Факторизация ковровых подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.544.2

Факторизация ковровых подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами

Яков Н. Нужин*

Институт фундаментальной подготовки Сибирский федеральный университет Киренского, 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 18.05.2011, окончательный вариант 25.06.2011, принята к печати 10.07.2011 Введено понятие производного ковра и установлено 'разложение ковровой подгруппы группы Шевалле над коммутативным кольцом в произведение производной ковровой подгруппы и ковровых подгрупп ранга 1.

Ключевые слова: группа Шевалле, коммутативное кольцо, ковер аддитивных подгрупп, факторизация.

Введение

При решении различных задач возникали наборы подмножеств (идеалов, аддитивных подгрупп и др.)

6 = {Sij | 1 < i,j < n} определенного ассоциативного кольца с условиями

6ir 6rj С 6ij, 1 ^ i,r,j ^ n, (1)

см. [1—10]. Такие наборы назывались коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы — ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. В данной статье используется первый термин. Понятия ковра и ковровой подгруппы были перенесены на группы Шевалле с различными модификациями и названиями [11—13]. Отбросив все диагональные множества 6ii, получаем элементарный ковер a, что собственно и происходило при переносе понятия ковра на группы Шевалле.

В недавней работе [14] В.А.Койбаев строит ковер b, производный (в оригинале "ассоциированную сеть") от исходного элементарного ковра аддитивных подгрупп a степени n ^ 3, полагая

n

Bij = Y, AikAkj, 1 < i,j < n, i = j.

k=1 k=i,j

При n = 3 ковер b можно наглядно представить таблицей

* »13»32 »12»2З\ »13»32 * »21»13 .

»32»21 АЗ!»12 * /

В статье производный ковер определяется для всех групп Шевалле над коммутативным кольцом с единицей и устанавливается разложение ковровой подгруппы в произведение производной ковровой подгруппы и ковровых подгрупп ранга 1.

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

1, Обозначения и терминология

Далее Ф — приведенная неразложимая система корней ранга I, Е(Ф, К) — элементарная группа Шевалле типа Ф над коммутативным кольцом К с единицей. Группа Е(Ф, К) порождается своими корневыми подгруппами

хг = хг(К) = {хг(г) | г е К}, г е Ф.

Подгруппы Хг абелевы и для каждого г е Ф и любых г, и е К справедливы соотношения

хг (г)хг (и) = хг (г + и). (2)

Назовем (элементарным) ковром типа Ф 'ранга I над К всякий набор аддитивных подгрупп

А = {а | Г е Ф}

кольца К с условием

С^а а С при г, в, гг + ^ е Ф, г > 0, > 0, (3)

где Агг = {а® | а е аг}, а константы Cijrs = ±1, ±2, ±3 определяются коммутаторной формулой Шевалле

[хя(м),хг(г)] = П Xir+js(Cij,rS(-г)гuj), г, в, гг + е Ф. (4)

гл>0

Здесь и далее [х,у] = х-1у-1ху.

Всякий ковер а типа Ф над К определяет ковровую подгруппу

Е(Ф, А) = (хг (а) | г е Ф)

в группе Шевалле Е(Ф, К), где (М) — подгруппа, порожденная множеством М. Возникает следующий естественный вопрос: будет ли подгруппа М, порожденная своими пересечениями М П Хг, г е Ф, ковровой?

Если Ф = , Е;, то для любой пары линейно независимых корней г, в и любых

г, и е К

Г , м Г хг+я(±ги), если г + в е Ф,

|хг(г),хя(м)| = < 1 л ж

1 п И 8К п \ 1, если г + в / Ф,

и, следовательно, подгруппа М, порожденная пересечениями

М п хг = хг(а), г е Ф,

является ковровой и определяется ковром аддитивных подгрупп а = {аг | г е Ф}.

Однако, в общем случае, как показывают примеры 1 и 2, ответ на указанный выше вопрос отрицательный.

Пример 1. Пусть М — подгруппа группы Шевалле типа В над полем характеристики

2, порожденная двумя корневыми элементами ха(1) и хь(1), где а и Ь — фундаментальные корни. Тогда

[ха(1), хЬ(1)] = ха+Ь(1)х2а+ь(1),

но по отдельности элементы ха+ь(1) и х2а+ь(1) не лежат в М и, следовательно, М не является ковровой подгруппой.

