ФАЗОВЫЙ СДВИГ МЕЖДУ ВОЗМУЩЕНИЯМИ ТЕМПЕРАТУРЫ, ДАВЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ В ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ СРЕДЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 523.9: 534.2

ФАЗОВЫЙ СДВИГ МЕЖДУ ВОЗМУЩЕНИЯМИ ТЕМПЕРАТУРЫ, ДАВЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ В ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ СРЕДЕ

Н.Е. Молевич1,2, Д. С. Рящиков1,2, Д. И. Завершинский1,2,

С. А. Белов1,2

Рассмотрена газодинамическая модель тепловыделяющей среды, включающая обобщенную функцию тепловыделения, зависящую от температуры и плотности. При распространении акустической волны в такой среде возникает тепловой дисбаланс, приводящий к затуханию или усилению волны. Примером такой среды является корональная плазма. Используя понятие эффективного комплексного показателя адиабаты, получены компактные аналитические выражения величин фазового сдвига между возмущениями температуры, давления и плотности в акустической волне в среде с тепловым дисбалансом с учетом влияния теплопроводности.

Ключевые слова: тепловой дисбаланс, показатель адиабаты, волны, солнечная корона.

Введение. Акустические волны в средах с тепловыделением подвержены поглощению или усилению за счет возникновения теплового дисбаланса. Примером среды с тепловым дисбалансом является космическая плазма, в том числе солнечная корональная плазма. Явление теплового дисбаланса заключается в нарушении теплового равновесия между процессами тепловыделения и теплоотвода при распространении газодинамического возмущения. Если мощность тепловыделения в среде растет сфазировано с областями сжатия в акустической волне (положительная обратная связь), то это приводит к нарастанию волны и акустической неустойчивости (в астрофизике более распространен

1 Самарский филиал Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: dimar@fian.smr.ru.

2 Самарский национальный исследовательский университет им. акад. С. П. Королёва, 443086 Россия, Самара, Московское шоссе, 34.

термин изоэнтропическая неустойчивость) [1, 2]. Если же тепловыделение, наоборот, падает в области сжатия и растет в области разрежения, то акустическая волна будет затухать. В работах [3, 4] показано, что этот механизм затухания магнитоакустических волн в корональных петлях может являться доминирующим. В корональных петлях также наблюдается значительный фазовый сдвиг между возмущениями температуры и плотности в акустической волне [5-8]. Этот фазовый сдвиг формируется совместным действием теплового дисбаланса и теплопроводности [9, 10]. В настоящей работе аналитически получена частотная зависимость величины фазового сдвига от параметров среды, свойств тепловыделения и теплоотвода.

Фазовые сдвиги с учетом теплового дисбаланса. Описание свойств акустических возмущений в тепловыделяющей среде будем производить с помощью системы уравнений газовой динамики:

дР , 1- п ^ п бТ квТбР тл р кв Т

- + ^^ = о, р— = -ур, Су^ - —^ = -^(р,Т), Р = -рт. (1)

Здесь б/бЬ - субстанциональная производная; р, Т, Р - плотность, температура и давление, соответственно; V - вектор скорости; Су - удельная теплоёмкость при постоянном объёме; кв - постоянная Больцмана; т - средняя масса частицы; ^(р,Т) - так называемая обобщённая функция тепловых потерь [1], представляющая собой разность мощностей охлаждения и нагрева среды:

3(р,Т) = Ь(р,Т) - Q(р,т). (2)

В стационарном состоянии (обозначено индексами "0") мощность нагрева и охлаждения компенсируют друг друга, и функция тепловых потерь

3(ро,То) = 0. (3)

Стационарное состояние полагается однородным и неподвижным. Отметим, что система (1) применяется для описания медленных магнитоакустических волн, распространяющихся в корональных трубках в приближении бесконечного магнитного поля

[3, 11].

