CC BY
16
УДК 537.9,536.4,656.13
ФАЗОВЫЕ СОСТОЯНИЯ АВТОТРАНСПОРТНЫХ
ПОТОКОВ В ЛИНЕЙНЫХ ТУННЕЛЯХ. АНАЛИЗ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
И. А. Лубашевский1,2, Н. Г. Гусейн-заде1'2, К. Г. Гарнисов2'3, Б. Ю. Лившиц2'3
Анализируются эмпирические данные автотранспортных потоков, собранные на линейном участке Лефортовского туннеля 3-го автотранспортного кольца Москвы. Показано, что наблюдаемый в туннеле перегруженный автотранспортный поток действительно характеризуется кооперативным движением автомобилей. В частности, обнаружены длинномасштабные пространственные корреляции в скорости их движения и наличие области "широко рассеянных состояний" на фундаментальной диаграмме - два типичных свойства фазы кооперативного движения автомобилей. Кроме того, на фазовом портрете динамики автотранспортного потока выявлено наличие двух областей с принципиально разными свойствами, которые разделены узким слоем с фактически фиксированным значением плотности автомобилей. Одна из них отвечает кооперативному движению автомобилей и содержит ядро хаотической динамики. Другая область соответствует необратимому образованию затора.
Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН.
2МИРЭА.
3Мосгортранс.
Описание транспортных потоков. Математическое описание транспортных потоков и разнообразных явлений, в них происходящих, давно уже привлекают внимание исследователей. Тем не менее, и по сей день в физике транспортных потоков много открытых принципиальных проблем и универсального математического подхода к адекватному моделированию сложных явлений, наблюдаемых в этой системе, не существует.
Одной из первых математических моделей автотранспортных потоков является гидродинамическая модель Лайтхилла-Уизема [1, 2], предложенная в 1955 году для исследования движения в нью-йоркских туннелях. Различные модификации этой модели используются до сих пор. Гидродинамическая модель позволила перейти от описания индивидуального движения отдельных автомобилей к анализу динамики автотранспортных потоков как некоторой континуальной среды. А именно, в этой модели транспортный поток рассматривается как движение одномерной сжимаемой жидкости. При этом предполагается наличие однозначной зависимости средней скоростьи потока у(р) от плотности автомобилей р. Последнее допущение позволяет ввести также величину потока (число автомобилей, пересекающих данное сечение автомагистрали в точке х за единицу времени), как некоторую функцию р) = и(р)р локальной плотности р.
(а)
предельный поток
"свободное" движение
движение в заторе
/
(б)
предельный поток (при "свободном" движении)
реальный предельный поток
"свободное" движение
кооперативное движение
Плотность машин, р
"фазовые" | переходы 1-го рода
движение
в заторе >
Плотность машин, р
Рис. 1. Фундаментальная диаграмма и фазовые состояния автотранспортного потока, (а) - модель Лайтхилла-Уизема, (б) - диаграмма с областью широко рассеянных состояний.
Соотношение q = СЦ{р) играет важную роль в теории транспортных потоков и ее отображение на плоскости {<?,/>} называется фундаментальной или основной диаграммой. В модели Лайтхилла-Уизема эта зависимость непрерывна, следовательно, предельная
пропускная способность участка дороги определяется непосредственно плотностью потока (рис. 1(a)).
К сожалению, это чисто теоретическое допущение, и оно плохо описывает реальную ситуацию на дорогах. Попытки "исправить" фундаментальную диаграмму начались с 1974 года и продолжаются до сих пор. При малых и очень высоких плотностях наблюдается корреляция между потоком и плотностью, а для промежуточных плотностей однозначной ветви на фундаментальной диаграмме не существует из-за сильной зависимости от специфики конкретной дорожной сети и сложной структуры самого потока. Вместо этого на диаграмме появляется реально двумерная область - "область широко рассеянных состояний", где каждая точка может трактоваться, как метастабильное состояние системы (рис. 1(6)) [3, 4]. Предпринималось множество попыток объяснить эти особенности.
