CC BY
72
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика
УДК 629.735
ЭВОЛЮЦИЯ СОСТОЯНИЙ ВОЗДУШНОГО СУДНА ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ СПУТНОГО СЛЕДА
Е.М. ИВЕНИНА, И.Б. ИВЕНИН, В.Л. КУЗНЕЦОВ
Рассматривается новый методический подход к описанию и исследованию динамики движения воздушного судна при пересечении им спутного следа, построенный на основе методов анализа систем со случайной структурой.
Введение
При анализе безопасности полетов воздушных судов (ВС) наряду с моделированием риска непосредственного столкновения ВС необходимо учитывать и моделировать риск возникновения летного происшествия (ЛП), вызванный влиянием различных факторов внешней среды. Одним из наиболее значимых факторов внешней среды, влияющих на безопасность полетов ВС, является спутный вихревой след от других ВС в рассматриваемой области воздушного пространства.
Вихревой след характеризуется наличием значительных по величине скосов потока, существенно меняющих картину обтекания аэродинамических поверхностей ВС, попавшего в след. На ВС, попавшее в вихревой след, в зависимости от места и условий входа начинают действовать дополнительные аэродинамические силы и моменты (наиболее опасным из которых является момент крена), которые могут создать предпосылки к летным происшествиям.
С точки зрения единства методических подходов оценки риска катастроф и полноты описания риска возникновения летных происшествий при взаимодействии с вихревым следом целесообразно использовать функциональный критерий - вероятность возникновения летного происшествия как функцию параметров движения ВС и вихревого следа.
Для оценки вероятностных характеристик процесса пересечения ВС спутного следа необходимо определить дополнительные силы и моменты, соответствующие движению в возмущенной атмосфере, описать относительное движение ВС и следа, а также статистическую динамику системы ВС - спутный след.
1. Постановка задачи и основные приближения модели
Рассматривается движение двух воздушных судов (ВС1 и ВС2) на пересекающихся или до-гонных курсах, таких, что при сохранении параметров движения ВС2 в некоторый момент времени попадет в спутный след, генерируемый ВС1 (ВС - генератором).
Анализируемый интервал [^0, ^ ] времени движения ВС2 можно разбить на три отрезка -
три этапа. На первом этапе ВС2 движется в слабо возмущенной атмосфере, испытывая случайные воздействия турбулентного ветра. На втором этапе ВС2 движется внутри турбулентного следа, где испытывает суммарные случайные воздействия турбулентного ветра и турбулентного следа. На третьем этапе ВС2 выходит из турбулентного следа и пытается вернуться в исходное состояние в пространстве параметров.
Область турбулентного следа аппроксимируется прямоугольным параллелепипедом с параметрами Ь, Н, N (рис. 1).
В пространстве фазовых координат ВС у определена односвязная область G допустимых значений параметров. Граница области G - X есть поглощающая граница, т.е. выход за нее влечет неминуемое наступление летного происшествия.
Предполагается, что взаимодействие со спутным следом может привести к летному происшествию на втором и третьем этапах, при выходе параметров полета за пределы допустимой области G [1].
Считается, что поле скоростей воздушных масс (ветра) вне спутного следа и (г, і) удовлетворяет гипотезе о статистической однородности и изотропности атмосферы и «замороженно-сти» поля скоростей по отношению к ВС. Вектор скорости ветра может быть представлен в виде суммы некоторого вектора среднего ветра и0 и центрированной случайной составляющей
ив:
и = и0 +ив. (1)
Предполагается, что по отношению к совместному воздействию на ВС турбулентного ветра и турбулентного спутного следа применим принцип суперпозиции. При описании поля скоростей внутри турбулентного следа будем придерживаться феноменологической модели, описанной в [2], в соответствии с которой поле скоростей воздушных масс внутри турбулентного следа представляется в виде суммы
и(г,і) = и-* (г)+ив + 0а(г,і). (2)
Здесь и* (Г) - регулярная часть распределения скоростей, представляющая усредненное по ансамблю реализаций поле. Это регулярное поле «зашумляется» аддитивными случайными компонентами ив и иСл (Г, і) . Последняя представима в виде произведения
иСл (Г, І)= А (Г)' и ^, 0 , (3)
где А (Г) - «маска», определяющая пространственное изменение амплитуды турбулентных пульсаций внутри следа, а и (Г, і) - однородное гауссово поле.