Так как в общем случае мощности охлаждения Ь(р,Т) и нагрева Q(р,T) по-разному зависят от температуры и плотности, то при распространении акустического возмущения тепловое равновесие (3) нарушается и возникает тепловой дисбаланс. Оценим влияние этого дисбаланса на фазовые сдвиги между возмущениями давления, температуры и плотности. После линеаризации (1) относительно одномерных акустических

возмущений ~ехр (—гшЬ + гкх) с частотой ш и волновым вектором к получаем связи между возмущениями давления Р', температуры Т' и плотности рр, а также дисперсионное соотношение в виде

Р р

- = 7ей -, (4)

Ро Ро

Т р

т = Ы - 1)(5)

То Ро

ш2 = 7ейр0 , (6)

к2 ро

где 7ед - эффективный комплексный показатель адиабаты, определяемый как [2, 12, 13]:

То - г7шТУ

7ей = -л-:-, (7)

1 — гшту

ТУ = Су/Зот, (8)

7о = 1 — (ро%р)/(То%т). (9)

Здесь ту - характерное время, связанное с процессами тепловыделения, 70 - эффективный низкочастотный показатель адиабаты. Индексами при функции тепловых потерь обозначены её производные по температуре и плотности в стационарном состоянии: Зор = (д%/др)т=То,р=ро, ^от = (дЗ/дТ)т=То,р=ро.

Из дисперсионного соотношения (6) легко определить декремент затухания и скорость звука в среде с тепловым дисбалансом, как это сделано, например, в [2, 12, 13]. И декремент, и скорость зависят от частоты, причем скорость меняется от низкочастотного значения со = л/7оквТо/т, которое полностью определяется низкочастотным показателем адиабаты 7о, то есть свойствами обобщенной функции тепловыделения, до скорости звука е3 = \]7квТо/т в высокочастотном пределе, где 7 = Ср/Су , Ср - удельная теплоёмкость при постоянном давлении. Для плазмы солнечной короны 7=5/3.

Связи(4), (5) позволяют определить искомые фазовые сдвиги фр ,фт, которые тоже зависят от частоты в виде

, / 1т7ей (7о — 7 )шТУ Ппч

^ фр = Б-=-:-ГУ, (10)

ле 7еЯ 7о + 7ш2т2

ф = МТеЯ — 1) = (7о — 7 )штУ (11)

фт Ле(7ей — 1) (7о — 1) + (7 — 1)ш2т2, ( )

60

-60

-120

-180

А

\ 0.001 .....&:тр с 1000

!

/ / ,

е/ / Г/ (а)

-А:у0=10 ......В:у0=3

О: у0=О.ОО1

Е:у0=-0.

сот?

60

-60

-120

-180

А ,„_ (

0.001 ......0'.-юр с..^ з/// О/'" 1000 / г

: / Е / / /

/ Г _^^__^о (Ь)

сот.

■С:у0=0.5 -Р:у0=-5

-А:у0=1О ......В:у0=2

----Е: уп=0.95

С:у0=1.2

■ Р: у0=0.1---О:у0=-5

О:у0=1

Рис. 1: Фазовый сдвиг между (а) давлением и плотностью и (Ъ) температурой и плотностью в зависимости от безразмерной частоты при различном эффективном низкочастотном показателе адиабаты т0 и ту > 0.

где фр - фазовый сдвиг между возмущениями давления и плотности, фт - фазовый сдвиг между возмущениями температуры и плотности.

Зависимость фазового сдвига фр, фт от частоты при различных 70 в изохорически устойчивой среде (ту > 0) приведена на рис. 1. Отметим, что в случае изоэнтропиче-ской неустойчивости (70 > 7) фазовый сдвиг положительный, а в противном случае -отрицательный. Частоты, на которых фазовый сдвиг максимален, и сами значения максимального фазового сдвига могут быть найдены с помощью выражений (12), (13):

, , (тУ )(7о - 7)

^фРта* = -о ^-, Шшах

tgфт п

2v/Y07

Sign(ту)(7о - 7)

I I По

1 V Т,

^шах1 тУ \

(7о - 1)

12)

13)

~пшх1' м V (^ - 1)'

При шту ^ 1 возмущения температуры, давления и плотности синфазны, а при шту ^ 1 могут быть в фазе либо в противофазе в зависимости от значения 70.

Фазовые сдвиги с учетом теплового дисбаланса и теплопроводности. Применительно к корональным петлям вклад в наблюдаемый фазовый сдвиг могут вносить и дисси-пативные процессы, связанные, например, с вязкостью и теплопроводностью. При этом вклад от вязкости применительно к корональным условиям пренебрежимо мал, а вклад от теплопроводности необходимо учитывать [9, 10].

С учётом теплопроводности уравнение энергии в системе (1) примет вид:

с,— - квТ = _з(р Т) + к дТ

тр <И ' р '

где к - коэффициент теплопроводности.

