CC BY
42
УДК 532.546.7
Перколяционный анализ основ гидродинамического моделирования разработки нефтегазовых месторождений
В.В. Кадет1*, П.С. Чагиров1
1 РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина, Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ленинский пр-т, д. 65, к. 1 * E-mail: kadet.v@gubkin.ru
Ключевые слова:
ньютоновская жидкость, течение
в пористой среде, перколяционное моделирование, закон Дарси, лабораторный эксперимент.
Тезисы. Проведены перколяционное моделирование процесса течения ньютоновской жидкости в пористой среде и экспериментальная проверка полученных результатов. Анализ течения на микроуровне позволил получить макроскопический закон фильтрации, а также критические значения градиентов давления, которые определяют границы применимости закона Дарси. Исследовано влияние параметров среды на значения пороговых градиентов. Показано, что при больших градиентах давления закон Дарси наиболее хорошо работает в мелкопоровых коллекторах и нарушается во всем диапазоне градиентов для крупнопоровых пород, а при низких градиентах линейный закон фильтрации выполним только для крупнопоровых пород.
Представлены постановка и результаты экспериментов по фильтрации газа при высоких скоростях и жидкости при низких скоростях, подтверждающие данные теоретических расчетов.
В подземной гидромеханике существует ряд принципиальных вопросов, не решенных до конца к настоящему времени. Это связано прежде всего с тем, что феноменологический подход, традиционно используемый в этой области науки, себя исчерпал.
В связи с этим возникает потребность в поисках новых подходов, позволяющих получать новые знания, объясняющие основные закономерности физических процессов, имеющих место при течении флюидов в пористых средах. Соответственно, на базе новых научных знаний возможно создание новых и развитие существующих промышленных технологий.
Основная идея
Вектор развития научных исследований сориентирован на выяснение основных механизмов, определяющих характерные особенности макроскопических процессов, и, соответственно, возможностей влияния на них. Наиболее перспективным на сегодняшний день представляется перколяционный подход, позволяющий на основе теории перколяции «трансформировать» результаты микромеханического анализа в диапазоне от микро- до наноразмеров в законы течения на макроуровне и расчетные соотношения фильтрационных макрохарактеристик.
Еще такие корифеи, как Казени, Карман, Лейбензон предлагали подход, принципиальная схема реализации которого представлена на рис. 1. При этом этап моделирования порового пространства (рис. 2) ограничивался одномерной моделью пучка капилляров (рис. 3), радиусы которых имели некоторое распределение плотностью /(г), соответствующее порометрической кривой реальной пористой среды. Такая модель позволила объяснить и описать ряд эффектов, имеющих место при однофазной фильтрации. При этом использования теории перколяции (см. схему на рис. 1), которой в те времена (конец Х1Х - середина ХХ в.) просто не существовало, не требовалось.
Однако при переходе к рассмотрению двухфазной фильтрации оказалось, что Ш-модель порового пространства (см. рис. 3) содержит имманентное противоречие: в рамках данной модели сумма относительных фазовых проницаемостей всегда должна быть равна единице, что опровергается обширным экспериментальным материалом.
Рис. 1. Схема «лифта» «микроуровень - макроуровень»
Рис. 2. Поры А и моровые каналы В зернистой мористой среды
Рис. 3. Одномерная модель морового пространства
Одномерная модель порового пространства оказалась «тесна» для описания многофазной фильтрации. Очевидно, требовался выход в 3Б-пространство. Выполнить эту задачу казалось возможным лишь на базе качественно нового математического аппарата, позволяющего решать актуальнейшие задачи науки и производства на совершенно новом уровне обоснованности и глубины анализа. Это теория перколяции, описывающая процесс формирования, дальнейшего развития и взаимодействия конгломератов элементов с определенными свойствами в неупорядоченных системах, что приводит в конечном
Рис. 4. ЭБ-решетка капилляров-связей
итоге к качественным изменениям макроскопических свойств этих систем (к так называемым фазовым переходам 2-го рода). Моментом ее «старта» можно считать вышедшую в 1957 г. работу1 Бродбента и Хаммерсли, в которой были сформулированы основные идеи, положенные в фундамент этой теории. Таким образом, теория перколяции выдержала уже полувековое испытание временем, и сегодня можно говорить об активном использовании перколяционных подходов при рассмотрении широкого круга фильтрационных проблем.
Вообще говоря, могут быть предложены различные варианты 3Б-моделей порового пространства. Наиболее очевидный и широко используемый - 3Б-решетка капилляров-связей (рис. 4) как альтернатива «Ш-решетки», т.е. пучка капилляров [1, 2].
Основные принципы перколяционного моделирования течения флюидов в пористой среде
Исходя из представлений о структуре бесконечного кластера (БК) (рис. 5), положенных в основу модели Шкловского - де Жена [1, 2], приходим к задаче определения проводимости его скелета, ответственного за транспортные свойства как собственно БК, так и, соответственно, пористой среды в целом. Проводящие каналы, по которым осуществляется течение флюида, представляют собой цепочки гидравлически связанных между собой поровых каналов (капилляров) различного радиуса.
См. Broadbent S.R. Percolation processes /
S.R. Broadbent, J.M. Hammersley // Proc. Cambr. Phil.
Soc. - 1957. - № 53. - С. 629-645.
I (г,)
] Л(Г )
6т
} Л(г
} / = 1
К = 2уку! -2}
| Л(Т )dr
/о(1)
| / (г
= р: .
(1)
индекс радиуса корреляции;
Рис. 5. Схематичное представление структуры БК, положенное в основу модели Шкловского - де Жена:
Я - радиус корреляции бесконечного кластера
Проводимость цепочки будет определяться самым тонким капилляром, поэтому его радиус г естественно считать основной характеристикой такой цепочки. Используя его, введем понятие г-цепочки: будем так именовать цепочки капилляров, в которых минимальный радиус составляющих ее капилляров лежит в диапазоне г...(г+&").
Скелет БК будут составлять г-цепочки всего диапазона области определения функции АТ), 0 < г < гтах, причем их количество для каждого г будет своим и, вообще говоря, заранее не известным. Поэтому необходимо построить некоторый алгоритм определения количества образовавшихся г-цепочек, их проводимостей и последующего суммирования с целью нахождения суммарной проводимости БК. Именно данный алгоритм и является главным элементом перколяционной модели.