Пример 2. Пусть М — подгруппа группы Шевалле типа ^2 над полем характеристики

3, порожденная двумя корневыми элементами ха(1) и хь(1), где а и Ь — фундаментальные корни. Тогда

[ха(1), хь(1)]

ха+Ь (±1)х2а+ь(±1)х3а+ь(±1)х3а+2ь(±1),

но по отдельности элементы Ха+ь(1) и Хза+ь(1) не лежат в М и, следовательно, М не является ковровой подгруппой.

Интересный пример ковра можно найти в книге Р.Стейнберга [15, §10, стр. 144]. Пример 3. Пусть К — несовершенное поле характеристики 2. Множество квадратов его элементов К2 является собственным подполем поля К. Пусть Ф = В;, I ^ 2. Положим

»r

Тогда набор

K, если r короткий корень, K2, если r длинный корень.

a = {»r | r e Ф}

является элементарным ковром. Р.Стейнберг называет ковровую подгруппу Е(Ф, a) "непонятной" и отмечает, что она является простой. В действительности, вместо K2 можно взять любое подполе, лежащее между K2 и K.

Несколько слов о терминологии. В 1976 г., описывая параболические подгруппы групп Шевалле над коммутативными локальными кольцами, К.Сузуки [11] называет ковром (в оригинале "carpet") типа Ф над коммутативным кольцом K всякий набор его идеалов a = {ar | r e Ф} с условием

aras С ar+s, при r, s, r + s e Ф. (5)

Двумя годами позже, перенося результаты статьи [11] на полулокальные кольца, Н.А.Вавилов [12] называет наборы идеалов с условиями (5) сетями. Определение ковра, принятое в нашей статье, принадлежит В.М.Левчуку [13]. Оставим название сеть за наборами аддитивных подгрупп с условиями (5). Несложно показать, что любая сеть аддитивных подгрупп является ковром, однако, не всякий ковер является сетью, это, в частности, показывает пример 3. При Ф = Ai,Di, Ei эти два понятия эквивалентны и, более того, они совпадают и для остальных систем корней Ф, если пересечение мультипликативной группы кольца K с аддитивной подгруппой, порожденной единицей, содержит все структурные константы Cij rs коммутаторной формулой Шевалле [13, лемма 13].

В действительности, сеть типа Ф является автоматическим переносом на группы Ше-валле понятия матричного ковра (сети). Этот автоматизм и приводил к ограничениям на характеристику основного кольца в применениях этого понятия в работах [11, 12] и др. и, как правило, для типов Bi,Ci,F4 требовалась обратимость 2, а для типа G — 2 и 3. В отличие от сети, ковер типа Ф определяется коммутаторной формулой (4), что, в конечном счете, и позволило получать различные результаты без ограничений на характеристику основного кольца. Наряду с первой работой [13] в данном направлении, см. также [16-19].

2. Производные ковры

По элементарному ковру a типа Ф ранга l ^ 2 определим набор аддитивных подгрупп

Bp = Y; Cij,rs»rAS, p e Ф,

¿,¿>0

где суммирование ведется по всем натуральным числам г, ] и корням г, в € Ф, для которых гг + = р.

Пример 4. Пусть {а,Ь} — база системы корней Ф = В2. В этом случае коммутаторная формула имеет вид:

[Ха(£),ХЬ(м)] = Ха+ь(±£м)х2а+ь(±£2«), [Ха№,Ха+ь(м)] = Х2а+ь(±2^м).

Поэтому

ва+Ь = аааь + а_аа2а+Ь, в2а+Ь = 2аа аа+Ь + »а^Ь + »а+Ь»_Ь. Остальные шесть аддитивных подгрупп вр определяются аналогично.

Покажем, что набор в = {вр | р е Ф} является ковром. Пусть вр1вр2 е в. Тогда по определению набора в имеем

в = О- а®1 ал

®1 >0 ®1Г1+Л81=Р1

b — v^ С- a®2 aj2

®2 ,j2 >0 ¿2r2+j2S2=P2

По определению ковра а, то есть в силу включений (3), получаем включения

С— a®1 ал с a

С«1Л jí-isi^r-i si с Р1'

С- a®2 aj2 с a

В действительности,

Отсюда bpi С api и bp2 С ap2, а следовательно,

С - b® bj С С - a® aj С b • •

если сумма ipi + jp2 является корнем. Это и означает, что набор b является ковром. Будем называть его производным от a.

Для каждой системы корней Ф определим число

(г, г)

m — т(Ф) — max ---.

г,э£Ф (s, s)

1, если Ф — A; ,

2, если Ф — B;,C;,F4,

3, если Ф — G2.