После процедуры линеаризации (1), (14) с учетом условия теплового равновесия (3) опять получаем выражения (4)-(6) с эффективным показателем адиабаты вида [14]:

То — г7шту + к2ткту7-о/ро , .

7ей = -:-:-"У2--. (15)

1 — гшту + к2ТкТу7—о/ро

Здесь тк = к/(СрРо) - характерное время, связанное с теплопроводностью.

Подставим к2 из дисперсионного соотношения (6) в (15). Тогда получим квадратное уравнение (16) относительно 7ед, которое имеет решения (17):

(1 — гшту — (7о — г7шту (1 — гштк))7ея — 7ш2тутк = 0, (16)

^ = 7о — г7шту — б7ш2т^ ± ^4б7ш2т^(1 — гшту) + (—7о + г7шту + 67Ш2т^)2 (17) е 2(1 — гштУ) '

б = Тк/Ту. (18)

Выражение (17) описывает эффективный показатель адиабаты для акустической и тепловой волны. Параметр б равен отношению характерного времени теплопроводности тк к характерному времени тепловыделения ту. Фазовые сдвиги фр, фт определяются аналогично (10), (11), где 7ед определяется с помощью выражения (17).

Влияние теплопроводности на величину эффективного показателя адиабаты 7^ наиболее существенно для волн с частотами, сравнимыми или больше обратного характерного времени т— 1, то есть штк > 1. Для волн же с частотами меньшими т-1(штк ^ 1), влиянием теплопроводности на свойства волн можно пренебречь. В частотном случае, когда теплопроводность слаба тк ^ 0, указанное ранее условие выполняется для всех частот спектра.

Наибольшие же изменения эффективного показателя адиабаты 7ед, обусловленные нагревом и охлаждением, происходят в области частот, меньших или сравнимых с обратным характерным временем т—1, то есть шту < 1. Таким образом, влиянием нагрева/охлаждения на показатель адиабаты можно пренебречь для частот шту ^ 1. В частности, когда мощность нагрева и охлаждения пренебрежимо мала или не зависит от температуры, характерное время ту ^ то, это условие выполняется для всех частот спектра.

Таким образом, можно утверждать, что при б ^ 1 теплопроводность и тепловыделение действуют на разных временных масштабах, а при б > 1 можно говорить о

Фр*

О

сох.

-5

-10

-15

-20

А: Е=0 О: е=1

В: 8=0.01----С: 8=0.1

Е: Б=10 ----Р: 8=100

А: 8=0 Э: 8=1

В: 8=0.01----С: 8=0.1

Е:8=10 ----Г: 8=100

Рис. 2: Фазовый сдвиг между (а) давлением и плотностью и (Ъ) температурой и плотностью в зависимости от штк при различных соотношениях характерных времён теплопроводности и процессов тепловыделения е = тк/ту в устойчивой среде при

совместном влиянии теплопроводности и тепловыделения на поведение волн в некотором диапазоне частот.

В частном случае, когда тепловыделением можно пренебречь (ту ^ ж, е ^ 0), из выражения (17) можно получить известную формулу для фазового сдвига между

Пример совместного влияния теплопроводности и тепловыделения в общем случае приведён на рис. 2. При этом были выбраны такие параметры функции тепловыделения, чтобы рассматриваемая среда была устойчивой.

Случай, когда вкладом тепловыделения можно пренебречь (ту ^ ж, е ^ 0), показан на рис. 2 с помощью широкой серой кривой. При данном условии максимальный фазовый сдвиг между давлением и плотностью наблюдается при штк = 1. При этом фазовый сдвиг между температурой и плотностью стремится к нулю при штк ^ 1 и стремится к — п/2 при штк ^ 1.

При е ^ 1 можно отметить наличие экстремума фр и фт на частотах шту ~ 1 или, что одно и то же, штк ~ е. Более точно значения этих частот можно определить по формулам (12), (13). На более высоких частотах штк > е фазовые сдвиги практически совпадают со случаем, когда тепловыделение отсутствует, то есть основной вклад идет только от эффекта теплопроводности. Из представленного можно сделать вывод о том,

7с = 1, 2.

температурой и плотностью [6-8]:

(19)

что фазовый сдвиг из-за теплопроводности и тепловыделения при е ^ 1 можно рассматривать как сумму фазовых сдвигов из-за каждого из представленных эффектов по отдельности.

