CC BY
63
УДК 532.5:534.1
Н.Н. Смирнов, А.Б. Киселев, В.Ф. Никитин, А.В. Кокорева Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Математическое моделирование движения автотранспортных потоков методами механики сплошной среды. Двухполосный транспортный поток: модель Т-образного перекрестка, исследование влияния перестроений транспортных средств на пропускную способность участка магистрали
Представлено дальнейшее развитие модели движения автотранспортных потоков методами механики сплошной среды. Построена новая модель двухполосного транспортного потока, учитывающая перестроения транспортных средств и основанная на подходе механики многофазных сред. В качестве примера использования модели двухполосного движения проведено численное моделирование Т-образного перекрестка, образованного примыканием второстепенной двухполосной дороги к основной также двухполосной трассе. Движение на этом перекрестке регулируется светофором с тремя фазами работы.
Ключевые слова: математическое моделирование движения автотранспортных потоков, светофор, Т-образный перекресток, перестроение транспортных средств, пропускная способность, механика сплошной среды, многофазные потоки.
I. Введение
Первые математические модели движения автотранспортных потоков с точки зрения механики сплошной среды опубликованы Лайтхиллом и Уиземом [1], а также Ричардсом [2]. Анализ основных полученных ими результатов дается в известной монографии Уизема [3]. С развитием вычислительной техники для изучения движения автотранспортных потоков стало широко применяться численное моделирование. С современным состоянием вопроса можно ознакомиться, например, прочитав учебное пособие по математическому моделированию транспортных потоков [4].
Изучение динамики автотранспортных потоков началось в нашей стране в конце 70-х годов XX века на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в связи с подготовкой к Олимпийским играм 1980 г. в Москве. Результаты этих исследований неоднократно докладывались В.Н. Беловым на научно-исследовательском семинаре И.Н. Зверева. В настоящее время изучение автотранспортных потоков на факультете ведется под руководством Н.Н. Смирнова и А.Б. Киселева на кафедре газовой и волновой динамики и в лабораториях волновых процессов и динамики деформируемых сред. Эти исследования неоднократно поддерживались грантами Правительства г. Москвы и Правительства региона г. Брюсселя (Бельгия).
Существуют три традиционных «механических» подхода к моделированию движения транспортного потока. Микроскопические модели описывают воздействие предыдущего автомобиля на следующий за ним при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных на ньютоновской механике [5, 6]. Макроскопические
модели основываются на уравнениях газовой динамики [1, 7, 8]. Мезоскопические модели представляют собой промежуточное звено между двумя предыдущими моделями. Они основаны на кинетических уравнениях больцмановского типа [9]. В рамках макроскопического, или континуального, подхода для описания движения потока транспорта используется уравнение неразрывности. В качестве второго уравнения ряд исследователей использовали эмпирическое соотношение, связывающее плотность и расход [2, 10]. Такая система позволяет описывать движение локальноравновесного потока. Для описания неравновесного потока было предложено уравнение движения, учитывающее стремление водителя привести свою скорость в соответствие с некой равновесной скоростью [11]. Однако такой подход не позволяет адекватно описывать возникновение ударных волн плотности потока автомашин. Существующие газодинамические модели не учитывают влияние движения впереди идущих транспортных средств на движение автомобилей, следующих позади, и стремление водителя привести свою скорость в соответствие с максимально безопасной скоростью. На решение этих проблем и направлена предлагаемая модель. Ранее проведенные исследования, использующие ее, опубликованы в работах [12-19].
II. Модель движения транспортного потока по автомагистрали
Рассмотрим однонаправленный поток машин по однополосной дороге. Пересечение с другими дорогами и наличие светофоров будет учитываться соответствующими граничными условиями. Введем Эйлерову систему координат х вдоль автомагистрали в направлении движения потока
и время Ь. Среднюю плотность потока р(х,£) определим как отношение площади полосы движения, занятой транспортными средствами, к площади всего рассматриваемого участка полосы движения:
Нп£ п£
~ ~НЬ ~ Т’
Р
(1)
где К — ширина полосы движения, Ь — длина контрольного участка дороги, £ — средняя длина транспортного средства с минимальным расстоянием между стоящими автомобилями, п — количество транспортных средств на контрольном участке. Так введенная плотность является безразмерной величиной и изменяется в интервале 0 < р < 1.
Введем скорость потока v(x,t), которая может изменяться в пределах 0 ^ V ^ ^ах, где ^ах — максимально разрешенная скорость движения на магистрали вне систем регулирования дорожного движения. Из определений следует, что максимальная плотность р =1 соответствует ситуации, когда машины располагаются практически вплотную («бампер в бампер»). В этом случае естественно принять V =0, то есть на дороге образовалась «неподвижная пробка».
Условно называя «массой», сосредоточенной на участке длины Ь, величину
рс],х.
можно записать закон изменения «массы» на автомагистрали. Для непрерывного потока машин будет иметь место уравнение неразрывности:
др д{ру) ді дх
0.
