CC BY
102
УДК 16(07)
ФЕНОМЕН НЕЯВНОГО ЗНАНИЯ В МАТЕМАТИКЕ © Л. Б. Султанова*
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел./факс: +7 (34 7) 273 93 1 7.
E-mail: [email protected]
В статье рассматриваются вопросы из области философии математики. Автор считает, что применение концепции неявного знания в философско-математическом аспекте позволяет более глубоко раскрыть уникальную специфичность математической науки. В самом деле, хотя математика исходит из очевидно истинных оснований и подчиняется законам дедукции, но, тем не менее, слывет самой сложной для понимания наукой. Автор считает, что этот парадокс находит свое рациональное объяснение именно на основе методологии, учитывающей роль феномена неявного знания в математике. Свою точку зрения автор поясняет примерами из истории математики.
Ключевые слова: философия науки, неявное знание, основания математики, неспецифи-цируемость и личностность неявного знания.
В современной философии особое место занимает концепция неявного знания, обладающая серьезным научно-методологическим потенциалом. В частности, ее применение в философско-математическом аспекте позволяет более глубоко раскрыть уникальную специфичность математической науки. В самом деле, математика исходит из очевидно истинных оснований и подчиняется законам дедукции, но, тем не менее, слывет самой сложной для понимания наукой. Представляется, что этот парадокс находит свое рациональное объяснение именно на основе методологии, учитывающей роль феномена неявного знания в математике. В свою очередь, специфику и уникальность неявного знания наилучшим образом можно проиллюстрировать именно на математических примерах, на которые в основном и опирается М. Полани в своей работе «Личностное знание», хотя и отдает дань и естественным наукам. Уже один этот факт подчеркивает особое значение неявного знания именно в математике и подтверждает необходимость его исследования именно в рамках математической науки.
Важнейшим свойством неявного знания является его неспецифицируемость, которая означает невозможность его сознательной реконструкции [1, с. 38]. Это значит, что невозможно выразить неявное знание в научных терминах и понятиях, а иногда просто невозможно даже облечь такое знание в словесную форму, то есть знание вербализовать. Неявное знание - это молчаливое, латентное, скрытое знание. Вместе с тем неявное знание (в форме неявных предпосылок или определений) составляет необходимое условие самой возможности существования научной теории, представляет собой тот «фон», ту «почву», на которой научно-теоретическое знание «произрастает».
Приведем пример из математики, который наиболее ярко иллюстрирует неспецифицируе-мость именно как свойство неявного знания. В евклидовой геометрии, в частности, совершенно не предусмотрено доказательство того примечатель-
ного факта, что всякое «замыкание» (линия, по которой букашка могла бы двигаться в одну сторону до бесконечности) делит плоскость в точности на два множества точек - «внутренние» и «внешние», а переход из одного множества в другое обязательно связан с пересечением границ. В рамках этого представления Л. Кэрролл в свое время доказал, что линия, идущая из вершины треугольника, внутри его обязательно пересечет сторону, противолежащую вершине, из которой эта линия выходит. До Л. Кэрролла этим утверждением в математике пользовались неявным образом и очень активно [2, с. 188].
Но этот пример неявного элемента знания в математике далеко не единственный. Для математики характерна также неявная опора на законы классической логики. При стремлении к полному обоснованию математической науки как раз эта ее особенность фактически и оказывается «роковой» в том смысле, что не позволяет достичь полного обоснования. Например, интуиционизм, как одна из программ обоснования математики, выдвинутых в начале двадцатого века, вместо классической аристотелевской логики предложил свою, особую логику, в которой логический закон исключенного третьего запрещается к применению для бесконечных множеств. Ранее этот закон классической логики всегда использовался в математических рассуждениях без каких-либо ограничений, хотя предварительно в рамках математической науки явно не формулировался, и, тем более, его применение никак не обосновывалось. Неявно предполагалось, что математика и классическая логика хорошо кор-релируются друг с другом, и уж, конечно, законы классической логики не могут быть источником парадоксов в математике. А именно по этой причине основатель математического интуиционизма элиминировал логический закон исключенного третьего из математики.
Заметим, что такова особенность неявного знания вообще: до известного момента его не осознают, а как только оно выявляется, тут же выясня-
* Султанова Линера Байраковна — д-р филос. н., профессор кафедры философии и методологии науки.
