Моделирование динамики воздушного судна в спутном следе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7.015

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВОЗДУШНОГО СУДНА

В СПУТНОМ СЛЕДЕ

В.Л. КУЗНЕЦОВ, А.А. ХАУСТОВ

Рассматривается решение задачи о динамике воздушного судна (ВС), попавшего в спутный след, с учетом вынужденной эволюции его пространственного положения. В качестве динамических параметров рассматриваются углы крена и тангажа. Предполагается, что выход этих углов и соответствующих угловых скоростей за границы допустимой области приводят к возникновению авиационного происшествия.

Ключевые слова: вихревая безопасность, спутный след, динамика полета воздушного судна, метод теории полос.

Введение

Ввиду увеличения интенсивности полетов самолетов гражданской авиации все более актуальной становится задача количественной оценки риска для безопасности полетов (БП), обусловленного возможным воздействием на воздушное судно (ВС), летящее на эшелоне, спутного следа от другого ВС, летящего выше [1-3] (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия попадания ВС в спутный след, индуцируемый ВС, летящим на встречном эшелоне

Следует отметить, что обычно, моделируя движение ВС в спутном следе, пренебрегают фактом «проседания» следа, отличием от нуля углов взлета и поворотом ВС в спутном следе под действием возмущающих сил и моментов [4-8].

В настоящей работе, развивающей положения [5; 9], мы отказываемся от этих приближений, адаптируя анализируемую модель к реальной ситуации, представленной на рис. 1.

1. Постановка задачи

Рассмотрим пару ВС, совершающих установившиеся прямолинейные горизонтальные полеты в условиях RVSM на соседних эшелонах. В момент времени I = ВС2 попадает в спутный след, индуцируемый ВС1, под углом р к продольной оси следа. Параметры спутного следа и ВС2 известны. Необходимо определить реакцию ВС2 на возмущающие воздействия, индуцируемые спутным следом, в предположении, что, попав в след, экипаж ВС2 не успевает предпринять действий по парированию возмущений.

2. Основные приближения модели

При моделировании поля скоростей следа будем полагать, что спутный след образован парой противоположно закрученных, симметричных вихревых жгутов одинаковой интенсивности [3], параметры которых на участке взаимодействия постоянны.

Уравнения движения ВС будем записывать в стандартных приближениях [11], а при определении возмущающих сил и моментов, индуцируемых спутным следом, будем использовать гипотезу «замороженного» вихря и метод теории полос [10]. Само ВС2 будем моделировать четырьмя несущими (аэродинамическими) поверхностями для учета как правой и левой половины крыла, так и правой и левой частей горизонтального оперения (ГО). При этом мы пренебрегаем ролью киля и фюзеляжа и предполагаем, что аэродинамические поверхности располагаются в центральной линии ВС (рис. 2).

Обычно при использовании теории полос полагается, что поле скоростей набегающего потока однородно. В нашем случае картина более сложная, поэтому для расчета возмущающих сил и моментов мы вводим эффективное поле, усредненное по длине каждой г -й выделяемой полосы на Ч -й поверхности ВС2

Y,

V

= Ь- |Vy (х, г,ф,у,д)с}х .

УЧ

(1)

■14ь»

Рис. 2. Схема модели ВС2

Здесь Ь,,г - длина «полосы», Vy (х, г,ф,у,$) - значение компоненты возмущающей cкорости, индуцируемой спутным следом, перпендикулярной плоскости ОХвс 2сс, связанной с ВС2 системой координат.

В качестве динамических параметров будем рассматривать углы крена и тангажа, предполагается, что выход данных углов и соответствующих угловых скоростей за границы допустимой области приводят к наступлению авиационного происшествия (АП).

3. Модель поля скоростей спутного следа

Поле скоростей вихревого жгута может быть представлено "моделью вихря", описывающей

зависимость тангенциальной компоненты скорости Ув(г) как функции расстояния от центра

вихревого жгута [3]. В работе мы будем использовать модель Ламба - Озеена

г Г у V г

vв(r, У,в)

г

2кг

1 - ехр

-1.2526

V гс У

(2)

где Г - циркуляция вихревого жгута; тс = V4Ш - радиус ядра,; и - кинетическая вязкость воздуха. Полное поле скоростей, индуцируемое спутным следом, может быть описано как суперпозиция течений двух вихревых жгутов с циркуляцией разного знака (рис. 4).

