CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 2.
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-221-233
Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам
Е. И. Компанцева, А. А. Фомин
Компанцева Екатерина Игоревна — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, Московский педагогический государственный университет; профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики, Финансовый университет при Правительстве РФ (г. Москва). e-mail: котpantseva@yandex.ru
Фомин Александр Александрович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: alexander.fот,in@m,ail.ru
Аннотация
Категория последовательностей S была введена в [1, 2, 3]. Объектами категории S являются конечные последовательности вида ai,..., ап, где элементы ai,... ,ап принадлежат конечно представимому модулю над кольцом полиадических чисел Z. Кольцо полиадических чисел Z = П Zp - это произведение колец целых р-адических чисел по всем простым р
числам р. Морфизмами кате гории S го объек та а1,..., ап в объе кт bi,... являются все возможные пары Т), где f : (а1,..., ап^ (bi,... ,bk )g - гомоморф изм Z-модулей, порожденных данными элементами, и Т - целочисленная матрица размера к х п, которые удовлетворяют следующему матричному равенству
(^ai,.. .,ipan) = (bi,.. .,Ьк)Т.
В [2] доказано, что категория S эквивадентна категории V смешанных факторно делимых абелевых групп с отмеченными базисами. В [3] доказано, что категория S двойственна категории Т абелевых групп без кручения конечного ранга с отмеченными базисами, под базисом мы понимаем здесь любую максимальную линейно независимую систему элементов. Композиция этой эквивалентности и двойственности является двойственностью, введенной в [1] и в [4], которую можно также рассматривать как версию двойственности, введенной в [5].
Если объект категории S состоит из одного элемента, то ему соответствуют группы ранга 1 в категориях V и Т. Этот случай разобран в [6]. При этом двойственность S ^ Т дает нам классическое описание Р. Бэра [7] групп без кручения ранга 1. Эквивалентность S ^V согласуется с описанием О. И. Давыдовой [8] факторно делимых групп ранга 1.
В настоящей статье мы рассматриваем другой вырожденный случай. Любая периодическая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом полиадических чисел. При этом периодическая группа является конечно представимым Z-модулем тогда и только тогда, когда она конечна. Следовательно, для любой системы образующих д1,... ,дп любой конечной абелевой группы G последовательность gi,... ,дп является объектом категории 5. Более того, такие объекты определяют полную подкатегорию категории S.
В данной статье показано, что объекту д1,..., дп категории S соответствует в категории V факторно делимая группа вида G ф Qn с отмеченным базисом д1 + е1,... ,дп + еп, где ei,..., еп - ст^дартный б^ис векторного пространства Qn над полем рациональных чисел Q. В категор ни Т данному объекту соответствует свободная группа А, удовлетворяющая
условиям Zn С А С Qn и A/Zn = G*, где G* = Hom(G,Q/Z) - дуальная группа. Мы также рассматриваем гомоморфизмы групп, соответствующие морфизмам категории S.
Ключевые слова: абелевы группы, модули, двойственные категории.
Библиография: 36 названий.
Для цитирования:
Е. И. Компанцева, А. А. Фомин. Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 221-233.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-221-233
Quotient divisible groups and torsion-free groups corresponding
to finite Abelian groups
E. I. Kompantseva, A. A. Fomin
Kompantseva Ekaterina Igorevna — doctor of engineering, professor, Professor, Department of algebra, Moscow state pedagogical University; Professor of the Department of probability theory and mathematical statistics, Financial University under the Government of the Russian Federation (Moscow).
e-mail: kompantseva@yandex.ru
Fomin Alexander Alexandrovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University (Moscow). e-mail: alexander.fomin@mMil.ru
Abstract
The category of sequences S has been introduced in [1, 2, 3]. Objects of the category S are finite sequences of the form al,..., an, where the elements al,... ,an belong to a finitely-
presented module over the ring of polyadic numbers Z. The ring of polyadic numbers Z = Zp
p
is the product of the rings of p-adic integers over all prime numbers p. Morphisms of the category S from the object al,...,an to an obj ect bl,..., bk are all possible pairs (<f,T), where <p : (al,..., an^ (bl,..., bk}^ is a homomorphism of Z-modules, generated by given elements, and T is a matrix of dimension k x n with integer entries such that the following matrix equality takes place
(ipai,.. .,ipan) = (bi,.. .,bk)T.
It is proved in [2] that the category S is equivalent to the category V of mixed quotient divisible abelian groups with marked bases. It is proved in [3] that the category S is dual to the category T of torsion-free finite-rank abelian groups with marked bases, a basis means here a maximal linearly independent set of elements. The composition of these equivalence and duality-is the duality- introduced in fl] and in [4], which can be considered as a version of the duality-introduced in [5].
If an object of the category S consists of one element, then it corresponds to rank-1 groups of the categories V and T. This case is considered in [6] and we obtain the following. The duality S ^ T gives us the classical description by R. Baer [7] of rank-1 torsion-free groups. The equivalence S ^V coincides with the description by O.I. Davydova [8] of rank-1 quotient divisible groups.