ется, что его обоснование проблематично. В этом, собственно говоря, и заключается феномен неявного знания в математике.
Подобного взгляда на специфику математики придерживался выдающийся французский математик А. Пуанкаре, который считал, что «число аксиом, скрытым образом введенных в классические доказательства, больше, чем необходимо» [3, с. 46]. Он заметил, что в геометрии неявно предполагается, что геометрические объекты - твердые тела, поскольку почти все утверждения евклидовой геометрии содержат неявное допущение о возможности переноса фигур в пространстве без деформаций, чтобы их можно было совместить между собой. Это необходимо, например, при доказательстве равенства геометрических фигур [4, с. 45]. Важно то, что требование такого допущения может быть реализовано отнюдь не для любой геометрии. В частности, это возможно не для всех римановых геометрий, и под общепринятым названием рима-новой геометрии обычно подразумевается одна из них - отвечающая требованию о возможности движения неизменяемой фигуры [4, с. 47]. Отсюда видно, насколько значительную роль может играть в математике неявное знание.
Кроме приведенных, в математике имеют место такие неявные элементы, как скрытые аксиомы, определения или скрытые леммы. Как скрытые аксиомы и определения выступают интуитивные утверждения, которые зачастую имеют физический смысл и не указываются в математической теории, хотя прямо влияют на ее понимание. Например, таковым является неявное геометрическое допущение о возможности переноса фигур в пространстве без деформаций, приведенное здесь. А в постулате Евклида о параллельных неявно предполагается особое требование к кривизне пространства, определяющего именно такую геометрию.
Наилучшим образом специфика скрытых лемм в математическом доказательстве выявлена И. Лакатосом. На примере рациональной реконструкции истории обоснования доказательства Л. Эйлером формулы, связывающей количество вершин, ребер и граней многогранника, И. Лакатосу удалось показать, что выявление скрытых лемм в геометрии может быть результатом удачно подобранного «контрапримера» [2]. В порядке обобщения И. Лакатос, в частности, отмечает, что «хорошие учебники неформальной математики обычно уточняют свою «стенографию», т.е. те ложные или истинные леммы, которые они считают настолько тривиальными, что не заслуживают упоминания. Стандартное выражение для этого таково: “Мы предполагаем знакомство с леммами типа х”» [2, с. 65]. В качестве примера И. Лакатос приводит эпизод, связанный с математической деятельностью Коши, который даже не заметил, что его «Курс анализа» (1821 г.) предполагал «знакомство» с теорией действительных чисел. И. Лакатос пишет, что Коши
«отбросил бы как монстр всякий контрапример», который «потребовал бы явного установления лемм о природе иррациональных чисел» [2, с. 65]. Далее И. Лакатос отмечает, что в дальнейшем, с ростом требований к математической строгости, математики стали более внимательны к неявно принимаемым утверждениям.
Именно благодаря неявному знанию возможно отождествление математических символов с их научно-математическим значением, иначе говоря, только на базе личностно-индивидуального комплекса неявного знания возможно осуществление математической символизации. Все математические символы должны быть легко и неоднократно восстановимы. В математике применяются различные символы - для чисел, переменных, знаков арифметических и алгебраических операций, для обозначения геометрических объектов, а также их отдельных элементов. Кроме того, в математике по необходимости могут использоваться и логические символы. В дальнейшем из всех этих перечисленных символов могут конструироваться формулы. Вообще трудно представить себе математику без общепринятой символики.
Собственно, символы, как и понятия, мы «накапливаем» и учимся понимать в течение всей жизни, с самых ранних лет, поэтому символизация как таковая возможна только при наличии солидного личностного опыта субъекта математического познания. Суть математической символизации заключается в отождествлении определенного феномена реальности с некоторым математическим символом. В этой ситуации можно говорить уже не просто о неявном знании в математике, а о так называемой «триаде неявного знания», суть которой на основании общего положения применительно к математике можно определить следующим образом: математик А делает математический термин или абстракцию В обозначением объекта С.
Важность математической символизации подтверждает историческая тенденция в развитии математики, состоящая в том, что все преобразования, позволяющие упростить математические обозначения посредством введения более простой формы записи, активно приветствовались математиками и стимулировали развитие математической науки в целом. В частности, декартовы упрощения математических обозначений высоко оценивались математиками [1, с. 126]. Даже элементарное решение самой простой математической задачи, в первую очередь, требует «точного» проведения символизации, которая возможна только на основе понимания.