Теорема 1. Пусть b — ковер, производный от ковра a типа Ф ранга l ^ 2. Тогда

m!bpb-pbp с bp, p е Ф. (6)

Доказательство. Пусть Ф — A;, , и p е Ф. Тогда подгруппа bp аддитивно порождается множествами ar¿as¿ для всех пар корней г®, s® е Ф с условием г® + s® — p. Ясно, что корни г®, s® составляют базу подсистемы корней типа A2. В этом случае m — 1, поэтому нужно установить включения

(ari asi)(a-r2a-S2)(aí3as3) с bp. В силу определений элементарного ковра a и производного ковра b получаем

(ariasi)(a-r2a—S2)(aí3as3) с ap(a-í2a-s2)ap — (apa-s2)(а_Г2ap) с a^as2 с bp.

Пусть Ф — B;, С;, F4 и p — короткий корень из Ф. Тогда подгруппа bp аддитивно порождается множествами ar¿as¿ для всех пар корней г®, s® е Ф с условием г® + s® — p, причем

для пар тг, возможны следующие два случая: 1) тг, — короткие корни; 2) тг — короткий корень, вг — длинный. Для каждого случая нужно установить включения

2(ятхая1 )(а_г2)(»Гза8з) с вр.

Если пара Т2, в2 типа 1), то

2(»па,1 )(а_Г2а_82)(»Гз»яз) с 2^»-^»-^)»р = = 2(»р»-82)(»_Г2»р) с 2аг2ая2 с 2вр с вр. Если пара Т2, в2 типа 2), то

2(яла,1 )(а_Г2а_82)(»Гз»яз) с 2^»-^»-^)»р = = (ар»-82)(2»-Г2ар) с аГ2а82 с вр.

Заметим, что, в отличие о первого случая, в этом случае коэффициент т! = 2 из включения (6) существенно используется.

Пусть Ф = В;, С;, и р — длинный корень из Ф. Тогда подгруппа вр аддитивно порождается множествами 2»г»ar¿+s¿, »2»я» и Aqi для всех пар корней тг, € Ф с условием 2тг + = р и соответственно для всех пар длинных корней рг, € Ф с условием рг + = р. Таким образом, достаточно показать каждое и следующих трех включений:

2»р(»_рг)»р с вр;

2»р(2»_Гга-г4-в4)ар с вр; 2»р(»-Гга-я4)»р с вр.

Два первых включения устанавливаются так же, как и в случае 1) для короткого корня р, причем в обоих случаях опять с избыточным умножением на 2. В третьем случае

2»р(»2_пя-в4)ар с 2(»р»_п)(а-г4а-я4)ар с 2»п+»<а-г4-я4ар с с »р.

Наконец, рассмотрим самый сложный случай Ф = 02. Пусть {а,Ь} — база Ф. В этом случае коммутаторная формула имеет вид:

[жа(г),жь(и)] = ха+ъ(±Ьи)х2а+ъ(±^2и)хза+ъ(±Ь3и)хза+2ъ(±Ь3и2),

[жа(4),жа+ь(и)] = х2а+ъ(±2^и)хза+ъ (±3£2и)х3а+2ъ(±3£и2), [Ха(г),Х2а+ъ(и)] = х3а+ъ (±3^и), [хъ(4),хэа+ъ(и)] = х3а+2ъ(±^и).

Не теряя общности, можно считать, что р есть либо 3а + 2Ь, либо 2а + Ь. Пусть р = 3а + 2Ь. Тогда подгруппа вр аддитивно порождается множествами:

»3а+ъ»ъ, 3»2а+ъ»а+ъ, 3»а»а+ъ, 3»-а »2а+ъ, »а»2, Таким образом, достаточно показать включения

6»рМ»р с вр,

где М совпадает с одним из следующих шести множеств:

»-3а-ъ»-ъ, 3»-2 а-ъ»-а —ъ, 3я-а»-а-ъ, 3яая-2а-ъ, я-а»-ъ, 3а-ъ.

В первом случае

6ap(a—3a—ьа—b)ap с 6(apa—3а—ь)(а—ьap) с 6аьаза+ь с 6bp с bp.

В втором случае

6ap(3a—2а—ьа—а—ь)ap с 18(apа—2а—ь)(а—а—bap) с 18аа+ьа2а+ь с 6bp с bp.