Считается, что спектральные характеристики ветра, а также временная и пространственная корреляционные функции для поля и (Г, і) известны.
2. Определения дополнительных аэродинамических сил и моментов
Для описания пространственного или плоского движения ВС в возмущенной атмосфере могут быть использованы нелинейные или линеаризованные уравнения динамики полета и статистической динамики [3,4], в правых частях которых отражены дополнительные аэродинамические силы и моменты.
Для определения последних может быть применен методический подход, разработанный в [5], суть которого заключается в следующем. На основе информации о поле возмущенных скоростей для ВС, находящегося в нем, рассчитываются дополнительные кинематические параметры: углы атаки, скольжения и дополнительные угловые скорости.
Дополнительные углы атаки и скольжения ВС вычисляются как осредненный по поверхности ЛА вертикальный и боковой скосы потока. Дополнительные угловые скорости тангажа и рысканья определяются как осредненные по длине ВС градиенты вертикального и бокового скоса потока. Дополнительная угловая скорость крена определяется как осредненный по размаху крыла ВС градиент вертикального скоса потока.
Будем считать известными векторы V = ||ух,уу,уг|| поступательной и Й = ||^х, О,у, О,г||
угловой скорости ВС в невозмущенной атмосфере. Аэродинамические силы и моменты представим в виде
Я = Яа + АЯа, М = Ма + АМа (4)
где векторы Яа, Ма - аэродинамические сила и момент, действующие на ВС при его движении в однородном невозмущенном воздушном потоке с поступательной скоростью V и угловой скоростью О ; АЯа, АМа — векторы дополнительных аэродинамических силы и момента, действующих на ВС в возмущенном воздушном потоке.
Векторы аэродинамических сил и моментов целесообразно выразить через безразмерные коэффициенты: Яа = сц8; Ма = шцШ; АЯа = Асц8 ; АМа = Атц8/; где ц - скоростной напор; с, Ас, т, Ат - векторы коэффициентов аэродинамических сил и моментов; 8, / - характерные площадь и линейный размер ВС.
Введем в рассмотрение безразмерные аналоги поступательной скорости V и угловой скорости О :
у=У/Ух = ||1,-а,Ь, а>=й//Ух = (,йу,^г||Г, (5)
где а и р - углы атаки и скольжения.
Дополнительные кинематические параметры АV и Ай, обусловленные движением ЛА в возмущенном воздушном потоке, будем также определять выражениями вида
Ау=АУ/Ух = ||1, -Аа, Ар|Т , (6)
Ай=АО//Ух = ||Айх, Айу, Айг||Т , (7).
Векторы Ас, Ат в рамках гипотезы гармоничности будем представлять как и векторы с, т в виде:
с = А;у + А®<Г+А;У + Ас"й (8)
т = А^у + А,й<Г + Аті + (9)
т т т т \ /
Ас = Ас АУ + А^ А Г + А<! Ат) + А? А (Г (10)
Ат = А Ау + Ай А Г + А,! АУ + Ай А й (11)
т т т т
Здесь Ау, АО, АС, Д® - матрицы аэродинамических производных по соответствующим кинематическим параметрам.
Для определения дополнительных кинематических параметров Ау, А О , обусловленных неоднородностью воздушного потока, воспользуемся следующим подходом.
Обозначим возмущенную скорость в произвольной точке пространства через Ж (Г, I) . Дополнительные кинематические параметры будем определять, аппроксимируя возмущенную скорость на поверхности ВС выражением вида
Ж (г, ^ = -АК (0 -АО (Г) х г . (12)
Величины АV(^), АО (^) можно определить из условия минимума среднеквадратичной ошибки аппроксимации возмущенной скорости по поверхности ЛА:
(АV, АО) = а^ тіп (Г, і) + V (і) + О1 (і) х г
а
где а - поверхность ВС.
ёа
3. Движение ВС относительно спутного следа
Для анализа эволюции состояний ВС при пересечении спутного следа необходимо знать
координаты ВС относительно следа, которые характеризуются вектором О (рис. 1). Изменение этого вектора во времени характеризуется кинематическим уравнением
О = Ус - V2 , (13)
где Ус - вектор скорости следа (в простейшем случае считается равным вектору скорости ВС -генератора следа у1 ), у2 - вектор скорости ВС, пересекающего след.