Обобщая модель Шкловского - де Жена на случай фильтрационного течения в микронеоднородной среде с нормированной функцией плотности распределения капилляров по радиусам
и учитывая извилистость (фрактальность) проводящих путей скелета БК, для проницаемости (К) 3Б-решетки получаем соотношения [1, 2]
Здесь V
РЬ - порог протекания (перколяции), гк -соответствующий критический радиус, определяемый из третьего соотношения выражения (1); ук ~ 1 - численный коэффициент, зависящий от типа решетки и призванный скорректировать тот факт, что перетоки между проводящими параллельными цепочками во внимание не принимались (определяется сравнением аналитических и численных расчетов); I - длина капилляра. При этом фрактальная размерность г-цепочек, соответствующая показателю извилистости элементов БК, равна 1,1.
Возможности развитого математического аппарата могут быть проиллюстрированы на примерах изучения характера фильтрационных течений в нефтегазовых резервуарах.
Перколяционная модель течения электролита в пористой среде (эффективная вязкость, или электровязкость)
Закон фильтрационного течения
Пусть жидкость, текущая по решетке капилляров под влиянием приложенного градиента давления, представляет собой раствор бинарного электролита, обладающий диэлектрической проницаемостью е и вязкостью ц0. При этом вблизи стенок капилляров возникает двойной электрический слой (ДЭС), основной характеристикой которого является дзета-потенциал £ [3].
Для вывода зависимости макропараметров течения от микрохарактеристик среды получим вначале соотношение между внешним перепадом давлений в среде и расходом жидкости по каждому проводящему пути в такой системе. В качестве первого шага рассмотрим течение по отдельному каналу радиусом а (рис. 6). Когда жидкость течет за счет градиента давления через микроканал, ионы подвижной части ДЭС увлекаются жидкостью, что создает электрический ток I, называемый током протекания. Накопление избытка ионов в области, определяемой направлением течения, является причиной возникновения электрического потенциала ф, который принято называть
о
X Ч
и— 1 ->1
2а
Рис. 6. Схема электрокинетического течения в капилляре: q - объемный расход жидкости
потенциалом протекания. В свою очередь потенциал ф способствует появлению тока ионов в направлении, обратном направлению течения жидкости (ток проводимости 1С). Массовая сила, действующая в такой системе, будет определяться взаимодействием ф с зарядом ионного облака объемной плотностью ре.
Таким образом, установившееся течение в капилляре будет описываться уравнением Навье - Стокса следующего вида:
1 d ( du
До
-I гг dr I dг
-Ур -реУф=о,
1 а ( аш
р»= -ее°_:г I га
г аг ^ аг
= -Цг2 - а2)Ур(ф-1| Уф. 4До До IС
(2)
где и - скорость течения; ц0 - динамическая вязкость капельной жидкости; Ур - градиент давления; Уф - градиент потенциала протекания; ре определяется при этом уравнением Пуассона [3]
(3)
где е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.
Подставив (3) в (2) и проинтегрировав результат с граничными условиями прилипания (и(а) = 0) и равенства потенциала на стенке канала дзета-потенциалу (ф(а) = £), а также условием симметричности решения относительно оси канала ^и/&"(0) = dф/dr(0) = 0), получим выражение для скорости течения в канале с учетом влияния потенциала ДЭС:
(4)
Соотношение (4) показывает, что скорость существенно зависит от потенциала протекания.
Для иллюстрации физических процессов, происходящих на микроуровне (в отдельном по-ровом канале) и определяющих в дальнейшем картину макроскопического течения, по формуле (4) проведены расчеты профилей скорости в каналах различного радиуса. В частности, на рис. 7 представлен результат такого расчета
Рис. 7. Профили скоростей, рассчитанные без учета и с учетом в канале радиусом а = 0,5 мкм
в канале радиусом 0,5 мкм. Концентрация раствора - 10-2 моль/л, £ = 50 мВ. Видно, что скорость в центре канала почти в 2 раза меньше скорости у0 пуазейлевского течения (~ 0,65у„ без учета влияния ДЭС).
Повышение эффективной вязкости ц связано не только с уменьшением среднего размера пор среды. На вязкость одновременно влияют как средний радиус капилляров, так и концентрация раствора электролита. Поэтому в крупнопористых средах максимальные значения эффективной вязкости будут достигаться при достаточно низких концентрациях электролита, а в низкопроницаемых тонкопоровых средах наоборот - при сравнительно больших концентрациях растворов солей (что позволит избежать перекрытия ДЭС по всей площади поперечного сечения каналов и увеличения проводимости за счет поверхностной составляющей).
Сравнение с экспериментальными данными [4, 5] показывает, что игнорирование влияния ДЭС вносит погрешность в расчеты скорости течения жидкости по микроканалам в сотни процентов. Результирующий электрический ток имеет аксиальное направление и состоит, как отмечалось ранее, из двух частей - конвекционного тока (тока протекания) и тока проводимости, при этом его плотность
] = 2в(п+ - п )и - ш^е(п+ - п)Уф,
(5)
где ш1 - подвижность ионов (считается, что подвижности катионов (ш+) и анионов (ш-) равны, т.е. Ш1 = ш+ = ш-); г = = х_ - их валентность;
г
е - заряд электрона; п+ и п- - объемные плотности (концентрации) катионов и анионов соответственно.
Когда ток проводимости становится равным току протекания (^ = 1С = I), устанавливается равновесное состояние (установившийся режим течения). Распределение ионов, которое устанавливается у твердой стенки, аналогично равновесному распределению молекул газа в атмосфере под влиянием силы тяжести с тем лишь различием, что гравитационное поле не зависит от распределения молекул, а электрическое поле в случае двойного электрического слоя само является функцией распределения заряженных ионов. Число противоионов, находящихся у заряженной поверхности твердой фазы, по мере увеличения расстояния от границы раздела по направлению внутрь раствора уменьшается по закону распределения Больцмана, а число потенциалопределяющих ионов увеличивается согласно тому же закону. Поэтому примем, что локальная концентрация ионов п± подчиняется закону распределения Больцмана [3, 6]
п± = п0ехр(+геф/кьТ),
ре = 2е(п+ - п-) = -22еп0$Ъ(2еф/кьТ).
Проинтегрировав уравнения (4) и (7) с учетом (8), (9) по области поперечного сечения канала, получим выражения для объемного расхода q и тока I:
q = ЬпДр + £12Дф,
I = Ь21Др + ¿22Дф.
