CC BY
0
— ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА —
Феноменологические модели фазовых переходов с многокомпонентными взаимодействующими параметрами порядка: построение и классификация
методами теории особенностей
С. В. Павлов1' *
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра общей физики и физики конденсированного состояния. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 29.02.2024; после доработки 27.03.2024; подписана в печать 01.04.2024)
Построены феноменологические модели фазовых переходов для двух взаимодействующих параметров порядка — однокомпонентного и двухкомпонентного. Построение проводилось исходя из числа управляющих параметров, зависящих от внешних термодинамических условий, методами эквивариантной теории катастроф (теории особенностей), учитывающей симметрию параметров порядка. Проведена классификация феноменологических моделей по числу управляющих параметров. Построены фазовые диаграммы моделей и рассчитана теоретическая температурная зависимость теплоемкости, которая показала удовлетворительное качественное соответствие с экспериментальной зависимостью в кристалле эльпасолита КЪгЮпРб.
РЛОЯ: 77.80.Bh. УДК: 537.9.
Ключевые слова: фазовые переходы, феноменологическая модель, взаимодействующие параметры порядка, теория катастроф, эквивариантные векторные поля, эльпасолиты.
БОТ: 10.55959/МЯи0579-9392.79.2430501
ВВЕДЕНИЕ
Многие перовскитоподобные кристаллы ABX3, ABX4 и A3BX6 испытывают два или три последовательных фазовых перехода (ФП). Это обусловлено поворотами октаэдрических групп, приводящих с понижением симметрии к появлению сегнетоэлектрических и/или сегнетоэластических свойств.
Нарушение симметрии, называемое «наклонным или вращательным искажением» октаэдров, экспериментально наблюдается в кристаллах перовскита типа ABX3 [1]. Типичным представителем этих соединений является трихлор-ат цезия свинца CsPbCl3, в котором была обнаружена последовательность трех ФП [2]: Oh(Pm3m) ^ D5h (P4/mbm) ^ D^ (Cmcm) ^ ^ C2h(P2i/m). Теоретико-групповой анализ [3] с применением метода эффективного потенциала [4] показал, что термодинамический потенциал зависит от инвариантов двух взаимодействующих параметров порядка (ПП): однокомпонентного отвечающего мягкой моде Д25, и двухкомпонентного (ni П2), соответствующего моде M3. Целый рациональный базис инвариантов (ЦРБИ) состоит из трех инвариантов: I1 = п2 + п!,12 = П2П2,1з = С2 и соответствует группе составного ПП (L-группе [4] или I-группе [5]) L = D4h.
Соединения с кристаллической структурой типа эльпасолита A+ B3+C+Иа1б (A и C — одновалентные металлы; B — трехвалентные металлы;
* E-mail: swcusp@mail.ru
Hal — F, Cl, Br, I) с пространственной группой Oh (Fm3m) имеют широкое практическое применение в качестве лазерных [6], магнитных [7] и полупроводниковых материалов. Большинство кристаллов семейства испытывают последовательные ФП в тетрагональную, а затем в орторомбиче-скую или моноклинную сингонии. Теоретико-групповой анализ показывает [8], что последовательные ФП Oh(Fm3m) ^ C4h(I4/m) ^ C5h(P2i/c) индуцируются по неприводимым представлениям (НП) тд высокосимметричной фазы Г-точки и X-точки зоны Бриллюэна с волновыми векторами кц = 0 и kio = (bi + b2)/2 соответственно. При этом по тд (к11) индуцируется ФП из высокосимметричной фазы в тетрагональную с возникновением компоненты (£00) трехкомпонентного ПП, НП тд(кю) ассоциируется с ФП в моноклинную сингонию с возникновением двух компонент (П1П2ОООО) шестиком-понентного ПП. Применение метода эффективного потенциала [4] позволяет сделать вывод, что эта последовательность ФП описывается неравновесным термодинамическим потенциалом, зависящем от тех же трех базисных инвариантов, что и трихлорат цезия свинца.
Целью настоящей работы является построение, исследование и классификация феноменологических моделей, описывающих последовательности ФП в перовскитоподобных соединениях с группой симметрии ПП L = D^h с использованием методов эквивариантной теории катастроф (теории особенностей), а также сопоставление теоретических и экспериментальных температурных зависимостей теплоемкости в кристаллах.
1. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Феноменологические модели последовательных ФП с группой симметрии ПП Ь = В^ исследовались в работах [1, 3, 9-13]. При этом использовался традиционный метод построения — разложение неравновесного термодинамического потенциала Ф(/1,/2,/з) в ряд по степеням ПП, точнее, по степеням базисных инвариантов с учетом степеней всех ПП до четвертой [9], шестой [3, 10-12], восьмой [13] и десятой [1] степеней. Такой метод корректно применим только для одного однокомпо-нентного ПП: учет членов четвертой степени описывает ФП второго рода, добавление члена шестой степени позволяет описать ФП первого рода и приводит к появлению на фазовой диаграмме трикри-тической точки. В разложении до восьмой и более высоких степеней однокомпонентного ПП на фазовой диаграмме добавляются линии изоструктур-ных ФП, оканчивающиеся концевыми критическими точками типа жидкость-пар [4, 5].
Применение этого метода для многокомпонентных и взаимодействующих ПП может привести к потере структурной устойчивости модели — появлению линий безгистерезисных ФП первого рода [5] или линий изоструктурных ФП, не оканчивающиеся критической точкой типа жидкость-пар [14] и т.д. Для устранения подобных парадоксальных, нефизичных результатов учитываются члены более высокого порядка в разложении термодинамического потенциала (см., напр., [5]). Однако такой путь приводит, вообще говоря, к качественно новой феноменологической модели с другой топологией фазовой диаграммы и ни в коей мере не устраняет парадоксов, возникших в ранее исследуемой модели.
Подход, основанный на применении методов теории особенностей (теории катастроф) имеет ряд преимуществ. Во-первых, он не требует малости ПП. Во-вторых, модели, построенные этими методами, являются структурно устойчивыми. Это означает адекватное описание физических свойств системы вблизи точки ФП при заданном числе управляющих параметров, а также гарантирует от появления нефизичных, структурно неустойчивых результатов. В-третьих, феноменологические коэффициенты в моделях разделяются на два типа: управляющие параметры, зависящие от внешних термодинамических условий (температуры, давления, хим-потенциалов примесей и др.), и так называемые модули, которые не зависят от внешних условий на термостате и только определяют топологию фазовой диаграммы модели. Варьирование модулей может привести к нефизичным результатам, как уже отмечалось выше. Наконец, в-четвертых, этот метод позволяет классифицировать феноменологические модели по числу управляющих параметров для каждой конкретной ¿-группы. В общих чертах задачу построения феноменологических моделей методами теории катастроф можно изложить следующим образом.
Пусть дана некоторая система, на которую, вообще говоря, могут быть наложены условия симметрии. Свойства системы описываются гладкой функцией явный вид которой неизвестен, но известно, что функция зависит от п переменных (ПП) и т внешних параметров, варьируемых в эксперименте. Нужно найти отрезок ряда Тейлора функции с помощью которого можно адекватно описать свойства системы вблизи точки или точек ФП, которые математически являются вырожденными критическими точками функции для данного числа внешних управляющих параметров. Решение таких задач — одна из основных целей теории катастроф.
Схема решения сформулированной выше задачи может быть такой. Разложим функцию Е в формальный ряд Тейлора (не обязательно сходящийся) в вырожденной критический точке [15-17]
d2 Ф
0,
за которую
х0 = (,г'о1,...,Х(уп), (1е1 аха_аха_ без ограничения общности можно принять точку ноль. Поскольку Е зависит от т внешних термодинамических параметров, то от них также зависят коэффициенты разложения. Поэтому можно подобрать такие значения внешних параметров, при которых ровно т коэффициентов разложения при наименьших степенях обращаются в нуль. При этом свойства функции, как правило, изменяются. Далее, возможна такая гладкая нелинейная замена переменных, которая позволяет удалить последние члены разложения более высоких степеней (бесконечный «хвост» ряда Тейлора), а оставшиеся члены будут определять свойства функции Е в точке хо. Они называются ростком функции Л
Следовательно, росток находится между начальными членами, которые исключаются с помощью управляющих параметров и которые в теории катастроф называются деформацией и последними членами (т.е. бесконечным «хвостом»), которые удаляются в результате гладкой замены переменных. Именно росток вместе с начальными членами разложения, т.е. деформацией, определяют свойства системы с т внешними управляющими параметрами и п переменными в окрестности точки хо.