We consider another marginal case in the present paper. Every torsion abelian group can be considered as a module over the ring of polyadic numbers. Moreover, a torsion group is a finitely presented Z-module if and only if it is finite. Thus, for every set of generators g\,...,gn of every finite abelian group G the sequence g\,..., gn is an object of the category S. Such objects determine a complete subcategory of the category S.
We show in the present paper that the object g\,..., gn of the category S corresponds to an object of the category V, which is of the form G © Qn with the marked basis g\ + el,...,gn + en, where ei,..., en is the standard basis of the vector space Qn over the field of rational numbers Q. The same object gl,..., gn corresponds to an object of the category F, which is a free group A, satisfying the conditions Zn c A c Qn and A/Zn = G*, where G* = Hom(G, Q/Z) is the dual finite group.
We consider also the group homomorphisms corresponding to morphisms of the category S.
Keywords: abelian groups, modules, dual categories.
Bibliography: 36 titles.
For citation:
E. I. Kompantseva, A. A. Fomin, 2019, "Quotient divisible groups and torsion-free groups corresponding to finite Abelian groups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 221-233.
1. Введение
Все рассматриваемые группы являются абелевыми. Z, Q, Zp, Zn обозначают соответственно кольца целых, рациональных, целых р-адических чисел и кольцо классов вычетов по модулю п. Так же обозначаются их аддитивные группы. Кольцо полиадических чисел Z = ^ Zp
р
- это произведение колец целых р-адических чисел по всем простым числам р.
Под характеристикой % = (тр) понимается любая последовательность целых неотрицательных чисел и символов те, занумерованная всеми простыми числами. Для каждой характеристики % = (тр) определяется кольцо Zx = П Кр как произведение по всем простым
р
числам р колец Кр, где Кр = Zp™P при тр < те или Кр = Zp при тр = те .
Если а\,..., ап - элементы модуля М над коммутативным кольцом Д, то {ai,..., ап)r обозначает подмодуль, порожденный данными элементами, { ai,... ,ап) - подгруппа, порожденная этими элементами, (ai,...,an)* - сервантная оболочка этих элементов, которая состоит из таких элементов а £ М, для которых существует целое число т = 0, при котором та £ {а1,..., ап). Модуль М называется конечно представимым, если для некоторых целых положительных чисел т и п существует точная последовательнось Д-модулей
Rm ^М ^ 0.
Любой конечно представимый модуль М над кольцом полиадических чисел Z имеет вид М = ZX1 ® ... ® ZXn. При дополнительном условии xi < ... < Хп последовательность характеристик определена однозначно. Для любого конечно порожденного подмодуля N конечно представимого Z-модуля М оба модуля N и М/N являются конечно пред ставимыми.
Абелева группа А называется факторно делимой, если она содержит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что факторгруппа А/F является периодической делимой группой.
А
F А F
А
Факторно делимые группы в настоящее время активно исследуются разными авторами (см. [9-23]). Мы рассматриваем категорию V факторно делимых групп с отмеченными базисами.
Объектами категории V являются п ары А; а\,...,ап, состоящие из факторно делимой группы А и какого-либо базиса а\,..., ап этой группы. Морфизмами и з объекта А; а\,... ,ап в объект В; Ь\,..., Ьк являются любые гомоморфизмы групп / : А 4 В, для которых матрица Т размера к х п, определяемая равенством
(¡а1,...,/ап) = (Ь1,...,Ьк )Т,
состоит из целых чисел. В [2] были построены два ковариантных функтора Ф : Р 4 5 и Ф : Б 4 Т>, композиция которых в любом порядке изоморфна тождественному функтору, то есть ФФ = и ФФ = гйв- Таким образом, категории V ж Б эквивалентны.
Аналогичным образом определяется категория Т абелевых групп без кручения конечного ранга с отмеченными базисами. Под базисом группы без кручения здесь понимается любая максимальная линейно независимая система элементов этой группы.
Объектами категории Т являются пары А; а\,..., ап, состоящие из группы без кручения конечного ранга А и какого-либо базиса а\,...,ап этой группы. Морфизмами из объекта А; а\,..., ап в объект В; Ь\,..., Ьк являются любые гомоморфиз мы групп / : А 4 В, для которых матрица Т размера к х п, определяемая равенством
(¡а1,...,/ап) = (Ь1,...,Ьк )Т,
состоит из целых чисел. В [3] (см. также [1]) были построены два контравариантных функтора А: Т 4 5 и В: Б 4 Т, композиция которых в любом порядке изоморфна тождественному функтору, то есть ВА = гй^ и АВ = гйв- Таким образом, категории являются двойственными.
Заметим, что в категориях V и Т матрицы морфизмов однозначно определены соответствующими гомоморфизмами групп. Это, вообще говоря, не так в категории 5. Например, для объекта категории 5, состоящего из п нулей, морфизмы из этого объекта в себя представляют собой пары (<£>, Т), где (р - один и тот же нулевой гомоморфизм модулей, а в качестве Т можно взять любую целочисленную матрицу размера п х п.
Мы понимаем ^-адическое пополнение А группы А как обратный предел следующего обратного спектра гомоморфизмов
: А/тА 4 А/пА
для всех пар (т, п) натуральных чисел таких, что число п является делителем числа т.