Здесь Ар = Ур/, Дф = Уф/; значения комплексов Ьп, Ь12, Ь21, Ь22 зависят от свойств жидкости, поверхности твердого тела и размеров канала. «Прямые» коэффициенты Ьп и Ь22 выражают связь между потоком и «основной» силой, его вызывающей. Так, Ьп - коэффициент связи между перепадом давления и потоком массы - является, по сути, гидропроводностью канала в законе Пуазейля; Ь22 связывает ток с разностью потенциалов и имеет смысл электропроводности в законе Ома. «Перекрестные» коэффициенты Ь12, Ь21 отражают взаимосвязь различных процессов и характеризуют зависимость соответствующего потока от «другой» силы, т.е. являются коэффициентами пропорциональности между силами одной природы и потоками другой:
¿11 =
па
^12 _ ¿21 _
пее0 а2£ IV
а.
(6)
¿22 _
пе2 е02 IV
„ , па2а ■Ьо +—— ц,
где п0 - суммарная объемная концентрация ионов (или концентрация ионов на бесконечно большом расстоянии от твердой фазы при ф = 0); кь - постоянная Больцмана; Т - температура.
С учетом распределения (6) выражение (5) может быть записано в виде
} = Ре« - ОУф. (7)
Здесь проводимость жидкости с = 2т 1геп0сЪ(геф/кьТ), (8)
о, = 1 - 2Г4 ? аг,
1 а2 £
^а
0
0
Д(ф / С)
&(г / а)
-сЪ
^ 2вф ^ КГ
dr.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Соотношение (13) учитывает, что для перекрестных коэффициентов Ьл справедливы соотношения взаимности Онзагера [7, 8]. Для определения Ьл необходимо знать распределение потенциала в канале.
Подставляя выражение (9) в формулу (3), получаем уравнение Пуассона - Больцмана:
(9)
1 а ( аф
г 6г I 6г
2 2вПп
ее0
^ 2вф ^ 1<Т
В области малых значений потенциала ДЭС (0 < ф < 50 мВ) функция гиперболического синуса может быть линеаризована:
(10)
!А Г г ^ 1 = * 2ф,
г ^ ^ dг )
(18)
где к = (2г2е2п0/ее0кьТ )1/2 - параметр Дебая -(11) Хюккеля, характеризующий эффективность
а
экранирования заряда поверхности канала диффузными противоионами электролита. Величину 1/к - дебаевский радиус, или дебаевскую длину - естественно использовать в качестве единицы измерения толщины ДЭС.
Решив уравнение (18) с граничными условиями ф(а) = £ (условие равенства дзета-потенциала на стенке канала величине 92 и ф'(0) = 0 (условие симметричности решения относительно оси канала), получаем распределение потенциала в сечении канала:
Ф = С
I р(кт)
10(ка)
Здесь /„(•) - модифицированная функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка; ka обычно называют безразмерным электро-кинетическим радиусом (отношение радиуса канала к толщине ДЭС). Тогда G1, G2, G3 приобретают вид:
Gl = 1 -
2 1,(ка) (ка)210(ка)
в2 = (ка)2
10 (ка) 211 (ка) _ 10(ка) ка10 (ка)
^ = 2[
а Г сЬ ^ 1о(кг)
кьГ Iо(ка)
dr,
га
11(ка) = ^ I0(kr)krdkr.
При установившемся электрокинетическом течении в канале ток проводимости равен току протекания, следовательно, общий ток I равен нулю. Тогда на основании уравнений (10), (11) перепад давления в канале представим в виде
Ар, = д/(Ьп _Ь2и / Ь22).
(19)
Реализуя алгоритм получения закона фильтрационного течения [1, 2], с учетом (19) для 3Б-решетки получаем:
№ =
_ N
(1 - Р )2
к I 11 ]
/ (г)
1 т - т2 / т
г ^11 12' 22.
-dr
} / (г )dг
/ (г)dг.
(20)
Эффект электровязкости при течении в пористой среде
Уменьшение скорости течения жидкости в микроканалах возможно интерпретировать как повышение вязкости. Соответственно, движение жидкости в пористой среде можно характеризовать так называемой эффективной вязкостью, или электровязкостью [9-14].
Для того чтобы количественно проанализировать данный эффект, сравним формулу (20) с законом Дарси = (К/|а)|Ур|. В результате имеем
ц = К
2уУк (1 - РК )2* Г1| ]
/ (г)
-dг
} / (г )<1г
/ (г
(21)
1 т - т2 / т
Используя для расчета проницаемости пористой среды зависимость (1), выведенную в предположении физико-химической инертности поверхности поровых каналов
2 Не имея возможности в рамках данной статьи углубляться в детали, отметим, что обычно
дзета-потенциал принимают приблизительно равным потенциалу диффузионной части ДЭС (фб = Строго на стенке он несколько иной, но здесь принято такое условие.
г
г
г
max
Рис. 8. Модельные функции плотности распределения для различных значений гшах
(когда течение жидкости в капиллярах подчиняется классическому закону Пуазейля), после подстановки ее в равенство (21) получаем выражение
Mi
f(r)dr
} f (r )dr
Jf(r)dr
f (r)dr
• n
f (r )
Ln Lu/ LT
-dr
Jf(r)dr
(22)
f (r)dr
определяющее эффективную вязкость электролита в процессе его течения в пористой среде. Используя формулы (12), (13), легко показать, что в случае £ = 0 эффективная вязкость флюида при течении в пористой среде д равна вязкости объемной жидкости д,.
Проведем анализ соотношения (22), используя для простоты расчетов и наглядности результатов модельную функцию плотности распределения (рис. 8)
I f (r) = 1/ (r — r ■ ), r e [r ■ , r 1;
J J V ' V m ax min L min > max J'
l f (r) = 0.
0
0
Возьмем типичные значения параметров решетки: координационное число zk = 6, l = 10 4 м. Основная цель данных расчетов - выяснить, как значение эффективной вязкости ц меняется в зависимости от доли толстых и тонких капилляров в функции распределения.
Вначале зафиксируем минимальный радиус rmin и рассмотрим влияние крупных капилляров, варьируя максимальный радиус rmax. При проведении численного эксперимента будем считать, что поверхность порового пространства представляет собой кремний, а электролит является раствором KCl. При этом используем зависимость дзета-потенциала от концентрации электролита [9]. Структуру пористой среды будем характеризовать средним электрокинетическим радиусом, который представляет собой отношение среднего радиуса канала к толщине ДЭС.
