

1

ФР

В

В = Шп^М (1/ е)

е = 1, еп

МФР

[ в, ]

пч=(1 -, )-1 ит (; е

Ч v 4' е^0 '0§(1/е)

е = 1 етах ; Ч 6 0

НФР

[В (Рп )]

в р )=ьт'ЩггЕА

'оя (1/ е)

е = 1, етах ; Р6[0, П);

1 п п п

п = 1,--1; Ар =-,—

Ар 180 2

ФС

8 = [ В (е)]

. ч ( е V1 А (е +1)

В И е ] "V

е = 1, е

тах -1

НФС

8п =[ В (е,рп)]

/ Ч ( е Л 1 А (е +1, рп)

В(етп) = 1'0Е--Т I '08 А ( ^ \ е+А (е,Рп)

е =1, етах; т6[0, п);

1 п П П

п = 1,--1; Ар =-,—

Ар 180 2

ММП

[ ' ]

' =' Цт 108(г,<

Ч \д\ е^0 'оя(1/е)

е = 1, етах; Ч 6 0 Ч * 0

ММФС

8Ч =['я (е)]

' (')-('08 е Ь ^

е= 1, етах-1 Ч 6 0 Ч * 0

Л

[Л(е)]

Л(е) = ( М 2 (е) -(М (е))2 )/( М (е))2

е = 1, ет

[С (е)]

С (е) = (М (е)-N (е))/( М (е) + N (е))

е = 1, ет

8ч,« =[ 'ч (е,рп)]

Т < \ (, е Л \ 2^е+1,Рп) 'ч ^п) = ['08еПJ '08 2(ч,е)

НММФС

е =1, етах-1;т6 [0, п); ч 6 0 |ч * 0;

п п п

п = 1,--1; Ар =-,—

Ат 180 2

с°Р1 =

Ч,п

<(е((рпр ))

31.

п0рг =

'(е(Рпор, ))б[ 1Ч (е,Рп )] , [Ар-1 (п/ 2 + Ч, е))]

е =1, етах-1;т6 [0, п); ч 6 0 |ч * 0;

1 п п п

п = 1,--1; Ар =-,—

Ар 180 2

С геометрической точки зрения ФР В характеризует степень «шероховатости» текстуры изотропной поверхности (при В = 2 поверхность, образуемая сочетанием отсчетов яркости изображения, является абсолютно гладкой, а при В = 3 бесконечно «сморщенной»). Размерности

Реньи

чувствительны к неоднородностям анализируемой поверхности, характеризующейся

объединением областей с различной ФР, и позволяют описать глобальные и локальные топологические особенности текстуры. Совокупность компонент признака НФР [В (рп )] позволяет корректно определить степень «шероховатости» анизотропной фрактальной поверхности (АФП), характеризующейся различными значениями ФР В вдоль различных угловых направлений анализа птах. Массив значений признака 8 (совокупность значений локальных ФР (ЛФР)) В (е) вычисляемых для соседних масштабов анализа е и е +1) характеризует масштабный коэффициент вариации меры исследуемой поверхности и наличие масштабных сингулярностей ее текстуры. НФС 8п тесно связана с параметризацией направленных свойств текстуры с учетом масштабных сингу-

лярностей. Признак

является альтернативой СРР в случае расчета спектра ММП с использо-

2

3

4

5

6

7

8

9

ванием морфологической обработки изображения. ММФС Sq служит мерой вариации локальных ММП (ЛММП) Lq (е) и позволяет учитывать одновременно как сингулярные, так и мультифрак-тальные свойства текстуры. Лакунарности (е)^ и |C (е)] соответственно позволяют получить

усредненную информацию о распределении (заполнении) «массы» фрактальной поверхности на больших и малых масштабах анализа, где N(е) - число кубов со стороной (масштабом) е при

клеточном разбиении полностью покрывающих поверхность исследуемого изображения; I (q,e) -обобщенная статистическая сумма (вероятностная мультифрактальная мера распределения площади поверхности изображения) с числом порядков скейлинговых моментов q; Z (q, е) - обобщенная статистическая сумма, оцениваемая при морфологическом вычислении I (q,ee с использованием набора структурных элементов, величина w которых соответствует анализируемому масштабу w, где w = 2е +1; A (е) - площадь поверхности изображения оцениваемая на масштабе е;

M2 (е) - масса фрактального множества; (M(е))2 - ожидаемая масса фрактального множества; n - номер углового направления анализа, А^ - элементарное угловое направление;

Z - множество целых чисел; [•] - массив значений; 3 - квантор существования по крайне мере

для одного элемента из области определения.

Принимая во внимание свойства высокодетальных оптических и РЛИ с существенно неоднородной текстурой и ограниченную информативность перечисленных фрактальных признаков, в работе [3] предложено для содержательного описания текстуры изображений использовать новый текстурно-фрактальный признак - НММФС Sq n , характеризующий распределение

ЛММП на различных пространственных масштабах вдоль различных угловых направлений анализа (см. строку 9 табл. 1). Кроме того, произведен синтез направленного морфологического мультифрактального метода итерационных покрытий DMBMm (аббр. - Directional Multifractal Blanket method (morphological)), позволяющего одновременно оценивать значения сингулярных, мультифрактальных и анизотропных свойств текстуры, обладающей сложной пространственной конфигурацией ее производных элементов.