Чтобы определить конкретный вид деформации, росток функции подвергается действию эквивари-антных векторных полей [18, 19] —дифференциальных операторов, сохраняющих симметрию термодинамической системы
д
uk = Y,(Vii,yiim) j-r-
где Vj/fc = Действие этих полей на «хвост» ряда Тейлора определяет члены, не существенные в модели с данным числом управляющих параметров, так называемый идеал [17-19]. Оставшиеся слагаемые представляет собой нормальную форму функции, которая и является феноменологической моделью для данного числа управляющих параметров.
(1)
Подробно алгоритм построения феноменологических моделей ФП изложен в работах [18-21], он также широко применяется различными авторами в построении и исследовании структурно устойчивых моделей [22-34].
Для построения простейшей феноменологической модели с двумя управляющими параметрами с группой ПП Ь = В^ь проведем разложение неравновесного термодинамического потенциала Ф(/х,/2,/з) в формальный ряд по степеням базисных инвариантов:
Ф = а\1\ + 0,2/2 + 61/3 + аз/2 + а,4/| + &2/| + ...
и подействуем эквивариантными векторными полями, построенными по формуле (1) на «хвост» ряда Тейлора. Эквивариантные векторные поля для данной ¿-группы имеют вид:
д
д
дпг дц2
дд дп1 дц2
(2)
(3)
Полученная таким образом модель с двумя управляющими параметрами имеет вид в пространстве базисных инвариантов
Ф = 01/1 + /х2 + 61/3 + /| + ^1/2 + ^2 /1/3 + Мз/2 /з или в пространстве ПП
ф = 01(^2 + п2) + (п2 + п2)2 + 61С2 + с4+
+ т2П2 + М2 (п2 + П2)С2 + мзп2п!с2 (6)
В формуле (6) а1 и 61 управляющие параметры, Я4 — М3 — модули, роль которых более подробно будет обсуждаться в следующем разделе.
Заметим, что в модели (6) присутствуют все члены второго и четвертого порядков, но только одно слагаемое шестого порядка. В этом одно из отличий построения методами теории особенностей, когда алгоритм определения деформации точно показывает, какие члены разложения существенны, а какие нет для данного числа управляющих параметров. Другими словами, здесь добавление слагаемых шестого порядка либо не меняет топологию фазовой диаграммы, либо приводит к модели с другим, большим числом управляющих параметров, когда эти слагаемые могут оказаться существенными.
д
Ъ = (4)
Уравнения (2)-(4) можно записать в матричной форме:
^д (ь ь 0\
и2 = ь ьь о * . (5)
и*) \о о
Из (5) видно, что матрица 3 х 3 — блочно-диа-гональная, следовательно, группа Ь = В4^ приводимая: В4^ = ф С^. Следует особо отметить, что здесь речь идет именно о группах ПП, а не о кристаллографических группах, которым они изоморфны.
Следовательно, модель с Ь = В4^ с двумя управляющими параметрами можно представить в виде, стандартном для взаимодействующих ПП: Ф = Ф(п) + Ф(С) + Ф(пС), где Ф(п) = а1/1 + /2 + /2 — структурно устойчивая модель для Ь = С^ [19, 21], Ф(С) = 61С2 + С4 — потенциал Ландау для однокомпонентного ПП, а третье слагаемое содержит мономы /®/в/3, при этом а, в и 7 подбираются таким образом, чтобы мономы не попали в градиентный идеал /у [17-19]. Здесь и далее термодинамический потенциал записывается в безразмерной математической форме, при этом коэффициенты при высших степенях равны единице. В размерном физическом потенциале для обеспечения глобальной минимальности термодинамического потенциала они должны быть положительными и их варьирование не меняет топологию фазовой диаграммы.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ
Феноменологические модели с симметрией ПП, отвечающей ¿-группе Ь = В4^, допускают существование восьми различных фаз (см. табл. 1): высокосимметричной кубической, тетрагональной, четырех ромбических и двух моноклинных. В модели с двумя управляющими параметрами (6), кроме высокосимметричной фазы (000), реализуются фазы (п00), (00С), (п0С) или (пп0), (00С), (ппС).