На рис. 9 показаны графики зависимости вязкости ц, отнесенной к ц0 = = 0), от среднего электрокинетического радиуса3 k<r> при фиксированном rmin = 10 7 м. Видно, что в области малых радиусов эффективная вязкость практически равна вязкости капельной жидкости. Это происходит из-за того, что расход через такие каналы невелик. Поэтому наводится маленький потенциал протекания, и скорость ионов, движущихся против основного потока, мала.
Самое значительное влияние на течение жидкости ДЭС оказывает, когда k<r> ~ 2. При дальнейшем увеличении радиуса влияние ДЭС ослабевает. Это объясняется
3 k<r> - средний радиус <r>, деленный на дебаевский радиус 1/k.
£ 6 5
4 3 2 1
0
О 2 4 6 8 10
k<r>
Рис. 9. Зависимость ц/ц0 от среднего электрокинетического радиуса при фиксированном rmin = 10~7 м при T = 293 К
тем, что при больших радиусах движение ионов ДЭС против основного потока в капиллярах происходит только в тонкой пристеночной области и практически не влияет на общий поток (в области, где средний электрокинетический радиус достаточно велик, кривые асимптотически приближаются к единице, что соответствует классическому расчету течения при Ç = 0).
Полученные результаты согласуются с экспериментальными данными как в отношении течения электролита в микроканалах [10, 15, 16], так и в отношении фильтрации в пористых средах. В частности, М.М. Элланским и др. представлены экспериментальные данные, согласно которым при уменьшении концентрации солей в пластовой воде увеличивается эффективная вязкость флюида при движении в образцах терригенных пород [17].
Перколяционный метод определения границ применимости линейного закона фильтрации
Закон Дарси является наиболее широко используемым законом течения ньютоновских флюидов в пористых средах. Вместе с тем существуют условия, при которых он нарушается, причем имеют место как нижняя, так и верхняя границы его применимости.
При малых скоростях фильтрации (нижняя граница) нарушение закона Дарси связывают главным образом с проявлением сил межмолекулярного взаимодействия жидкости и породы в тонких капиллярах [18-24]. Перколяционный подход позволяет учесть данный эффект и получить нелинейный закон фильтрации (20), который с ростом градиента давления переходит в закон Дарси.
Верхняя граница применимости закона Дарси обусловлена проявлением инерционных сил. Традиционно для ее определения предлагается использовать сопоставление фильтрационного числа Рейнольдса с его критическим значением. Этим вопросом начиная еще с первой половины прошлого века занимались такие ученые, как Н.Н. Павловский [25], В.Н. Щелкачев [26], М.Д. Миллионщиков, Ф.Н. Котяхов [27], А.И. Абдулвагабов [28] и ряд других. Однако вследствие разнообразия предложенных выражений для фильтрационных чисел и большого разброса их критических значений применить данный метод на практике невозможно. В настоящей работе предлагается использовать подход, основанный на анализе течения в пористой среде на микроуровне. В этом случае при моделировании течения флюида в пористой среде удается учесть как линейные гидравлические потери давления,
1 1 — Ç=100mB, n0 = 6,022-1022 м-3 — Ç=150 мВ,и0 = 6,022-1021м-3 — Ç = 200 мВ, n0 = 6,022-1020 м-3
обусловленные силами вязкого трения, так и потери давления на местных сопротивлениях, связанные с внезапным сужением и расширением капилляров. Отклонение от линейного закона фильтрации возникнет, когда потери на местных сопротивлениях станут сопоставимы с гидравлическими потерями по длине (верхняя граница).
Нижняя граница справедливости закона Дарси. С учетом значений феноменологических коэффициентов (12)-(17) закон течения (20) представляется в виде
= AVP^ Г 8^0 0
1 --
8G,2
Сз(С)
6 6оС
f (r)dr
I f (r )dr
f (r )dr,
(23)
где А - комбинация констант, стоящих перед интегралом в выражении (20); УР - макроскопический градиент давления.
Дзета-потенциал связан с перепадом давления на концах микроканала Ар формулой Гельмгольца - Смолуховского [29]
еДр
где с - удельная электропроводность жидкости.
С учетом (24) соотношение (23) преобразуется к виду
(24)
w = AVP
na
1 --
8G,2
G2 +-
-Ap 2G,(Ap)
f (r)dr
|f(r)dr
f(r)dr. (25)
16л2 e2 ф2Ц0ст
При этом в любом сечении рассматриваемого участка пористой среды макроскопический градиент VP по порядку величины совпадает с микроскопическим градиентом Vp = Ap/l, возникающим в проводящих флюид каналах. Наиболее точно данное соответствие проявится в случае однородной пористой среды, когда порометри-ческая кривая имеет форму, близкую к графику 5-функции. На практике такая функция будет иметь вид
fconst, r ■ < r < r ;
ч > mm max'
10, r < r ■ , r > r ,
^ > mm > max >
где rmin и rmax - величины одного порядка.
Таким образом, формулу (25) можно представить в следующем виде:
w=AVP-
8ц0
1 --
8Gj2
G2 +
2/2 a l
2 2 . _VP 2G3(WP)
f (r)dr
jf(r)dr
f (r)dr. (26)
16% 8„ф Ц0СТ
Соотношение (26) демонстрирует нелинейный характер зависимости ^(УР). Причем оказывается, что функция 03(УР) - величина порядка единицы в широком диапазоне градиентов, за исключением малой области вблизи нуля (0 < УР < 10-2 Па/м). Тогда формула (26) преобразуется к виду
w = AVP-
1 --
8G2
G2 +
a l2
16л2е2ф2ц 0 a
VP2
f(r)dr
jf(r)dr
f(r)dr.