Обычно транспортный поток принято рассматривать аналогично потоку жидкости или газа. Поэтому понятие "фазового перехода" в транспортном потоке было введено по аналогии с фазовыми переходами в жидкостях, то есть это качественные скачкообразные изменения в его средней скорости и плотности. Но даже достаточно сложные представления о фазах автотранспортного потока [5], когда его поведение уподобляется фазовым переходам газ —> жидкость —> замерзающая жидкость —» лед - не совсем адекватно описывает фазовые переходы и фазовые состояния потока автомобилей. Причина и механизм фазовых переходов, происходящих в автотранспортном потоке, до сих пор не ясны.
В 1996 году Б. С. Кернер [6], анализируя эмпирические данные корпорации Daimler Chrysler, предложил добавить в классическое представление о движении автомобилей либо в режиме свободного потока, либо в режиме затора третью промежуточную стадию. В результате получилась следующая классификация фаз движения транспортного потока (рис. 1(6)): свободное движение (freeflow), кооперативное движение (synchronized flow) и движение в заторах (wide moving jams). Эти состояния потока автомобилей отвечают различным фрагментам основной диаграммы, которые принципиально отличаются друг от друга по наблюдаемым свойствам. То есть, согласно Б. С. Кернеру, в транспортных потоках реализуются три принципиальные фазы, и если обычная жидкость может просто течь или замерзнуть, то у транспортного потока есть третье, "полузастывшее" - желеобразное состояние. Это "синхронизованное движение автомобилей'1, когда машины мешают друг другу разогнаться до оптимальной скорости, но при этом поток не переходит в состояния затора.
о
При свободном движении, когда дорога не загружена, водители придерживаются желаемой скорости, свободно переходя на соседние полосы. Корреляции в движении отдельных автомобилей подавлены, и средняя скорость автомобилей определяется только средним расстоянием между ними.
Когда движение становится достаточно плотным, водители уже не могут свободно маневрировать и вынуждены согласовывать свою скорость со скоростью потока. Это и есть синхронизованная фаза движения автомобилей. Иными словами, в этом потоке формируются большие кластеры автомобилей, которые перемещаются по автомагистрали как единое целое. При этом, такой кластер может распространяться на все ряды автомагистрали и содержать десятки автомобилей по направлению движения. В этом случае корреляции в движении отдельных автомобилей достаточно велики и средняя скорость потока v контролируется не только плотностью автомобилей, но и рядом других параметров. Как результат, на основной диаграмме (рис. 1(6)) возникает целая двумерная область возможных состояний автотранспортного потока - область сильно рассеянных состояний (widely scattered states), которая и есть область кооперативного движения. Это может свидетельствовать о принципиальном изменении свойств движения автомобилей в перегруженном транспортном потоке по сравнению со свободным потоком.
Это представление подвергалось дальнейшей модификации. Некоторые исследователи выделяют отдельно стадию старт-стоп (stop-and-go) движения, когда при большом скоплении автомобилей движение потока приобретает прерывистый характер. Д. Хел-бинг вместе с коллегами фаз насчитали уже шесть [4]. Четыре из них соответствуют разного рода "волнам плотности" в потоке, где скопления или кластеры автомобилей чередуются с участками свободного движения. Сейчас часто синхронизованное движение и движение в заторах объединяются также понятием перегруженного транспортного потока (congested traffic flow), что отражает значительное взаимодействие и корреляции в движении автомобилей в данных случаях.
Тем не менее, концепция новой "синхронизованной фазы" и по настоящее время вызывает дебаты. В частности, К. Ф. Даганзо [5, 7] связывает все сложные явления, возникающие в автотранспортных потоках, либо с внешними причинами - "сужениями" (смена рядности, сужения, неоднородности дороги и др.), либо с локальными помехами (локальное изменение скорости, локальные помехи), а также с такими причинами, как неодинаковость самих транспортных средств.
В рамках данной статьи проведено исследование эмпирических данных, собранных в "верхней" линейной ветви Лефортовского туннеля 3-го автотранспортного кольца Москвы в 2004-2005 годах. При этом показывается, что наблюдаемый перегруженный поток автомобилей действительно обладает свойствами кооперативной динамики и может трактоваться как синхронизованная мода движения автомобилей.
Фрагмент Третьего автотранспортного кольца г. Москвы
Рис. 2. Структура Лефортовского туннеля.