Введем в рассмотрение невращающиеся системы координат 0схух и 02х„у„2„, начала
ООО ООО
которых связаны, соответственно, с геометрическим центром следа и ВС, а оси параллельны стартовой системе координат.
Введем также в рассмотрение систему координат 02ХЛ{П2, связанную с вектором дальности. Ось 02Х направлена по вектору В, ось Орасположена в плоскости 02^У8, а ось 02Ц2 перпендикулярна плоскости 02Х'Л1 и образует правую систему координат. Положение системы координат 02%Т1{П2 относительно системы 02х8у8?8 определяется углами £ и V, а ее вращение - угловой скоростью б)0, определяемой соотношением
а>В = V + £ (14)
С учетом вращения системы координат 02%Т]\П2 кинематическое уравнение относительного движения (13) преобразуется к виду
йі
+ а>0 х Б = ус - У2,
(15)
йБ п
где —— локальная производная вектора Б .
В проекциях на оси системы координат O2Xhh2 уравнение (3) преобразуется в три скалярных кинематических уравнения движения ВС-преследователя относительно спутного следа [6]:
D = (v C,X °)-( V 2,Х 0),
De = (v c,^7i°) -(v 2,^7i°), (16)
-D»V COS £ = (vc h°) - ( V7, h° ),
где X°, h° и h2° - орты системы координат O2Xh1h2 •
4. Стохастическое описание динамики ВС при пересечении спутного следа
Наиболее полное описание статистической динамики ВС при пересечении спутного следа можно дать с помощью методов теории динамических систем со случайной сменой структуры [ 7].
Под структурой будем понимать системы уравнений, описывающие движение ВС в возмущенной атмосфере. Тогда первой структуре s1 соответствует движение ВС в слабо возмущенной атмосфере, а второй структуре s2 будет соответствовать движение в спутном следе.
В рамках данной работы будем считать, что изменение структуры происходит только при достижении ВС детерминированных границ спутного следа, то есть будем рассматривать динамический процесс с сосредоточенными переходами (рис. 2).
Рис. 2. Изменение структуры динамической системы
В динамической системе со случайной структурой и сосредоточенными переходами случайный дискретный процесс 8^) будем предполагать условным марковским с конечным числом состояний (в простейшем случае два состояния). Смена состояния s на состояние Г происходит при достижении вектором фазовых координат у(1) некоторой границы у(гх) .
В рассматриваемом случае описания динамики системы со случайной структурой и сосредоточенными переходами случайный дискретный процесс s(t) будем полагать условно марковским с конечным числом состояний.
Марковский процесс смены структуры в данном случае может быть описан условной функцией интенсивности переходов /Л™ЧУ,У(ге),t), зависящей от вектора фазовых координат у(^) и
вектора у(гг*), характеризующего границу. На границе происходит полная смена состояния, то
есть полное поглощение реализаций предыдущего процесса.
В данной работе будем считать [3], что динамика ВС при постоянной структуре описывается уравнениями Фоккера-Планка-Колмогорова
= -&у р(у г) = -£ пк (у„ г) (17)
-г к=1 -Ук
Условные функции вероятности состояния р(,)(г, У) и перехода р( ,к )(г, У) при фиксированном у (г) определяются из уравнений
ф('°>{!1 у) =-р(*)(г|У)т(Г,)(У,У(Г,),г)+р(-г)(г\у)т*г)(У,у(,Г),г) ,,г = 1,2; , ф г . (18)
аг
др‘“)(*'-.|к’^У) = -р'“)(8,(\к, 1оУ)£ т)(У,у(“),г) + £ т{,гу(У,у"),I)-р,Г*)(г,!\к,^у). (19)
г=1ф, г=1ф,
Безусловная вероятность структуры определяется выражением
р( 8) (г) = | р(,) (г \ у Х/'(Яг )аУ; /(й г) = £ / (у, , г). (20)
8=1
Как показано в [7], удобной интерпретацией рассматриваемых марковских разрывных процессов ^УТ (г), з(|)^| в системах со случайной сменой структуры является модель с поглощением
и восстановлением реализаций. В рамках этой модели считается, что в некоторый случайный момент времени реализации одного процесса исчезают, а возникают реализации другого процесса или восстанавливаются прежние. Переключение из одного состояния в другое (смену структур) рассматривается как поглощение реализаций данного состояния, а включение предыдущего - как восстановление. Указанные переходы совершаются в случайные моменты времени по закону изменения дискретного процесса ,(г). Такой скачкообразный переход в рамках рассматриваемой интерпретации спутного следа совершается при достижении фазовыми координатами граней параллелепипеда, ограничивающего след.