те
Здесь ж™ (а + тА) = а + пА. Элемент а = (а\, а2,...) группы П А/пА называется сетью,
п= 1
если ж™ (ат) = ап для любой пары (т, п) натуральных чисел такой, что п делит т. Легко
те ^
видеть, что все сети составляют подгруппу группы Л А/пА. Эта подгруппа А является об-
п= 1
ратным пределом данного спектра, то есть ^-адическим пополнением группы А. Для любого элемента а € А, последовательность у (а) = (а + А, а + 2А, а + ЗА,...) является сетью. Таким образом мы получаем естественный гомоморфизм у : А 4 А, который мы также называем ^-адическим пополнением группы А. Заметим, что кольцо полиадических чисел 2 является ^-адическим пополнением кольца целых чисел а пополнение А любой группы А является также модулем над кольцом 2.
Все остальные определения и обозначения стандартны и соответствуют книге [24].
2. Факторно делимые группы
Теорема 1. Пусть и делимая группа без кручения ранга п и щ,... ,ип € и - максимальная линейно независимая, система элементов, С - произвольная конечная группа, по-
рожденная элементами д\,..., дп. Тогда группа С ®и является факторно делим,ой группой с базисом, д\ + и\,..., дп + ип.
Доказательство. Ясно, что система элементов д\ + и\,..., дп + ип является максимальной линейно независимой в группе С ® и. Подгруппа Р = (д\ + и\,..., дп + ип) является свободной группой со свободным базисом д\ + и\,..., дп + ип и факторгруппа (С ® и)/Р является периодической группой. Рассмотрим произвольный элемент д + и € С ® и, д € С, и € и, и произвольное целое положительное число т. Так как элементы д\,..., дп порождают группу С, то для подходящих целых коэффициентов имеет место равенство д = к\д\ + ... + кпдп. Тогда элемент (д + и) — (к\(д\ + и\) + ... + кп(дп + ип)) принадлежит группе и и поэтому
С ® и т С ® и
группы Р делится на любое целое положительное число. Это означает, что факторгруппа (С ® и)/Р является делимой группой, то есть группа С ®и является факторно делимой с базисом д\ + щ,..., дп + ип. □
Как известно, любая конечная группа полна в своей 2-адической топологии, т. е. С = С. Обозначим через А = С ® и факторно делимую группу из Теоремы 1. Гомоморфизм 2-адического пополнения у : А ^ А совпадает с проекцией С ® и ^ С. Таким образом, гомоморфизм у : А ^ А переводит элементы д\ + и\,..., дп + ип соответственно в элементы д\,..., дп. Так как элементы д\,..., дп порождают группу С = А, то группа А является факторно делимой еще и по теореме о вложении 3.3 [2].
Согласно определению функтора Ф : V ^ £ (Теорема 6.3 [2]), Ф переводит факторно делимую группу А с отмеченным баз псом д\ + и\,..., дп + ип в объект у(д \ + и\),..., дп + ип) категории 5, т.е. в объект д\,..., дп. С другой стороны, согласно определению функтора Ф : 5 ^ Б (Теоремы 6.3 и 3.5 [2]), Ф(д \,..., дп) совпадает с сервантной оболочкой элементов д\ + и\,...,дп + ига в группе А = С ® и, т.е. с самой группой А.
Заметим, что и = Оп и в качестве максимальной линейно независимой системы можно взять стандартный базис и\ = (1, 0,..., 0),... ,ип = (0,..., 0,1) векторного пространства и = Оп над полем рациональных чисел О. Подведем итог всему вышесказанному в следующей теореме.
Теорема 2. Пусть С - конечная группа, порожденная элементами д\,..., дп. Тогда, эквивалентность 5 о V ставит в соответствие объекту д\,..., дп категории 5 факторно делимую группу С ® Оп с базисом д\ + щ,..., дп + ип, где щ,... ,ип - стандартный базис векторного пространства Оп над полем рациональных чисел О.
Следствие 1. Последовательности из п нулей 0,..., 0 в категории 5 соответствует группа Оп со стандартным базисом в категории V.
Теперь мы рассмотрим произвольный морфизм
(1) (р,Т) : д\,..., дп ^ Ь,1,...,Ь,к
категории 5. Здесь элементы к\,... ,Ик также порождают конечную группу Н = (Н\,..., )• Групповой гомоморфизм р : С ^ Н связан с целочисленной матрицей Т матричным равенством (рд I,..., рдп) = (к\,..., )Т. Согласно Теореме 2, объекту к\,... категор ии 5 соответствует в категории V факторно делимая группа Н ® Ок с базис ом + п\,... ,Нк + где П\,..., ик - стандартный базис векторного пространства Ок. Целочисленная матрица Т размера к х п определяет гомоморфизм /т : Оп ^ Ок при помощи следующего матричного равенства (¡т (и\),..., ¡т (ип)) = (у 1,..., Ук )Т. Наконец мы определяем гомоморфизм факторно делимых групп / = Ф( р,Т) : С ® Оп ^ Н ® Ок следующим образом: ¡(д + и) = р(д) + ¡т(и), д €С,и €Оп.