Трафик в протяженных туннелях. Интерес к динамике автотранспортного потока в протяженных туннелях глубокого заложения является отдельной темой исследований еще с середины прошлого века (напр., [8, 9]). Интерес к этой проблематике связан с несколькими причинами. Первая и, возможно, главная из них - безопасность. Формирование затора в протяженных туннелях - явление крайне опасное, и чтобы эффективно управлять движением, надо знать, как обнаруживать критические состояния в потоке, приводящие к образованию затора. Кроме того, закономерности движения автомобилей в туннелях сами по себе являются очень привлекательным объектом для изучения основных свойств поведения ансамбля машин на дороге. Дело в том, что в линейных туннелях большой длины движение автомобиля определяется главным образом двумя факторами: ограничением скорости и количеством полос. При этом протяженные туннели обычно хорошо оборудованы для отслеживания движения машин, что дает уни-
кальную возможность получать детальную информацию о пространственно-временных структурах потока автомобилей на всей протяженности всего туннеля.
На рис. 2 представлены схема Лефортовского туннеля и структура системы детекторов движения внутри него.
Туннель состоит из двух веток. Верхняя ветка представляет собой трехполосный прямой туннель глубокого заложения, длина его около 3 км. Именно на этой ветке были собраны представленные в статье данные. Туннель оборудован стационарными радиодетекторами, равномерно распределенными вдоль него в шахматном порядке на расстоянии 60 метров друг от друга. Из-за технических особенностей детекторов движение автомобилей на крайних полосах определяется через каждые 120 метров, в то время как движение по средней полосе фиксируется через каждые 60 метров. Данные были усреднены по интервалам времени в 30 секунд.
Каждый детектор измеряет три характеристики ансамбля автомобилей; интенсивность потока скорость автомобиля V и занятость полосы к (данная характеристика определяется отдельно для каждой полосы). Занятость является аналогией плотности автомобилей, ее можно определить как общее относительное время, в течение которого автомобиль видим в зоне детектирования данного детектора в пределах усредняемого интервала времени. Занятость измеряется в процентах.
Кооперативное движение ансамбля машин. На основе обработанных данных можно утверждать, что автотранспортный поток действительно демонстрирует кооперативную динамику, когда плотность автомобилей становится достаточно высокой. На рис. 3 показаны фазовые плоскости и} и <7}, визуализирующие результаты измерений всех детекторов движения автомобилей на 31 мая 2004 г. Эти фазовые плоскости были разделены на ячейки размерами 1% х 2 км/ч и 1% х 0.02 авт/сек., соответственно. Каждые 30 сек состояния, попавшие в избранную ячейку, дают вклад в соответствующее распределение. Эти распределения в некоторых относительных единицах представлены здесь в виде линий постоянного значения (линий уровня). Левая часть каждого слайда соответствует состояниям свободного потока, что хорошо видно на правом слайде, где затемненная область показывает верхний фрагмент соотношения потока и плотности свободного движения автомобилей. Однако полученное распределение даже для свободного потока является слишком разбросанным, что возможно происходит из-за существенной дисперсии расстояний до впереди идущего автомобиля. Средние части слайдов показывают другой режим автотранспортного потока - приводящей к появлению области широко рассеянных состояний и отвечающий синхронизованному
движению автомобилей [10, 11]. Линии уровня здесь покрывают достаточно широкие области и не следуют друг за другом так часто, как в левой части. Именно этот режим обычно связывается с кооперативным движением транспорта.
Рис. 3. Нормированная вероятность реализации (верхние слайды) и автокорреляции в занятости, скорости машин и интенсивности потока, измеренных различными детекторами как функция расстояния между ними (нижний слайд).
На рис. 3 (нижний слайд) показаны пространственные автокорреляции занятости, скорости автомобилей и величины (интесивности) потока, измеренных разными детекторами на средней полосе 28 сентября 2005 г., когда преобладало перегруженное движение. В согласии с данными о единичных автомобилях [11] перегруженное движение автомобилей характеризуется существенными корреляциями, особенно это касается скорости автомобилей. Данные по интенсивности потока существенно коррелируют только в пределах нескольких соседних детекторов (на расстоянии около нескольких сотен метров) в то время как данные по скорости отдельных автомобилей и результатами измерения занятости коррелируют на половине протяженности туннеля, т.е. примерно 1 км.