Для описания процессов поглощения и восстановления в соответствии с [7] введем локальные функции поглощения Ь(у, ,, г) и восстановления /(у, ,, г) реализаций марковского разрывного процесса
Ь(У,,г) = £ р“(1 )Ьм(у,г) (21)
Г=1Ф 8
/(У,г) = £ р‘Г)(г)ГЧУ,г) (22)
Г=1Ф,
где р(,) (г), р('г) (г) - вероятности состояний, в которых находится система ( г, 8 = 1,2; г Ф 8 );
Р'ЛУ, г), /"Чу, г) - компоненты, соответственно, функций восстановления и поглощения, определяемые равенствами:
Ь"Чу, г) = Ы:,ЧУ, г)) Яу™ - У), (23)
У"\У, г) = / (»° ,РГ)(.У, 0) £(у('Г) - У'^1")(.У, г \ У', г)ау', (г, , = 1,2; г ф ,), (24)
где П°s - единичный вектор внешней нормали к поверхности y(rs), а ^Пг° ,P(y, s, t)j - скалярное
произведение соответствующих векторов.
Введенные функции b( У, s, t) имеют смысл поглощения s-го состояния или стока вероятности, а g(y, s, t) - восстановления состояния или истока вероятности в точке у .
С учетом введенных функций обобщенные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для процесса с сосредоточенными переходами выглядят следующим образом
_—divp(y, s, t)-b(y, s, t) + g(y, s, t); (s = 1,2), (25)
at
a/(y, s, ay , sti) _ —divp(y, s, 11 /, s, ti) - fi(y, s, 11 y*, s, ti) + g(y, s, 11 y*, s, ti), (26)
1 T
где p(y,s,11y\s,ti) _as)(y,t)f(y,s,11y\s,ti)—^|vT [D(s)T(y,t)f(y,s,11y*,s,ti)]} - вектор
плотности потока вероятности, соответствующий фиксированной структуре s; a(s)(y, t) и
D( s)(y, t) - соответствующие вектор сноса и матрица диффузии.
Уравнения (25), (26) следует интегрировать при начальном условии
/(y, s, 0| y\s ti) _ S(y — y), (27)
и при нулевых граничных условиях
f (±¥ s, ti)| y*, s, ti) _ °. (28)
Заключение
В представленной работе развивается новый подход к проблеме анализа эволюции ВС при пересечении спутного следа, построенный на основе методов анализа динамических систем со случайной структурой.
Решение уравнений (25) и (26) полностью определяет вероятностные характеристики процесса взаимодействия ВС со спутным следом, а следовательно, могут быть использованы для оценки вероятности выхода параметров полета за пределы допустимой области, что в свою очередь может быть использовано для вычисления риска возникновения летного происшествия в общепринятых вероятностных схемах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ivenina E.M., Kuznetsov V.L. On wake vortex risk modeling, ICAO SASP-WG/WHL/12-WP26, Santiago, Chile 5 - 16 November, 2°°7.
2. Ивенина Е.М., Кузнецов В.Л. Простая модель расчета риска катастрофы в турбулентном следе / Статья в настоящем Научном Вестнике.
3. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. - М.: Наука,
1983.
4. Красовский А.А., Вавилов Ю.А., Сучков А.И. Системы автоматического управления летательных аппаратов. - М.: Издание ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986.
5. Бабкин В.И., Белоцерковский А.С., Турчак Л.И. и др.Системы обеспечения вихревой безопасности полетов летательных аппаратов. - М.: Наука, 2°°8.
6. Григорьев В.Г. Авиационные управляемые ракеты. - М.: Издание ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского,
1984.
7. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В. А. Анализ систем случайной структуры. - М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература» ВО «Наука», 1993.
THE AIRCRAFT STATE EVOLUTION AT WAKE VORTEX CROSSING
Ivenina E.M., Ivеnin I.B., Kuznetsov V.L.
The new methodical approach is examined to description and research of dynamics of motion of aircraft at wake vortex crossing, which built on the basis system with accidental structure analysis methods.
Сведения об авторах
Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 8 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в механике и исследовании операций, безопасность полетов.
Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, доцент кафедры ВВИА им. профессора Н.Е. Жуковского, автор более 60 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.