Теорема 3. Гомоморфизм факторно делимых групп / : О ® Оа 4 Н ® Qk, соответствующий м орфизм у (1) является м орфизм ом категории V с матриц ей Т.
Доказательство. Нужно показать, что этому гомоморфизму соответствует целочисленная матрица Т относительно выделенных базисов. Действительно,
а (дг + иг),..., / (дп + ип)) = (<р(дг) + ¡т (иг),..., ^(дп) + ¡т (ип)) = = ((P(9г),..., ^(9п)) + Ш (uг),..., !т (ип)) =
= (Нг,..., Нк )Т + (Уг,..., ук )Т = (Нг + Уг,...,Нк + ук )Т.
□
Пример 1. Предположим, что все элементы дг,..., дп имеют одинаковый порядок т, и группа С раскладывается в прямую сумму С = (дг) ®... ® (дп)- Тогда соответствующая факторно делимая группа С ® О™ также раскладывается в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1, С ® О™ = ® О"" = (2т ® 0)п, т. е. такая группа является однородной вполне разложимой факторно делимой группой. В общем случае под однородной вполне разложимой факторно делимой группой мы понимаем группу вида где К - произвольная факторно делимая группа ранга 1. Таким группам посвящена статья [9]. В ней, в частности, доказывается следующая теорема. Если в короткой точной последовательности факторно делимых групп 0 4 В 4 А 4 С 4 0 групп а А является однородной вполне разложимой, то группы В и С также являются однородными вполне разложимыми и последовательность расщепляется. Эта теорема является дуализацией классической теоремы Р. Бэра [7] о том, что сервантные подгруппы однородной вполне разложимой группы без кручения выделяются в качестве прямых слагаемых.
3. Группы без кручения
Т
базисами (максимальными линейно независимыми системами элементов). Наличие выделенного базиса аг,..., ап в группе А определяет вложение этой группы в векторное пространство О"" над полем рациональных чисел ф. Всякий элемент а € А однозначно представляется в виде а = ггаг + ... + гпап, где г г,... ,гп € Q■ Тогда вложение определяется правилом
а 4 (п,...,гп) € Оп.
При этом элементы базиса переходят в элементы стандартного базиса
аг4 (1,0,..., 0),... ,ап 4 (0,..., 0,1).
Т
пространства 0;п, то есть считать, что 2п С А С О"". При этом роль отмеченного базиса всегда будет играть стандартный базис этого векторного пространства.
Отметим, что, согласно [24], любая кольцевая структура на группе без кручения С ранга п вкладывается в однозначно определенное кольцо на делимой оболочке группы С, которую можно отождествить с О"". Сам термин факторно делимая группа был введён в [25] для описания групп без кручения конечного ранга, допускающих кольцевую структуру, которая индуцирует на делимой оболочке группы полупростую алгебру. Возможность вложения кольца без кручения конечного ранга в конечномерную сепарабельную алгебру, строение которой описывается основной теоремой Веддерберна, позволяет изучать как сами группы, так и кольца на них (см., например, [26-30]).
Рассмотрим короткую точную последовательность 0 4 4 оп 4 (я/г)п40, где первый гомоморфизм 1(1 : 2п 4 О"" является тождественным вложением, второй гомоморфизм ц : О™ 4 О™/2п является каноническим. Заметим, что группы А со свойством С А С 0:п находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы ($/2)п. Таким образом, чтобы задать объект категории Т достаточно указать какую-либо подгруппу С группы )га. Тогда полный прообраз этой подгруппы 2п С А = д-г(С) С является группой без кручения ранга п с отмеченным базисом иг = (1, 0,..., 0),... ,ип = (0,..., 0,1), то есть Т
Пусть 2к С В С ^ - другой объект категории Т и Уг = (1, 0,..., 0),... ,ук = (0,..., 0,1) - его отмеченный базис. Пусть / : В 4 А - произвольный гомоморфизм групп. Он продолжается до линейного отображения $ : Qk 4 Оа и определяет матрицу Т размера п х к с рациональными элементами, для которой выполнено равенство (/Уг,..., /Ук) = (иг,..., и,п)Т. Легко видеть, что если (гг,..., гк) € В,гг,... ,гк € Q, то / (гг,... ,гк) = (гг,..., гк)Т\ где Ть -транспонированная матрица. Рассмотрим диаграмму
0 4 2к 4 4 (Я/г)к 4 0
¿4- / 4
0 4 2п 4 дп 4 (Я/г)п 4 0.
Линейное отображение / : Qk 4 Оа индуцирует два других вертикальных гомоморфизма коммутативной диаграммы тогда и только тогда, когда матрица Т состоит из целых чисел, то есть гомоморфизм / : В 4 А является морфизмом категории Т. В этом случае все вертикальные гомоморфизмы представляют собой домножение строки справа на матрицу Т1.
