Фильтрация и прогноз смещенных нестационарных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Павлов А.В.

МИРЭА (ТУ), доцент, login11@umail.ru, a pavlov@mirea.ru )

ФИЛЬТРАЦИЯ И ПРОГНОЗ СМЕЩЕННЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Фильтрация, нестационарные последовательности, оптимальное линейное прогнозирование, корреляционная функция.

АННОТАЦИЯ

Для произвольных нестационарных процессов £k,k ,-1,0,1,2,... приводится разложение аналогичное тождеству Вольда для стационарных процессов. При этом обновляющаяся последовательность ортонормированных случайных величин одна и та же практически для произвольных процессов с ограниченными корреляционными характеристиками и построена ортогонализацией нецентрированных случайных величин с помощью набора нецентрированных корреляционных моментов E £ £ j . Уточняются аналогичные разложения и вид сингулярной компоненты при условии E £°m = 0 при всех | k—m | >T = const и при условии E £°k+r 0 ,r^<x>.

Доказано, что при произвольных математических ожиданиях £k=ЕкФ0, k = 0,±1,..., но стационарной корреляционной функции

центрированных величин Е+r£°k=K(r) = 0,1,2, ... сохраняется в традиционной формулировке тождество Вольда с сингулярной компонентой Е £m= const, коль скоро K(r0,r->да хотя обновляющаяся последовательность построена по набору нецентрированных корреляционных моментов Е £k+r £k, зависящих от двух переменных k ,r .

Введение

Работа посвящена оптимальному линейному прогнозированию и фильтрации стационарной или нестационарной случайной последовательности с конечной корреляционной функцией.

Все основные результаты, основанные на теоремах 1-4, базируются на разложениях подобных тождествам Вольда [1,4], доказанным в данной статье для случая стационарных и нестационарных последовательностей (теоремы 1,4), причем в этих теоремах все ортонормированные обновляющиеся последовательности построены с помощью процессов ортогонализации Гильберта-Шмидта в гильбертовых пространствах линейного замыкания [2,3] нецентрированных случайных величин без участия известных или оцененных математических ожиданий, что облегчает применение методов данной статьи в практических задачах прогноза-фильтрации, в том числе, ввиду отсутствия необходимости предварительно оценивать математические ожидания.

Все результаты данной статьи получены без предположения гауссовости рассматриваемых последовательностей.

Обозначим Е %к - математическое ожидание

Е

Е £°k£°m=K (m,k) ,k,ffl£... , — 1,0,1,2,..., ||n||2=M ц2 . По определению Pr > s,<r -оптимальная в среднеквадратическом смысле линейная оценка £k, полученная проектированием случайной величины на H (s,r) , H (s,r) - линейное замыкание

случайных величин s<i<r ,r ,s£..., — 1,0,1,2,...,s<r . По определению

Pr >-да <r£ k=Pr < r£k . H (r )= H (—да ,r) . Соответственно, H ° (s,r) - линейное замыкание

случайных величин s <i<r,r,s&... ,-1,0,1,2,... , s<r , и оптимальная в

среднеквадратическом смысле линейная оценка центрированной случайной величины , полученная проектированием на линейное замыкание центрированных случайных величин H0(s,r) , обозначена через Pr> <r

QPr >да <r Zl = Pr <r ^ k ■ В дальнейшем мы будем рассматривать процессы, у которых K(t)<<х>,t,да) ■ Теорема 1.

Для произвольной случайной последовательности ^ ,-1,0,1,2,... , такой что K (t, s) = E <Kо<да, E < c2 = const, при любых целых t,s, имеет место: a) для всех к = 0, ±1,± 2,...,

Мъ= Z (k)+?а,

Еьст<5, = 0, z' = 0,±l,±2,..., Ei5j=l, Eöjö}=0,, для всех j

к

С * п н

и в этой сумме

^ka=0 при всех k£... ,-1,0,1,2,..., если Ek = E£k=0, k = 0,±1,±2,... ;

б) для стационарной в любом смысле последовательности xii, i = ±1,±2,... , если lim sup|t—s>rK (r )= 0, K (r) = K (t + r ,t) , и K(rx)<K(r2) при всех r1<r2, то для всех целых к

Г

имет место :

^k= Z ömOk-m + E, E= E^ ,

m=—w

причем во всех этих равенствах ортонормированная последовательность {8к} построена специальным процессом ортогонализации нецентрированных векторов i =0,± 1,... .

Доказательство проводится методами гильбертовых пространств без применения известных традиционных методов теории вероятности.

