CC BY
8УДК 531.72:519.8
ФИЛЬТРАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ПОРИСТОЙ
СРЕДЕ
В.А. Галкин1, Д.А. Быковских1, Т.В. Гавриленко1, П.А. Стулов2
1 «Сургутский государственный университет», val-gal@yandex.ru, dmitriy.bykovskih@gmail.com,
taras.gavrilenko@gmail.com 2 «НАЦ РН им. В.И. Шпильмана» stulovpa@gmail.com
В работе представлена математическая модель движения идеального газа в пористой среде. На основе этой модели разработан программный комплекс, позволяющий моделировать отражения невзаимодействующих частиц от областей (стенок) произвольной геометрии. Разработанный программный комплекс позволяет визуализировать динамику распределения частиц.
Установлена связь скорости фильтрации (закон Дарси) с статистической оценкой гидродинамической кинетической энергии скорости частиц (далее гидродинамическая скорость) в элементарном объеме для идеального газа при установившемся процессе.
Ключевые слова: идеальный газ, закон Дарси, модель пористой среды.
А FILTRATION MODEL OF IDEAL GAS MOTION IN POROUS MEDIUM V.A. Galkin1, D.A. Bykovskikh1, T.V. Gavrilenko1, P.A. Stulov2
1 Surgut State University, val-gal@yandex.ru, dmitriy.bykovskih@gmail.com, taras.gavrilenko@gmail.com 2 Shpilman Research Center for Sustainable Mining, stulovpa@gmail.com
The paper presents a mathematical model of an ideal gas in porous medium. A software package for simulating non-interacting particle reflections from areas (walls) of arbitrary geometry has been developed. The software visualizes the evolution of particle distribution.
The relation between the filtration rate (Darcy's law) and a statistical assessment of the hydrodynamic kinetic energy of particle velocity (hydrodynamic velocity) in the elementary volume for an ideal gas at the steady-state process has been identified.
Keywords: ideal gas, Darcy's law, porous medium model.
Введение
Для проведения расчетов моделирования динамики идеального газа, состоящего из статистически большого числа частиц, с подвижными границами, требуется большое количество вычислительных ресурсов. С помощью такой модели можно решать класс задач, связанных с построением фильтрационной модели пласта, основанной на использовании статистических оценок, определяющих гидродинамические параметры (давление, температура и т.д.) течения газа в элементарных объемах.
В работе рассматривается модель пористой среды (рис. 1).
Рис. 1. Модель пористой среды Пористая среда представляет собой сетку, в узлах которой расположены рассеивающие центры определенного радиуса. Газ является идеальным. Течение газа направлено слева направо.
Математическая модель
Математическая модель - система уравнений, состоящая из соотношения Клапейрона-Менделеева для идеального газа (1), уравнения неразрывности для сжимаемого газа (2) и
линейного закона Дарси при установившейся фильтрации (3) [1, 2, 3]. Динамическая вязкость молекул газа определяется (4).
Р = pRT, (1)
^ + ри) = 0,
ы
к
и =--УР,
И
И
^иХк)Р,
(2) (3)
(4)
где Р - давление; р - плотность; Я - универсальная газовая постоянная; Т -
температура; и - скорость течения газа; к - проницаемость среды; м - динамическая вязкость;
(и) - средняя скорость молекул; (Л) - средняя длина свободного пробега молекул.
В одномерном случае для идеального газа скорость фильтрации при установившемся течении для системы уравнений (1) - (3) имеет следующий вид:
и =
к Р2 - Ро2 и 2(р)Р,Ь'
(5)
где и = ц /(р) - кинематическая вязкость; (р) - средняя плотность.
Алгоритм
Основой алгоритма является модель идеального газа, представленная в [4] и в отчете по 2 этапу договора. Интегральные характеристики (давление, температура, плотность и т.д.) рассчитываются на основе статистических оценок макроскопических параметров течения газа в элементарных объемах [5, 6].
Моделирование и анализ результатов
На рис. 2 представлена вычислительная схема, которая условно разбита на две области.
Рис. 2. Вычислительная схема Левая область (размером 5х2) заполняется газом в начальный момент времени в заданном количестве N с равномерным распределением. Направление частиц в начальный момент времени также определяется случайным образом с равномерным распределением. Скорость каждой частицы равна 1.
Правая область - пористая среда, состоящая из рассеивающих центров с определенным радиусом г. Эта область разбита на элементарные области (размером 1х2 каждая), в которых вычисляются статистические оценки гидродинамических параметров.
На рис. 3 представлены результаты моделирования поля давления при г = 0.5, N = 107. Расчет поля давления был получен с помощью непересекающихся ячеек (элементарных областей размером 0.25х0.5), образующих сетку (размером 8х20). Линии тока направление движения частиц обозначены черным цветом.
Рис. 3. Результаты моделирования поля давления: вверху £ = 10, по середине £ = 20,
внизу £ = 30
На рис. 4-9 представлены результаты моделирования. Из графиков (рис. 4-6) видно, что начальное расхождение гидродинамической кинетической энергии скорости частиц V и скорости фильтрации и, которое объясняется процессом установления стационарного режима (рис. 7-9).
Рис. 4. График гидродинамической скорости V и скорости фильтрации и при г = 0.5 ,
N =5-106
Рис. 5. График гидродинамической скорости V и скорости фильтрации и при г = 0.4,
N = 106
Рис. 6. График гидродинамической скорости V и скорости фильтрации и при г = 0.6,
N = 106
250000
200000
150000
100000
50000
0 = {д\:\ =
— 1 2 3 4 5
—
II//
10
20
30 I
40
50
60
Рис. 7. График изменения количества частиц в элементарных объемах с течением
времени при г = 0.5, N = 5 • 106
Рис. 8. График изменения количества частиц в элементарных объемах с течением
времени при г = 0.4, N = 106
Рис. 9. График изменения количества частиц в элементарных объемах с течением
времени при г = 0.6, N = 106
Заключение
Для проведения расчетов моделирования динамики идеального газа был разработан программный комплекс, использующий параллельные алгоритмы, написанные на языке высокого уровня, для высокопроизводительных систем. Проведены численные эксперименты по исследованию зависимости течения газа в фильтрационной модели пласта.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 15-41-00013, № 15-41-00059, № 15-41-00034.
Литература
1. Леонтьев Н.Е. Основы теории фильтрации. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2009, 88 с.
2. Schmidt B.E. Compressible Flow Through Porous Media with Application to Injection // Internal Report for Caltech Hypersonics Group FM 2014.001. Pasadena: California Institute of Technology, 2014. 14 p.
3. Betelin V.B., Galkin V.A. Control of Incompressible Fluid Parameters in the Case of Time-Varying Flow Geometry // Doklady Mathematics, 2015, v.92, №1, p. 511-513.
4. Галкин В.А., Гавриленко Т.В., Быковских Д.А. Управление динамикой невзаимодействующих частиц в плоской области // Вестник кибернетики. 2015, №3(19), С. 148-159/
5. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. N.Y.: Oxford University Press, 1994, 458 p.
6. Cercignani C. Mathematical methods in kinetic theory. Milano: Politecnico di Milano, 1969, 252 p.