Специфика математической символизации в современной математике обусловлена высоким уровнем абстрагирования, причем все математические абстракции имеют смысл только с учетом априорного фундамента базовых оснований математической науки. Поэтому очевидность априорных понятий в математике и кажущаяся легкость мате-
матической символизации не должны никого вводить в заблуждение. А когда речь идет о математических абстракциях высокого уровня, иерархически значительно удаленных от априорных базовых оснований математики, ситуация еще более осложняется.
Эта сложность связана с так называемым неявным коэффициентом математической символизации, который, в понимании субъекта математического познания, связывает абстракцию математики с реальностью и может рассматриваться как значение «уровня абстрактности» применяемых математических структур. Конкретизировать этот схематичный тезис возможно лишь в частных случаях, когда имеется возможность рациональной реконструкции истории формирования какого-либо математического понятия или символа. Простейшим примером в этом смысле является понятие бесконечно малой в математике, история формирования и обоснования которой как важнейшего термина математического анализа достаточно известна.
Интуитивные связи, посредством которых осуществляется математическая символизация, формируются на уровне личностного практического освоения математики. Понятно, что при этом, особенно при высоком уровне математического абстрагирования (например, когда речь идет о теории категорий), что, вообще говоря, характерно для современной математики, возможно неосознанное, автоматическое использование абстракций, когда в них видят нечто вроде счетных палочек. Чем выше уровень абстрагирования в математике, тем солиднее неявный коэффициент математической символизации и тем более вероятна возможность неосознанного, автоматического использования математических символов.
Каким же образом происходит формирование неявных элементов математики? Понятно, что они должны быть генетически взаимосвязаны. Первичными в этом смысле должны быть названы те неявные предпосылки, которых нет, и не может быть в учебниках математики, но без которых эти учебники не могли быть написаны. (Несколько примеров таких неявных предпосылок было приведено здесь ранее.) Эти неявные предпосылки формируются на интуитивном уровне, на базе онто-гносеологи-ческих предпосылок общего характера. Этими неявными предпосылками субъект математического познания должен обладать раньше, чем любым знанием из учебников математики, поскольку иначе он не сможет овладеть «инструментом», необходимым для работы с этими учебниками.
Это значит, что в принципе невозможна экспликация математических понятий и терминов, относящихся к так называемым базовым основаниям математики. Но без неявно-интуитивных онто-гносеологических представлений о таких специфических объектах математики, как, например, число или бесконечность, которое вообще играет в математике особую роль, не только не может быть по-
строена ни одна математическая теория, но и невозможно усвоение даже школьной математики. Представляется, что априорные предпосылки математики, такие, как, например, представления о числе и бесконечности, связаны с общими онто-гносеологическими предпосылками о непрерывности и количестве.
Непосредственно на онто-гносеологических предпосылках личностно-индивидуального комплекса неявного знания базируются априорные, первоначальные математические базовые понятия, к которым обычно относят числа от нуля до девяти, и представления об основных геометрических объектах. В геометрии Евклида, например, это представления о том, что такое точка, прямая, плоскость и расстояние, а также утверждения аксиом. Априорные математические понятия, как элементы личностно-индивидуального комплекса неявного знания, подобно онто-гносеологическим предпосылкам, в целом интерсубъективны, т.е. содержательно общезначимы. Исторически в математике эти базовые понятия хотя и определялись различным образом, но, тем не менее, интуитивно всегда рассматривались как содержательно общезначимые, благодаря чему всегда имело место взаимопонимание между математиками, и, вследствие этого, и развитие самой математической науки. Например, прямую в математике можно определять как бесконечное множество точек, а можно и как линию без « толщины». Аксиомы, построенные на этих понятиях, в плане содержания также исторически примерно одинаково воспринимались и применялись различными математиками. Тем не менее символизация в математике носит строго личностный характер.
Далее, на априорных предпосылках математики непосредственно базируются некоторые социокультурные элементы. К таковым относятся представления о нормах, методах и критериях истинности, принятых в математике. Представление об историческом развитии этих социокультурных элементов, в частности, о развитии представлений о математической надежности и строгости как важнейших характеристиках математического знания, можно получить, обратившись к историкоматематическим источникам. Неявные социокультурные предпосылки математики непосредственно связаны с математической эвристикой, которую в целом образуют нестандартные приемы и методы математики. Т акая эвристика строго индивидуальна.