(27)
Анализ соотношения (27) показывает, что с ростом градиента давления закон течения переходит в закон Дарси. Началом такого перехода будет являться равенство слагаемых в знаменателе выражения, стоящего в круглых скобках. Именно это
2 r
2 r
2
равенство определяет нижнее значение порогового градиента давления УР,:
уР = 4леоФ а1
л/^0 а02-
Влияние структуры порового пространства на отклонения от закона Дарси представлено на рис. 10, 11, где изображены расчетные кривые зависимости м>(УР) для однородных пористых сред с <г> ~ 108 м, <г> ~ 106 м. При этом значения пороговых градиентов УР, равны соответственно 1,4-103 и 2,1-102 Па/м. Параметры жидкости: ц0 = 5-10-3 Па-с, р = 0,85-103 кг/м3, е = 30. На основании приведенных графиков можно сделать вывод, что отклонения от линейности в мелкопоровых коллекторах (<г> ~ 108 м) происходят при гораздо более высоких градиентах давления (~103 Па/м), чем в крупно-поровых (<г> ~ 106 м), где переход к линейному характеру связи ^(УР) происходит уже при УР ~ 102 Па/м.
Верхняя граница справедливости закона Дарси. Для определения верхней границы существования линейного закона фильтрации рассмотрим течение вязкой ньютоновской жидкости в пористой среде с учетом как линейных гидравлических потерь давления, обусловленных силами вязкого трения, так и потерь на местных сопротивлениях, связанных с внезапными сужениями и расширениями капилляров [3]. Потери давления по длине в каждом капилляре радиуса г определяются законом Пуазейля
8и/я АРк ' пг
а потери давления на стыках капилляров с радиусами г1 и г2 - соотношением
АРст = Ч2а(г!, Г2),
где коэффициент местного сопротивления а задается формулами Борда - Карно
а(1, Гг) = р^-4 (1 - Г;2Г2-2 )2, гх < т2
и Жуковского а(г1, г2) = рг1-4 (1 - г22г1-2), г1 > г2
для расширения и сужения канала соответственно.
В результате получаем закон макроскопического течения, связывающий модуль скорости фильтрации жидкости, определяемый как расход через единичную площадку, и модуль градиента давления |УР|, соответствующего в макромасштабе перепаду давления на единичную длину:
то
Ч
(г) |УР| 6г
Л (г) + (12 (г) + 412 (г) |УР| )ь
^ I (р)р-"Ф
(28)
где 11 (г) = -
} I (рМР
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
лин •••• рас ейный зав чет он фильт| ации
/у'
/У' /
-^10 8
200
400
600
800 1000
УР, Па/м
Рис. 10. Расчетная кривая зависимости ю(УР) и линейный закон фильтрации в пористой среде при <г> ~ 10~8 м
линейный • ••• расчет закон фильтрац ИИ ж
УХ
Л-''
/у
//
100
200
300
УР, Па/м
Рис. 11. Расчетная кривая зависимости и'(УР) и линейный закон фильтрации в пористой среде при <г> ~ 10_6 м
8
6
4
2
0
0
0
0
I Л а(р!, р2) I (р! ) I (р2
к(г) =-
11 (р)ф
р(г) = у(Б -1)1(1-В)
| / (р)Ф
В-1)-1
/ (г);
В - размерность пространства задачи. Для трехмерного пространства В, соответственно, равна 3, и вместо (1 - В) можно просто поставить -2, а вместо (В - 1) - двойку.
Анализ соотношения (28) позволяет сделать вывод о том, что переход от линейного закона фильтрации к нелинейному произойдет тогда, когда потери по длине и потери на местных сопротивлениях (инерционные потери) станут одного порядка. Однако для количественного определения верхней границы применимости линейного закона фильтрации (закона Дарси) необходимо указать метод расчета порогового градиента, т.е. градиента давления, при котором в пористой среде будет выполняться указанное условие:
УР>) =
!2г(г )
4/2(г )'
УР>) = .
41 г(гс)
возможность проследить за тем, как структура порового пространства влияет на величину порогового градиента давления, т.е. на положение верхней границы справедливости закона Дарси.
В качестве иллюстрации рассмотрен реальный поровый коллектор, порометрическая кривая которого представлена на рис. 12 линейным сплайном по экспериментально определяемым точкам. Результаты расчетов представлены на рис. 13, где показаны распределение «локальных» пороговых градиентов для различных групп капилляров, определяемых зависимостью (29), а также положение «глобального» порогового градиента для данной пористой среды в целом, рассчитываемого по соотношению (30).
В случае фильтрации газа скорость его течения в микроканалах можно считать «пу-азейлевской» и пользоваться соотношениями (28)-(30). Термодинамическое уравнение состояния идеального газа при постоянной температуре имеет вид
(29)
Р = ^ Р, Р,
(31)
Вследствие неоднородности коллектора для каждой группы капилляров диапазона г...(г+йт) будет существовать свой пороговый градиент, определяемый соотношением (29). Поэтому необходимо установить «глобальное» значение порогового градиента, которое отвечает переходу от линейного к нелинейному закону макроскопического фильтрационного течения. Для этого учтем особенности формирования структуры бесконечного кластера проводимости в решеточной модели пористой среды.
В скелете бесконечного кластера наименьшее гидравлическое сопротивление имеет гс-цепочка - цепочка с самым большим эффективным радиусом. Следовательно, именно в ней впервые произойдет нарушение линейного закона фильтрации.
Таким образом, минимальный пороговый градиент давления, ниже которого линейный закон фильтрации справедлив во всей пористой среде, однозначно определяется критическим радиусом гс:
где ра - плотность газа при атмосферном давлении Ра.
Стационарное распределение давления при плоскорадиальном фильтрационном потоке газа к скважине имеет вид
Р( Я) =
Р2 +-
Р1- Р2
1п
Якп Я„
1 Я
-1п—,
Я
(32)
где Я - расстояние от оси скважины; Рс - давление на забое скважины; Рк.п - давление на контуре пласта; Яс - радиус скважины; Як.п - расстояние от скважины до контура пласта (половина расстояния между скважинами).
Подставив формулу (31) в формулу (32), получаем распределение плотности в окрестности скважины:
р(Я) = р Р(Я).
а
Соответственно, уравнение (30) примет
вид
УР*( Я) =
Ц(гс) _ ц2
-СОШ1(Гс).
(33)
(30)
Поскольку расчет УР* сводится к вычислению коэффициентов 11(гс) и 12(гс), это дает
412 (гс) р( Я)
Уравнение (33) показывает распределение пороговых градиентов давления в окрестности скважины. На рис. 14 представлены
г, 10-6 м
Рис. 12. Порометрическая кривая, определенная по керну реального коллектора
8 5
4
9 10 г, 10-6 м
Рис. 13. Определение порогового градиента по критическому радиусу гс
8 18 т
С
о 16 14 12 10 8 6 4 2 0
— УР' — ур -
рс
X.