Особенности измерения НММФС. Основу нового метода, позволяющего выявлять не только мультифрактальные и сингулярные, но и анизотропные свойства обрабатываемых изображений, составляет морфологический вариант реализации расширенного метода итерационных покрытий (ИП) с вращающейся сеткой (ABRG - англ. Augmented Blanket with Rotating Grid) [4] с модифицированными процедурами выбора размера вращающейся сетки и формирования набора горизонтально-ориентированных структурных элементов. Выбор в пользу морфологической обработки объясняется тем, что морфологическое расширение (дилатация) и морфологическое разрушение (эрозия) поверхности обрабатываемого изображения структурным элементом позволяют учитывать все нерегулярности поверхности, размер которых соизмерим с размером структурного элемента, и, таким образом, производить анализ изображения на заданном масштабе е . Кроме того, алгоритмы измерения ФР D на основе метода ИП посредством морфологической реализации, как указано в [5], в сравнении с другими обладают достаточно высокой точностью. Для учета мультифрактальных свойств текстуры изображений в данной работе используется морфологический мультифрактальный метод ИП (MBMM - англ. Multifractal Blanket method (morphological)) [6].

Сущность разработанного метода заключается в вычислении набора верхних и нижних покрытий с помощью модифицированной авторами работы вращающейся сетки метода ABRG [4], используемых при вычисления ЛММП Lq (s,tyn ) (см. строку 9 табл. 1) для требуемого числа

угловых направлений анализа nmax обрабатываемого изображения методом MBMM и формиро-

вании двумерной сигнатуры в координатах «направление-масштаб» для каждого порядка q скейлингового момента.

В общем виде процедура вычисления НММФС текстуры Sq п изображения I может быть

представлена совокупностью линейных и нелинейных операторов:

К }-

->U

sPn

U

sPn

->Z (qe.Vn ) FL > Lq (S,Pn )-

Fis_v S F2S v eopt

где Fr - функция формирования набора {i^ } повернутых на требуемое число угловых положений копий исходного изображения I ; Fy и FB - функции расчета соответственно дилатации и эрозии {i^ } с использованием набора горизонтально-ориентированных структурных элементов Ye ; Fz - функция расчета обобщенной статистической суммы Z (q, s,pn ) ; FL -функция расчета массива ЛММП Lq (s,pn )] ; F1S - оператор формирования Sqn ;

F2S - оператор, осуществляющий выбор ЛММП Lq (s(pn )), соответствующего преобладающему направлению ориентации элементов текстуры для каждого масштаба анализа из набора Lq (s,pn )J и формирования sql где n0pt - номер поворота (направление анализа) изображения, соответствующее преобладающему направлению ориентации элементов текстуры.

В качестве входных, промежуточных и выходных переменных служат: I = [I(i, j)],

g 0,2V 1, i = 1, M, j = 1, N - цифровое полутоновое изображение, содержащее M строк и N

столбцов, представленное в виде матрицы элементов с квантованными уровнями яркости в соответствующем пикселе изображения, V - степень квантования яркости; {1^ } - массив (сово-

купность) повернутых копий исходного изображения I, здесь n = 1, и,

max ' 'max

n =

' 'mnv

п

Ар

- число

поворотов (направлений анализа изображения); ие ^ и ВЕ ^ - набор «верхних» и «нижних»

поверхностей, сформированных в результате морфологической обработки {1^ }, где

ие=\_ие(г, ])] и В£=[ Бе( г, ])] ; Ys = 71, У2,..., Уе -набор «плоских» структурных элементов в виде горизонтально-ориентированных линеек пикселей, длина ч которых соответствует анализируемому масштабу ч = 2е +1; 2 (q,s,фn ) - обобщенная статистическая сумма с

числом порядков скейлинговых моментов -да < q < да ; q ф 0 (е,фп ) - ЛММП, сформированные для п направлений анализа; Sqn - направленная морфологическая мультифрактальная

сигнатура; Sqpn - направленная морфологическая мультифрактальная сигнатура сниженной размерности, способ формирования которой был подробно рассмотрен в работе [6], учитываю-

щая только преобладающие направления ориентации элементов текстуры на различных пространственных масштабах.

Вычисление по исходному изображению I размером М х N верхнего и нижнего покрытий производится для птах повернутых на угол = , П копий изображения размером М 'х М' с использованием операций дилатации и эрозии модифицированным набором струк-

турных элементов Ys, где М' =

л](М +1)2 + ^ +1)2 +1; |~П| - оператор округления до ближайшего целого в большую сторону. При этом значения верхнего Us ^ и нижнего Be ^ покрытий для масштаба е = 0 равны исходным изображениям на выходе оператора поворота FR:

U0,ч = в0,ч = Ч,

а для масштабов е >1 определяются выражениями:

иечп (^ }) = тах Ч ; Веч }) = т1п Ч , Ч е Хе

(1)

(2)

где Хе = (г,]')}, У'-у| ^ -1)/2- область определения структурного элемента на масштабе е.