(2)
Запишем уравнение динамики транспортного потока, точнее, уравнение изменения режима движения. Режим движения транспортных средств на дороге определяется следующими основными факторами: реакцией водителя на изменение дорожной обстановки и предпринимаемыми им активными действиями, откликом транспортного средства на действия водителя и техническими характеристиками транспортных средств. При разработке модели динамики транспортных средств были сделаны следующие основные предположения:
• Модель призвана описывать усредненное движение множества транспортных средств, а не движение каждого автомобиля в отдельности. Вследствие этого модель оперирует с усредненными характеристиками транспортных средств, не учитывая индивидуальных различий мощности, инерции, тормозного пути и т.п.
• Модель предполагает в среднем адекватную реакцию всех водителей на изменение дорожной обстановки, а именно: предполагается, что, видя красный сигнал светофора или знак ограничения скорости, например, перед «лежачим полицейским», или скопление машин перед ним, водитель замедляет движение до последующей полной остановки или до допустимой скорости, а не продолжает ускоряться, чтобы впоследствии применить режим экстренного торможения.
• Предполагается, что подавляющее большинство водителей соблюдают правила дорожного движения, в частности, не превышают максимально допустимого скоростного режима, разрешенного на дороге, и выдерживают безопасный интервал между транспортными средствами в зависимости от скорости движения. Кроме того, движения транспорта задним ходом нет.
Тогда уравнение изменения скорости запишется в следующем виде:
скЬ
— а;
а — шах{—а ; шіп{
а+; а'
(! ~сг) Д
х +А
ар(і,у)]у +
к2 др
V (р) —
(3)
р р дх
Здесь а — ускорение транспортного потока; а+ — максимально возможное ускорение разгона; а- — ускорение экстренного торможения; величины а+ и а- положительны и определяются техническими характеристиками транспортного средства. Д — «расстояние принятия решения», то есть длина участка магистрали перед участником движения, где находятся транспортные средства, на характер движения которых реагирует рассматриваемое транспортное средство, а — безразмерный параметр (0 ^ а ^ 1), характеризующий «вес» локальной ситуации по сравнению с ситуацией на некотором расстоянии впереди автомобиля. Параметр к > 0 является, как было показано в работах [8, 12, 13], скоростью распространения возмущений («скоростью звука») в транспортном потоке. Параметр т имеет смысл времени задержки, обусловленной конечностью скорости реакции водителя на изменение дорожной обстановки и техническими характеристиками транспортного средства. Этот параметр отвечает за стремление водителя привести скорость автомобиля в соответствие с максимально безопасной скоростью движения V(р) для плотности потока р [8, 12, 13]. В зависимости от того, требуется ли для достижения максимальной безопасной скорости V (р) притормаживать или разгоняться, значение параметра т
ь
х
т =
0
может быть различным:
т (Р) < V.
т(Р) > г^.
В выражении (3) для ускорения транспортного потока а первое слагаемое отвечает за влияние на поведение водителя локальной ситуации, второе — за влияние ситуации вперед по потоку, а третье — за стремление водителя привести свою скорость в соответствие с максимально безопасной скоростью. Если принять а — 0, то выражение для ускорения (3) примет следующий вид:
“, = і
х+А
ар(і,у)]у +
V (р) —
То есть ускорение зависит только от величины ускорения на участке длины Д, где Д — расстояние принятия решения, и от стремления водителя привести свою скорость в соответствие с максимально безопасной скоростью. При а — 1 выражение (3) принимает следующий вид:
ар +
V (Р) — V
Теперь ускорение зависит от локальной ситуации, а также от третьего слагаемого. Конкретные значения описанных выше параметров, использовавшихся при математическом моделировании, будут приведены ниже.
Таким образом, для описания динамики автотранспортного потока по однополосной дороге из (1) и (2) получается система двух квазилинейных уравнений в частных производных в дивергентной форме:
др д{ру) _ п.
дЬ дх _ ’
д(ру) , д(ру-) _
ді ^ дх Р '■
(4)
где ускорение а определяется тремя последними формулами (3).
Н.1. Исследование основных характеристик системы уравнений, предлагаемой для описания транспортного потока
Модель с постоянной скоростью распространения возмущений. Рассмотрим случай, когда параметр к в формулах (3), (4) постоянен и не зависит от скорости и плотности потока. Данная модель обладает высокой степенью точности, когда скорость потока превосходит скорость распространения возмущений. Рассмотрим случай, когда а = 1, а т = то. Тогда система (4) примет вид
др , д^)
т +
дх
д(рі’) д(рі’2 ді дх
0:
= -А-2^ дх
(5)
Полученная система (5) двух квазилинейных уравнений с неизвестными р,у является гиперболической. Условия вдоль характеристик С + и С-в плоскости (х,і) следующие:
С+ : щ = V + к^рд;у = —кЛр;
V — к,рсІг> = ксір.
. дьх ° • (И
(6)
Полученные выше характеристики несут информацию о дорожной ситуации соответственно по потоку и против него.
