CC BY
25Ферромагнитный резонанс в пластине конечных размеров
Резонансные свойства ферромагнетиков существенно зависят от магнитостатической энергии, обусловленной конечностью размеров образца, расчет которой является сложной задачей. Первые работы в этом направлении [1-4] были посвящены наиболее простым формам в виде эллипсоида. В [4], кроме того рассматривалось колебание доменной границы (ДГ). Размагничивающие факторы выбирались как для однородно намагниченного эллипсоида. Доменная структура (ДС) учитывалась усреднением намагниченности по периоду. Эти расчеты качественно объясняли экспериментальные данные [4]. Однако необходимы более строгие модели для расчета магнитостатической энергии. Последующие уточнения [5-6] выполнялись с использованием результатов Киттеля и др. [7,8], в работах которых были получены формулы для пластины конечной толщины Ь и бесконечной в поперечных направлениях. Эти выражения в виде рядов Фурье приводят в ряде случаев к проблемам в количественных расчетах и не всегда наглядны для физической интерпретации.
В данной работе используются формулы для энергии, полученные в [9], где не требуется вычислять Фурье компоненты. Выражения для рядов сворачиваются в элементарные функции (см. справочник Рыжика и Градштейна, стр.56), и магнитостатическая энергия принимает простой вид (в приближении нулевой толщины ДГ, в системе СИ):
с полосовой доменной структурой
Мальгинова С. Д., (sdm@anrb.ru ), Шульга Н. В., Дорошенко Р. А.
Институт физики молекул и кристаллов УНЦ РАН.
Ет (£,у) = с + ЬУ(^у);
(1)
Ь
сН(2&) -1
У(£,у) = 8^/п2 \ (1 - Г)1п(
ск(2^) - соз(2п1/)
(2)
0
2 2
где %=яЬ/Л, V=d/X. й-размер одного из доменов в периоде X, с= Мп , Ь=(АМп/2) -
(АМф/2) , АМп и АМТ- скачки проекций намагниченности через ДГ, п - нормаль к поверхности пластины, а ось ф перпендикулярна поверхности ДГ. Эти выражения являются обобщением формул работы [9] для у=1/2 и приведенных в [10] для частного случая, когда намагниченность в домене перпендикулярна поверхности пластины.
Функция V) представляет размагничивающий фактор ДГ, который в
работах [3-4] постоянен и равен 4п.
Формулы (1-2) мы применяем для магнитостатической энергии прямоугольного параллелепипеда конечных размеров в виде трех слагаемых, соответствующих трем парам параллельных граней. Т. к. поперечные размеры пластин конечны, то в этом приближении вклад каждой из них в энергию берётся пропорционально их размерам. Коэффициенты этой линейной комбинации можно взять в виде размагничивающих факторов однородно намагниченного эллипсоида с главными осями, равными длинам ребер параллелепипеда.
В настоящей работе были вычислены частоты ферромагнитного резонанса на примере многоосного кристалла с отрицательными 1-й и 2-й константами анизотропии аналогично работам [3-4]. Минимуму энергии анизотропии в этом случае соответствуют направлениям намагниченности М по пространственным диагоналям. Если магнитное поле направлено по биссектрисе угла между ними, то может возникнуть полосовая ДС, у которой нормаль к плоскости ДГ параллельна полю (это соответствует углу а=90 градусов в работе [4]). Был выбран прямоугольный параллелепипед, одна из граней которого образована этими диагоналями (нормаль к ней образует ось х), а вторая перпендикулярна биссектрисе (ось z). Кроме уточненных выражений для магнитостатической энергии была учтена энергия доменной границы удг, и рассчитывался равновесный размер домена й. Формулы для частот имеют вид, аналогичный [4]:
2
I 2
ш1 1,2 уу1,2
2
+ ШДг2 +. (Ш|2 - ШДг2)2 + 4С
п
(3)
2тДДг dsin2в
2
кг
М
4лС
sinв
- даёт высокочастотную ветвь без учета колебаний ДГ.
Шдг =
а>дг cosв
уV
д-1 N у 0
2 2
т дг й
- относительная частота колебаний ДГ, (4)
А = 2(Ев1 в1 +Ев1 в2 )=^2в^т2в - 2-Згсоэ2#(2 cos2 в -1)]
Дг
-д-1(VxNx 0cos2в + N cos2в + УУЫУ 0) + #в,
В = 2(Ев1в1-Бв1в2)=^2в 9sin2в - 2-31-^2в(2^2 в-1)] + 0 _1^2в( N - ИУ )
У
Дг
-/ив,
й (5)
С = 2(Е9,19,1+Е^2)=зт2в 5sin2в-2+гетв(1-^2в/2)]+0-^т2в^х0-КУ)
Тх0^УЛ
удг
++/ив,
D=2(Eда1да1-Eда1да2)=sin2в[5sin2в -2+гетв(1-^2в/2)]+0~^т2в(#х-NУ) + + #в,
Дг
п=2Е^ = д_1УУКу(^т2в - 7
Дг
Угол между намагниченностью и полем в каждом домене равен п- в. К — модуль 1-й константы анизотропии, г = К/\К2\ К2 - 2-я константы анизотропии.. у - гиромагнитное отношение, тДг - масса ДГ, соДГ - частота колебаний ДГ, 0=К/2пМ — фактор качества.