Площадь поверхности повернутого изображения последовательно рассчитывается для каждого масштаба на основе вычисленных верхнего Us ^ и нижнего Ве ^ покрытий

ш ш

Б(аЧп) = V(е,Чп)/2е, где V(аЧп) = ЕЕ(исчп (г,^)-(г,^)) - «объем» поверхности

г =1 ] =1

изображения в окне WXW, заключенный между нижним и верхним покрытиями.

Обобщенная статистическая сумма 2 (ч,е,чп) как функция распределения меры муль-

тифрактального множества q-го порядка на каждом анализируемом масштабе е для каждого повернутого изображения определяется по формуле:

ш ш

2 (q, е,Ч ) = Б (е, Чп ) ЕЕ \иеч„ (г' ) - Веч (^ ) ^ 1 (е, Чп ) ,

г =1 } =1

(3)

где порядок ч скейлингового момента лежит в диапазоне значений ч е □ , ч ^ 0, □ - множество целых чисел. Здесь множитель Б (е,чп) обеспечивает вычисление морфологической ФР,

введенная в [7] (аналог размерности подобия В, ,=0 , определяемой мультифрактальным клеточным методом посредством нахождения спектра размерностей Реньи), в случае

2Ч (ечп )| ч=1 .

Формирование МФС осуществляется путем определения поведения обобщенной статистической суммы 2 (ч,е,чп) между соседними масштабами анализа. Для этого производится

расчет ЛММП Ь, (е, (рп ) в соответствии с выражением:

ч-1

7 ( g, 8 +1, ( )

(4)

Массив значений НММФС Sg п записывается в виде:

S =

д,п

^го(е1) L-<x>(е2) ••• ^<»(етах 1)

L_1 (81) L-l (82 ) Ц (81) Ll (82 )

,Ц»(81) Ц»(е2 )

L-1 (етах 1) L1 (етах _1)

Lю (етах _1)

(5)

т

где Lg (8)= Ьч (е,() Ьд (е,(2) ■■■ Ьд (е,(п ) - вектор-столбец ЛММП размерности

т

птах порядка д заданного масштаба анализа е, [□] - оператор транспонирования.

В работе [6] для снижения размерности НММФС и учета только значимых анизотропных свойств анализируемого изображения предложена процедура определения преобладающих направлений ориентации элементов текстуры, основанная на аппроксимации эллипсами совокупности значений ЛММП Ьд (е, (рп)^ при заданных показателях д и е в полярной системе координат и определении коэффициента эллиптичности кэ (д,е) и угла у/(д, е) наклона эллипса с последующим формированием НММФС сниженной размерности Sgpnt. Учет преобладающего направления ориентации элементов текстуры в НММФС Sg п осуществляется выбором из массива ЛММП Ьд (е, (п)^ для каждого д и е значения показателя Ьч (е((п при номере поворота пор1 = А(_1 (ж/2 + д,е)^ при условии, что

кэ (д,е) меньше порогового значения кэп, где [_•] - оператор округления до ближайшего целого в меньшую сторону.

В результате выбора ЛММП Ьд (е,() по критерию преобладающего (оптимального) направления ориентации элементов текстуры НММФС принимает вид:

SoPt = д,п

ЬдШ1П (е1 ((„ор( )) ■ ЬдШ1П (етах-1 ((ор( ))

Ь_1 (е1 (( Ь1 (е1 ((

ор(

Ьдтах (е1 ((

ор(

Ь-1 (етах-1 ((Рпор< ) Ь1 (етах-1 ( ))

Ьдтах (етах-1 ((

ор(

(6)

Таким образом, рассмотрены особенности получения численных оценок НММФС и НММФС сниженной размерности DMBMM методом посредством вычисления фрактальных сигнатур для заданных порядков q скейлинговых моментов с учетом преобладающих направлений ориентации элементов текстуры изображения.

Измерение фрактальных признаков DMBMM методом. Измерение отдельных фрактальных признаков разработанным методом производилось на основе обработки полутоновых изображений моделей изотропной фрактальной броуновской поверхности (ИФБП) [8] (на рисунке 1,а представлен пример поверхности с ФР D3 = 2,7 ), анизотропной фрактальной броуновской поверхностей (АФБП) [9] (примеры изображений с заданными значениями ФР в направлениях D3 (в = 30°) = 2,2 л D3 (в = 120°) = 2,6 и Dз (в = 30°) = 2,6 л Dз (в = 120°) = 2,2 представлены на рисунке 1,б и рисунке 1,в), анизотропной самоструктурированной поверхности (АССП) [4] (примеры изображений с одним в = 20° и двумя в1 = 110°, в2 = 20° преобладающими направлениями ориентации элементов текстуры представлены на рисунке 1,г и рисунке 1,д) размером 1024 х 1024 пикселей и текстур из альбома текстур Бродаца (пример текстуры представлен на рисунке 1,е) [10] размером 256 х 256 пикселей.

Измерение локальных фрактальных размерностей. Оценка точности измерения ЛФР DH (а)

методами ВММ (англ. - Blanket method (morphological) - морфологическая реализация метода ИП, MBMM и DMBMM проводилась по результатам обработки набора из 900 изображений модели ИФБП с заданными значениями ФР D,3 от 2,1 до 2,9 с шагом 0,1. Синтезирование изображений модели ИФБП размером осуществлялось в программной среде Matlab 2014 с использованием алгоритма фрактальной Фурье-фильтрации [8].