Таблица 1. Фазы, реализующиеся в феноменологических моделях с Ь =
№ Фаза Сингония Параметры порядка
1 (000) Кубическая VI = 2 = С = 0
2 (006 Тетрагональная 7?! = 772 = 0, С / о
3 (7700) Ромбическая 7?1 / 0, ??2 = 0, £ = 0
4 (77770) Ромбическая 7?! = 7?2 / 0, £ = 0
5 Ш) Ромбическая т / 0, 7?2 = 0, С / о
6 ЬтО Ромбическая 7?! = 7?2 / 0, £ / 0
7 (771772 о) Моноклинная ?71 / 7?2 / 0, С = о
8 (??1??2С) Моноклинная /»72 /0,£/0
Фазовый переход из высокосимметричной фазы в низкосимметричную (п00) или (пп0) происходит в точке а1 = 0 в зависимости от значения модуля Самая низкосимметричная фаза (п1 П2С) в модели (6) не реализуется. Фазовый переход в фазу (п00) или в фазу (пп0) происходит при разных
значениях модуля ^4. Воспользуемся этим простым примером, чтобы показать, как модуль стратифицирует фазовую диаграмму модели (6), то есть разбивает на области (страты), в каждом из которых либо реализуется переход в ту или другую фазу, либо фазовый переход отсутствует. Для этого найдем равновесные значения компонент параметра порядка модели (6) из уравнений состояния:
д Ф
—— = 2алщ + + +
дп1
+ 2М3П1П2 е2 + 4(п2 + П2)П1 = 0, (7а)
дФ 2 2 — = 2а,1?72 + 2а41»Я»?2 + 2/12?72ч + д'П2
+ + 4(п2 + %2)П2 = 0, (7Ь)
^ = = 0 (7с)
де
и условий устойчивости фаз:
дЧ
дП1
2 = + + + + + > 0,
(8а)
дЧ дП2
(8Ь) д Ф
-Щ? = 2Ъ1 + 2^2(4 + 4) + 2^44 + Щ2 > 0, (8с)
д2Ф дп1де
= 4М2Ше + 4мзп1п1е,
(8й)
¿>2Ф дп1дп2
: 4^Щ1П2 + 4^зП1 П2 е2 + 8П1П2, (8е)
д2Ф
дп2де
д2Ф д2Ф
= 4М2П2е+4^зп2п2 е,
д2Ф
д^2 дп2 д^1д^2
> 0,
32Ф д2Ф а2Ф
дгцдг12 дг/1 £>£
32Ф а2Ф д2Ф
дгцдг12
32Ф д2Ф а2Ф
дг/1 £>£ ае2
> 0.
(8£)
(88)
(8Ь)
Решение уравнений (7) предполагает существование шести фаз на фазовой диаграмме:
• фаза (000): П1 = П2 = 0, е = 0;
• фаза (00е): П1 = П2 = 0, е = 0;
• фаза (п00) : П1 = 0, П2 = 0, е = 0;
• фаза (п0е): П1 = 0, П2 = 0, е = 0;
• фаза (пп0): П1 = П2 = 0, е = 0;
• фаза (ппе) : П1 = П2 = 0, е = 0.
Подставляя эти решения в (8), найдем условия устойчивости фаз. Фаза (000) устойчива при а1 > 0 и 61 > 0 для любых значений модуля ^4, а также ^2 > 0 и ^з > 0.
На фазовой диаграмме модели (6) фазы (п00) и (пп0) не могут сосуществовать, поскольку топологию фазовой диаграммы определяет величина модуля /XI. Из уравнений состояния (7) следует, что в фазе (?/00) щ = т = 0,£ = 0. Из усло-
вий устойчивости следует, что она реализуется при а1 < 0, гессиан (8И) равен а2^1 > 0, откуда следует, что фаза (п00) существует при > 0. В фазе
(щО) щ = I]2 = ; ч = ПРИ этом гессиан
(8Ь) > 0 при € (—4;0). Для остальных
значений ^4 потенциал (6) не является структурно устойчивым.