100
200
300
400
500
К, м
Рис. 14. Распределения градиентов давления и пороговых градиентов в окрестности газодобывающей скважины
3
2
1
0
0
0
распределения градиентов давления и их пороговых значений.
График показывает, что вдали от скважины градиенты давления значительно меньше критических градиентов. Это означает, что в данной области течение происходит по линейному закону. По мере продвижения флюида к скважине скорость фильтрации растет, и после пересечения штриховых и сплошных кривых газ уже течет по нелинейному закону. Также видно, что с уменьшением депрессии на пласт точка пересечения двух кривых сдвигается к скважине, т.е. зона фильтрации по нелинейному закону сужается.
Экспериментальные исследования
С целью верификации предложенной перко-ляционной модели и полученных на ее основе теоретических результатов проведен цикл экспериментальных исследований течений поляризованной жидкости и газа в различных пористых средах. Наиболее интересные с практической точки зрения вопросы - изучение движения электролитов при малых скоростях фильтрации и течения газа при больших скоростях фильтрации. На рис. 15 показан общий вид экспериментальной установки. Результаты экспериментов по исследованию течения поляризованной жидкости в пористой среде при низких скоростях фильтрации представлены на рис. 16.
Рис. 15. Общий вид экспериментальной установки для исследования течений поляризованной жидкости и газа в пористой среде
В рабочем элементе установки, имеющем секторальную геометрию для имитации радиального характера течения в окрестности скважины (верхняя часть установки, см. рис. 15), в качестве пористой среды использовался керновый материал, порометрическая кривая которого представлена ранее (см. рис. 12). В качестве цементирующей компоненты для создания однородного связного массива пористой среды была взята глина. Диаграммы, представленные на рис. 17, наглядно демонстрируют, что отклонение от закона Дарси тем сильнее, чем ниже скорость фильтрации.
Для изучения течения газа при больших скоростях естественно использовать крупно-поровый коллектор. Модель такого коллектора представляла собой случайную упаковку гранул одного диаметра ~ 1 мм (рис. 18).
Результаты эксперимента (рис. 19) показывают, что характерный градиент давления, при котором происходит переход от линейного закона фильтрации к нелинейному, составляет приблизительно 105 Па/м. Данные теоретических расчетов демонстрируют хорошее согласие с экспериментом: расчетные значения УР* (см. рис. 14) лежат в интервале (1,4...1,6)-105 Па/м.
10
з
т
- 9
О экспериментальные данные — теоретическая кривая, рассчитанная для наиболее вероятной порометрической кривой .... теоретические кривые, рассчитанные для порометрических кривых со стандартным отклонением от наиболее вероятной
/
/ /
/ У
///
Л / с
/у /
О / 1
№
Оа
50
100
150
200 250
УР, Па/м
Рис. 16. График зависимости скорости
фильтрации раствора электролита от приложенного градиента давления
0
Отклонение от закона Дарси, %
I-
щ
=р
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-45
-50
Рис. 17. Экспериментальное исследование течения поляризованной жидкости в пористой среде при низких скоростях фильтрации:
д = 2 мл/мин, |grad Р| = 130 Па/м (а); д = 7 мл/мин, |grad Р| = 190 Па/м (б)
I 9 * 8
7
6
5
4
3
2
1
0
/ / 4
О' / / X
""1 ~ 105 Па/м
о / /
о' / /
/
/
0
2 3
Р2„ - Р1,1011 бар2
Рис. 18. Калиброванные гранулы, используемые для засыпки в рабочий элемент установки при экспериментальных
исследованиях течения газа в пористой среде при высоких скоростях фильтрации
Рис. 19. Характерный предельный градиент (верхняя граница справедливости закона Дарси) при течении газа в крупнопоровом коллекторе
а
0
5
***
Таким образом, теоретические расчеты показывают, что игнорирование влияния ДЭС вносит погрешность в расчеты скорости течения жидкости по микроканалам в сотни процентов. Это ведет к значительному отличию эффективной вязкости течения в пористой среде д от классической вязкости капельной жидкости Ра, что подтверждается экспериментальными данными. Наибольшее влияние на течение жидкости ДЭС оказывает, когда средний электрокинетический радиус порового канала примерно равен 2.
Представленный метод определения граничных значений градиентов давления, в рамках которых для ньютоновских жидкостей справедлив линейный закон фильтрационного течения (закон Дарси), позволяет однозначно устанавливать величины пороговых градиентов по данным о структуре порового пространства (порометрической кривой пористого материала) и электрокинетическим характеристикам флюида - потенциале протекания, удельной электропроводности и диэлектрической проницаемости жидкости.
Результаты расчетов пороговых градиентов показали, что вблизи нулевых градиентов давления в крупнопоровых коллекторах нарушением закона Дарси, как правило, можно пренебречь, в то время как в тонкопоровых его необходимо учитывать. При высоких градиентах давления нелинейный характер зависимости в случае течения жидкости следует учитывать прежде всего в крупнопоровых породах, а при фильтрации газа - во всех породах.
Результаты опытов по фильтрации газа при высоких скоростях в насыпных моделях пород подтверждают теоретические расчеты, дающие для «верхнего» предельного градиента в крупнопоровых породах значение порядка 1 атм/м.
Эксперименты показали, что отклонения от линейного закона фильтрации при низких скоростях течения полярных жидкостей возникают, в зависимости от структуры порово-го пространства, в диапазоне градиентов от 0 до 103 Па/м, что подтверждает теоретический результат, полученный в рамках представленной перколяционной модели.
Список литературы
1. Кадет В .В. Перколяционный анализ гидродинамических и электрокинетических процессов в пористых средах / В.В. Кадет. -М.: Инфра-М, 2013. - 256 с.
2. Селяков В.И. Перколяционные модели процессов переноса в микронеоднородных средах / В.И. Селяков, В.В. Кадет. -
М.: 1 ТОПМАШ, 2006. - 247 с.
3. Фролов Ю.Г. Курс коллоидной химии: поверхностные явления и дисперсные системы: учеб. для вузов / Ю.Г. Фролов. - М.: Химия, 1982. - 400 с.
4. Григоров О.Н. Электрокинетические явления / О.Н. Григоров. - Л.: ЛГУ, 1973. - 199 с.
5. Гольдберг В.М. Проницаемость и фильтрация в глинах / В.М. Гольдберг, Н.П. Скворцов. -М.: Недра, 1986. - 160 с.