Необходимо отметить, что измеренные методами ВМм и MBMM значения ЛФР DH (а)

(рисунок 2,а и рисунок 2,б) при обработке изображений модели ИФБП, отвечающей условию самоподобия в выбранном диапазоне масштабов анализа, обладают существенной вариацией, а в некоторых случаях превышают допустимые при моделировании границы заданных значений D3. В свою очередь, фрактальная сигнатура изображений ИФБП, расчет которой произведен разработанным DMBMM методом с использование набора «плоских горизонтально-ориентированных» структурных элементов Ya, характеризуется значительно меньшей вариацией ЛФР (рисунок 2,в) для выбранных масштабов анализа.

Оценка точности измерения ЛФР предложенным методом, представленная в виде выборочного среднего ошибки измерения значений ЛФР 5 Dи[e,D3) и ее среднеквадратического отклоне-

ния (СКО) <jd а D ) составила 0,0421 ± 0,0435. Здесь 5D (eD )

Вз - В и (е, Вз )| - среднее значение погрешности измерения заданного значения ФР Вз в каждом из масштабов анализа, Ви (е, Вз) - выборочное среднее измеренных значений ЛФР Ви (е) для каждого из масштабов анализа е при заданном значении ФР Вз. Сравнение полученных результатов с результатами оценки точности измерения ЛФР методами ВММ (при формировании «верхних» и «нижних покрытий» использовался «сферический» Y(1) [12] и «плоский дискообразный» Y(2) [13] структурные элементы (кривые № 1 и № 2 на рисунке 2,а соответственно)) и МВММ (при формировании «верхних» и «нижних покрытий» использовался набор «кубических» Y.(3) структурных элементов (рисунок 2,б)) [6], составляющими соответственно 0,11 ± 0,073, 0,1 ± 0,036 и 0,17 ± 0,055 позволяет сделать вывод о том, что среди рассматриваемых методов, DMBMM обладает наилучшей точностью измерения ЛФР Ви (е).

Рисунок 1 - Примеры реализаций моделей ИФБП (а), АФБП (б, в), АССП (г, д), пример текстуры из альбома

текстур Бродаца № Б3 «змеиная кожа» (е)

Ще)

3.2

3.1

3.0

1.4

2.3 2,7 2,6

2.5

2.4

2.5

2.2

2.1 2.0

Г.П ■ 2.4)1 р/ф"-2,7)1

3.2

3.1

3.0

2.4

2.3 2,7 2,6

2.5

2.4 2.3

2.2

2.1 2,0

:.....: .....

и

а)

б)

в)

Рисунок 2 - Примеры фрактальных сигнатур, вычисленных посредством: а) морфологической реализации метода ВММ с использованием «сферического» У(1) (кривая 1) и «плоского дискообразного» У(2) (кривая 2) структурных элементов, б) метода МВММ с использованием набора Yг(3) «кубических» структурных элементов, в) метода БМВММ с использование набора «плоских горизонтально-ориентированных» Ys структурных

элементов

Измерение ФР по угловым направлениям анализа. Возможность выявления разработанным методом изотропного и анизотропного характера текстуры изображений произведена на основе обработки реализаций моделей ИФБП и АФБП. Синтезирование изображений модели АФБП с различной ориентацией элементов текстуры осуществлялось с использованием алгоритма фрактальной Фурье-фильтрации с регулируемым видом распределения спектральной плотности [14].

а)

б)

в)

Рисунок 3 - Полярные диаграммы направленности элементов текстуры изображений модели ИФБП на рис.1,а с ФР D3 = 2,7 (а), модели АФБП на рис. 1,б с ФР D3 (в = 30° ) = 2,2 л D3 (в = 120° ) = 2,6 (б), модели АФБП на

рис. 1,в (в) с ФР D3 (в = 30° ) = 2,6 л D3 (в = 120° ) = 2,2 полученных с помощью HOT (•) и DMBMm (■) методов

На рисунке 3, а-в представлены значения НФР тестовых изображений (см. рисунок 1, а-в), расчет которых произведен соответственно DMBMm (■) и HOT (англ. - Hurst orientation transform method) [15] (•) методами. Важно отметить, что при использовании, согласно [13], метода HOT (•) в качестве выходных параметров выступают не значения ФР D, а показатели Херста H, рассчитанные как H = 3 - D , а в случае применения метода DMBMM (■) - отрицательные значения наклонов k = 2 - D прямых, формируемых путем аппроксимации в билога-рифмическом масштабе зависимостей измеренных значений Lq (s,çn ) от масштаба анализа s

для nmax угловых направлений анализа при q = 1.

Результаты анализа представленных на рисунке 3 диаграмм свидетельствую о том, что в отличие от HOT метода, показывающим достаточно слабое соответствие между измеренными и заданными при моделировании значениями НФР, DMBMM обеспечивает правильное определение направленности ориентации элементов текстуры изображений с изотропными и анизотропными. Кроме того, как будет показано ниже, он также позволяет при вычислении ФС S изображений с анизотропной текстурой выявить характер изменения преобладающих направлений ориентации ее элементов на различных масштабах анализа. На рисунке 4 представлены зависимости значений коэффициента эллиптичности kэ от масштаба анализа, рассчитанные DMBMM методом при q = 1 для изображений на рисунке 1.

