Эволюция спина заряженной частицы в электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145

ЭВОЛЮЦИЯ СПИНА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

А. Е. Лобанов

(.кафедра теоретической физики) E-mail: lobanov@th466.phys.msu.ru

Изучена динамика спина заряженной частицы с аномальным магнитным моментом в произвольном постоянном электрическом поле. Найдены поля, в которых решение уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди может быть представлено в конечном виде. Исследован поворот спина частицы при рассеянии в кулоновском поле.

В работе на основе квазиклаееичеекого описания рассматривается эволюция спина заряженной частицы во внешнем поле. Предполагается, что движение частицы описывается уравнением Лоренца, а движение спина на известной траектории подчиняется уравнению Баргмана-Мишеля-Телегди (БМТ).

При заданном законе движения частицы уравнение БМТ [1], как дифференциальное уравнение первого порядка, имеет решение в виде матричного ряда. Однако в произвольных полях определение закона движения в явном виде невозможно. В предыдущих наших работах [2-4] был предложен метод исследования динамики спина без предварительного решения уравнения Лоренца. В частности, в [2] была решена задача об эволюции спина в плосковолновых полях специального вида, а в работе [4] — задача об эволюции спина в постоянном магнитном поле. В настоящей статье рассматривается движение спина частицы с аномальным магнитным моментом в произвольном постоянном электрическом поле. Цель работы — определить поля, в которых матричный ряд, представляющий решение уравнения БМТ, имеет конечное число членов, и найти вид таких решений.

Следуя [4], для описания движения спина будем использовать естественные координаты частицы, задаваемые ортами (V, п, Ь). Как известно, эволюция ортов естественного трехгранника определяется системой кинематических уравнений Френе:

v = /,:п. п = —Агу + хгЬ, Ь = ^хгп,

где к — кривизна, а х - кручение. Вводя вектор Дарбу

N

уравнения Френе можно представить в симметричной форме:

V = [О XV], п = [О х п], Ь = [О х Ь]. (1)

Определим оператор эволюции, переводящий начальные орты

у0 = у(0), по = п(0), Ь0 = Ь(0)

в орты конечного состояния

v = v(t), п = п(т), Ь = Ь(т),

где г — собственное время. Для этой цели удобно использовать спинорное представление (см., напр., [5]), поставив в соответствие ортам начального и конечного состояний спин-тензоры: vo —> (evo), v —> (<tv) и т.д. Тогда унитарный оператор эволюции определяется условиями

V((tvq)V+ = (<tv), V{ctb0)F+ = (o-b), V(a-n0)V+ = (an).

(2)

В силу (1) уравнения для оператора эволюции имеют вид

У = -*-(<гП)У, У+=г-У+(а О). (3)

Эти уравнения, учитывая (2), можно представить в форме

V+ =%-{a{>cvQ + kbQ))V+.

(4)

Такая запись удобна тем, что в коэффициентную матрицу уравнения входят лишь векторы начальной ориентации трехгранника и две скалярные величины — кривизна и кручение.

Применим эти общие соотношения для решения задачи об эволюции спина в произвольном постоянном электрическом поле Е. Уравнение движения частицы в таком поле (уравнение Лоренца) имеет вид:

й = 7Е, (5)

где и — компоненты 4-екороети, -у = и0 — релятивистский фактор. Уравнение БМТ, описывающее эволюцию спина заряженной частицы, имеет вид

s =

2(1+7)

(Л-(9-2)7)[8х[Ехи]], (6)

где д — гиромагнитное отношение. В целях упрощения записи в формулах сделана замена ^Е —> Е, где е, т — заряд и масса частицы. Мы используем

систему единиц, в которой с = 1. Из уравнений (5), (6) следует, что

® = 27(11+7) {Я + {Я ~ 2)7) [8 Х Х ' (?)