Транспортные потоки и существующие системы организации дорожного движения специфичны тем, что распространение информации происходит однонаправлено — навстречу потоку. Тогда для волн, распространяющихся влево, навстречу потоку с постоянными параметрами, имеет место интеграл Римана, полученный из соотношения на характеристике С- (6):
V — уо
к — . Р
(7)
Скорость v(р) определяется из условия зависимости скорости автомобиля V от плотности потока р для условий простой волны, возникающей при начале движения потока с места при условиях ро — 1 и V — 0, с учетом ограничения на максимально допустимую скорость движения (V ^ v0lax) получим выражение для максимально безопасной скорости движения:
V(Р) — {—к іп РV < ^ах: ^ах^ > ^ах}- (8)
Оценка величины скорости распространения возмущений к сделана в работе [13], исходя из следующих соображений. Пусть, начиная движение из состояния покоя (V — 0,р — 1) и ускоряясь до скорости Vтах, поток достигает при этом максимально допустимой плотности р*, гарантирующей безопасность движения. Под безопасной плотностью понимается такая плотность, при которой расстояние между машинами не меньше тормозного пути X(V). Тогда
р* — (1+ X «аХ)/^Г\
к — V0max ІП-1(1+ X^°тах)/1).
При v{max — 80 км/ч тормозной путь автомобиля типа ВАЗ составляет 45 м, что при средней длине автомобиля (с учетом минимального расстояния между стоящими автомобилями) I — 5 м дает скорость распространения слабых возмущений к — 35 км/ч. Для такой величины v<0lax максимально возможная безопасная плотность потока равна р* — 0,1. Величины максимальных ускорений для автомобилей данного класса составляют а+ — 1,63 м/с2 и а- — 5,5 м/с2.
Оцененная таким образом «скорость звука» к хорошо согласуется с экспериментальными данными, приведенными в работе [20].
Переменная скорость распространения возмущений. Рассмотрим случай, когда параметр к в формулах (3), (4) зависит от скорости
х
а
v и плотности потока р. Предположим, что транспортному средству требуется время тр для реакции на изменение дорожной обстановки впереди по потоку: к = £'/тр, где тр — время реакции водителя, V — расстояние между транспортными средствами (рис. 1). По определению плотности £' = £/р, следовательно, к = ki/ р, где ki = l/rp.
Рис. 1
Анализ наблюдений за движением потока транспорта показал [20, 3], что при небольшой плотности потока возмущения распространяются с постоянной скоростью. Тогда скорость распространения возмущений можно вычислять по формуле
^p)
^/p при p > pk = ^/ко,
(9)
ко при p < pk.
График этой зависимости представлен на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость скорости распространения возмущений от плотности потока
Если в (3) принять а — 1,т — то, то при р ^ рк получим систему двух квазилинейных уравнений в частных производных:
Эр + V£P + 0SLH — и at ^ и дх т Рдх ~ и’
4- лііі- 4- д-Р — п dt ' дх ' р3 дх ’
,др.
(1О)
Ее характеристики в плоскости (x; t)— C+, C и условия вдоль них следующие:
pp ■ — - v - !f,pdv = !fdp.
(ІІ)
Для волн, распространяющихся влево, навстречу потоку с постоянными параметрами, имеет место интеграл Римана, полученный из соотношения на характеристике С- (11):
v — vо
p PоУ
В предложенной модели предполагается, что
V = 0 при р =1. Таким образом, получаем зависимость для скорости потока:
1
V = А^1-----1
р
В модели принимается, что V = ко — к\ при р = рк. Тогда из (11) получаем следующую зависимость для скорости потока:
V = кп — к\ — кп 1п ( — ) .
\рк)
Учитывая ограничение на максимальную скорость потока (V < V0lax), можно получить следующую зависимость для максимальной безопасной, для данной плотности р, скорости потока:
У(р) = 1шп{^ах; к^- - 1) при р > рл, р
(ко - к]_) - ко 1п — при р < рк}. (12) рк
График этой зависимости представлен на рис. 3.
V
К"
А
\ \ V
\
\ V \
0 Рк 1 р
Рис. 3. Максимально безопасная для данной плотности р скорость потока
Экспериментальное определение значения скорости распространения возмущений к\ при начале движения потока.
Эксперимент проводился для однополосного потока машин, без учета возможности перестроений в очереди перед светофором. В начальный момент времени, когда включен красный сигнал светофора, автомобили располагаются вплотную, «бампер в бампер». Тогда, согласно представленной модели, плотность потока р = 1 и к(1) = ^ = к^. Величина скорости к\ определялась экспериментально следующим образом: осуществлялись прямые наблюдения и замеры времени между тем, как загорался зеленый сигнал, и моментами, когда начинали движение автомобили, удаленные на расстояние 1\ = 48,5 ми /2 = 73,5 м от светофора. Фиксировалось соответственно время начала движения в точках 1\ и /2, что позволяло определить среднюю скорость распространения сигнала:
/2 — /1
к
!,эксп —
t2 — ti
Результаты произведенных замеров сведены в табл. 1. В расчетах использовалось среднее арифметическое значение к1 = 4,1 м/с « 15 км/ч.