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

0

: : : : ;

: 1 / Г^зо 1 г-

&

: 16И201 ;

: : : ; :

Рисунок 4 - Экспериментальные зависимости значений коэффициентов эллиптичности кэ от масштабов анализа е массива ФС S, аппроксимируемых эллипсами, соответствующие текстуре изображений ИФБП на рис. 1,а (кривая 1), АФБП на рис. 1,б (кривая 3), АФБП на рис. 1,в (кривая 2)

g' и

По результатам серии экспериментов в качестве порогового значения коэффициента эллиптичности было выбрано значение кэп = 0,75 . Как видно из рисунка 4 (кривая 1) для изображений с изотропной текстурой, свойства которой одинаковы во всех направлениях, значения коэффициента эллиптичности кэ во всем диапазоне масштабов лежат в пределах 0,9 < кэ < 0,93, что свидетельствует о форме эллипса, близкой к окружности. Для анизотропных изображений (рисунок 4, кривые 2 и 3), у которых коэффициент эллиптичности ниже порогового значения кэп < 0,75, преобладающие направления ориентации элементов текстуры (см. рисунок 1,б и рисунок 1,в) выявляются на малых и средних масштабах, соответствующих однородным пространственным распределениям интенсивности яркостей элементов изображения со значениями ФР по заданным при моделировании направлениям.

Измерение направленной фрактальной сигнатуры. Как было отмечено в [16] современные методы вычисления НФС не подходят для анализа некоторых видов текстур природного и антропогенного характера, в частности, текстур изображений АССП, поскольку предполагается, что для получения адекватных результатов данными методами должна производиться обработка изображений, характеристики которых удовлетворяют свойствам двумерного ФБП. Поэтому возможность выявления разработанным методом анизотропных свойств текстуры изображений на различных пространственных масштабах анализа и формирование НФС проведена на реализациях модели АССП (см. рисунок 1,г и рисунок 1,д), не обладающих фрактальными свойствами. Синтезирование изображений модели АССП с различной ориентацией элементов текстуры осуществлялось с использованием MTG (англ. - Half-ellipsoid motif-based texture generator) алгоритма генерации повторяющихся топологических примитивов в виде полуэллипсоидов [4]. Сравнение полученных результатов обработки изображений АССП разработанным методом при формировании

Sn =[D (s,qn )] производилось с опубликованными результатами обработки изображений при использовании ABRG метода, последний из которых, согласно [4], является одним из точнейших методов вычисления НФС.

На рисунке 5 и рисунке 6 представлены компоненты НФС, рассчитанные соответственно по изображениям на рисунке 1,г и рисунке 1,д, которые характеризуют в случае использования ABRG метода (•) распределение отрицательных значений наклонов к = 2 - D, а в случае DMBMM метода (■) -отрицательных значений наклонов ЛММП при q = 1. Как видно из представленных рисунков, преобладающие направления ориентации элементов текстур выявляются на масштабах, соизмеримых с размерами текстурных особенностей. При этом если размер структурного элемента (соответственно и масштаб) не релевантен им, то анизотропные свойства текстуры не проявляются. Примечательным является то обстоятельство (см. рисунок 6,г и рисунок 6,д), что DMBMM метод обладает большей чувствительностью к анизотропии текстуры и позволяет выявлять текстурные особенности рассматриваемых изображений уже при достаточно малом приращении величины используемых масштабов. Таким образом, DMBMM метод позволяет выявить направления ориентации элементов текстуры изображений на различных масштабах анализа, в том числе не обладающих свойством самоподобия.

Измерение мультифрактальной сигнатуры. Вычисление ЛММП для формирования МФС

Sq методом МВМм и НММФС сниженной размерности S^ методом DMBMM проведено при

обработке текстурных изображений из альбома текстур Бродаца [11], обладающих мультифрак-тальными свойствами [6]. В качестве примера на рисунке 7 представлены в двойном логарифмическом масштабе рассчитанные по изображению с текстурой № D3 (рисунок 1,е) значения обобщенной статистической суммы Z (q, s) для различных порядков скейлинговых моментов q. Полученные кривые при q = -2 согласуются с опубликованными в [6] результатами исследований метода МВММ. При этом несоответствие значений Z (q, s) между МФС и НММФС сниженной размерности, вероятнее всего, может быть объяснено использованием различных

а)

б)_ в)

г)

д)

Рисунок 5 - Полярные диаграммы направленности элементов текстуры изображения модели АССП (рис. 1,г) на масштабах анализа s = 2 (а), s = 3 (б), s = 4 (в), s = 5 (г), s = 6 (д), сформированные DMBMM (■) и ABRG (•)

а)

б)

в)

г)

д)

Рисунок 6 - Полярные диаграммы направленности элементов текстуры изображения модели АССП (рис. 1,д) на масштабах анализа s = 2 (а), s = 3 (б), s = 4 (в), s = 5 (г), s = 6 (д), сформированные DMBMM (■) и ABRG (•)