Воспользуемся подходом, предложенным в [2, 4], который позволяет определить эволюцию спина с произвольными начальными условиями при помощи решения уравнения для резольвенты уравнения (7) в спинорном представлении. В рассматриваемом случае указанное уравнение при учете равенства [и х й] = к{72 — 1)Ь имеет вид:

R-m

7 — 1 1 к(сгЪ) > R. (8)

Будем искать решение уравнения (8) в виде Я = УЯо, т.е. разобьем матрицу, описывающую вращение спина, на оператор поворота естественного трехгранника и оператор поворота спина относительно этого трехгранника. Учитывая (3), (4) и (8), получаем

9 9

7 к(сгЬ0) + x(crvо) > Rq.

(9)

Следовательно, для того чтобы определить ориентацию спина, нужно знать три скалярные функции: к, яг и 7.

Применительно к задачам электродинамики уравнение, аналогичное (9), рассматривалось в [6]. Из результатов этой работы следует, что если ограничиться физически интересным случаем, когда ряд, определяющий решение, обрывается при произвольных значениях д, то необходимо предположить, что либо должны выполняться равенства

хг

7 = const, а = — = const,

(10)

либо

х = 0. (И)

В обоих случаях, если кривизна траектории задана как функция собственного времени к = к(т), уравнение (9) имеет следующее решение:

„ lo .... LO

Ra = cos — + i(crt) sin-, ¿i ¿i

(12)

где

ш(т) =

t = < avo

k(r)dr,

-1/2

(13)

Заметим, что при этом и уравнение для оператора эволюции трехгранника (4) также имеет точное решение

ЛГ Ш0 ./ , ч . Щ

V = eos y -!(o-to)smy,

где

lo0(t) = \/l + a2 / k(r)dr.

(15)

t0 = (av0 + b0)/л/ 1 + a2.

Найдем поля, в которых реализуются условия (10), (11) и можно получить решения уравнений Лоренца и БМТ в виде (14) и (12) соответственно.

Из условий (10) следует, что существует направление, величина проекции 4-екороети частицы на которое постоянна. Представим единичный вектор скорости в виде суммы V = уц + v_, а вектор напряженности электрического поля на траектории в виде суммы Е = Ец + Е . где Ец = лгц(лгцЕ)/(^ц^"ц) = Для большей на-

глядности выберем систему координат так, чтобы

т. е. vil = v\¡ez

= V- (ех sin в — еу cos i

причем vii

2 _

этом вектор 4-екороети частицы

= 1, а в = в(х(т), у(т), z(t)). При

= \/72 — 1(еа; sin в — еу eos í

и.

= vii \/72 — 1.

Подставив эти выражения в уравнение Лоренца (5), получаем

7Е_ = \/72 — lv-6(ex cos Поскольку в = \/72-l(vV)0, то

Ex = v-( 7^7_1)х

еу smf

Ей = 0.

дв dz

дх

smf

де_

ду

COS!

Ey = v-(7^7 Х)х

дв dz

дх

smf

де_

ду

COS!

COS!

smf

(16)

Формулы (16) определяют поле лишь на траектории частицы. Чтобы получить вид поля во всем пространстве, необходимо наложить на вектор напряженности электрического поля условие rot Е = 0. Из этого условия следует, что искомое электрическое поле должно быть двумерным, т.е. в = в(х,у). Если дополнительно считать, что divE = 0, т.е. полагать, что траектория частицы лежит в области, где плотность заряда, создающего поле, равна нулю, то функция в(х,у) должна удовлетворять системе уравнений

д_

дх

де_

дх

smf

де_

ду

COS!

дв . л дв — sin»-- — COS! дх ду

дв_ =

«1

ду

д_

ду

дв_

дх

smf

дв_

ду

COS!

дв . „ дв — sin»-- — COS! дх ду

—-0

дх

Так как при выполнении указанных выше условий функция Е(() = Еу + iEx ~ dO/dC, представляет собой аналитическую функцию комплексной переменной £ = х + iy, то система (17) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению в комплексной области

■ d20 nfde\2

из решения которого следует, что единственное поле, в котором возможно получить точное решение уравнения БМТ при выполнении условий (10), — это поле, создаваемое аксиально-симметричным распределением заряда. При этом траектория движения частицы должна лежать на эквипотенциальной поверхности, т. е. представлять собой винтовую линию.