Однако при е > 1 можно говорить о совместном влиянии теплопроводности и тепловыделения в некотором диапазоне частот. Фазовый сдвиг между давлением и плотностью уменьшается с ростом е, а максимальное значение отмечается при ш^/ту тк ~ 1. Отметим наличие лишь одного экстремума в отличие от случая е ^ 1. Однако фазовый сдвиг между температурой и плотностью изменяется от 0 при y0 > 1 (—п при y0 < 1) до —п/2 при частотах штк ~ е или, что то же самое, при шту ~ 1.

Обсуждение результатов. В работе получены выражения для фазовых сдвигов между давлением и плотностью и между температурой и плотностью с учётом процессов нагрева и охлаждения среды, зависящих от температуры и плотности, и с учетом процесса теплопроводности. В отсутствие теплопроводности найдены максимальные значения фазовых сдвигов и определены частоты, на которых они отмечаются.

При учёте теплопроводности показано, что, когда отношение характерных времён теплопроводности и тепловыделения тк/ту ^ 1, итоговый фазовый сдвиг является суммой фазовых сдвигов из-за каждого эффекта по отдельности.

При тк/ту > 1 совместные действия теплопроводности и тепловыделения уменьшают максимальный фазовый сдвиг между давлением и плотностью по сравнению с независимым учетом этих эффектов. Кроме того, частота, при которой достигается максимальный фазовый сдвиг, изменяется до штах^/тутк ~ е. Фазовый сдвиг между температурой и плотностью изменяется от 0 (или —п) до —п/2, однако переходная область наблюдается на частотах шту ~ 1, определяемых не теплопроводностью, а тепловыделением.

Работа поддержана Минобрнауки РФ в рамках государственного задания вузам и научным организациям, проекты 0023-2019-0003, FSSS-2020-0014.

ЛИТЕРАТУРА

[1] G. B. Field, ApJ 142, 531 (1965).

[2] Н. Е. Молевич, А. Н. Ораевский, ЖЭТФ 94(3), 128 (1988).

[3] D. Y. Kolotkov, V. M. Nakariakov, D. I. Zavershinskii, A&A 628, A133 (2019).

D0I:10.1051/0004-6361/201936072.

[4] D. Y. Kolotkov, D. I. Zavershinskii, V. M. Nakariakov, Plasma Physics and Controlled

Fusion 63(12), 123008 (2021). DOI: 10.1088/1361-6587/ac36a5.

[5] N. R. Owen, I. De Moortel, A. W. Hood, A&A 494(1), 339 (2009). DOI: 10.1051/00046361:200810828.

[6] T. Wang, L. Ofman, X. Sun, et al., The Astrophysical Journal Letters 811, L13 (2015).

DOI: 10.1088/2041-8205/811/1/L13.

[7] T. Van Doorsselaere, N. Wardle, G. Del Zanna, et al., The Astrophysical Journal

Letters 727(2), L32 (2011). DOI:10.1088/2041-8205/727/2/L32.

[8] S. K. Prasad, J. O. Raes, T. Van Doorsselaere, et al., ApJ 868(2), 149 (2018). DOI:

10.3847/1538-4357/aae9f5.

[9] A. Prasad, A. K. Srivastava, T. Wang, Solar Physics 296, 105 (2021).

DOI:10.1007/s11207-021-01846-w.

[10] A. Prasad, A. K. Srivastava, T. Wang, K. Sangal, Solar Physics 297, 5 (2022).

DOI:10.1007/s11207-021-01940-z.

[11] D. I. Zavershinskii, D. Y. Kolotkov, V. M. Nakariakov, et al., Physics of Plasmas 26,

082113 (2019). DOI:10.1063/1.5115224.

[12] D. I. Zavershinskii, N. E. Molevich, D. S. Riashchikov, S. A. Belov, Physical Review

E 101(4), 043204 (2020). DOI:10.1103/PhysRevE.101.043204.

[13] N. Molevich, D. Riashchikov, Physics of Fluids 33(7), 076110 (2021). DOI:

10.1063/5.0053394.

[14] N. E. Molevich, D. S. Ryashchikov, D. I. Zavershinskiy, Magnetohydrodynamics 52(1), 199 (2016). DOI: 10.22364/mhd.52.1-2.23.

Поступила в редакцию 8 апреля 2022 г.

После доработки 27 июля 2022 г. Принята к публикации 29 июля 2022 г.