Таблица 1
Результаты эксперимента по определению скорости распространения возмущений к\
№ к, м І2, М #1, с #2, С &1,эксп., м/с
1 48,5 73,5 14,46 19 5,5066
2 48,5 73,5 10,99 17 4,1597
3 48,5 73,5 12,58 18 4,6125
4 48,5 73,5 9,33 17 3,2595
5 48,5 73,5 12,53 18 4,5704
6 48,5 73,5 14,17 21 3,6603
7 48,5 73,5 11,52 19 3,3422
8 48,5 73,5 12,5 20 3,3333
Н.2. Модель перестроений транспортных средств между полосами
Рассмотрим однонаправленный поток машин по двухполосной дороге при подъезде к светофору. Введем эйлерову систему координат х вдоль автомагистрали в направлении движения потока и время Ь. Средняя плотность потока р(х,Ь) вычисляется по формуле (1).
Движение транспортного потока регулируется светофором. Ь1 — координата места расположения светофора (рис. 4). Основные параметры работы светофора — длительность сигналов: зеленого ^ и красного Ь2. Во время работы зеленого сигнала разрешен проезд по обеим полосам, во время работы красного сигнала проезд по обеим полосам запрещен.
0
Рис. 4. Схема движения двухполосного транспортного потока с учетом перестроений между соседними полосами
Пусть в начальный момент времени транспортные средства, которые должны проехать светофор в левом и правом рядах, равномерно распределены между полосами движения. Тогда плотность потока по каждой полосе рк(х) = р1,к + р2,к, где х — координата вдоль полосы по направлению движения, р1,к — плотность транспортных средств, которые не обязаны сворачивать на соседнюю полосу и р2,к — плотность тех транспортных средств, что должны перестроится в другой ряд до светофора (рис. 4).
Тогда уравнения баланса транспортных средств на двух соседних полосах с индексами
к,т запишутся в следующем виде:
-ц ~7^(,р1^к'^к) = ^кт[.р2:т:рк):
& р2,к 9
--' ~дх ‘2'к1'к ~ ~и;тк(Р2,к,Рт )
дрі,т , д
т + дх{р1'т1'п
др2,г,
ді
) — ^тк (р2,к,рт), — ^кт(р2,т,рк )*
Здесь штк — поток транспорта с полосы к на полосу т. Он рассчитывается следующим образом: рассматривается условие перестроения по близости светофора; если
'°кТгт + Д(г > Ь1 — х, (13)
то необходимо перестраиваться. Рассматривается условие по плотности до светофора (если первое условие не выполнено); если
рк (Ь > х1 > х) > ргт, (14)
то производится перестроение. В случае выполнения условия перестроения рассчитывается штк'.
{р2,к(Х — рт))5*г
Пт
(15)
— характерное время перестроения, Діт — дополнительная дистанция, ріт- критическая плотность на полосе, на которую должно быть выполнено перестроение, параметр 5іт отвечает за интенсивность потока, Ьі — координата светофора.
Уравнения изменения скорости для транспортных средств, движущихся по соседним полосам, запишутся в следующем виде:
ЛУк _ к2 д(р^к + Р2,к),
Л
СІІ’т
Л
Р1,к + Р2,к дх
^___________д(Р1
,т + р2 ,т )
р1,т + р2,т дх
Предложенная модель движения двухполосного транспортного потока с учетом межрядовых перестроений при подъезде к светофору учитывает как случай свободного движения потока транспорта, так и ситуацию, когда возникает подвижная пробка.
III. Двухполосный транспортный поток
III. 1. Математическая модель двухполосного транспортного потока
Рассмотрим однонаправленный поток машин по двухполосной дороге. Введем эйлерову систему координат х вдоль автомагистрали в направлении движения потока и время Ь. Средняя плотность потока р(х^) вычисляется по формуле (1). Для описания динамики автотранспортного потока получается система двух квазилинейных уравнений в частных производных в дивергентной форме (4).
Воспользуемся моделью, предложенной в разделе 11.1, то есть будем считать, что параметр к зависит от р и эта зависимость выражается формулой (8). Тогда система (4) примет вид (10). В этом случае максимально безопасная скорость движения транспортного потока для данной плотности V(р) вычисляется по формуле (9).
В качестве начальных условий примем, что на участке длиной хо, считая от входа х = 0, магистраль занята потоком машин плотности ро, движущихся с максимально безопасной для данной плотности скоростью V(ро), а при хо < х ^ Ь магистраль свободна от машин (р = 0^ = 0). Плотности транспортных средств на полосах в начальный момент времени вычисляются по следующим формулам:
= (л -
юоу
р0,к — (1
Ро,,
р
100/
Рі,
Р о
юоРо’ Р2’;
100/
Ро.
где р — процент транспортных средств, которые должны оказаться на правой полосе к до светофора (рис. 4).
В качестве граничных условий на концах рассматриваемого участка магистрали 0 ^ х ^ Ь выберем следующие: на входе потока при х — 0 возможны два варианта граничного условия.
