CC BY
7УДК 531.72:519.8
Моделирование движения частиц газа в пористой среде при периодическом
воздействии на границу среды
В.А. Галкин1, Д.А. Быковских1, Т.В. Гавриленко1, А.О. Дубовик1
1 «Сургутский государственный университет», val-gal@yandex.ru, dmitriy.bykovskih@gmail.com, taras.gavrilenko@gmail.com, alldubovik@gmail.com
В работе представлена математическая модель невзаимодействующих частиц, которые отражаются от областей (стенок) произвольной геометрии. На основе этой модели разработан программный комплекс, использующий параллельные алгоритмы, написанные на языке высокого уровня. Разработанный программный комплекс позволяет визуализировать динамику распределения частиц. Результаты вычислительных экспериментов модели пористой среды с осциллирующей стенкой показывают, что наличие осциллятора приводит к внутреннему изменению температуры пористой среды.
Ключевые слова: идеальный газ, параллельные вычисления, модель пористой среды.
Gas Particle Motion Modeling in Porous Medium with Periodic Impact at the Medium Boundary
V.A. Galkin, T.V. Gavrilenko, D.A. Bykovskikh, A.O. Dubovik
Surgut State University, val-gal@yandex.ru, dmitriy.bykovskih@gmail.com, taras.gavrilenko@gmail.com,
alldubovik@gmail.com
The paper presents a mathematical model of non-interacting particles being reflected from the areas (walls) of arbitrary geometry. A software package with a parallel algorithm has been developed. Using this software, we can visualize the evolution of particle distribution. The simulation results of the porous medium with an oscillating wall causes the porous medium temperature variations.
Keywords: ideal gas, parallel computing, porous media model.
Введение
Работа посвящена построению управляемой модели пласта [1], основанной на использовании статистических оценок, определяющих гидродинамические параметры течения жидкости или газа в элементарных объемах. Важным аспектом этой модели является возможность исследования резонансных явлений, характерных для модели Улама, связанной с ускорением частицы, взаимодействующей с осциллирующими стенками [2, 3].
Математическая модель
В работе представлена модель идеального одноатомного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц [4-8]. Каждая частица газа движется по своей траектории (закон прямолинейного движения) и абсолютно упруго отражается от движущихся границ (закон зеркального отражения). Каждая граница представляет собой гладкую поверхность твердого тела, определенную в пространстве и движущуюся со скоростью u(t) .
Вычисление скорости (и направления) частицы, в момент ее столкновения с границей, у которой скорость движения не равна нулю, определяется формулами ниже:
vj 1 - Ut ,
v?) = vj 1 - 2n(v'j 1,п),
vu=vt + ut,
где u - скорость движения границы; n - нормаль.
Таким образом необходимо сначала перейти в другую систему отчета, в которой движущаяся граница становится неподвижной [9]. Далее необходимо выполнить закон зеркального отражения, а затем вернуться назад к системе отчета, связанной с наблюдателем.
Траектория движения частицы, отражающаяся от движущейся границы, является кусочно-линейной функцией, а вектор скорости состоит из набора векторов:
4Г > = Л> + X ++ - V,
-2н([у% -Щ],н>, гг <г* <г2
$ = + -2п([+ -щ],и>, г.<г*<г]+1
$ = ^ -2п([у(1-1 -Щ],п>, К <г* < гк+1
где - моменты времени, в которых частица взаимодействует с
границей; ^ - текущий момент времени; (- ^ ( = А1 - одна итерация (шаг по времени); к
- количество столкновений частицы с границами.
Алгоритм
Модель идеального газа - дискретная система, состоящая из статистически большого числа частиц. Поскольку частицы не взаимодействуют друг с другом, и их столкновение с границей не влияет на траекторию движения границы, поэтому расчет каждой траектории частицы можно производить независимо.
Алгоритм условно делится на следующие этапы:
1. Задание начальных условий.
2. Вычисление нового местоположения частиц с учетом движения границ.
3. Перемещение границ.
4. Вычисление макроскопических характеристик.
5. Визуальное представление частиц и границ.
На 1-м этапе устанавливаются параметры для частиц и границ. Этапы 2-5 представляют собой одну итерацию (один шаг по времени), из которых последние 2 этапа при необходимости могут быть пропущены. На 2-м этапе происходит вычисление расчета траектории частицы. На 3 -м этапе происходит вычисление нового местоположения для каждой границы в соответствии с заданным шагом по времени.