Нам понадобится обозначение линейных оценок У k—R)=Pr <k—Rlk, R> 1, =Pr <k—iУ k—R,k—S) = Pr ^ 0<R<S.

Теорема 2.

Пусть 'E,i,i£... ,— 1,0,1,2,..., - произвольный стационарный в каком-либо смысле процесс ( K(t)<w при всех t).

Если K (t )= 0 при всех t > T = const, T£1,2,... , то для произвольного целых к и

R>T ,

1.

2.

lk = E + cTSk_T + -+c0ök =,

=cTSt_T+...+ c0Sk + ^(Jfc-T,k-S) + 0(1), 5 -> qo,^(k — T,k — S) = E + 0(1),5

E 8k_ j = 0, 7=1,... ,T .

Доказательство.

Доказательство опирается на методы, развитые в теореме 1.

m=—w

Замечание.

Для простоты формулировки мы привели теорему 2 в стационарном случае. При доказательстве этой теоремы мы не пользуемся стационарностью последовательности t k . В общем случае имеет место следующее утверждение: в условиях пункта b) теоремы 1 имеют место все утверждения теоремы 2 с теми же обозначениями с заменой E на Ek = E tk .

Для доказательства следствия 1 (в нем для простоты рассматривается стационарная последовательность, [4]) нам понадобится лемма 1.

Лемма 1.

Если Pr>k-т <k t - проекция вектора ^0 на H (k-T,k) ( H (k-T,k) -подпространство порожденное, вообще говоря, нецентрированными векторами t k-T ,... ), то

Pr>k-T,<k^°keH (A-t> ... -ök) ,

где H (ök-T,... ,ök) - подпространство, порожденное векторами ök-T,... ,ök . Следствие 1. Pr>k-t <кtk= ctök-T + ... +ckök .

Приведем полезное для сравнения дискретных методов с методами, основанными на интегрировании траекторий следствие 2.

Следствие 2. В условиях пункта б) теоремы 1, если S (N) - сумма коэффициентов оптимальной в средне-квадратическом оценки tk по некоррелированным с ней наблюдениям

%k-T-1- .... %k-T-R , то S ( N И1 .

Доказательство.

По пункту б) теоремы 1 из сходимости оценки в средне-квадратическом к E следует сходимость математических ожиданий [2], что эквивалентно утверждению следствия 2.

Из теоремы 1 непосредственно следует теорема 3, в которой рассмотрена корреляционная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности.

Теорема 3.

Если tj-i^- ..- — 1,k,1,2,... , - произвольный стационарный в любом смысле процесс, такой что

lim K (r ) = k, K (r )=K (t+r,t),

r со

то при любом k = k,±1,... имеет место:

1. lim ik(k- R) = E=E tk ,

R

k-1

2. ik= Z ÖmCk-m +E ,

где последовательность ортонормированных величин {öj} построена ортогонализацией нецентрированных величин { } без предварительной оценки математического ожидания E .

Доказательство. В теореме 1 мы доказали, что

k

£k=Z ÖmCk-m +Pt <k-R%k- ||Öj IH1,0^0, , для всех ,

m=R

lim Pr ^k -R^k = E . R

Данные утверждения эквивалентны утверждениям теоремы 3.

При разложении и прогнозировании последовательностей со стационарной корреляционной функцией и произвольными математическими ожиданиями используется теорема 4.

Теорема 4.

Если E Щя= Em <«, я = 0,±1, ±2,..., E K (R), R=0,1,... , R^ K ( ") = 0 '

то теорема 3 верна в дословной формулировке с заменой E на Ek причем "обновляющая" последовательность öt, i= 0,1,... построена процессом ортогонализации нецентрированных векторов { } и одна и та же для разных k (хотя E ^ я +R ^ я зависит, вообще говоря, от двух переменных я и R ).

Литература

1. В.С.Королюк, Н.И.Портенко, А.В.Скороход, А.Ф.Турбин. - М.: Наука. Главная ред.физ.-мат.литер.1985. 640 с.

2. Венцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975. 320 с.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит., 1976. -544 с.

4. Павлов А.В. Случайные ряды Фурье и их применение к теории фильтрации-прогноза М.:Изд-во МГУ им. Ломоносова, механико-математический ф-т, 2000.-64 с. ISBN 5-93839-002-8.

5. Павлов А.В. Теорема типа больших уклонений для критерия хи-квадрат. М.: Успехи мат.наук. Т.51, 1 (307), 1996.