Рассмотрим действие контравариантного функтора В : Б 4 Т на объекте дг,... ,дп категории 5, где группа С = (дг,... ,дп) является конечной. Обозначим через С* = Нот(С, Q/Z) дуальную конечную группу. Согласно [3] определим гомоморфизм шс : С* 4 ($/2)п следующим образом: шо(1) = (1(дг),... ,1(9п)) € € С*. Так как элементы дг,...,дп порождают группу С, то шс(1) = 0 тогда и только тогда, когда 7 = 0. Следовательно, гомоморфизм шс : С* 4 ($/2)п является вложением. Согласно выше сказанному подгруппа 1т(шс) С )п определяет объект категории Т, то есть группу 2п С А С О"" с отмеченным стандартным базисом такую, что А/%а = С*. Так как группа С* является конечной, то группа А является свободной группой ранга п. Мы получаем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть С - конечная группа, порожденная элементами дг,...,дп. Тогда, двойственность Б 4 Т ставит в соответствие объекту дг,..., дп категории Б свободную группу А ранга п такую, что С А С 0>а и факторгруппа, А/2п изоморфна дуальной группе С*. От,меченным базисом в группе А является стандартный базис векторного пространства
Яп.
Следствие 2. Последовательности из п нулей 0,..., 0 в категории Б соответствует в категории Т свободная группа ранга п со свободным базисом.
Теорема 5. Пусть (р,Т) : дг,...,дп 4 Нг,...,Нк - м,орфизм, (1) категории Б, где С = (дг,...,дп) и Н = (Нг,... ,Нк) - конечные группы. Пусть при этом объектам дг,..., дп и Нг,..., соответствуют в кат егории Т свободные группы А и В т,акие, что
гп с А с дп,гк с в с як,А/гп ^ с*,в/гк = н*.
Тогда, м орфизм у (1) категории Б в категории Т соответствует гомом орфизм д : В 4 А, который определяется домножением строки (гг,..., гк) € В справа, на, матрицу Т, то есть д(гг,... ,Гк) = (г г ,...,Гк )Т € А При этом гомоморфизм д : В 4 А индуцирует, гомоморфизм конечных групп д : В/2к 4 А/2п, где ~д(Ъ + 2к) = д(Ъ) + 2п, который, совпадает с дуальным, гомоморфизмом (р* : Н* 4 С*. Матрицей гомоморфизма д : В 4 А относительно отмеченных базисов является транспонированная матрица Т К
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Н * —* С* (2) ШН I 1шс
(О/г)к ^ (О/г)п
в которой гомоморфизм р* : Н* ^ С* является дуальным гомоморфизму р : С ^ Н и определяется равенством (р*(7))(х) = 7(р(х)),х € С,7 € Н*. Вложения Шн и Шс определяют соответственно группы 2к С В С Ок и 2п С А С Оп. Нижний гомоморфизм диаграммы (2)
Т
( Г1 + 2,...,Гк + г(п + г,...,гк + г)т € (О/г)п.
По определению морфизма (р, Т) : §1,..., дп ^ Ъ,1,..., Ък категории 5 имеет место матричное равенство ( рд 1,..., рдп) = (^,..., Ьк)Т. Это равенство влечет следующую цепочку равенств для любого 7 € Н*:
Ьрд 1,..., 7р9п) = (7 ь1,..., 7кк )Т ((р*(7 ))(д 1),..., (р*(7 ))(д п))=шн (7 )Т шс(р*(7)) = Шн (7)Т.
Последнее равенство означает, что диаграмма (2) коммутативна.
Таким образом, если определить гомоморфизм д : В ^ А как домножение справа на матрицу Т, то, во-первых, он будет правильно определен. Действительно, если (г 1,..., гк) € В, то (п + г,..., гк + г)Т € 1т(шс) и поэтому (г 1,..., гк)Т € А. А во-вторых, нижний гомоморфизм в диаграмме (2) совпадет с индуцированным гомоморфизмом д : В/2к ^ А/2п, где д(Ь + гк) = д(Ь) + гп. Этот же гомоморфизм совпадает с дуальным гомоморфизмом р* : Н* ^ С*, если произвести отождествление по вложениям Шн и Шс. □
Композиция эквивалетности 5 о V и двойственности / является двойственностью. В [5] была построена аналогичная двойственность для категорий, в которых объектами являлись группы (без выделенных базисов), а морфизмами - квазигомоморфизмы.
Следующая теорема вытекает из предыдущих теорем и показывает как наша двойственность V о Т действует на морфизмах свободных групп в категории Т.
А В
независимыми системами элементов а1,... ,ап € А и Ъ]^,..., Ьк € В и
/ : А ^ В гом,ом,орфизм, групп, для, которого матрица размера к х п, определенная равенством (/а1,..., /ап) = (Ь1,..., Ък)Т состоит из целых чисел, то есть / : А ^ В является м,орфизм,ом, категории Т.
Обозначим С = А/(а1,..., ап) и Н = В/(Ъ1,..., Ьк). Так как матрица Т состоит из целых чисел, то гомоморфизм / : А ^ В индуцирует гомоморфизм конечн,ых групп / : С ^ Н, при котором ¡(а + (а1,..., ап)) = ¡(а) + (Ь1,..., Ък).