1. В условиях отсутствия «пробки» задается плотность потока и скорость, равная максимально безопасной для данной плотности:
р(0,*) = ро; v(0,t) = V (ро).
1. В условиях подвижной или неподвижной «пробки», примыкающей к входному участку дороги х = 0, ставится условие равенства нулю градиента плотности, а скорость равна максимально безопасной для данной плотности:
др
дх
— 0; v(0,t) — V (р).
Наличие или отсутствие «подвижной пробки», примыкающей к левой границе расчетной области х = 0, определяется после расчета очередного шага по времени по следующему критерию. Если
др
дх
> 0 и р > ро,
то имеется «подвижная пробка».
На выходе потока при х = Ь ставится условие «свободного выхода»:
^1 = и- —
дх ’ дх
0.
На основе описанной выше модели двухполосного потока проведено численное моделирование Т-образного перекрестка, образованного примыканием второстепенной двухполосной дороги к основной также двухполосной трассе. Движение на этом перекрестке регулируется светофором с тремя фазами работы. В ходе соответствующей фазы движение на перекрестке осуществляется так, как показано на рис. 5, 6, 7. На рис. 5 видно, что с второстепенной дороги правый поворот осуществим только из правого ряда, а левый — только из левого. На рис. 6 показано, что при движении по основной дороге слева направо правый ряд предназначен для поворота направо, а левый — для движения прямо. При движении справа налево левый поворот осуществляется из левого ряда, а движение прямо — из правого ряда.
Рис. 5. Схема движения автотранспорта по Т-образному перекрестку в ходе первой фазы работы светофора
Рис. 6. Схема движения автотранспорта по Т-образному перекрестку в ходе второй фазы работы светофора
ПХ.2. Модель Т-образного перекрестка
Рис. 7. Схема движения автотранспорта по Т-образному перекрестку в ходе третьей фазы работы светофора
1
х
х
В начальный момент времени автомобили, которые собираются поворачивать или продолжать движение прямо, равномерно рассредоточены по обоим рядам. По мере приближения к светофору автомобили начинают перестраиваться в нужный ряд, если выполнено одно из условий (13) или (14).
При расчетах использованы следующие параметры, общие для трех ветвей перекрестка:
Ь1 = 1000 м — длина участка дороги до перекрестка;
хо = 25 м — длина участка, занятого движущимся транспортом в начальный момент времени t = 0;
<ах =18 м / с — максимальная скорость движения на основном участке дороги;
Vp = 3 м / с — максимальная скорость автомобилей, поворачивающих в зоне перекрестка;
ко = 7,9 м/с, к1 = 4,1 м/с — коэффициенты в выражении (2.2.4) для скорости распространения возмущений в потоке автотранспорта;
а+ = 1,5 м/с2 — максимальное ускорение потока; а- = 5 м/с2 — максимальное (экстренное) ускорение торможения потока;
ат = 1,5 м/с2 — стандартное ускорение торможения;
Д = 50 м — расстояние принятия решения; а = 0,5 — «вес» локальной ситуации; т + = 3,3 с, т- = то — время задержки подстройки под безопасную скорость движения в выражении (2.1.3);
ргт = 0,8 — критическая плотность на полосе, на которую должно быть выполнено перестроение;
т1Т = 5 с — характерное время перестроения; Д4т = 20 м — дополнительная дистанция; $1Т = 0,01 в выражении (2.5.3); tl = 60 с, t2 = 45 с, tз = 5 с — длительности фаз работы светофора;
ро = 0,07, ро = 0,08, р3 = 0,11 — плотности потока автотранспорта на входе в расчетную область при х = 0 для левой, правой и нижней частей перекрестка соответственно;
р1 = 0,26, р2 = 0,65, р3 = 0,53 — доля транспортных средств, которые должны пересечь перекресток в правом ряду для левой, правой и нижней частей перекрестка соответственно.
На рис. 8 представлены результаты численного моделирования движения потока транспорта через Т-образный перекресток, регулируемый светофором. Здесь изображена плотность потоков транспорта в районе Т-образного перекрестка в моменты времени, обозначенные на рисунке. Шкала соответствия цвета значению плотности транспортного потока приведена в правом углу рисунка. В левом углу изображен график зависимости плотности потока от координаты расчетной области в левом ряду левой части перекрестка при движении слева направо, ось направлена по ходу движения транспортного потока. Момент времени t = 412 с соответствует первой фазе работы светофора, во время которой для левого ряда левой вет-
ви перекрестка работает запрещающий сигнал. На графике видно, что в ходе работы запрещающего сигнала начинает образовываться второй участок повышенной плотности. Момент времени t = 465 с соответствует второй фазе работы светофора, в ходе которой включен сигнал, разрешающий проезд перекрестка по рассматриваемому участку магистрали. На графике изображено, что к этому моменту два участка повышенной плотности объединились в один затор, распространяющийся навстречу потоку. Момент времени t = 482 с соответствует третьей фазе работы светофора, в ходе которой проезд перекрестка по рассматриваемой полосе запрещен. График показывает, что у перекрестка вновь начинает образовываться очередь из автомобилей. Поскольку предыдущий участок повышенной плотности за время работы разрешающего сигнала не успел миновать перекресток, то с течением времени затор, образующийся перед светофором, растет. Следовательно, для данного режима работы светофора р^ = 0,07 превышает ро, максимальную плотность входящего потока, не приводящую к затору.