Моделирование и анализ результатов
Далее приводится серия различных тестов с одинаковым количеством М = 106 частиц, расположенных равномерно по всей замкнутой области в начальный момент времени (1 = 0). Скорость частиц одинакова (V( = 1, а их векторы направления определяются
случайным образом с равномерным распределением.
Границы определяются с помощью аналитических уравнений. Осциллирующие границы движутся по пилообразному закону. Функция скорости имеет ступенчатый вид и представлена ниже:
и0, к • Дt •[ t *] = 0
1-и0, к • Дt •[ t *] = 1
п(Х) =
где щ - скорость границы, заданная в начальный момент времени; к -дополнительный параметр, эквивалентный числу итераций, после которого происходит изменение вектора скорости; [ X *] - целая часть от текущего момента времени (1;*> 0 ).
Тест 1. Модель сжимающегося куба, который наполнен газом (рис. 1). Одна из стенок куба движется (и = 0.08) к центру куба, уменьшая его первоначальный объем ( V = 1) в 2 раза. Процесс является адиабатическим (рис. 2).
1 4
Рис. 1. Модель сжимающегося куба: слева - 1 = 1; справа - t = 5
I V
Рис. 2. Модель сжимающегося куба: слева - изменение температуры с течением времени; справа - график адиабаты
Сравнительный анализ графиков (рис. 2) демонстрирует выполнение соотношения Клапейрона-Менделеева для идеального газа.
Тест 2. Модель пористой среды с осциллирующей стенкой. Вычислительные эксперименты проводились с различным наполнением рассеивающих центров: пустая область (рис. 3), равномерный порядок расположения (рис. 4), смещенный порядок (рис. 5).
Параметры моделирования: At = 0.001, \щ\ = 2, к = 1.
Графики изменения температуры в замкнутой области с различным наполнением рассеивающих центров представлены на рис. 3, 4, 5 (справа), а изменения температурных полей с течением времени на рис. 6, 7, 8 соответственно.
Рис. 3. Модель пористой среды с осциллирующей стенкой: слева - расчетная область; справа - график изменения температуры с течением времени
Рис. 4. Модель пористой среды (равномерный порядок расположения рассеивающих центров) с осциллирующей стенкой: слева - расчетная область; справа - график изменения
температуры с течением времени
Рис. 5. Модель пористой среды (смещенный порядок расположения рассеивающих центров) с осциллирующей стенкой: слева - расчетная область; справа - график изменения
температуры с течением времени
t = 4 t = 5
Рис. 6. Изменение температурного поля с дополнительным построением изоповерхности, перпендикулярной оси Y, в различные моменты времени
г = 4 1 = 5
Рис. 7. Изменение температурного поля с дополнительным построением изоповерхности, перпендикулярной оси Y, в различные моменты времени
t = 4 t = 5
Рис. 8. Изменение температурного поля с дополнительным построением изоповерхности, перпендикулярной оси Y, в различные моменты времени Заключение
Разработан программный комплекс, предназначенный для моделирования отражения невзаимодействующих частиц от областей (стенок) произвольной геометрии. Комплекс позволяет визуализировать динамику распределения частиц. Результаты вычислительных
экспериментов показывают, что наличие осциллятора приводит к внутреннему изменению температуры пористой среды.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 15-41-00013, № 15-41-00059, № 15-41-00034.
Литература
1. Betelin V.B., Galkin V.A. Control of Incompressible Fluid Parameters in the Case of Time-Varying Flow Geometry // Doklady Mathematics, 2015, v.92, №1, p. 511-513.
2. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems. Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955.
3. Наплеков Д.М., Тур А.В., Яновский В.В. Минимальная модель ускорения Ферми // Журнал технической физики. 2010, т. 80, № 5.С. 11-22.
4. Галкин В.А. Анализ математических моделей. Системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009, 408 с.
5. Берд Г. Молекулярная газовая динамика / пер. с англ. А.И. Ерофеева и др.; под ред. О.М. Белоцерковского, М.Н. Когана. М.: Мир, 1981, 319 с.
6. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана / пер. с англ. Э.А. Гурмузовой и др.; под ред. Р.Г. Баранцева. М.: Мир, 1978, 496 с.
7. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов / пер. с англ. В.С. Галкина, В.А. Перепухова, О.Г. Фридлендера; под ред. М.Н. Когана. М.: Мир, 1973, 243 с.
8. Галкин В.А., Гавриленко Т.В., Быковских Д.А. Управление динамикой невзаимодействующих частиц в плоской области // Вестник кибернетики. Сургут: Изд-во СурГУ, 2015, №3(19), С. 148-159.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М. Механика. М.: Наука, 1965. 204 с.