6. Pride S. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media / S. Pride // Phys. Rev. B. - 1994. - Т. 50. -
С. 15678-15696.
7. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии / Д.А. Фридрихсберг. - Л.: Химия, 1984. - 368 с.
8. Bear J. Dynamics of fluids in porous media /
J. Bear. - N.Y.: Dover publications, Inc., 1988. -764 с.
9. Дерягин Б.В. Поверхностные силы /
Б.В. Дерягин, Н.В. Чураев, В.М. Муллер. -М.: Наука, 1985. - 400 с.
10. Ермилов О.М. Физика пласта, добыча
и подземное хранение газа / О.М. Ермилов,
B.В. Ремизов, А.И. Ширковский и др. -М.: Наука, 1996.
11. Hunter R.J. Zeta potential in colloid science: Principles and applications / R.J. Hunter. -N.Y.: Academic Press, 1981. - 125 с.
12. Ren L. Interfacial electrokinetic effects on liquid flow in microchannels / L. Ren, W. Qu, D. Li // J. Heat and Mass Transfer. - 2001. - Т. 44. -
C. 3125-3134.
13. Ren L. Electro-viscous effects on liquid flow in microchannels / L. Ren, W. Qu, D. Li //
J. Colloid. Interf. Sci. - 2001. - Т. 233. -С. 12-22.
14. Xuan X. Analysis of electrokinetic flow
in microfluidic networks / X. Xuan, D. Li // J. Micromech. Microeng. - 2004. - Т. 14. -С. 290-298.
15. Добрынин В.М. Промысловая геофизика / В.М. Добрынин, Б.Ю. Вендельштейн,
Р.А. Резванов и др. - М.: Нефть и газ, 2004. -400 с.
16. Добрынин В.М. Петрофизика / В.М. Добрынин, Б.Ю. Виндельштейн, Д.А. Кожевников. -
М.: Недра, 1991. - 368 с.
17. Элланский М.М. Влияние минерализации пластовой воды на остаточную водонасы-щенность глинистых терригенных пород / М.М. Элланский, Г.О. Рынская, Т.А. Дмитриева и др. - М.: ВИНИТИ, 1987. - 17 с.
18. Шестаков В.М. Динамика подземных вод /
B.М. Шестаков. - М.: МГУ, 1973. - 328 с.
19. Гавич И.К. Гидрогеодинамика / И.К. Гавич. -М: Недра, 1988. - 352 с.
20. Арье А.Г. Физические основы фильтрации подземных вод / А.Г. Арье. - М.: Недра, 1984.
21. Бондаренко Н.Ф. Физика движения подземных вод / Н.Ф. Бондаренко. - Л.: Гидрометеоиздат, 1973.
22. Березкина Г.М. К вопросу изменения водопроницаемости связанных грунтов
от градиента напора / Г.М. Березкина // Вестн. МГУ Сер. IV. Геол. - 1965. - № 1. - С. 41-52.
23. Скворцов Н.П. Экспериментальные исследования процесса фильтрации в глинах / Н.П. Скворцов. - М.: АН СССР, 1979. -
C. 25-31.
24. Демин Н.В. О зависимости проницаемости среды от градиента давления / Н.В. Демин,
Ю.П. Кисяков, В.Т. Морозова. - Нефтяное хозяйство. - 1966. - № 12. - С. 25-33.
25. Кадет В.В. Закон течения вязкопластической жидкости в пористой среде с учетом инерционных потерь / В. В. Кадет,
Д.Г. Полонский // Изв. РАН. МЖГ. - 1999. -№ 1. - С. 68-73.
26. Павловский Н.Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями
и ее основные приложения / Н.Н. Павловский // Павловский Н.Н. Собр. соч. в 2 т. Т. 2: Движение грунтовых вод / Н. Н. Павловский. -М.-Л.: Акад. наук СССР, 1956.
27. Щелкачев В.Н. Подземная гидравлика / В.Н. Щелкачев, Б.Б. Лапук. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 736 с.
28. Котяхов Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов / Ф.И. Котяхов. - М.: Недра, 1977.
29. Абдулвагабов А.И. О законе движения жидкостей и газов в пористой среде /
A.И. Абдулвагабов // Изв. вузов. Нефть и газ. -1961. - № 4. - С. 83-91.
30. Кадет В.В. Электроосмотическое течение в тонких щелях. Теория и эксперимент /
B. В. Кадет, П.С. Корюзлов // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. -№ 5. - С. 90-94.
Percolation analysis of principals for hydrodynamic simulation of oil and gas fields development
V.V. Kadet1*, P.S. Chagirov1
1 National University of Oil and Gas «Gubkin University», Bld. 1, Estate 65, Leninskiy porospekt, Moscow, 119991, Russian Federation * E-mail: kadet.v@gubkin.ru
Abstract. Percolation modelling of a Newtonian liquid flow in a porous medium and its experimental validations are presented. Micro-level analysis of the flow provided a macro law of filtration, as well as the critical values of pressure gradients, which determined the limits of Darcy's law applicability. Correlation between the parameters of the medium and the values of the threshold gradients is also studied. It is shown that in case of large pressure gradients the Darcy's law works well in the thin-pore reservoirs, and is violated within the whole range of gradients in the big-pore reservoirs; but in case of small pressure gradients the linear filtration law is true only for big-pore rocks.
The article describes the procedures and the results of the laboratory experiments on gas filtration at high velocities, and on liquid filtration at low velocities. The theoretical calculations are in a good agreement with the experimental data.
Keywords: Newtonian liquid, flow in a porous media, percolation modelling, Darcy's law, laboratory experiment. References
1. KADET, V.V. Percolation analysis of hydrodynamic and electrokinetic processes in porous media [Perkolyatsionnyy analiz gidrodinamicheskikh i elektrokineticheskikh protsessov v poristykh sredakh]. Moscow: Infra-M, 2013. (Russ.).
2. SELYAKOV, V.I., V.V. KADET. Percolation models of transfer processes in microheterogeneous media [Perkolyatsionnyye modeli protsessov perenosa v mikroneodnorodnykh sredakh]. Moscow: 1 TOPMASh, 2006. (Russ.).
3. FROLOV, Yu.G. Course of dispersoidology: surface phenomena and dispersoid systems [Kurs kolloidnoy khimii: poverkhnostnyye yavleniya i dispersnyye sistemy]: textbook for universities. Moscow: Khimiya, 1982. (Russ.).