Эти методы могут быть как полностью неявными, т. е. даже невербализованными, так и неявными только относительно математической теории, но явными и вербально выраженными на онто-гносеологическом уровне. Неявным образом в математике могут применяться и математически очевидные, но невыделенные из общего математического контекста математические утверждения. Кроме того, в виде теоретически неявных по отношению к математике могут выступать и теоретиче-
ски явные, т. е. обоснованные утверждения математики, но примененные в необычном контексте. Например, Л. Эйлер при нахождении суммы ряда обратных квадратов рациональным образом применил правило, обычно относящееся к алгебраическим уравнениям, для решения уравнений неалгебраических, т.е. перешел от уравнений конечной степени к уравнениям бесконечной степени, тем самым осуществив интуитивный, никак не обоснованный перенос математических методов на другой класс объектов [5]. До Л. Эйлера математики также осуществляли эвристический перенос математических методов на иной, нетрадиционный класс математических объектов, т. е. переходили от конечных разностей к бесконечно малым разностям, от суммы с конечным числом членов к суммам с бесконечным числом членов, от конечных произведений к бесконечным произведениям, но неосознанно, т. е. неявным образом.
Таким образом, в неявном знании, участвующем в математической теории, могут быть выделены следующие типы элементов: 1) неявные предпосылки, среди которых необходимо различать скрытые леммы и онто-гносеологические предпосылки, к которым относится, например, представление о бесконечности; 2) неявный коэффициент математической символизации; 3) строго личностная математическая эвристика.
Из приведенных рассуждений следует, что элементы неявного знания, формирующиеся ранее, транслируют свое влияние на все элементы неявного знания, формирующиеся позднее, на их основе. Это - необходимое условие для формирования более поздних по времени формирования элементов неявного знания. Отсюда следует, что влияние априорной составляющей транслируется абсолютно на все, формирующиеся впоследствии элементы неявного знания. Таким образом, можно говорить не просто о комплексном характере неявного знания конкретной личности, а о своеобразной синергии элементов, составляющих индивидуальноличностный комплекс неявного знания, то есть об их «сотрудничестве», взаимовлиянии и постоянной взаимной «подпитке».
Результатом синергийного взаимодействия элементов личностно-индивидуального комплекса неявного знания является не только формирование совокупности, по сути, взаимосвязанных и взаимозависимых элементов неявного знания, применяющихся в познании как единое целое, как некий «инструмент», но и становление математика как творческой личности, способной к продуцированию нового математического знания.
Необходимо признать, что, несмотря на всю важность роли феномена неявного знания в математике, представление о неявных элементах математической науки практически до конца восемнадцатого века было неявным, хотя практически все крупные математики признавали важнейшую роль
интуиции в развитии своей науки. В частности, Ф. Клейн, оценивая роль интуиции в математике, отмечал, что «максимальное содействие развитию нашей науки оказывают математики, выделяющиеся не столько строгостью доказательств, сколько интуицией математического утверждения» [6].
Учитывая, что исторический путь формирования математической науки проходил в рамках аксиоматического метода, можно заключить, что общая тенденция к системному выявлению неявных предпосылок в математике была заложена изначально, вместе с основными принципами аксиоматического подхода. Это произошло еще в эпоху евклидовой геометрии, в античный период развития математики. Однако эта идея была исторически осознана и укрепилась, видимо, уже в девятнадцатом столетии под воздействием потока контрпримеров, обнаруженных Коши и его учениками [2, с. 78].
Методологическое освоение концепции неявного знания в математике начинается, видимо, уже после формирования такой области современной науки как эвристическое программирование, когда были сделаны попытки построения алгоритмических программ для вывода теорем из аксиом. Авторы таких программ, анализируя ошибки машины при их выполнении, пришли к выводу, что «некорректность этих доказательств (т.е. доказательств «из учебника». - Л. С.) обычно связана с наличием явно не сформулированных, не доказанных или ложных посылок» [7].