Рис. 8. Плотность потоков транспорта в районе Т-образного перекрестка в моменты времени, обозначенные на рисунке
Ш.3. Влияние перестроений транспортных средств из ряда в ряд на пропускную способность участка магистрали
Построенная модель движения транспортного потока через Т-образный перекресток использована для изучения влияния межрядовых перестроений на пропускную способность магистрали. Для этого нижняя ветвь перекрестка рассматривалась изолированно от остальной части, а максимальная скорость поворачивающих транспортных средств принималась равной максимально разрешенной скорости на данном участке магистрали
о
ир
Численное решение поставленной задачи осуществлялось методом TVD со вторым порядком точности [21]. Число узлов расчетной сетки N = 200.
При расчетах использованы следующие параметры:
Ь1 = 1000 м — длина расчетной области;
хо = 25 м — длина участка, занятого движущимся транспортом в начальный момент времени t = 0;
ро = 0.04 ёгу 0.2 — плотность потока автотранспорта на входе в расчетную область при х = 0;
<ах =18 м / с — максимальная скорость движения на рассматриваемом участке дороги;
ко = 7,9 м/с, к1 = 4,1 м/с — коэффициенты в формуле (9) для скорости распространения возмущений в потоке автотранспорта;
а+ = 1,5 м/с2 — максимальное ускорение потока; а- = 5 м/с2 — максимальное (экстренное) ускорение торможения потока;
ат = 1,5 м/с2 — стандартное ускорение торможения;
Д = 50 м — расстояние принятия решения;
а = 0,5 — «вес» локальной ситуации;
т + = 3,3 с, т- = то — время задержки подстройки под безопасную скорость движения в выражении (3);
tg = 40 ё1у 350 с, tr = 50 с — длительности разрешающего и запрещающего сигналов светофора;
ргт = 0,8 — критическая плотность на полосе, на которую должно быть выполнено перестроение;
т= 5 с — характерное время перестроения;
Д4т = 20 м — дополнительная дистанция; $1т = 0,01 в выражении (15).
В расчетах варьировалась плотность входящего потока ро (а значит, и его скорость) и длительность работы зеленого сигнала светофора tg.
Результаты расчетов представлены на рис. 9,
10, 11, 12, 13, 14, 15 и в табл. 2.
Рис. 9. Распределения плотностей рт и рк в левой и правой полосах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени для случая отсутствия подвижной пробки
Левый ряд Правый ряд
■ сю 0,60' о.и
Пая \ ...
ог<г
1 Г-
0.00 ж) г = 470 с ■ ООО 0.00 з) Г = 470 с
1.00
#.80 №.60
«■ ц 0.40
ого' 1
и—
и} Г = 640 с *) г = 640 с
...
„ 0.80
0.60 ...
или К- о.«о к.го
V—
л) Г=770 с го» 408 600 ООО 1000 м) Г =770 с
Рис. 10. Распределения плотностей рт и рк в левой и правой полосах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени для случая отсутствия подвижной пробки
тах
Левая полоса Правая полоса
1.00 ' 1.00
... 0.80 '
11.60 ' ш-
«■ 0.40 '
мі- 0.20
1
ма 200 4П№ СО» 800 1000 200 490 600 В00 1080
а) Г= 80 с 6) *=80 с
1.00 ' 1.00
€.60 " 1.60
1,20 ' 0.20 I
\г->
200 400 600 900 000 1.00 гот 4 о н еоо поп юоо
е) 1 = 110 с г) 1 = 110 с
,.00' п 1.00
0.61 ...
1.40 ' 0.40
иГ 0 ,20 '
1.00 200 400 СОО 800 І000 0.11 1аа **> 6Пв »• «•«
<Э)* = 150с е) г = 150 с
Рис. 11. Распределения плотностей рт и рк в левой и правой полосах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени для случая возникновения подвижной пробки
Левая полоса Правая полоса
1.00 п 1.60
и.ии 1 о.во
О.БО \ ....
0.411 V 0.40 о.г*
\ г~
0.00 200 40 600 800 ю'оо 0.00 210 400 600 800 ной
ж) = 180 с і) г = 180 с
П Г
0-80 0.00
0.60 Оби
0.40 ч/ 0,40
о.го- о.го 1
і 1
“ 200 400 600 и) І =230 С аоо 1поо 0,00 к)і = 230 с
1.00
0.80 о.во
0.6(1 0-60
0.40
о.гл «.