Тогда, двойст,венност,ь Т о V ставит в соответствие группам А и В с отмеченными базисами факторно делимые группы А° = С* ® Оп и В° = Н* ® Ок также с некоторыми отмеченными базисами. Двойственность Т о V ст,авит, в соответствие гомоморфизму / : А ^ В гом,ом,орфизм, факторно делим,ых групп : В° ^ А°. Матрица, этого гомоморфизма относительно отмеченных базисов является транспонированной матрицей Т. При этом ограничение гомоморфизма ¡° : В° ^ А° на периодическую часть Н* группы В° = Н* ® Ок совпадает с гомоморфизмом / : Н* ^ С*, который является дуальным гомоморфизму / : С ^ Н в смысле двойственности конечных групп.
Пример 2. Предположим, что все элементы дг,..., дп имеют одинаковый порядок т и группа С раскладывается в прямую сумму С = (дг) ® ... ® (дп) (см. Пример 1). Тогда объекту дг,..., дп категории 5 соответствует в категории Т свободная группа А с отмеченным базисом аг,... ,ап € А такая, что имеет место равенство подгрупп (аг,..., ап) = тА. При этом ясно, что А/(аг,..., ап) = С. По Теореме 4 должно было бы быть О*, но мы напомним, что в двойственности конечных групп имеет место изоморфизм С* = С для любой конечной группы С.
Пример 3. Предположим, что объект категории 5 имеет вид д,..., д, где элемент д порядка т повторяется п раз, С = (д) - циклическая группа порядка т. Этому объекту в категории Т соответствует подгруппа А группы 0;п, порожденная п + 1 элементом: стандартным базисом ег = (1, 0,..., 0),... ,еп = (0,..., 0,1) и элементом (^, ^,..., ^). Стандартный базис является отмеченным. Ясно, что А/(ег,... ,еп) = С. В категории V нашему объекту соответствует факторно делимая группа С ® О™ с отмеченным базисом д + ег,... ,д + еп.
4. Заключение
Считается общепризнанным тот факт, что класс абелевых групп без кручения конечного ранга является чрезвычайно сложным. Сначала А. В. Яковлев [31] показал, что этот класс является "диким"с точки зрения теории представлений, потом С. Томас [32] показал, что сложность возрастает с увеличением ранга. В силу двойственности V 4 Т можно сказать, что класс смешанных факторно делимых групп является не менее сложным. Кроме того, он еще является мало изученным, так как был введен относительно недавно [5].
Тем больший интерес представляет подход, при котором оба класса групп изучаются одновременно в терминах категории 5. На этом пути пока проделано следующее:
1. Случай, когда объект категории 5 представляет собой последовательность из одного элемента, разобран О. И. Давыдовой [8].
2. Случай, когда объект категории 5 представляет собой последовательность элементов свободного базиса свободного модуля, разобран в [9]. При этом мы получили новый результат для факторно делимых групп, который является дуализацией классической теоремы Р. Бэра.
3. Случай, когда объект категории 5 представляет собой последовательность периодических элементов разобран в настоящей статье.
Интересно отметить, что на любой факторно делимой группе ранга 1 может быть определено хотя бы одно кольцо с ненулевым умножением. В то время как для групп без кручения ранга 1 это верно только в том случае, когда они являются факторно делимыми, об этом смотри, например, в [2]. В связи с этим интересно исследовать кольца на факторно делимых группах в стиле работ [26-30].
В заключение мы сформулируем некоторые задачи, которые, на наш взгляд, представляют большой интерес:
Задача 1. Исследовать кольца на факторно делимых группах.
Задача 2. Рассмотреть в категории 5 последовательности из двух элементов. То есть соотнести классическое описание групп без кручения ранга 2 Бьюмонта и Пирса [33] с нашим подходом и получить описание факторно делимых групп ранга 2. Смотри в этой связи также статью [22].
Задача 3. Рассмотреть полные подкатегории категории Б, объекты которых являются числовыми последовательностями. Например, полиадические числа, или элементы кольца 2Х для некоторой характеристики % (см. [34]), в частности, целые р-адические числа (см. [35]), или псевдорациональные числа (см. [36]).
Задача 4. Дуализировать результаты о почти вполне разложимых группах без кручения в категорию S и в категорию V в духе статьи [23].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fomin A. A. Invariants for Abelian groups and dual exact sequences //J. Algebra 2009. Vol. 322. № 7. P. 2544-2565.
2. Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. II // Фундамент, и прикл. Матем. 2015. Vol. 20. № 5. Р. 157-196.
3. Фомин А. А. Абелевы группы без кручения конечного ранга с отмеченными базисами // Фундамент, и прикл. Матем. (to appear)
4. Яковлев А. В. Двойственность категорий абелевых групп без кручения конечного ранга и факторно делимых групп // Зап. научн. сем. ПОМИ 2010. Vol. 375. № 1. Р. 195-202.
5. Fomin A.A., Wickless W.J. Quotient divisible abelian groups // Proc. A.M.S. 1998. Vol. 126. № 1. P. 45-52.
6. Фомин А. А. Двойственные абелевы группы ранга 1 // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Матер. XV Международной конференции, посвященной столетию профессора Н. М. Коробова, Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2018. Р. 62-63.
7. Baer R. Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. 1937. Vol. 3. № 1. P. 68-122.
8. Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундамент, и прикл. Матем. 2007. Vol. 13. № 3. Р. 25-33.