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рисунок 7 - Функциональные зависимости значений обобщенной статистической суммы 2 (q,е) при q = 1 (а), q = 2 (б), q = 3 (в), q = -1 (г), q = -2 (д), q = -3 (е), полученные с использованием МВМм (•) и DMBMM (■)

методов

выражений [12] для расчета площади поверхности изображения после выполнения над ним морфологических преобразований. Примечательно то, что графики зависимостей значений обобщенной статистической суммы показывают высокую взаимную корреляцию и при изменении масштаба анализа обладают сходным поведением. Важно отметить, что полученные с помощью разработанного метода компоненты сигнатуры (■) являются скорректированными в соответствии со способом вычисления НММФС сниженной размерности: они обладают «перегибами» на определенных масштабах, наличие которых свидетельствуют об анизотропии и направленности элементов текстуры № Б3.

Измерение направленной морфологической мультифрактальной сигнатуры. На рисунках 8-10

представлены результаты измерения НММФС Sg п синтезированным методом с параметром

-3 < g < 3, g Ф 0 при обработке изображений моделей ИФБП и АФБП (рисунок 1,а-в). Показательным является результат измерения (см. рисунок 8) ЛММП изотропного изображения (см. рисунок 1,а), значения которых для соответствующих порядков скейлинговых моментов g практически одинаковы, что свидетельствует об адекватном выявлении скейлинговых свойств тестового изображения для всех масштабов е и всех направлений анализа (рп .

При обработке изображений с анизотропной текстурой (см. рисунок 1,б и рисунок 1,в) компоненты НММФС при g = 1 позволяют определить преобладающие направления ориентации элементов текстуры, которым соответствуют максимальные значения ЛММП для всех масштабов е ; при g = 2 смежные с основным направления ориентации, для которых характерна равномерность значений ЛММП для всех е, а при g = 3 для преобладающих направлений ориентации элементов текстуры характерной особенностью является равномерность минимальных значений ЛММП (см. рисунок 9 и рисунок 10).

'7'1150130Ги м

а)

150 во

110 40 ™ 50 30 „ 1 2

г)

™ Ш Ш « Я

б)

170 1И ,30

га « ™ Й гг<

д)

™ 60 ™

« ™ И 30 ,п 1

в)

5

™ 60 130

™ ™ 50 ю „ 1

е)

Рисунок 8 - Компоненты НММФС текстуры изображения модели ИФБП (рис. 1,а) п при д = 1 (а), д = 2 (б)

д = 3 (в), д = -1 (г), д = -2 (д), д = -3 (е)

а)

170 оо ™ „ 10

и Я ц 1

г)

б)

™ «I И ™ „ 5

50 М и 1

д)

170 Ь0 00

™ ® Й 50 VI „ 1

в)

™ Ы ™ ™ 90 та

50 Ю о 1

е)

Рисунок 9 - Компоненты НММФС текстуры изображения модели АФБП (рис.1,б) 8д п при д = 1 (а), д = 2 (б),

д = 3 (в), д = -1 (г), д = -2 (д), д = -3 (е)

1М " ,М ™ ™ ™ 50 „ ^ , 2

а)

ваг

170 ы ™ 1" « та

50 30 в 1

г)

™ ® » ™

50 30 XI 1

/ 5

;

1

2

б)

т ы ™ ™ я та

д)

170 ® 1М

™ 90 ™ 50 VI « , 1

в)

170 ы ™ 1" « та

50 30 ю 1

е)

Рисунок 10 - Компоненты НММФС текстуры изображения модели АФБП (рис.1,в) 8дп при д = 1 (а), д = 2 (б),

д = 3 (в), д = -1 (г), д = -2 (д), д = -3 (е)

а)

60 " л

г)

б)

д)

в)

ш я »3 з ™ 280 , г

е)

Рисунок 11 - Компоненты НММФС текстуры изображения модели АССП (рис.1,г) 8дп при q = 1 (а), q = 2 (б),

д = 3 (в), q = -1 (г), q = -2 (д), q = -3 (е)

г)

д)

е)

Рисунок 12 - Компоненты НММФС текстуры изображения модели АССП (рис.1,д) 8?и q = 1 (а), q = 2 (б),

q = 3 (в), q = -1 (г), q = -2 (д), q = -3 (е)

Ранее было отмечено, что преобладающие направления ориентации элементов текстуры выявляются на масштабах с использованием различных структурных элементов, соизмеримых с размерами текстурных особенностей. Представленные на рисунке 11 и рисунке 12 компоненты НММФС текстуры изображений АССП (см. рисунок 1,г и рисунок 1,д соответственно), не удовлетворяющих свойству самоподобия, подтверждают этот важный аспект, в том числе для различных порядков скейлингового момента q. Весьма характерными для данных изображений являются следующие моменты. Минимальные значения ЛММП наблюдаются при обработке изображения с однонаправленным узором текстуры (рисунок 1,г) по угловым направлениям анализа, соответствующим преобладающему и смежным с ним направлениям ориентации элементов текстуры. Максимальные значения ЛММП на малых масштабах и минимальные на больших, наблюдаемые для одного направления анализа, характерны для изображений с двунаправленной текстурой, у которых оси преобладающих направлений ориентации элементов текстуры пересекаются под прямым углом, как это и можно наблюдать при визуальном анализе рисунка 1,д. При этом максимальные значения ЛММП в данном случае свидетельствуют о наличии ориентации элементов текстуры изображений в перпендикулярном к анализируемому направлению. Однако, как было установлено, подобное распределение ЛММП в основном характерно для изображений, не отвечающих условию самоподобия.