1 Г-
200 40 л) і 600 = 270 с 800 1000 гю 400 «оо юо юоо м) і = 270 с
Рис. 12. Распределения плотностей рт и рк в левой и правой полосах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени для случая возникновения подвижной пробки
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 13. Шкала соответствия цвета значению плотности транспортного потока
Рис. 14. Распределения плотностей рт и рк в левой и правой полосах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени для случая отсутствия подвижной пробки. Движение транспортного потока происходит слева направо
Рис. 15. Распределения плотностей рт и рк в левой и правой полосах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени в случае возникновения подвижной пробки. Движение транспортного потока происходит слева направо
На рис. 9, 10 и 14 даны распределения плотностей рт и рк в левом и правом рядах транспортного потока в зависимости от координаты расчетной области х в различные моменты времени, указанные на рисунке. При этом длительность работы зеленого сигнала светофора Ьд — 350 с, р — 0,3, а начальная плотность транспортного потока равна ро — 0,08. В начальный момент времени работает красный сигнал светофора и до окончания его работы остается 40 с. При таких начальных условиях поток транспорта движется без образования «подвижной пробки». Время на рис. 9, 10 и 14 соответствует следующим моментам цикла работы светофора: і — 70 с — зеленый период первого цикла; і — 430 с — красный период второго цикла;
і — 450-770 с — 4 последовательных момента зеленого периода второго цикла. Как видно из этих графиков, при і — 70 с в левом ряду появляется участок повышенной плотности, а в правом пониженной, вызванные перестроениями из ряда в ряд, после включения красного сигнала плотность в обоих рядах повышается. В левом ряду плотность повышается до своего максимального значения и образуется неподвижная пробка, но за время работы зеленого сигнала зависимость плотности от координаты х возвращается к своему первоначальному виду, что видно на рис. 12л, м. В этом случае «подвижная пробка» с течением времени не образуется. Возвращение профиля плотности
к своему первоначальному виду служит критерием свободного движения потока без образования «подвижной пробки».
На рис. 11, 12, 15 приведены данные для длительности работы зеленого сигнала светофора tg = 50 с, р = 0,3 и начальной плотности ро = 0,1. В начальный момент времени работает красный сигнал светофора и до окончания его работы остается 40 с. Время на рис. 11, 12, 15 соответствует следующим моментам цикла работы светофора: t = 80 с — зеленый период первого цикла; t = 110 с — красный период второго цикла; t = 150 си t = 180 с — зеленый период второго цикла; t = 230 с — красный период третьего цикла; t = 270 с — зеленый период третьего цикла. На рис. 12ж видно, что за время работы зеленого сигнала профиль плотности не успевает вернуться к своему первоначальному виду, и с течением времени в левом ряду образуются участки повышенной плотности, где скорость движения заметно уменьшается. Другими словами, возникает затор, перемещающийся против потока. При этом в правом ряду образуется зона пониженной плотности (рис. 12е, з, к, м). Снижение плотности обусловлено тем, что в левом ряду, в который необходимо выполнить перестроение, плотность превысила критическое значение р= 0,8 и автомобили начинают перестраиваться в левый ряд задолго до светофора.
Результаты исследования зависимости величины предельной начальной плотности потока рО, при которой не образуется «подвижная пробка», от длительности зеленого сигнала светофора tg и р приведены в табл. 2. Остальные исходные параметры фиксированы. Зависимость ро от tg хорошо описывается формулой
р*о = а 1п^)+ Ь, (16)
где а,Ь — параметры, зависящие от многих факторов, включая длительность красного сигнала tт. Для рассмотренных исходных данных значения
а, Ь также приведены в табл. 2, соответствующие графики изображены на рис. 16.
■ ———•
♦ р=0 р=20 р=30 * р=47 * р=50
О 50 100 150 200 250 300 350 400
t
Рис. 16. Зависимость величины предельной начальной плотности потока р0, при которой не образуется «подвижная пробка», от длительности зеленого сигнала светофора tg и p
Проведенные расчеты позволяют сделать вывод, что предельная начальная плотность потока не зависит от процента машин, которые должны проехать перекресток в левом ряду, что объясняется тем, что совокупное количество автомобилей, выполняющих перестроение, не зависит от этого процента. Однако в целом перестроения снижают пропускную способность магистрали в 2 раза по сравнению со случаем отсутствия перестроений.
Таблица 2
Зависимость величины предельной начальной плотности потока р^, при которой не образуется «подвижная пробка», от длительности зеленого сигнала светофора 1д и р, а также соответствующие значения коэффициентов а и Ь в формуле (16)
11 рХ а Ъ
р = о%
50 0,04 0,011 -0,0035
150 0,05
250 0,06
350 0,06
р = 20%
50 0,05 0,011 0,0065
150 0,06
250 0,07
350 0,07
р = 30%
50 0,06 0,09 0,0245
150 0,07
250 0,07
350 0,08
р = 47%
50 0,09 0,054 0,0703
150 0,1
250 0,1
350 0,1
р = 50%
50 0,1 0,054 0,0803
150 0,11
250 0,11
350 0,11
В результате численного решения рассмотренных выше задач получены следующие основные результаты:
• Для двухполосного транспортного потока построены зависимости предельной начальной плотности, не приводящей к затору, от длительности зеленого сигнала светофора и от процента автомобилей, меняющих полосу движения.