Образец динамики ансамбля автомобилей в фазовом пространстве. Характеристики динамики ансамбля автомобилей в фазовом пространстве {&,г>} были изучены с помощью метода, использованного при похожем анализе в [13]. Плоскость раз-
делена на ячейки {С} размером 2.5% х 2.5 км/ч. Пусть результаты измерений потока данным детектором в момент времени t попадают в ячейку Сг с учетом усредняющего интервала сИ = 30 сек. Следующие измерения этого же самого детектора располагаются
10 20 30 40 5010 Занятость, %
20 30 40 50 Занятость, %
О 500 1000 1500 2000 2500 Дистанция между детекторами, м
в ячейке Су Тогда вектор ¿г = {ёкг, ¿и*}, где ¿кг — kj — А;, и = — у,- описывает изменение в движении на фазовой плоскости в данной точке г, = {к,, и,-} в момент ¿. Эти вектора были рассчитаны с использованием данных, собранных всеми детекторами 28 сентября 2005 г. Усреднение по пространству и времени найденных векторов дает поле смещения 14, (г) — (¿г)/<И результатов измерений и величину ^(г) действующей случайной силы, определяемой как:
= ^/(^г!)2 - (¿Г)2.
На рис. 4 показаны эти поля. Левый слайд показывает отношение г\ — £)/|У|то в зависимости от V и к, а именно, его вариации от 0 до 3.5. Белая область включает ячейки, где не было зафиксировано результатов. Заштрихованная область соответствует т] > 3.5, в этой области динамику ансамбля автомобилей можно рассматривать как чисто случайную. Между белой и заштрихованной областями содержится несколько уровней?;, а уровень г] = 1.0 выделен пунктиром. При малых значениях т] динамика ансамбля автомобилей становится практически регулярной.
10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70
Занятость, к (%) Занятость, к (%)
Рис. 4. Структура динамики потока автомобилей как целого на фазовой плоскости {£,и}. Левый фрагмент показывает распределение отношения между случайной и регулярной компонентами эффективных "сил". Правый фрагмент визуализирует поле регулярного дрейфа.
Правый слайд на рис. 4 показывает поле сдвига Ут(г). Поскольку его модуль суще ственно изменяется в различных частях плоскости {к,ь}, использованы два отдельных слайда. На левом слайде поле сдвига увеличено в три раза относительно правого слайда. Рассмотрим их по отдельности. Динамика системы на правом слайде в значительной
степени регулярна и поле Ут(г) соответствует необратимому сдвигу ансамбля машин в сторону меньших скоростей и более высоких плотностей. Другими словами это есть визуализация образования затора. В действительности в этот день был зарегистрирован, по меньшей мере, один затор. Следует отметить, что переходная область, разделяющая левый рисунок, в значительной мере более хаотичный, гораздо меньше, она соответствует приблизительно к = 35% и ее размеры составляют менее 5% от всей области движения. Таким образом, образование затора, судя по всему, связано с разрывом в кооперативном движении машин, что находится в согласии с другими данными [3].
Структура полей левого и среднего слайдов достаточно подобны. В окрестностях ниспадающей диагонали фо этих слайдов динамика является чисто хаотической, по крайней мере, найденные значения Ут(г) относительно невелики и их направления не образуют никакой регулярной картины. Как и должно быть, за пределами этой области поле Ут(г) становится более регулярным и полученные данные позволяют нам оценить его характерные направления.
Необычностью данной структуры поля Ут(г) является наличие протяженной диагонали малых значений поля Ута(г), которую можно отождествить с некоторым низкоразмерным континуумом нулей этого регулярного поля. Вне диагонали фо поле дрейфа Уто(г) имеет явно выраженную составляющую вдоль нее, что видно, по крайней мере, в нижней части фазового портрета на рис. 4. Такое поведение системы может быть объяснено с использованием понятия динамических ловушек, т.е. наличия континуума седловых точек поля регулярного дрейфа, которые обусловлены аномальным поведением кинетических коэффициентов системы, а не изменением направления действующей силы. Мы связываем механизм появления динамических ловушек для автотранспортных потоков с ограниченной рациональностью водителей, что является общим для систем, где человеческий фактор играет ключевую роль [13-15]. В частности концепция динамических ловушек позволяет объяснить существование континуума долгоживущих состояний, наблюдаемым в автотранспортных потоках (см., например, [3, 13]). Отметим, что подобные фазовые портреты были обнаружены и при численном моделировании ансамбля осцилляторов с динамическими ловушками [14, 15].