Гораздо более интересная ситуация реализуется при выполнении условия (11). В этом случае траектории движения частиц плоские. Когда к ф 0, это означает, что угловой момент частицы имеет ненулевую проекцию только на выделенную постоянную ось. В силу теоремы Нетер из этого следует, что поле имеет хотя бы одну локальную плоскость симметрии. Кроме того, движение должно происходить в указанной плоскости. Частным, но наиболее важным классом таких полей являются центральные поля

Е = г/(г)/г, f(r) =

dip dr '

(18)

движение в которых, вне зависимости от начальных условий, плоское. В таких полях t = to = bo = = const.

Кривизна траектории частицы выражается через компоненты 4-екороети следующим образом:

, [(т2 ~ l)(uu) — 7272]1/>2 " 72 - 1

Подставляя в эту формулу выражение (18), получаем

7

(72 - 1)

dip

dr

b2

. f211/2

(19)

Поскольку в центральных полях полная энергия и момент импульса являются интегралами движения, то, переходя в (13), (15) к интегрированию по переменной г, имеем

ш0 (г) =

(e-ip)L

г((е-^)2-1))

dip

dr

Г о

dr

Oj(r) =

((е — ip)2 — L,2/г2 — I)17"2 : 9 9^ 2,

(20)

2 (e-ip)

r 0

(e-ip)L

r ((e ip)2 1))

dip

dr

-{e-ip) ж

dr

((e-ip)2-Iß/r2- 1)

2 1^/2:

где е, Ь — нормированные на массу частицы полная энергия и момент импульса соответственно. В ряде случаев, в частности для кулоновского поля, интегралы (20) могут быть вычислены явно.

В качестве примера рассмотрим рассеяние частицы со спином, обладающей зарядом ±е, на неподвижном точечном кулоновском центре с зарядом 7а:. Если ввести обозначение А = ±тЬ^е2 и считать, что |Д| > 1, то

too/2 =

-\/Д2 — 1

е к •

arcsm —, — — sign Д

^/1 + А2(е2 — 1) 2

1

9-2

я" • л — sign Д,

(21)

ш/2 = aresin—=--о „ч -

' ^1 + А2(е2-1) 2(Д2 — 1)

х{|А|^£2^1+ /^^Х (22)

arcsm ■

я" • л — sign Д

^1 + А2(е2-1)

Формулы (21), (22) определяют в параметрической форме угол рассеяния ша и угол поворота спина относительно траектории ш в зависимости от энергии и углового момента рассеиваемой частицы. При этом для периферического рассеяния на малые углы, квазиклассическое описание которого является вполне адекватным, имеем

Ш :

9

-еш0.

(23)

Таким образом, спиральность частиц не сохраняется, а угол отклонения спина от вектора скорости растет линейно с энергией.

Из полученных результатов следует, что наличие аномального магнитного момента делает продольную поляризацию частиц неустойчивой не только при их движении в ускорителях [7, 8], но и при рассеянии. То есть утверждение о том, что при рассеянии ультрарелятивистских частиц спиральность сохраняется (см., напр., [9]), не является корректным.

Автор благодарен A.B. Борисову, В.Ч. Жуковскому, Б. А. Лыеову и Г. А. Чижову за обсуждение полученных результатов, а Е.М. Мурчиковой — за помощь в расчетах.

Литература

1. Bargmann V., Michel L., Telegdi V. 11 Phys. Rev. Lett. 1959. 2. P. 435.

2. Лобанов A.E., Павлова О.С. I ! ТМФ. 1999. 121. С. 509.

3. Лобанов А.Е., Павлова О.С. // Изв. вузов, Физика. 2000. № 1. С. 38.

4. Лобанов А.Е., Павлова О.С., Чижов Г.А. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 2001. №6. С. 12 (Moscow University Phys. Bull. 2001. N 6. P. 15).

5. Боголюбов H.H., Логунов A.A., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие принципы квантовой теории поля. М., 1987.

6. Лобанов А.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. №2. С. 59 (Moscow University Phys. Bull. 1997. N 2. P. 85).

7. Соколов A.A., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1983.

8. Тернов И.М. Введение в физику спина релятивистских частиц. М., 1997.

9. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М., 1989.

Поступила в редакцию 22.12.03