В третьем случае

6ap (3а—аа—а —ь)ap с 18(apa—а —ь)а—а(а—а —ь ap ) с 18а2а+ьа—аа2а+ь —

— 9а2а+ь(2а—аа2а+ь) — 9а2а+ьаа+ь с 3bp с bp. Четвертый случай подобен третьему. В пятом случае

6ap(a-aa2—ь)ap с 6apa2—а(а—аа—ь)(а—ьap) с 6apa— аа—а — ьаза+ь с с 6(apа—а —ь)а—а(а—ааза+ь) с 6а2а+ьа—аа2а+ь — — 3а2а+ь(2а—аа2а+ь) с 3а2а+ьаа+ь с bp.

Шестой случай подобен пятому.

Пусть p — 2a + b. Тогда подгруппа bp аддитивно порождается множествами:

а—ааза+ь, а—а—ьаза+2ь, 2аааа+ь, аааь, аа+ьа—ь. Таким образом, достаточно показать включения

6apMap с bp,

где M совпадает с одним из следующих пяти множеств:

ааа—за—ь, аа+ьа—за—2ь, 2а—аа—а—ь, а—аа—ь, а—а—ьаь. В первом случае

6ap^a—за — ь )ap с 2(3apaa )(а—за — ьap) с 2аза+ьа—а с 2bp с bp. Второй случай подобен первому. В третьем случае

6ap(2a—аа— а — ь^ — 6(2apa—а)а—а —ьap с 6аа+ьа— а — ьap —

— 2(3aa+ьap)a—а—ь с 2аза+2ьа—а—ь с 2ap с ap.

В четвертом случае

6ap(a——аа—ь^ с 3(2apa—а)(а—аа—ь)ap с 3аа+ьа—а—ьap —

— (3aa+ьap)a—а —ь с аза+2ьа—а —ь с bp.

Пятый случай подобен четвертому.

Отметим, что для Ф — A; включения (6) установил ранее В.А.Койбаев [14].

3. Факторизация ковровой подгруппы

Пусть г, в линейно независимые корни, то есть г = ±в, и г, и е К. Тогда коммутаторную формулу (4) можно переписать в виде

хя(и)хг(г) = хг(г)хя(м) Л хгг+^О^гД-гуи), (7)

г,5>0

где суммирование берется по всем парам положительных чисел для которых гг + ^'в корень, по возрастанию суммы г + ]. Числа С^1Г8 называются структурными константами и совпадают с одним из чисел ±1, ±2, ±3. Для любого г е Ф положим

ег(Ф, а) = (хг(аг), х_г(а_г)).

Зафиксируем какой-либо линейный порядок на множестве положительных корней Ф+ системы корней Ф. Пусть

Ф+ = {г1,г2,. .. ,гй}.

В группе Е(Ф, а) выделим подмножества Со, С1,..., С. По определению

Со = Е(Ф, в),

где в — ковер, производный от ковра а, и при г = 1, 2,..., к

с® = С^Е^ (Ф, а).

Теорема 2. Пусть в — ковер, производный от ковра а типа Ф ранга I ^ 2 над кольцом К. Тогда каждое множество с® является подгруппой, причем

Е(Ф,в) = Со < С < ••• < С = Е(Ф,а) (8)

В частности,

Е(Ф, а) = Е(Ф, в) ц еГ(Ф, а), (9)

г£Ф+

где сомножители Ег (Ф, а) в произведении можно брать в любом порядке.

Доказательство. Включения (8) и равенство (9) получаются вытягиванием вправо корневых элементов из Ег (Ф, а) в нужном порядке с помощью соотношений (7). При этом, если соседние корневые элементы не лежат в одной подгруппе Ег (Ф, а) и не коммутируют, то появляется дополнительно либо один корневой элемент из Е(Ф, в), либо произведение двух, трех или четырех корневых элементов, каждый из которых также лежит в подгруппе Е(Ф, в) в силу ее определения. □

Для Ф = факторизацию (9) установил ранее В.А.Койбаев [20].

Отметим также, что теорема 2 может быть полезна при исследовании следующих вопросов В.М.Левчука.

А) Какие условия на ковер а (в терминах Аг ) над коммутативным кольцом К необходимы и достаточны для того, чтобы ковер а был допустимым? [21, вопрос 7.28, 1980 г.] Б) Верно ли, что для допустимости ковра а типа Ф над полем К необходима и достаточна допустимость его подковров {Аг, А_г}, г е Ф, ранга 1? [21, вопрос 15.46, 2002 г.]

Ковер а типа Ф ранга I над кольцом К называется допустимым, если его ковровая подгруппа Е(Ф, а) не имеет новых корневых элементов, то есть

Е(Ф, а) П Хг = хг(Аг), г е Ф.