Иными словами, модель с двумя управляющими параметрами не описывает фазовый переход между фазами (п00) и (пп0). Фазовые диаграммы модели (6) для различных значений модуля ^4 приведены на рис. 1.
(ООУ
(поу
/
(000)
(п00)
а 1, отн. ед.
(00!;) (000)
^^ / / Ъ1. отн. ед.
(ппУ / (плО)
Рис. 1. Фазовые диаграммы модели (6) для различных значений модуля а — = 1, б — = —1
Одним из преимуществ построения феноменологических моделей методами теории катастроф является возможность провести их классификацию по числу управляющих параметров для данной группы ПП, то есть ¿-группы. В табл. 2 представлены модели для Ь = — двух взаимодействующих ПП, один из которых двухкомпонентный, второй — однокомпонентный. В первом столбце табл. 2 указано число управляющих параметров моделей, во втором — феноменологические модели Ф, соответствующие данному числу управляющих параметров, записанные в безразмерной математической форме, в третьем указана кратность ^ вырожденной критической точки, которой является точка ФП. Величина ^ определяет максимальное число невырожденных критических точек на фазовых диаграммах моделей, на которые распадается исходная вырожденная критическая точка в нуле при изменении управляющих параметров.
Таблица 2. Феноменологические модели с L = D4h
с Ф ¿'
2 aih + y,ih + bih + ¿'2/1/3 + ¿'3/2/3 + /f + /f 6
4 a ill + bih + bnJl + ahh + Ац/2 + ¿/,3/2/3 + ¿'з/i/f + inhli + /Г + /| 9
3 a 1/1 + a.2/2 + 61/3 + ¿'1/? + ¿¿2/1/3 + ¿'3/2/3 + ¿'4/?/з + /f + /f 8
6 a 1I1 + аз 12 + bih + b2li + cihh + c2hh + ¿и/22 + ¿¿2/1/3 + ¿'3/2/I + +¿'4/2/3 + ¿'5/2/3 + /1 + /з3 12
Число модулей в модели, называемое модальностью т, связано с кратностью ^ и коразмерностью семейства функций простым соотношением [17, 18]
^ = т + с +1.
Некоторые модели, построенные методами теории катастроф, могут совпадать с моделями, построенными традиционным методом простого разложения в ряд Тейлора. Однако есть существенное отличие. Не все феноменологические коэффициенты в термодинамическом потенциале зависят от параметров, варьируемых в эксперименте. Как уже отмечалось выше, варьирование модулей может привести к появлению на фазовой диаграмме модели парадоксальных нефизичных результатов.
На рис. 2 схематично представлены сечения фазовой диаграммы модели с шестью управляющими параметрами. Как видно из рисунка, эта модель описывает все возможные низкосимметричные фазы.
вает два последовательных фазовых перехода — в тетрагональную фазу с симметрией С^М/ш) при ТС1 = 283 К, затем в моноклинную фазу с симметрией С2ь(Р21/е) при температуре Тс2 = 264К.
Аномальная часть теплоемкости рассчитывается по формуле
Cp
от с '( dl71 , д1Ъ\ , -2 T(ai(m— + m-gj^) +
в предположении, что коэффициенты <ц и bi в термодинамическом потенциале линейно зависят от температуры а1 = ai(T/Ti — 1) и b1 = bi(T/T2 — 1). Здесь T — абсолютная температура, а[ > 0 и bi > 0 не зависят от температуры. Частные производные компонент ПП определяются посредством дифференцирования уравнений состояния (7) по температуре и последующего решения линейной системы из трех уравнений, неизвестными в которой являются производные ПП по температуре. Аналитический расчет крайне затруднителен, поэтому теоретическая зависимость теплоемкости от температуры определялась с помощью компьютерной программы Maple. Эта зависимость приведена на рис. 3.
