Фазовые портреты системы гидродинамического типа нa плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА TIA ПЛОСКОСТИ

Н Б. Медведева1, 10. В. Невежина

Челябинскии государственный университет

Исслед\ется качественное поведение траектории системы 1идродина-мическою типа на плоскости, имеющей некоюрые вырождения Построены фазовые пор!реты

Рассматривается система двух дифференциальных уравнений на вещ< ствеиной плоскости с квадратичной нелинейностью специального вида

х = щу - (,у2 ^ ana- + ai?y + /i -Р(х,у), у = £ху - г/х2 f а21J' + а22У + /2 = Q{x, у)

Здесь £ и у не равны нулю одновременно

При дополни гельном условии положительной определенности матриц (ач) система (1) является сис темой гидродинамического типа [1] Изучение ci стем гидродинамического типа представляв! особый интерес по той причин« что они моделируют динамику многих реальных нелинейных сис iем разли* ной физической природы [2]

Настоящее исследование стимулировано тем, что система (I) возникает пр исследовании одною класса полулинейных уравнений тина Соболева [3, 4], именно начально-краевой задачи для системы уравнений Осколкова

1 Частично поддержано фондом Д Сороса по гранту М-98000

82

Н. Б МЕДВЕДЕВА, 10 В НЕВЕЖИНА

Ранее были исследованы фазовые портреты системы (1) для случая, когда коэффициенты системы принадлежат некоторому полуалгебраическому, всюду плотному подмножеству в пространстве параметров системы Когда коэффициенты системы принадлежат этому подмножеству, уравнение {Р(х, у) = 0} задает гиперболу, а уравнение {Q(x, у) = 0} — параболу

В настоящей работе рассматривается система (1) для случая, ко1да множество {Р(х,у) = 0} не является гиперболой, а является парой пересекающихся прямых. При этом предполагается, что множество {Q(x, у) — 0} по-прежнему является параболой Множество параметров для гаких систем представляет из себя алгебраическую гиперповерхность в пространстве параметров

В настоящей работе выясняются характер и расположение особых точек, получены условия отсутствия предельных циклов, а также построены фазовые портреты системы (1) на сфере Пуанкаре

С помощью аффинной замены переменных систему (1) при условии 622 Ф 0 можно привести к виду (2)

х =-ху - цх + иу= Р{х,у).

у - X? — кх — Ху — Q(x, у) * '

Рассмотрим далее два случая. ¡^ = 0, /i ^ 0 и с / 0, /7 = 0

При исследовании поведения траектории сис1емы (2) в окрестное!и экватора сферы Пуанкаре получаем на экваторе единственную особую точку типа седло-узел, причем при А = 622 > 0 узловая область лежит в нижней полуплоскости, а при Л = 622 < 0 — в верхней полуплоскости 1. Случай v — 0,/t ф 0

В этом случае ось х — 0 является инвариантной прямой Множество {Р(т, у) = 0} является парой пересекающихся прямых с уравнениями х — 0, у = —/г, а множество {Q(z у) ~ 0} является параболой с уравнением у = — кх) Мы предполагаем, что ц ф к2¡АХ, то есть исключаем случай касания параболы с прямой у = --// В данном случае система (2) имеет либо одну, либо три о(обые точки Если 4fiX > к2, то система (2) имеет единственную особую точку (0,0). Эта особая точка является узлом, причем при Л > 0 устойчивым, а при X < 0 — неустойчивым

Фазовый портрет строится однозначно (см рис 1 для случая Л > 0) В случае 4/iA < /с2 система (2) имеет три особые точки В случае /гА < 0 особая точка (0,0) является седлом, а две другие особые точки либо фокусом, либо узлом. Условия, когда особая точка является фокусом, а когдс. узлом, могу г быть выписаны

Из видоизмененного критерия Бендиксона [5] получаем

Предложение Если D1 —■ /с2 — 4А(А -)- (i) < 0, то система (2) при условии I/ — 0 не имеет в конечной части плоскости замкнутых контуров, составленных из траекторий, в том числе предельных циклов

Таким образом,мы можем построить фазовый портрет системы (2) в случае 4/<А < к2 В случае D\ < 0 он строится однозначно, а в случае D\ > 0 фазовый портрет строится с точностью до четного с учетом кратности числа предельных циклов, окружающих неседловые особые точки (см рис 2 для случая А > 0).

ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ СИСТЕМЫ

83

В случае /¿А > 0 особая точка (0 0) всегда является узлом Кроме нее име югся еще две особые точки, одна из которых седло, а другая либо узел, либо фокус В этом случае возможны фазовые портреты, и-юбрэженные на рис 3 а,б Случай За является типичным а случаи 36 петли сепаратрисы является ис ключительным Условие пегли сепаратрисы не получено Пунктиром обозначены предельные циклы, когорые могут возникав, если 01 > 0

РисЗ Ц>0, Х>0

2 Случай р = 0, у ф 0

Предложение Если - к2 - 4А2 < 0, го система (2) при условии ц ----- 0 не имеет в конечной части плоскости замкнугых контуров, составленных из траекторий, в том числе предельных циклов

84

М. А. ОВЧИННИКОВ

В данном случае система (2) всегда имеет три особые точки и фазовые портреты выглядят так же, кэк и в предыдущем случае. Прямая х — и является инвариантной. Рис. 2 соа четствует случай и{и — к) < 0. Рис. 3 соответствует случай v{v — к) > 0 (случай и — к не рассматриваем). Предельные никлы, соответствующие пунктирным линиям, могут появляться при условии Ог > 0.

Авторы благодарят Г.А.Свиридюка за постановку задачи и С.М.Воронина за полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Галактионов Е В , Зильберглейт A.C. Поглощаюгцие множества систем гидродинамического типа // Дифференциальные уравнения. 1988 Т. 24, № 4 С. 555-563.

[2] Гледзер Е.В., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение М.: Наука, 1981 С. 368.

[3] Свиридюк P.A., Сукачёва Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 5 С. 109-119.

[4] Галактионов Е.В., Зильберглейт A.C. К теории предельного поведения и устойчивости траекторий систем гидродинамического типа. Препринт 1137, АН СССР, ФТИ им А Ф.Иоффе. Ленинград, 1987. С. 48

[5] БДУТИН H.H., ЛЕОНТОВИЧ Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости М • Наука, 1976.