Проанализировав эмпирические данные автотранспортных потоков в Лефортовском туннеле 3-го транспортного кольца Москвы 2004-2005 годов, мы показали, что наблюдаемый перегруженный транспортный поток действительно характеризуется коопера тивным движением автомобилей. Во-первых, на фундаментальной диаграмме имеется
область широко рассеянных состояний, которая, как считается, является характерным свойством синхронизованного движения автомобилей. Во-вторых, пространственные автокорреляции занятости и скорости автомобилей, измеренных разными детекторами, являются существенными. В частности, эти величины оказываются скоррелированны-ми на расстоянии порядка 1 км. Вариации интенсивности потока автомобилей скорре-лированы на существенно более коротких расстояниях - около 200-300 м.
На фазовой плоскости {занятость, скорость} был изучен фазовый портрет динамики автотранспортного потока как целого, и продемонстрировано, что на ней существует две области с различными свойствами. Одна область отвечает кооперативному движению автомобилей и содержит некоторое ядро, где динамика является чисто хаотической. Существенно, что в этой области поле регулярного дрейфа имеет протяженный низкоразмерный континуум нулей. Такую особенность фазового портрета можно объяснить, используя концепцию динамических ловушек для описания фазовых переходов в перегруженном трафике. Другая область соответствует необратимому формированию затора. Эти две характерные области разделены относительно узким вертикальным переходным слоем, фактически с фиксированным значением к = 35%.
Работа была выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ N 06-08-89501 и DFGGZ: МА 1508/8-1.
ЛИТЕРАТУРА
[1] М. J. Lighthill and G. В. Whitham, Ргос. Roy. Soc. A., London, 2 29(1178), 281 (1955).
[2] Дж. Уизем, Линейные и нелинейные волны (М., Мир, 1977).
[3] В. S. Kerner, Physics of traffic flow (Springer, Berlin, 2004).
[4] V. Shvetsov and D. Helbing, Phys. Rev. E 59, 6328 (1999).
[5] В. В. Семенов, Нелинейный мир, N 5-6, ч. 1, 343 (2005).
[6] В. S. Kerner and Н. Rehborn, Phys. Rev. E 53, R4275 (1996).
[7] C. F. Daganzo, Remarks on Traffic Flow Modeling and its Applications (http://www.ce.berkeley.edu/~ daganzo/publications.htm).
[8] H. C. Chin and A. D. May, Examination of the Speed-Flow Relationship at the Caldecott Tunnel. In: Transportation Research Record, 1320, Transportation Reserch Board (NRC, Washington, DC, 1991), p. 1.
[9] R. W. Rothery, Car following models. In: Traffic Flow Theory, ed. by N. Gartner, C. J. Messer, and A. K. Rathi. Transportation Research Board, Special Report, 165, 1992, Chap. 4.
[10] D. Helbing, Rev. Mod. Phys. 73, 1067 (2001).
[11] L. Neubert, L. Santen, A. Schadschneider, and M. Schreckenberg, Phys. Rev. E 60, 6480 (1999).
[12] R. Friedrich, S. Kriso, J. Peinke, and P. Wagner, Phys. Lett. A 299, 287 (2002).
[13] I. Lubashevsky, R. Mahnke, P. Wagner, and S. Kalenkov, Phys. Rev. E 66, 016117 (2002).
[14] I. Lubashevsky, M. Hajimahmoodzadeh, A. Katsnelson, and P. Wagner, Eur. Phys. J. В 36, 115 (2003).
[15] I. Lubashevsky, R. Mahnke, M. Hajimahmoodzadeh, and A. Katsnelson, Eur. Phys. J. В 44, 63 (2005).
Поступила в редакцию 23 апреля 2008 г.