4. GRIGOROV, O.N. Electrokinetic phenomena [Elektrokineticheskiye yavleniya]. Leningrad: Leningrad state University, 1973. (Russ.).
5. GOLDBERG, V.M., N.P. SKVORTSOV. Permeability and filtration in clays [Pronitsayemost i filtratsiya v glinakh]. Moscow: Nedra, 1986. (Russ.).
6. PRIDE, S. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media. Phys. Rev. B. 1994, vol. 50, pp. 15678-15696. ISSN 1098-0121.
7. FRIDRIKHSBERG, D.A. Course of dispersoidology [Kurs kolloidnoy khimii]. Leningrad: Khimiya, 1984. (Russ.).
8. BEAR, J. Dynamics of fluids in porous media. N.Y.: Dover publications, Inc., 1988.
9. DERYAGIN, B.V., N.V. CHURAYEV, V.M. MULLER. Surface forces [Poverkhnostnyye sily]. Moscow: Nauka, 1985. (Russ.).
10. YERMILOV, O.M., V.V. REMIZOV, A.I. SHIRKOVSKIY et al. Petrophysics, production and underground storage of gas [Fizika plasta, dobycha i podzemnoye khraneniye gaza]. Moscow: Nauka, 1996. (Russ.).
11. HUNTER, R.J. Zeta potential in colloid science: Principles and applications. N.Y.: Academic Press, 1981.
12. REN, L., W. QU, D. LI. Interfacial electrokinetic effects on liquid flow in microchannels. J. Heat and Mass Transfer. 2001, vol. 44, pp. 3125-3134. ISSN 0017-9310.
13. REN, L., W. QU, D. LI. Electro-viscous effects on liquid flow in microchannels. J. Colloid. Interf. Sci. 2001, vol. 233, pp. 12-22. ISSN 0021-9797.
14. XUAN, X., D. LI. Analysis of electrokinetic flow in microfluidic networks. J. Micromech. Microeng. 2004, vol. 14, pp. 290-298. ISSN 0960-1317.
15. DOBRYNIN, V.M., B.Yu. VENDELSHTEYN, R.A. REZVANOV et al. Petroleum geophysics [Promyslovaya geofizika]. Moscow: Neft i Gaz, 2004. (Russ.).
16. DOBRYNIN, V.M., B.Yu. VENDELSHTEYN, D.A. KOZHEVNIKOV. Petrophysics [Petrofizika]. Moscow: Nedra, 1991. (Russ.).
17. ELLANSKIY, M.M., G.O. RYNSKAYA, T.A. DMITRIYEVA et al. Effect of fossil water mineralization to residual water saturation of terrigenous rocks [Vliyaniye mineralizatsii plastovoy vody na ostatochnuyu vodonasyshchennost glinistykh terrigennykh porod]. Moscow: VINITI, 1987. (Russ.).
18. SHESTAKOV, V.M. Dynamics of subsoil waters [Dinamika podzemnykh vod]. Moscow: Moscow state University, 1973. (Russ.).
19. GAVICH, I.K. Gidrogeodynamics [Gidrogeodinamika]. Moscow: Nedra, 1988. (Russ.).
20. ARYE, A.G. Physical principals of filtration of subsoil waters [Fizicheskiye osnovy filtratsii podzemnykh vod]. Moscow: Nedra, 1984. (Russ.).
21. BONDARENKO, N.F. Physics of subsoil water transfer [Fizika dvizheniya podzemnykh vod]. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1973. (Russ.).
22. BEREZKINA, G.M. To changing of water saturation of binder soils depending on gradient of the fall head [K voprosy izmeneniya vodopronitsayemosti svyazannykh gruntov ot gradiyenta napora]. Vetnik Moskovskogo Universiteta. Series. IV. Geology. 1965, no. 1, pp. 41-52. ISSN 0145-8752. (Russ.).
23. SKVORTSOV, N.P. Experimental studies of filtration in clays [Eksperimentalnyye issledovaniya protsessa filtratsii v glinakh]. Moscow: Akademiya Nauk SSSR, 1979, pp. 25-31. (Russ.).
24. DEMIN, N.V., Yu.P. KISYAKOV, V.T. MOROZOVA. About dependency of medium's permeability from the gradient of pressure [O zavisimosti pronitsayemosti sredy ot gradiyenta davleniya]. Neftyanoye Khozyaystvo. 1966, no. 12, pp. 25-33. ISSN 0028-2448. (Russ.).
25. KADET, V.V., D.G. POLONSKIY. A law of viscoplastic liquid flowing in a porous medium with account of inertial losses [Zakon techeniya vyazkoplasticheskoy zhidkosti v poristoy srede s uchetom inertsionnykh poter]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika Zhidkosti i Gaza. 1999, no. 1, pp. 68-73. ISSN 0568-5281. (Russ.).
26. PAVLOVSKIY, N.N. Theory of groundwater flowing under hydraulic structure, and its main application [Teoriya dvizheniya gruntovykh vod pod gidrotekhnicheskimi sooruzheniyami i eye osnovnyye prilozheniya]. In: PAVLOVSKIY, N.N. Collected edition in 2 vols. Vol. 2: Groundwater transfer [Dvizheniye gruntovukh vod]. Moscow-Leningrad: Akademiya nauk SSSR, 1956. (Russ.).
27. SHCHELKACHEV, V.N., B.B. LAPUK. Subsoil hydraulics [Podzemnaya gidravlika]. Izhevsk: NITs "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika", 2001. (Russ.).
28. KOTYAKHOV, F.I. Physics of oil and gas reservoirs [Fizika neftyanykh i gazovykh kollektorov]. Moscow: Nedra, 1977. (Russ.).
29. ABDULVAGABOV, A.I. On a law of liquids and gases transfer in a porous medium [O zakone dvizheniya zhidkostey i gazov v poristoy srede]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Neft i Gaz. 1961, no. 4, pp. 83-91. ISSN 0445-0108. (Russ.).
30. KADET, V.V., P.S. KORYUZLOV. Electroosmotic flow in the narrow slits. Theory and experiment [Elektroosmoticheskoye techeniye v tonkikh shchelyakh. Teoriya i eksperiment]. Prikladnaya Mekhanika i Tekhnicheskaya Fizika. 2009, no. 5, pp. 90-94. ISSN 0869-5032. (Russ.).