60 " г,° м и и» отгзпь^3

а)

б)

в)

о ^^шЩр

-5 ш ш 4 6

-10 т У щь

" и м » 80 и м » »5ГЗГЗ-&Р1 " " » *

г)

д)

е)

Рисунок 13 - Компоненты НММФС текстуры D3 (рис. 1,е) Sqn при д = 1 (а), д = 2 (б), д = 3 (в),

д = -1 (г), д = -2 (д), д = -3 (е)

Вычисление ЛММП для формирования НММФС проведено также на основе обработки текстурных изображений из альбома текстур Бродаца, обладающих мультифрактальными свойствами. Результаты вычисления разработанным методом компонент НММФС текстурного изображения Б3 «змеиная кожа» (рисунок 1,е) приведены на рисунке 13. Их анализ позволил определить значения преобладающих направлений ориентации элементов текстуры № Б3 для углов #1 = 60°0 = 110°,03 = 180°. В данном случае примечательно то, что значения и характер распределения ЛММП соответствуют виду, характерному для изображений, удовлетворяющих условию самоподобия (см. рисунки 8-10).

Таким образом, анализ представленных результатов свидетельствует, что помимо получения информации о мультифрактальных свойствах изображений, разработанный метод обеспечивает получение дополнительной информации об анизотропных и скейлинговых свойствах ее текстуры, обусловливая его информационное преимущество над другими методами оценки фрактальных признаков.

Выводы. В данной работе рассмотрены особенности нового БМБМм метода измерения фрактальных признаков текстуры изображений, синтезированного на основе двух лучших в своих группах методов ABRG и МБММ. Одновременный учет мультифрактальных, сингулярных и анизотропных свойств текстуры изображения с ограниченным скейлинговым характером позволил повысить точность измерения как ФР, так и ЛФР на каждом масштабе анализа. При обработке изображений моделей ИФБП и АФБП снижение ошибки оценок значений ЛФР достигает от 2,4 до 4,3 раза по сравнению с альтернативными методами. Вместе с тем, формируемые с помощью разработанного метода в заданном диапазоне масштабов МФС адекватны известному предположению о масштабно-инвариантном характере фрактальных поверхностей. Мультифрактальный, сингулярный и анизотропный характер реальных изображений наиболее полно может быть описан новым текстурным признаком - направленной морфологической мультифрактальной сигнатурой. Данный признак является наиболее репрезентативным по сравнению со всеми рассмотренными в работе признаками, поскольку обеспечивается функциональная взаимосвязь извлекаемых признаков - одновременное вычисление одним методом с уточнением их значений в соответствии с преобладающими направлениями ориентации элементов текстуры изображения. Результаты проведенных исследований показали возможность обработки с помощью нового метода изображений, как удовлетворяющих, так и не удовлетворяющих условию самоподобия, что свидетельствует о целесообразности и потенциально высокой эффективности применения метода БМБМм в задачах текстурного анализа изображений, их кластеризации и сегментации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потапов А.А., Гильмутдинов А.Х., Ушаков П.А. Фрактальные элементы и радиосистемы: Физические аспекты. Монография / Под ред. А.А. Потапова. М.: Радиотехника, 2009. 200 с.

2. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

3. Кузнецов В. А., Потоцкий А. Н. Метод измерения направленной морфологической мультифрактальной сигнатуры текстуры изображений // Успехи современной радиоэлектроники. 2017. № 3. С. 39-52.

4. Wolski М., Podsiadlo P., Stachowiak G. W. Directional Fractal Signature Analysis of Self-Structured Surface Textures // Tribol Lett. 2012. № 47. P. 323-340.

5. Русскин А.Б. Сравнительный анализ методов измерения фрактальной размерности двумерных сигналов // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2009. Т. 7, № 9. С. 10-19.

6. Xia Y., Feng D., Zhao R., Zhang Y., Multifractal signature estimation for textured image segmentation // Pattern Recognition Letters. 2010. № 31. P. 163-169.

7. Пат. 2647675 RU, МПК G06T 7/155. Способ измерения морфологической мультифрак-тальной сигнатуры / Потоцкий А.Н., Кузнецов В.А., Галиев С.Ф. и др.; заявитель и патентообладатель ВУНЦ ВВС «ВВА» (г. Воронеж). заявл. 26.10.2016; опубл.16.03.2018, Бюл. № 8.

8. Samarabandu J., Acharya R., Hausmann E. Analysis of Bone X-Rays Using Morfological fractals // IEEE Trans. Medical Imaging. 1993. Vol. 12. № 3. P. 466-470.

9. Шелухин О.И., Теняшкин А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. М.: Радиотехника, 2003. С. 20-33.