Рис. 2. Сечения фазовой диаграммы модели с шестью управляющими параметрами (табл. 2). Знаки феноменологических коэффициентов; а — а2 > 0, с\ < 0, Ь2 < 0,С2 < 0,^1 > 0,^2 > 0,^з < 0,^4 < 0,^5 > 0; б — а2 < 0, С1 > 0, &2 < 0,С2 < 0,^1 > 0,^2 > 0,^з < 0,^4 < 0,^5 > 0
В рамках модели с тремя управляющими параметрами рассчитана теоретическая зависимость аномальной части теплоемкости и сопоставлена с экспериментальными данными эльпасолита КЪ2К1пРб [35]. Это соединение при комнатной температуре имеет кубическую структуру с пространственной группой симметрии О^ (Рш3ш) и испыты-
Рис. 3. Теоретическая температурная зависимость аномальной части теплоемкости, рассчитанная по модели с тремя управляющими параметрами. На вставке — экспериментальные данные эльпасолита КЪ2К1пРб [35]
На вставке приведены экспериментальные результаты аномальной части теплоемкости в КЪ2К1пРб по данным работы [35]. Как видно из рис. 3, теоретическая кривая теплоемкости удовлетворительно описывает данные эксперимента. Заметим, что аналогичные аномалии
физических свойств наблюдаются также в других эльпасолитах, в частности в Rb2KScF6 [36].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория особенностей дифференцируемых отображений (теория катастроф) закрывает пробел в математическом аппарате феноменологической теории фазовых переходов. Строгие математические и конструктивные методы, основанные на теоремах, позволяют строить структурно устойчивые модели, и это особенно актуально для многокомпонентных и взаимодействующих параметров порядка. Сама постановка задачи для построения струк-
турно устойчивых моделей достаточно проста и состоит из двух пунктов: а) знание ЦРБИ; б) задание числа управляющих параметров, зависящих от внешних термодинамических условий. Феноменологические коэффициенты моделей делятся на два типа: на управляющие параметры, зависящие от внешних условий, и на модули — не зависящие от внешних условий и только определяющие топологический тип фазовой диаграммы. Классификация моделей фазовых переходов по симметрии параметра порядка и числу управляющих параметров. позволяет использовать готовые структурно устойчивые модели с разной степенью сложности и размерности фазовых диаграмм в зависимости от числа управляющих параметров (температуры, давления, химпотенциалов примесей и т.д.).
[1] Ri K.S., Xu C., Jang K. O. et al. // Physica B. 424. 20. (2013).
[2] Fujii Y., Heshino S., Yamada Y., Shirane G. // Phys. Rev. B9, N 10. 4549. (1974).
[3] Ларин Е.С. // ФТТ. 26, № 10. 3019. (1984).
[4] Гуфан Ю.М. // Структурные фазовые переходы. М., 1982.
[5] Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. // Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984.
[6] Tanner P.A., Duan C.-K, Jia G., Cheng B.-M. //J. Solid State Chem. 188. 105. (2012).
[7] Sosman L.P., Yokaichiya F., Bordallo H.N. // J. Magn. Magn. Mater. 321, N14. 2210. (2009).
[8] Sevryukov R.G., Safonov I.N., Molokeev M.S., Misyul S.V. // J. of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. N9(1), 108. (2016).
[9] Спиваков А. А. // Труды пятого международного молодёжного симпозиума «Физика бессвинцовых пьезоактивных и родственных материалов. (Анализ современного состояния и перспективы развития)». 2016. 2, С. 181.
[10] Dmitriev V.P., Kuznetsov A.Yu., Bandilet O. et al. // Phys. Rev. B. 70, N1. 014104. (2004).
[11] Torgashev V.I., Dvorak V., Smutny F. // Phys. Stat. Sol. (b). 126, N2. 459. (1984).
[12] Polomska M. // Phase Transitions: A Multinational Journal. 74, N4. 409. (2001).
[13] Сафонов И. Н. // Сборник материалов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Проспект Свободный-2015», посвященной 70-летию Великой Победы. Красноярск, Сибирский федеральный университет, 15-25 апреля 2015 г. Красноярск, 2015. С. 42.
[14] Galam S., Hatch D.M. // Phys. Rev. B. 34, N11. 7813. (1986).
[15] Постон Т. , Стюарт И. // Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980.
