Фильтрация течения в области, ограниченной непроницаемыми сторонами угла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

Е.Ю. Шелудкевич, А.Я. Шпилевой

ФИЛЬТРАЦИЯ ТЕЧЕНИЯ В ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ НЕПРОНИЦАЕМЫМИ СТОРОНАМИ УГЛА

Для исследования фильтрационных течений в области, ограниченной непроницаемыми сторонами угла, использованы методы изображения особых точек и конформных отображений. Решение получено в виде бесконечных рядов для различных особых точек и любых значений угла.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. 3. Физико-математические науки. С. 86 — 90.

The methods of imaging the singular points and conformal representations are used in the research on filtrational fluxions in the area restricted by radiopaque legs of an angle. The solution is obtained in the form of infinite series for various singular points and any values of an angle.

1. Для исследования плоскопараллельных течений, подчиняющихся закону Дарси, используется комплексный потенциал

W (z) = р( х, у) + г^( х, у),

с помощью которого можно определить скорость фильтрации и давление [1]. В ряде случаев, когда границами раздела области фильтрации являются прямые и окружности, для получения комплексного потен-цпала удобно использовать метод изображения особых точек [2; 3].

2. Рассмотрим область фильтрации, ограниченную непроницаемыми сторонами угла величиной а (рис. 1). Пусть аналитическая функция f(z) описывает течение в однородной среде при отсутствии границ и особые точки этой функции располагаются в области, ограниченной сторонами угла. Требуется определить комплексный потенциал данного течения в рассматриваемой области фильтрации (рис. 1).

Рис. 1. Область фильтрации ограничена непроницаемыми сторонами угла

Данная задача рассмотрена в электростатике при расчете поля точечного заряда, расположенного внутри проводящего угла с заземленными сторонами [4], для теплового источника в теории теплопроводности твердых тел [5]. В этих работах рассматривался случай, когда а=тл/п (т, п — натуральные числа, т/п — несократимая дробь). В теории фильтрации данная задача решалась методом сопряжения и сведена к интегральным уравнениям [6].

В настоящей работе использованы метод изображения особых точек и метод конформных отображений с целью получить решение для произвольных особых точек и любых значений а .

3. Воспользуемся конформным отображением, осуществляемым функцией

г = е”. (1)

Функция (1) отображает плоскость о на бесконечнолистную рима-нову поверхность, причем полоса 0<и<2п отображается на лист римано-вой поверхности плоскости 2 с разрезом вдоль положительной оси 0Х

88

(рис. 1 и 2). Полоса 0<и<а (а<2п) отображается во внутреннюю область угла величиной а.

Рис. 2. Область фильтрации ограничена непроницаемыми параллельными стенками

Пусть функция /(г) описывает течение в плоскости 2 в отсутствии границ, а ее особые точки располагаются во внутренней области угла. Этой функции соответствует функция /(еа), особые точки которой находятся в полосе 0<и<а. Для полосы 0<и<а с непроницаемыми стенками (рис. 2) в случае произвольной аналитической функции /(а) методом изображения особых точек можно получить комплексный потенциал [2]:

W(а) = ^ /(а + Ика) + 5 /(а + Ика). (2)

к=-ъ к=-ъ

Преобразуем формулу (2) для функции £(еш):

W(а) = ^/(ва+2Яа) + ^/(ва+2‘ка) . (3)

к=-ъ к=-ад

В выражении (3) перейдем к переменным плоскости 2. Получаем

W(2) = £/[2в2ка] + £/[2в. (4)

к =-<» к=-ъ

Выражение (4) представляет собой комплексный потенциал течения, вызванного особыми точками функции /(г) в области, ограниченной непроницаемыми сторонами угла. Это решение справедливо для различных особых точек функции /(г) (различных течений) и любого значения угла а.

4. Рассмотрим частные случаи общего решения (4).

а) Пусть а=п/2. В этом случае комплексный потенциал (4) принимает вид

W(2) = /(2) + /(-2) + /(2) + /(-2) . (5)

Пусть /(z)=Q 1п(г- хо)/2л, т.е. в точке 2о находится источник мощности Q. Тогда выражение (5) принимает вид:

W(2) = [1п(2 - 20) + 1п(2 + 20) + 1п(2 - 2о) + 1п(2 + 2о)] + С . (6)

2л

89

Рис.3 Расположение точек-изображений при а=я/2

Рис.4. Расположение точек-изображений при а=л/3

На рисунке 3 внутри угла в точке г0 находится источник, а вне угла три источника-изображения.

б) Пусть а=п/3. В этом случае решение (4) принимает вид

№ (г) = / (г) + f (-г у) + f (-г у) + f (г) + f (-г у) + f (-г V),

(7)

V = е 3 .

На рисунке 3 указано положение точки го и пяти точек-изображений.

На основе примеров а) и б) можно сделать вывод о структуре (4) для случая, когда а=п/п (п — натуральное число). Комплексный потенциал (4) будет содержать 2п слагаемых. Внутри угла находится точка г0, вне угла располагаются 2п-1 точек-изображений, полученных путем последовательного отображения точки г0 относительно сторон угла. Все 2п точек находятся на одном листе римановой поверхности. Все листы римановой поверхности одинаковы (см. рис. 1), и течения на всех листах одинаковы.

в) Пусть а=2п/3. В этом случае комплексный потенциал (4) принимает вид (7), но в отличие от случая б) особые точки функций, входящих в выражение (7), будут располагаться на двух листах римановой поверхности.

Анализируя решение (7) для случая, когда а=тп/п (т, п — натуральные числа, т/п — несократимая дробь), заключаем, что в этом случае решение имеет 2п слагаемых (одна действительная особая точка и (2п — 1) — точек-изображений), причем все особые точки будут располагаться на т листах римановой поверхности.

5. Для случая, когда величина угла не может быть представлена в виде а=тл/п, решение остается в виде (4), т. е. в виде суммы бесконечных рядов.

6. В заключение отметим, что аналогично может быть решена задача для других граничных условий:

90

а) когда во внешней области угла находится свободная жидкость;

б) при смешанных граничных условиях.

Полученные в работе результаты могут быть использованы для решения практических задач гидродинамики, электричества, магнетизма, теплопроводности.

Список литературы

1. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., 1972.

2. Зайцев А.А., Шпилевой А.Я. Теория стационарных физических полей в кусочно-однородных средах. Калининград, 2001.

3. Шпилевой А.Я. Метод изображения особых точек в задачах исследования фильтрационных течений в кусочно-однородных средах // Труды IX международного симпозиума «МДО3МФ-2000». Орел, 2000. С. 471—474.

4. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М., 1970.

5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., 1964.

6. Голубев Г.В., Туманов Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань, 1972.

Об авторах

А.Я. Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, 1Ьеогу@1рЬу8. а1ЬегЙпа. ги

Е.Ю. Шелудкевич — студ. РГУ им. И. Канта, ка1у8Ьпе@тай. ги