9. Гордеева Е. В., Фомин А. А., Вполне разложимые однородные факторно делимые абелевы группы // Чебышевский сборник 2018. Vol. 19. № 2. С. 376-387.
10. Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. I // Фундамент, и прикл. Матем. 2012. Vol. 17. № 8. Р. 153-167.
11. Wickless W. J. Direct sums of quotient divisible groups // Communications in Algebra 2003. Vol. 31. № 1. P. 79-96.
12. Albrecht U., Breaz S., Vinsonhaler C., Wickless W. Cancellation properties for quotient divisible groups // Journal of Algebra 2007. Vol. 317. № 1. P. 424-434 .
13. Wickless W. Multi-isomorphism for quotient divisible groups // Houston J. Math. 2006. Vol. 31. № 1. P. 1-19.
14. Albrecht U., Wickless B. Finitely generated and cogenerated QD groups // Rings, modules, algebras, and abelian 2004. Vol. 236. № 1. P. 13-26.
15. Любимцев О. В. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UА-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки 2015. Vol. 98. № 1. С. 125-133.
16. Любимцев О. В. Об определяемости вполне разложимых факторно делимых абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов // Изв. вузов. Матем. 2017. Vol. 10. № 1. С.* 75-82.
17. Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторноделимые группы // Алгебра и анализ 2006. Vol. 18. № 4. С. 198-214.
18. Царев А. В. Модуль псевдорациональных отношений факторно делимой группы // Алгебра и анализ 2010. Vol. 22. № 1. С. 223-239.
19. Царев А. В. Псевдорациональный ранг факторно делимой группы // Фундамент, и прикл. матем. 2005. Vol. 11. № 3. С. 201-213.
20. Царев А. В. Т-кольца и факторно делимые группы ранга 1 // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. Vol. 24. № 4. С. 50-53.
21. Крючков Н. И. Компактные группы, двойственные факторно делимым абелевым группам // Фундамент, и прикл. матем. 2015. Vol. 20. № 5. С. 113-119.
22. Fomin A. A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible 11 Communications in Algebra. 1998. Vol. 26. № 11. P. 3563-3580.
23. Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups // Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A. L. S. Corner, de Gruvter, Berlin - New York, 2008. Vol. 1. № 1. P. 147-167.
24. Fuchs L. Abelian groups. Switz.: Springer International Publishing, 2015.
25. Beaumont R. A., Pierce R. S. Torsion-free rings // Illinois J. Math. 1961. Vol. 5. P. 61-98.
26. Kompantseva E.I. Semisimple rings on completely decomposable Abelian groups //J. Math. Sci., 2008. Vol. 154. № 3. P. 324-332.
27. Kompantseva E.I. Rings on almost completely decomposable Abelian groups //J. Math. Sci. 2009. Vol. 163. № 6. P. 688-693.
28. Kompantseva E. I. Torsion-free rings // J. Math. Sci. 2010. Vol. 171. № 2. P. 213-247.
29. Компанцева E. И. , Фомин А. А. Абсолютные идеалы почти вполне разложимых абелевых групп // Чебышевский сб. 2015. Vol. 16. № 4. Р. 200-211.
30. Благовещенская Е.А. Почти вполне разложимые абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. СПб: Изд-во Политехи, ун-та, 2009.
31. Яковлев А. В. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1976. Vol. 57. Р. 171-175.
32. Thomas S. The Classification Problem for Torsion-Free Abelian Groups of Finite Rank // JAMS. 2003. Vol. 16. P. 233-256.
33. Beaumont R., Pierce R. Torsion free groups of rank two // Mem. Amer. Math. Soc. 1961. Vol. 38.
34. Фомин А. А. Абелевы группы с одним т-адическим соотношением // Алгебра и логика. 1989. Vol. 28. № 1. Р. 83-104.
35. Фомин А. А. Абелевы группы со свободными подгруппами бесконечного индекса и их кольца эндоморфизмов // Мат. заметки, 1984. Vol. 36. № 2. Р. 179-187.
36. Fomin A. A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Trends in Math., Burkhauser verlag, Basel/Switzerland. 1999. P. 87-100.
REFERENCES
1. Fomin, A. A. 2009, "Invariants for Abelian groups and dual exact sequences", J. Algebra, vol. 322, no. 7, pp. 2544-2565.
2. Fomin, A. A. 2018, "On the Quotient Divisible Group Theory. II", J. Math. Sci, vol. 230, no. 3, pp. 457-483.
3. Fomin, A. A. (to appear), "Torsion free abelian groups of finite rank with marked bases", J. Math. Sci.
4. Yakovlev, A.V. 2010, "Duality of the categories of torsion-free Abelian groups of finite rank and quotient divisible Abelian groups", J. Math. Sci., vol. 171, no. 3, pp. 416-420.