10. Wu J.J. Analyses and simulation of anisotropic fractal surfaces // Chaos, Solitons and Fractals. 2002. № 13. P. 1791-1806.

11.Brodatz P. Texture: A Photographic Album for Artists and Designers. Dover, New York. 1966. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://sipi.usc.edu/database. (дата обращения 20.07.2018).

12. Peleg S., Naor J., Hartley R. Multiple resolution texture analysis and classification // IEEE Trams. Pattern Anal. Mach. Intell. 1984. Vol. 6. № 4. P. 518-523.

13. Lynch J.A., Hawkess D.J., Bukland-Wright J.C. Analysis of texture in macroradiographs of osteoarthritic knees, using the fractal signature // Phys. Med. Biol. 1991. Vol. 36. № 6. P. 709-722.

14. Wu J.J. Analyses and simulation of anisotropic fractal surfaces // Chaos, Solitons and Fractals. 2002. № 13. P. 1791-1806.

15. Podsiadlo P., Stachowiak G. W. The development of the modified Hurst Orientation Trans-form for the characterization of surface topography of wear particles // Tribology Lett. 1998. № 3. P. 215-229.

16. Wolski М., Podsiadlo P., Stachowiak G. W. Directional fractal signature analysis of trabecular bone: evaluation of different methods to detect early osteoarthritis in knee radiographs // Proc. Inst. Mech. Eng. 2009. Vol. 223. № 2. P. 211-236.

REFERENSES

1. Potapov А. А., Gil'mutdinov A.H., Ushakov P.A. Fractal elements and radio: The physical aspects. Monograph / Edited by. А.А. Potapova. М.: Radioengineering. 2009. 200 p. (in Russian).

2. Potapov А. А. Fractals in radiophysics and radiolocation: sample topology. 3rd ed. Revised. And ass. М.: University book. 2005. 848 p. (in Russian).

3.Kuznetsov V.А., Pototskiy А.N. Metod izmereniya napravlennoj morfologicheskoj mul'tifraktal'noj signatory tekstury izobrazheniy // Uspekhi sovremennoj radioehlektroniki. 2017. № 3. P. 39-52. (in Russian).

4. Wolski М., Podsiadlo P., Stachowiak G. W. Directional Fractal Signature Analysis of Self-Structured Surface Textures // Tribol Lett. 2012. № 47. P. 323-340.

5.Russkin A.B. Comparative analysis of methods for measuring the fractal dimension of two-dimensional signals // Information-measuring and Control Systems. 2009. Vol. 7. № 9. P. 10-19. (in Russian).

6. Xia Y., Feng D., Zhao R., Zhang Y., Multifractal signature estimation for textured image segmentation // Pattern Recognition Letters. 2010. № 31. P. 163-169.

7. Pat. 2647675 RU, MPK G06T 7/155. Sposob izmereniya morfologicheskoj mul'tifraktal'noj signatory / Pototskiy А.К, Kuznetsov VA., Galiev S.F. i dr.; zayavitel' i patentoobladatel' VUNTS VVS «УУА» (g. Voronezh). zayavl. 26.10.2016; opubl.16.03.2018, Byul. № 8. (in Russian).

8. Samarabandu J., Acharya R., Hausmann E. Analysis of Bone X-Rays Using Morfological fractals // IEEE Trans. Medical Imaging. 1993. Vol. 12. № 3. P. 466-470.

9. SHelukhin O.I., Tenyashkin А.М., Osin А^. Fraktal'nye protsessy v telekommunikatsiyakh. М.: Radiotekhnika. 2003. 345 p. (in Russian).

10. Wu J.J. Analyses and simulation of anisotropic fractal surfaces // Chaos, Solitons and Fractals. 2002. № 13. P. 1791-1806.

11.Brodatz P. Texture: A Photographic Album for Artists and Designers. Dover, New York. 1966. [EHlektronnyy resurs]: Rezhim dostupa: http://sipi.usc.edu/database. (data obrashheniya 20.07.2018).

12.Peleg S., Naor J., Hartley R. Multiple resolution texture analysis and classification // IEEE Trams. Pattern Anal. Mach. Intell. 1984. Vol. 6. № 4. P. 518-523.

13. Lynch J.A., Hawkess D.J., Bukland-Wright J.C. Analysis of texture in macroradiographs of osteoarthritic knees, using the fractal signature // Phys. Med. Biol. 1991. Vol. 36. № 6. P. 709-722.

14. Wu J.J. Analyses and simulation of anisotropic fractal surfaces // Chaos, Solitons and Fractals. 2002. № 13. P. 1791-1806.

15. Podsiadlo P., Stachowiak G. W. The development of the modified Hurst Orientation Trans-form for the characterization of surface topography of wear particles // Tribology Lett. 1998. № 3. P. 215-229.

16. Wolski М., Podsiadlo P., Stachowiak G. W. Directional fractal signature analysis of trabecular bone: evaluation of different methods to detect early osteoarthritis in knee radiographs // Proc. Inst. Mech. Eng. 2009. Vol. 223. № 2. P. 211-236.

© Потоцкий А Н., 2018

Потоцкий Антон Николаевич, младший научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, AntonPototskiy@mail.ru.