CC BY
13
ФИЛЬТРАЦИЯ ШУМОВ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА ПРИМЕСИ
Е.А. Семенчин, М.В. Кузякина
NOISE FILTERING AT SOLVING INVERSE PROBLEM FOR ADMIXTURE POINT SOURCE
Semenchin E.A., Kuziakina M.V.
The article suggests a method of solving inverse problem for admixture point source.
В статье предлагается метод решения обратной задачи для точечного источника примеси.
Ключевые слова: примесь, концентрация, атмосферная диффузия, белы/й шум, фильтр.
УДК 519.63
Математическая модель рассеяния примеси в турбулентной атмосфере [1] представляет собой полуэмпирическое уравнение
5
да гт да да — + £/ — - w — + aq = dt дх dz
dq д dq д dq
= — Kx — +—Kv— + — Kz — + f (1) дх дх 5v 5v 5z 5z
q = q(t,x, v,z), t e[tQ,T],
с заданными для его решения начальным
— + wq
z=zQ
= Vsq
z=zQ
(2)
(3)
(4)
^>0, х, у, г) = ф (х, у, 2)
и граничными
дд д
х, у, г) ® 0
2 2 2 при х + у + г , г ® го,
условиями [1].
Будем считать, что фоновая концентрация ф (х, у, г) в (1)-(4) не учитывается, т.е. ф(х,у, г) ° 0. В данной задаче предполагается, что начальный момент времени (0 = 0.
Рассмотрим задачу, обратную поставленной. По заданным в уравнении (1) коэффициентам и, w, а , Кх , Ку, Кг,
функции д(У, х, у, г), удовлетворяющей граничным условиям (2-4), необходимо найти (восстановить) функцию источника /. Из (1) следует, что
г, ч да т?да да
/ (Г, X, у, 2) =— + и — - ж — + (Щ -дt дх д2
-д_Кхда-дКгъ. (5)
дх дх ду ду д2 д2
Если источник / в (1) является точечным с координатами (х, у, Н), то / (t, X, у, 2) = Q(t)S (X - Х0)5 (у - У0)8 (2 - Н),
(6)
здесь Q(t) - функция аргумента t е Т], значения которой равны количеству примеси, выбрасываемой источником в момент времени t, 8 - дельта-функция Дирака [1], называемая мощностью (точечного) источника.
Можно легко убедиться, что если в (1) / заменить на Q(t), то решение задачи (1)-(4) не изменится:
Q(t) = да+и * - ж *+ад -
дt дх д2
д ъг -я д ^ -я д ^ -я
--Кх---К у---К2 —. (7)
дх дх ду ду д2 д2
Согласно (7) для вычисления значений
Q(t) требуется предварительно вычислить
значения производных функции д^, х, у, 2)
по t, х, у , 2 (по х, у ,2 - до второго
порядка включительно).
Задача нахождения производной п -го
порядка 2 ^) функции и^), т.е.
2^) = и(п)(0, сводится к решению (относительно 2^)) следующего
интегрального уравнения первого рода [2]: г 1
^т-тгт С^ - т)п-12(%)й% = и(0. (8)
0(п -1)!
После замен, вытекающих из (8),
^ = \я(т, ^ = хя(т)^,
дt о дх о
— = Jq(t)dt,^y = J(x-t)' q(T,
dz
0
dx
(9)
—■q = J(У -1) • q(t)dt, dy
d2q = J (z -t) • q(t )dt
dz 0
выражение (7) примет вид:
t x
Q(t) = J q(t)dt + U J q(t)dt -
00 z x
- wJq(t)dt + aq - Kx J(x -t) • q(t)dt -
- Ky J (y -t) • q(t)dt - Kz J (z -t) • q(t)dt ,(10)
00
или
Q(t) = J q(t )dt
+
0
+ J (U • q(t) - Kx (x -t) • q(t ))dt +
0 z
+ J (-w • q(t) - Kz (z -t ))dt +
0
У
+ aq + J (-Ky (y -t) • q(t))dt.