• Установлено, что при регулировании движения двухполосного потока транспорта све-
тофором максимальная пропускная способность магистрали падает почти вдвое по сравнению со случаем отсутствия перестроений. В связи с этим на особо загруженных участках дорог целесообразно ограничить в целях повышения пропускной способности магистрали возможность перестроений.
Литература
1. Lighthill M.G., Whitham G. B. On kinetic waves II. A theory of traffic flow on ling crowded roads // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. — 1955. — V. 229, N. 1178. — P. 317-345.
2. Richards P. L. Shock waves on the highway // Operations Research. — 1956. — V. 4, N. 1. — P. 42-51.
3. УиземД. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.
4. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурмин-ский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / под ред. А.В. Гасникова, с приложениями М.Л. Бланка, Е.В. Гасниковой, А.А. Замятина,
В.А. Малышева, А.В. Колесникова, А.М. Райго-родского. — М.: МФТИ, 2010.
5. Bando M., Hasebe K, Nakanish K., Nakayama A. Delay of Vehicle Motion in Traffic Dynamics // Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. — 2000. — V. 17. — P. 275-290.
6. Algers S., Bernauer E., Boero M., Breheret L., Di Taranto C., Dougherty M, Fox K, Gabard G.-F. Review of Micro-Simulation Models. Review Report of the SMARTEST project. 1997 (http://www.its.le eds.ac.uk/projects/smartest/deliv3.html).
7. Карамзин Ю.Н., Трапезникова М.А., Чет-верушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Двумерная модель автомобильных потоков // Математическое моделирование. — 2006. — Т. 18, № 6. — С. 85-95.
8. Смирнов Н.Н., Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Юмашев М.В. Математическое моделирование автотранспортных потоков. — М.: Механико-математический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова, 1999.
9. Prigogine I., Resibois P . On a Generalized Boltzmann-like Approach for Traffic Flow // Bull. Cl. Sci., Acad. Roy. Belg. — 1962. — V. 48, N. 9. -P. 805-814.
10. Greenberg H . An Analysis of Traffic Flow // Operations Research. — 1959. — V. 7. — P. 79-85.
11. Payne H.J. Models of Freeway Traffic and Control: Berkey G.A. Matematical Models of Public Systems. — 1971. — V. 1. — P. 51-61.
12. Смирнов Н.Н., Киселев А.Б., Ники-
тин В.Ф., Юмашев М.В. Математическое моделирование автомобильных потоков на магистралях // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. механ. — 2000. — № 4. — С. 39-44.
13. Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Смир-
нов Н.Н., Юмашев М.В. Неустановившиеся движения автотранспорта на кольцевой магистрали // Прикл. матем. и механ. (ПММ). — 2000. — Т. 64, в. 4. — С. 671-678.
14. Kiselev A.B., Smirnov N.N., Nikitin V.F.,
Yumashev M. V. Mathematical modelling of traffic flow // Proc. of 9th IFAC Symposium in
Transportation Systems 2000 (June 13-15, 2000, Braunschweig, Germany). — Elsevier Science Ltd., Oxford, 2000. — P. 223-232.
15. Смирнов Н.Н., Киселев А.Б., Ники-
тин В.Ф., Асташова Е.Г., Асташов Н.А. Математическое моделирование динамики автотранспортных потоков и вызываемого ими загрязнения атмосферного воздуха в автомобильных тоннелях // Наукоемкие технологии. — 2003. — Т. 4, № 9. — С. 29--43.
16. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Ники-
тин В.Ф., Смирнов Н.Н. Математическое моделирование автотранспортных потоков на регулируемых дорогах // Прикл. матем. и механ. (ПММ). — 2004. — Т. 68, в. 6. — С. 1047-1054.
17. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Ники-
тин В.Ф., Смирнов Н.Н. Математическое моделирование движения двухполосного автотранспортного потока, регулируемого светофором // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. — 2006. — № 4. —
С. 35-40.
18. Kiselev A.B., Kokoreva A.V., Nikitin V.F., Smirnov N.N. Computational modelling of traffic flows // European Conf. on Computational Fluid Dynamics (Egmond aan Zee, The Netherlands, 5-8 Sept. 2006). — Proc. on CD-ROM. — 10 p.
19. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Ники-
тин В.Ф., Смирнов Н.Н. Математическое моделирование движения автотранспортных потоков методами механики сплошной среды. Исследование влияния искусственных дорожных неровностей на пропускную способность участка дороги // Современные проблемы математики и механики. Т. I. Прикладные исследования / под редакцией В.В. Александрова и В.Б. Кудрявцева. — М.: Изд-во МГУ, 2009. — С. 311-322.
20. Greenberg H. An analysis of traffic flow // Operations Research. — 1959. — V. 7. — P. 79-85.
21. Оран Э, Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. — М.: Мир, 1990.
Поступила в редакцию 15.10.2010.