Энергия Е является суммой энергии анизотропии с учётом 1-й и 2-й констант, энергии в магнитном поле, магнитостатической энергии, и энергии ДГ. Размагничивающие факторы N пластин равны: N =(1+У )№ , (1=х,У,), где №, N =№° — размагничивающие факторы однородно намагниченного эллипсоида. Нижние значки в правых частях выражений (4-5) означают взятие соответствующих производных.
На рисунках для некоторых образцов приведены частоты, вычисленные по этим формулам после получения на ЭВМ равновесного состояния (в
1
итерационном процессе для достижения заданной степени точности магнитостатической энергии и энергии доменной границы [11]). Частота колебаний (оДг последней не учитывалась ввиду недостатка данных по ее эффективной массе.
Рис. а-г. Разности между энергиями доменных структур с неелевскими (К) (блоховскими (В) ) доменными границами и однородным состоянием, (К-В) - между энергиями структур неелевского и блоховского типа.
Рис. д-з. Относительные частоты ферромагнитного резонанса (в тех же единицах, что в [2]).
Фактор качества на рис. а, б, д, е равен 0.15, на рис. в, г, ж, з- 0.05. а, в, д, ж -квадратная пластина толщиной 120005 и стороной в 16 раз больше толщины. На рис. б, г, е, з- куб с ребром 1200005. И- величина магнитного поля в единицах поля анизотропии. 5-эффективная толщина доменной границы.
Рисунки е и з (нижний ряд) для куба соответствуют работе Артмана [3]. На них, в отличие от [3], низкочастотные ветви не доходят до оси абсцисс. Так же и в высокочастотной ветви имеется разрывный переход на ветвь насыщения (на продолжение пунктирной линии - точка Р]. На рисунках е и з эти скачки не заметны, но о них свидетельствуют расчеты: угол вектора намагниченности с полем в момент перехода в насыщение (т.е. когда намагниченность параллельна
полю) составляет выше 2 градусов (в зависимости от параметров образца). Это означает, что вблизи этих полей доменная структура неустойчива, и переход из многодоменного в однородное состояние происходит скачком. Математически это следует из достаточных условий минимума энергии (из производных по ширине домена, что не учитывалось в [3,4]). Об аналогичном скачке упоминается в работах [12,13].
Для других форм образца, приведенных на рис. д и ж, скачки в состояние насыщения тоже есть, но в меньшей степени. Эти рисунки относятся к пластине с неравными сторонами, в отличие от работы [4], где рассматривался эллипсоид вращения. На д и ж видно различие частот для доменных структур с блоховскими (В) и неелевскими (К) границами (небольшое раздвоение линий, особенно низкочастотных). В реальности осуществляется та, которой соответствует структура с меньшей энергией (см. рис. а,б,в,г - верхний ряд).
Таким образом описанная выше математическая модель линейной комбинации энергий пластин из граней параллелепипеда с полосовой доменной структурой с коэффициентами, которые равны размагничивающим факторам вписанного в него однородно намагниченного эллипсоида, дает зависимости частот ферромагнитного резонанса от поля, согласующиеся с результатами работ [3,4], где размагничивающие факторы выбираются как для однородно намагниченного эллипсоида, а намагниченность вычисляется средней по периоду. Предложенная модель дает возможность учитывать энергию доменных границ и рассчитывать размер домена как функции материальных и геометрических параметров пластин конечных размеров. Это позволяет в частности уточнить поведение намагниченности вблизи насыщения (скачки), выделить границы разного типа (неелевские и блоховские). Если учесть конечность толщины ДГ в магнитостатической энергии, то эти эффекты могут быть более заметны.
ЛИТЕРАТУРА
1 Nagamia T. Prog. Teor. Phys., 10, 72, 1953.
2 Smith , Beljer H.G. Phylips Res. Rep., 10, 113,1955.
3 Arthman J.O., Phys. Rev., v. 105,62,1957.
4 Дудкин В.И., Пильщиков А.И. ЖЭТФ, 52, 677,1967, (см. сборник "Магнитные и кристаллохимичкские исследования ферритов", М., МГУ,1971,стр 269.
5 Arthman J.O., Charap S.H. J. Appl. Phys., 49, 1587, 1978.
6 Rames N.T., Ren E.W., Arthman J.O.,Kryder V.H., 64, 5483, 1988.
7 Киттель Phys. Rev., 70,965,1946.
8 Kaczer J., Murtinova L., Phys. Stat. Solidi(a), 23,79,1974.
9 Мальгинова С.Д. ФММ. 1998. V.85. №5. C.21-27.
10 Кандаурова Г.С., Оноприенко Л.Г. Основные вопросы теории магнитной доменной структуры. Свердловск, 1977, 122с.
11 Мальгинова С.Д., Дорошенко Р.А. В межвуз. науч. сб. "Структурные и динамические эффекты в упорядоченных средах", Уфа, БашГу, 2001, стр153.
12 Игнатченко В.А. Дегтярёв И.В., Захаров Ю.В. Изв. А.Н. СССР, сер. физическая, 25,2, 1439,1961.
13 Филлипов Б.Н., Лебедев Ю.Г., Оноприенко Л.Г., ФММ, 36, ,703,1974.