(11)
Разобьем интервал [0, t ] точками 0 = 10 < ti <... < tn = t. В каждом частичном интервале (t _i,Тг-), i = 1,..., n, выберем точку £>i = ti и положим, что
max(ti-1, ti) ® 0. Тогда
i
tn
J q(t)dt = lim X q(Xi )(ъ-ti-1)»
0 max(ti -ti -1 )®0 i =1
nn
» X q(Xi )(ti -ti-1) »X q(ti) i=1 i=1
Аналогично для каждого из
интервалов [0,x], [0,y], [0,z] имеем:
x
J (U • q(t) - Kx (x -1) • q(t))dt »
0
m
» X (U • q(xi) - Kx (x - xi) • q(xi)), i=1
0
0
0
0
0 — Xq < Xj <... < Xn — x. y
J(-Ky (y -1) • q(t))dt »
»X (-Ky (y - yi) • q( yi)), i—1
0 — yo < yi <... < Уп — y
z
J (-w • q(t) - Kz (z -1 ))dt
0
» X (~ъ> ■ д(г ) - К2 (г - )) ,
I=1
0 = г0 < г < ... < гп = г.
Подставив полученные интегральные суммы в выражение (11), получим:
= £д(т |) +
¿=1
т
+ X (и ■ д(х{) - Кх (х - х) ■ д(х{)) +
¿=1 р
+ Х (-^ ■ д(г) - Кг (г - г ))
I=1
I
+ ад +Х (-Ку (у - у^) ■ д(у)). (12)
I=1
Пусть произведены замеры значений концентрации примеси в моменты времени tj,у = 1,...Д, в точках (х.,у,г,), у = 1,..., N. Тогда из (12) следует, что =¥
^ 2 2 (13)
^ ) = ¥. где ¥ у, у = 1,..., N, - значения правой части (12) в точках (х., у., г. ), т.е.
= Хд(Т;) + 1=1
+ Х (-w • q(Zi) - Kz (Zj - zt)) (14)
i—1
+щ + X(-Ку(уу- у1) ■ д( у1)).
I=1
На практике значения
Q(tj ), у = 1,..., N, наблюдаются
(вычисляются) не точно, а с некоторыми ошибками (помехами), пусть
Т
V = (П1,П2,.. ,ПN) - вектор таких помех,
Т
A — (Ai, Лъ..., An ) вектор. Тогда Aj • ö('i) +Vi — Fi, A2 • Q(t2) +V2 — F2,
произвольный
(i5)
AN • Q(tN ) +VN — FN.
Будем предполагать, что Vi — V (ti), V2 — Vfo), -, Vn — V~(tn), где v(t) -белый гауссов шум.
Для подавления влияния белого шума V~(t) на Q(t) используем фильтр Калмана-Бьюси и найдем оценку решения системы
(i5) [3]:
Q — f + PATR-i (F - Af):
(i6)
+ Х (u • q(Xi) - Kx (Xj - x) • q(Xi))+ i—i
где 0 - наилучшая в среднем квадратическом смысле апостериорная оценка 0,
Ф = М [0 ], Р = (N-1 + АТ Я _1А)-1,
N = М[0 - ф)(0 - ф)Т ], Я = М[пп Т ] .(17) Пример 1. В таблице 1 приведены результаты замеров концентрации примеси диоксида азота в атмосфере в различные моменты времени t в различных точках околоземного пространства.
Известно, что скорость ветра и = 3,02 м/с, Кх = 1, Ку = 1, Кг = 1,
w = 0 (поскольку диоксид азота - легкая примесь), а = 0 (поскольку диоксид азота не разлагается и не вступает в химические реакции с компонентами атмосферного воз-
0
духа при низкой его влажности), значения вектора помех
V = (0.3,0.5,0.1,-0.7,0.25,-0.4,0.8)Т , А = (1,1,...,1)Т.
Таблица 1. Значения концентрации примеси диоксида азота в атмосфере.
X У ъ \ д(^х,у,ъ), мг/м3
-19 41,5 2 1 1,21100
17 41 2 2 1,36000
78,9 45,8 2 3 1,42600
93 46 2 4 1,23500
100 47 2 5 1,20000
114 48 2 6 1,17300
123 48 2 7 1,10500
Тогда, подставляя указанные данные в(16)-(17), найдем
(4,8697 ^ 5,4687 5,734 Q = 4,9662 (г/с). 4,8255 4,71696 4,4436
ЛИТЕРАТУРА
1. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. — Ставрополь: Изд-во СКИУУ, 1993.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
3. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. — Киев: Изд-во «Наукова думка», 1986.
Об авторах
Семенчин Евгений Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Научные интересы - математическое моделирование экологических и экономических процессов, теория случайных процессов, методы оптимального управления, дифференциальные уравнения. Опубликовано более 300 научных и методических работ.
Кузякина Марина Викторовна, аспирант. Исследование выполнено в Кубанском государственном университете. Научные интересы - математическое моделирование экологических и экономических процессов. Опубликовано в открытой печати 5 работ.