[16] Гилмор Р. // Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984.
[17] Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. // Особенности дифференцируемых отображений. М.: МЦНМО, 2009.
[18] Кутьин Е.И., Лорман В.Л., Павлов С.В. // УФН. 161, № 6. 109. (1991).
[19] Павлов С.В. // Методы теории катастроф в феноменологии фазовых переходов. М.: Инфра-М. 2020.
[20] Павлов С.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. № 2. 62. (2016). (S. V. Pavlov // Moscow Univ. Phys. Bull. 71, N 2. 202 (2016)).
[21] Павлов С.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. № 5. 37. (2016). (S. V. Pavlov // Moscow Univ. Phys. Bull. 71, N 5. 508 (2016)).
[22] Прохоров A.H., Гуфан ЮМ, Ларин Е.С. и др. // ДАН СССР. 277, № 6. 1369. (1984).
[23] Гуфан ЮМ, Урушадзе Г.Г., Широков В.Б. // ДАН СССР. 277, № 6. 1365. (1984).
[24] Шамшин А.П. Изотова ТМ., Матюшкин Э.В., Десятиченко А.В. // Изв. РАН, сер. физ. 68, № 7. 945. (2004).
[25] Борлаков Х.Ш., Борлаков А.Х., Шайлиев Р.Ш. // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. № 1. 38. (2011).
[26] Таланов В.М., Широков В.Б., Иванов В.В., Таланов М.В. // Кристаллография. 58, № 1. 101. (2013).
[27] Li L, Kim I., Jang K, Ri K, Cha J. //J. Appl. Phys. 114. 034104. (2013).
[28] Talanov V. M., Shirokov V. B., Ivanov V. V., Talanov M. V. // Crystallography Reports. 60. N 1. 101. (2015).
[29] Talanov M.V., Shirokov V.B., Talanov V.M. // Physical Chemistry Chemical Physics. 18. N 15. 10600. (2016).
[30] Kim I.H., Kim I.H., Jang K.O. et al. // Phase. Transit. 91, N 12. 1189. (2018).
[31] Jang K.O., Kim I.H., Kim I.H. et al. // Nanoceram-ics. Available at SSRN 3659802. https://ssrn.com/ abstract=3659802 or http://dx.doi.org/10.2139/ ssrn.3659802
[32] Kim I.H., Jang K.O, Kim I.H., Li L. // Phase. Transit. 91, N 3. 239. (2018).
[33] Jang K.O, Kim I.H., Kim I.H., Im S.G. et al. // Phase Transitions. 93, N 5. 439. (2020).
[34] Kim I.H., Kim I.H., Im S. G, Jang K.O. // Physica B: Condensed Matter. 639. 15 August. 413961. (2022).
[35] Флеров И.Н., Горев М.В., Мельникова С.В. и др. // ФТТ. 34, № 11. 3493. (1992).
[36] Флеров И.Н., Горев М.В., Мельникова С.В. и др. // ФТТ. 34. № 7. 2185. (1992).
Phenomenological Models of Phase Transitions with Multicomponent Interacting Order Parameters: Construction and Classification by Methods of Singularity
Theoryy S. V. Pavlov
Department of of General Physics and Condensed Matter Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University Moscow 119991, Russia E-mail: swcusp@mail.ru
Phenomenological models of phase transitions for two interacting order parameters, one-component and two-component, are constructed. The construction was carried out based on the number of control parameters depending on external thermodynamic conditions by methods of the equivariant catastrophe theory (singularity theory), taking into account the symmetry of the order parameters. The classification of phenomenological models according to the number of control parameters is carried out. Phase diagrams of the models are constructed and the theoretical temperature dependence of the heat capacity is calculated, which shows a satisfactory qualitative correspondence with the experimental dependence in the Rb2KInF6 elpasolite crystal
PACS: 77.80.Bh.
Keywords: phase transitions, phenomenological model, interacting order parameters, catastrophe theory, equivariant vector fields, elpasolites. Received 29 February 2024.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2024. 79, No. 3. Pp. . Сведения об авторе
Павлов Сергей Васильевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент; тел.: (495) 939-11-28, e-mail: swcusp@mail.ru.