Если метод интерпретаций и аксиома индукции в конечном счете были эксплицированы в математике двадцатого века, то этого нельзя сказать, например, о такой неявной предпосылке математики, как представление об актуальной бесконечности, экспликация которого является ключевым пунктом в программах обоснования математики. Представление о бесконечности, видимо, следует относить к неявным онто-гносеологическим предпосылкам математики, на которых базируются собственно математические неявные предпосылки, и формализация которых заведомо проблематична.
Если многие неявные предпосылки в математике так или иначе выявляются исторически, то вопрос о формально-теоретической экспликации априорных оснований математики нуждается в отдельном исследовании. Априорные предпосылки математики не только транслируют свое влияние на все элементы математической составляющей личностно-индивидуального комплекса неявного знания, но и ограничивают его непротиворечивое формально-теоретическое обоснование. Вообще можно заключить, что неявное знание буквально пронизывает всю математику - от оснований до математических абстракций самого высокого уровня - и составляют второй план математического рассуждения, наряду с первым - формальнотеоретическим.
С учетом феномена неявного знания в математике неизбежно возникает вопрос о взаимосвязях неявного и явного знания в математике. Этот вопрос представляет определенный интерес для получения адекватного представления о развитии и перспективах математической науки. Основываясь на предыдущих рассуждениях, можно сделать следующий вывод: все же не следует абсолютизировать отсутствие механизмов рациональной трансформации неявного знания в явное, и делать вывод о принципиальной невозможности такой трансформации вообще, как это делает М. Полани. Конечно, не следует впадать и в другую крайность и утверждать, что такая трансформация, в том числе и в математике, неизбежна. Напротив, в рамках излагаемого подхода, учитывающего роль неявного знания в развитии науки, должна всегда ставиться под вопрос сама возможность такой трансформации. Представляется, что рационализация социокультурной составляющей неявного знания, а также определенная рационализация индивидуальной эвристики, не только возможна, но и реально имеет место в истории развития математики - при некоторых условиях и в определенных границах.
В целом представляется, что рационализация, т.е. вербализация и дальнейшая экспликация интуитивно-неявных элементов математической теории, может происходить лишь в результате развития ее явного математического содержания, т. е. в результате исторического развития математики. Это, как правило, исторически всегда имеет место, но фиксируется, делается достоянием методологии и самой математической науки лишь в результате некоторого ретроспективного процесса рациональной реконструкции развития конкретной математической теории. Все сказанное, разумеется, целиком и полностью относится и к отдельным утверждениям: теоремам математики, математическим понятиям и определениям. В качестве примера здесь не вызывает сомнений проведенная И. Лакатосом рациональная реконструкция истории экспликации соотношения, связывающего число ребер, вершин и граней правильного многогранника под воздействием различного рода контрпримеров [1].
Что касается таких глубинных элементов неявного знания, как базовые основания математики, то, строго говоря, желательно, чтобы их рационализация являлась предметом самой математической науки. К этому всегда стремились математики. Наиболее ярким примером проявления этих устремлений являются программы обоснования математики, выдвинутые в начале двадцатого века. Однако далеко не все математики и сегодня признают их успешными. А если подходить к оценке программ обоснования математики с позиций философии, то необходимо признать, что даже гиль-бертовский формализм не оправдал ожиданий.
Представляется, что «виноват» в таком положении вещей именно феномен неявного знания, который необходимо признать неотъемлемым свойством математического мышления. При этом, однако, необходимо учитывать, что математика как таковая исторически всегда стремилась к его преодолению. Дедуктивизм, атрибутивно неотделимый от математической науки, по крайней мере в рамках аксиоматического устройства математики, в этом смысле является очень сильным средством. Программа математического формализма позволяет свести неявно-интуитивный элемент математического знания к минимуму, а то минимальное количество неявных элементов, которое невозможно элиминировать из математики даже с помощью упомянутых процедур гильбертовского формализма, в целом не мешает дальнейшему позитивному развитию математической науки, хотя и препятствует полной формализации математического знания финитными средствами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Полани М. Личностное знание. М.: Прогресс, 1985. 400 с.
2. Мичи Д., Джонстон Р. Компьютер - творец. М.: Мир, 1987. 254 с.
3. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. 735 с.
4. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. 151 с.
5. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Учпедгиз, 1957. С. 36^1.
6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в Х1Х столетии. М.: Наука, 1989. С. 300.
7. Серебрянников О. Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. М.: Наука, 1976. С. 84.
Поступила в редакцию 14.03.2009 г.