В пользу положительного ответа на вопрос Б) свидетельствует тот факт, что соотношения (2), коммутаторная формула Шевалле (4), из которой происходит условие ковровости (3), и соотношения в группах (Хг, Х-г}, т € Ф, составляют полную систему определяющих отношений универсальной группы Шевалле над полем [15, §6, теорема 8]. Отметим также, что в случае локально конечного поля К в [16] получен положительный ответ на вопрос Б). Хорошо известно, что элементарный (матричный) ковер

» = {»д | 1 < г,3 < П, г = 3]

продолжается до полного ковра тогда и только тогда, когда

ядс »д, 1 < г, з < п, г = з,

см., например, [10, стр. 25] или [13, лемма 6]. Это продолжение можно получить, положив

п

»И = ^2 »д %г, 1 < г < п, д=1

и в этом случае множество матриц вида

п

е + »гд егд

является полугруппой относительно матричного умножения, где е — единичная матрица, ед — матрица, у которой на позиции (г,3) стоит 1, а на остальных местах нули. При Ф = Ап-1 ковровая подгруппа Е(Ф, ») порождается трансвекциями

¿д (и) = е + иед, и € »д, 1 ^ г,3 ^ п, г = 3.

Таким образом, если ковер типа А; продолжается до полного ковра, то он является допустимым. Отсюда в силу теоремы 1 производный ковер типа А; является допустимым и, следовательно, для этого типа теорема 2 дает разложение ковровой подгруппы в произведение подгрупп, определяемых допустимыми коврами, если потребовать как в вопросе Б) допустимость всех подковров ранга 1. Поэтому в связи с возможными применениями теоремы 2 к вопросам А) и Б) представляет интерес следующий вопрос.

В) Будет ли любой производный ковер типа Ф над коммутативным кольцом К допустимым ?

Исследования поддержаны грантом РФФИ (проект №01-09-00717).

Список литературы

[1] C.Chevalley, L'arithmetique dans les algebres de matrices, Actual. scient. et industr., №323, Paris, 1936.

[2] M.Newman, R.Reiner, Inclusion theorem for congruence subgroups, Trans. Amer. Math. Soc., 91(1959), №3, 369-380.

[3] Ю.И.Мерзляков, Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп, Алгебра и логика, 3(1964), №4, 48-58.

4] Д.К.Фаддеев, Введение в мультипликативную теорию модулей целочисленных представлений, Труды матем. института АН СССР, 80(1965), 145-182.

5] Н.С.Романовский, Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом, Матем. заметки, 6(1969), №3, 335-345.

6] Н.С.Романовский, О подгруппах общей и специальных линейных групп над кольцом, Матем. заметки, 9(1971), №6, 699-708.

7] М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1972.

8] З.И.Боревич, О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом, Вестник ЛГУ, 13(1976), №3, 16-24.

9] З.И.Боревич, Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 64(1976), 12-29.

З.И.Боревич, О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 75(1978), 22-31.

K.Suzuki, On parabolic subgroups of Chevalley groups over local rings, Tohoku Math. J., 29(1976), №1, 57-66.

Н.А.Вавилов, О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 75(1978), 43-58

В.М.Левчук, Параболические подгруппы некоторых ABA-групп, Матем. заметки, 31(1982), №4, 509-525.

В.А.Койбаев, Сети, ассоциированные с элементарными сетями, Владикавказский матем. журнал, 12(2010), №4, 39-43.

Р.Стейнберг, Лекции о группах Шевалле, М., Мир, 1975.

В.М.Левчук, Порождающие множества корневых элементов групп Шевалле над локально конечным полем, Алгебра и логика, 22(1983), №4, 48-58.

В.М.Левчук, Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых подгрупп групп Шевалле, Докл. АН СССР, 313(1990), №4, 799-802.

B.М.Левчук, Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле, Укр. матем. журнал, 44 (1992), №6, 786-795.

C.Г.Колесников, В.М.Левчук, Обобщенные конгруэнц-подгруппы групп Шевалле, Сиб. мат. журн, 40(1999), №22, 336-351.

В.А.Койбаев, Элементарные сети, Труды ИММ Уро РАН, 17(2011), №4 (в печати).

Коуровская тетрадь, 17-е изд., Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2010.

Factorization of Carpet Subgroups of the Chevalley Groups over Commutative Rings

Yakov N. Nuzhin

A concept of derivative carpet is introduced and it is proved that a carpet subgroup of the Chevalley group over commutative ring is a product of the derivative carpet subgroup and carpet subgroups of rank 1.

Keywords: Chevalley groups, commutative ring, carpet of additive subgroups, factorization.