5. Fomin, A. A.k Wickless, W. J. 1998, "Quotient divisible abelian groups", Proc. A.M.S., vol. 126, no. 1, pp. 45-52.
6. Fomin, A. A. 2018, "Dual abelian groups of rank 1", Proceedings of the XV International conference devoted to the 100-th Birthday of Professor N.M. Korobov, May 28-31, 2018, Tula, pp. 62-63. (Russian)
7. Baer, R. 1937, "Abelian groups without elements of finite order", Duke Math., vol. 3, no. 1, pp. 68-122.
8. Davvdova, O. I. 2008, "Rank-1 quotient divisible groups", J. Math. Sci., vol. 154, no. 3, pp. 295300.
9. Gordeeva, E.V. k Fomin,A. A."Completely decomposable homogeneous quotient divisible abelian groups", Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 376-387. (Russian)
10. Fomin, A. A. 2014, "On the Quotient Divisible Group Theory. I", J. Math. Sci., vol. 197, no. 5, pp. 688-697.
11. Wickless, W. J. 2003, "Direct sums of quotient divisible groups", Communications in Algebra, vol. 31, no. 1, pp. 79-96.
12. Albrecht, U. k Breaz, S. k Vinsonhaler, C. k Wickless W. 2007, "Cancellation properties for quotient divisible groups", Journal of Algebra, vol. 317, no. 1, pp. 424-434.
13. Wickless, WT. 2006, "Multi-isomorphism for quotient divisible groups", Houston J. Math., vol. 31, no. 1, pp. 1-19.
14. Files, S. k Wickless, W. 1999, "Direct Sums of Self-Small Mixed Groups", J. Algebra, vol. 222, no. 1, pp. 1-16.
15. Lvubimtsev, O. V. 2015, "Completely decomposable quotient divisible abelian groups with UA-rings of endomorphisms", Mathematical Notes, vol. 98, no. 1, pp. 130-137.
16. Lvubimtsev, O. V. 2017, "On determinacv of completely decomposable quotient divisible abelian groups by its endomorphism semigroups", Russian Math. (Iz. VUZ), vol. 61, no. 10, pp. 65-71.
17. Tsarev, A.V. 2007, "Modules over the ring of pseudorational numbers and quotient divisible groups", St. Petersburg Math. ,J., vol. 18, no. 4, pp. 657-669.
18. Tsarev, A.V. 2010, "The module of pseudo-rational relations of a quotient divisible group", St. Petersburg Math. ,J., vol. 22, no. 1, pp. 163-174.
19. Tsarev, А. V. 2007, "Pseudorational rank of a quotient divisible group", J. Math. Sci., vol. 144, no. 2, pp. 4013-4022.
20. Tsarev, A. V. 2013, "T-rings and quotient divisible groups of rank 1", Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., vol. 24, no. 4, pp. 50-53.
21. Krvuchkov, N. I. 2018, "Compact Groups That Are Duals of Quotient Divisible Abelian Groups", J. Math. Sci., vol. 230, no. 3, pp. 428-432.
22. Fomin, A. A. & Wickless, W. 1998, "Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible", Communications in Algebra, vol. 26, no. 11, pp. 3563-3580.
23. Fomin, A. A. 2008, "Quotient divisible and almost completely decomposable groups", Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A. L. S. Corner, de Gruyter, Berlin - New York, vol. 1, no. 1, pp. 147-167.
24. Fuchs, L. 2015, "Abelian groups", Switz.: Springer International Publishing.
25. Beaumont, R. A.& Pierce, R. S. 1961, "Torsion free rings", III. J. Math., vol. 5, no. 1, pp. 61-98.
26. Kompantseva, E.I. 2008, "Semisimple rings on completely decomposable Abelian groups", J. Math. Sci., vol. 154, no. 3, pp. 324-332.
27. Kompantseva, E. I. 2009, "Rings on almost completely decomposable Abelian groups", J. Math. Sci., vol. 163. no. 6, pp. 688-693.
28. Kompantseva, E.I. 2010, "Torsion-free rings", J. Math. Sci., vol. 171, no. 2, pp. 213-247.
29. Kompantseva, E. I. k, Fomin, A. A. 2015 "Absolute ideals of almost completely decomposabe abelian groups", Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 4, pp. 200-211.
30. Blagoveshchenskava, E. A. 2009, "Almost completely decomposable abelian groups and their endomorphism rings", SPb: Izdelstvo Politehnicheskogo universiteta (Russian).
31. Yakovlev, A. V. 1979, "On the problem of classification of finite rank groups without torsion", J. Soviet Math., vol. 11, no. 4, pp. 660-663.
32. Thomas, S. 2003, "The Classification Problem for Torsion-Free Abelian Groups of Finite Rank", JAMS., vol. 16, pp. 233-256.
33. Beaumont, R. k, Pierce, R. 1961, "Torsion free groups of rank two", Mem. Amer. Math. Soc., vol. 38.
34. Fomin, A. A. 1989. "Abelian groups with one r-adic relation", Algebra and Logic, vol. 28, no. 1, pp. 57-73.
35. Fomin, A. A. 1984, "Abelian groups with free subgroups of infinite index and their endomorphism groups", Mathematical Notes, vol. 36, no. 2, pp. 581-585.
36. Fomin, A. A. 1999, "Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers", Trends in Math., Burkhauser verlag, Basel/Switzerland, pp. 87-100.
Получено 13.02.2019 г.
Принято в печать 12.07.2019 г.