Для дальнейшего анализа удобно ввести три системы отсчета. Первая - ОХвсУвс2вс связана с ВС2, вторая - ОХссУсс2сс со спутным следом и третья - ОХсечУсеч2сеч с сечением спутного следа основной плоскостью ВС2 (рис. 3).

ь

4 и

х

Отметим, что в процессе движения в спутном следе ВС2 будет изменять свою ориентацию в пространстве, появляется угол крена и тангажа. Поэтому последняя система отсчета вращается в соответствии с поворотами ВС.

Усс

Рис. 3. Геометрия влета ВС2 в спутный след

Здесь следует отметить, что при описании вращения системы отсчета, связанной с сечением спутного следа, необходимо учитывать расстояние от центра системы 0ХвсУвс2вс, относительно которого ВС2 совершает вращательные движения, до центра 0ХсечУсеч2сеч (хц,уц,ъц), т.к. направление влета ВС необязательно лежит в плоскости симметрии спутного следа (рис. 3). Можно показать [12; 13],что обобщенная матрица поворота записывается при этом в виде

g = T • g 2 • • T—

(3)

где Т матрица перемещения

T

1 0 0

- x„

0 1 0

— Уц

0 0 1

— z,,

а <§1 и ~2 - расширенные до размера 4x4 матрицы поворота по крену и тангажу.

Явный вид (3) позволяет связать соответствующие координаты в системах спутного следа и «поворачивающегося» сечения:

хсс = хц + (хвс - хц )• С08(р + $) + (Увс - Уц )• 8Ш(Р + Я);

Усс = Уц + (2вс - 2ц )• ^(у) + (Увс - Уц )• Я) • соб(р) - Я) • вт(р)> соБ(у) -

- (хес - хц )• (сов(0) • Бшр) + мп( Я) • с0Б(р))^ сов(у); (4)

гсс = гц + (гвс - 2ц )• со<7) - (Увс - Уц )• • со8(р) - • ^(р^ 81п(г> +

+ (хвс - хц )• (соб(Я) • Б1п(р) + Я) • сов(р))^ 8т(у).

С учетом (2) и (4) выражение для поля вертикальных скоростей Уу , оказывающих основное возмущающее воздействие на полет ВС2, с учётом угла наклона спутного следа р, а также углов крена у и тангажа Я, в зависимости от геометрии влета ВС2 в спутный след, определяется следующим образом

Vy fcc, zec , jg,j) = iVв(^ÍXCC+^ZCC-Zc)'

Ix2 + (z - z 2

+ v

Jx2 +(zc + z )

cc cc c

\ f

• sin arctg

J v v

(zcc - zc )/

\\

x

+

cc J J

\ ff

• sin arctg

J v v

Uc + zc)/

c J J J

sin(g) •

• (sin( j) • sm( J) - cos( j) • cos( J)) + v/Vxc2c + (zcc - zc)2

• cos

У

arctg

(zcc - zc )/

\\

cc J J

(5)

+

+ v

Jx2 + (zcc + z )2

V cc V cc с /

cos

arctg

(zcc + zc )/

c J J J

• (cos( j) • sin( J) + cos( j) • cos(J)).

На рис. 4 представлены результаты моделирования поля скоростей спутного следа в зависимости от различных значений угла крена у и «прицельного расстояния» ВС относительно плоскости симметрии спутного следа.

При расчетах использовались характеристики ВС Boeing 747-400, совершающего полет на крейсерском режиме со скоростью V = 230м/ c. Начальная циркуляция вихря Г0 = 630 м2 / c, радиус вихревого ядра - rc = 0.052 • b0.

а б

Рис. 4. Поле скоростей по модели Ламба - Озеена в зависимости от поворота ВС2 на угол крена у, ^=7-п/15. Поворот относительно точки, находящейся: а - между вихревыми жгутами;

б - в центре «правого» вихревого жгута

4. Моделирование динамики вращения воздушного судна в спутном следе

Под воздействием дополнительных аэродинамических сил ВС, попавшее в спутный след, начинает вращение. Динамические уравнения, описывающие такое вращение, хорошо известны [11; 14]. В рассматриваемой нами задаче, учитывая ее сложность, мы ограничимся приближением, в котором угол рыскания может быть положен равным нулю. Тогда исходная система динамических уравнений в стандартных обозначениях может быть записана в виде:

dw AMV. dw ЬЫ„ . _ ^ ^ _ _ .

(6)

dt

J,

dt

J „

dg . dJ

-t-=wx -Wz ■ sin у tgJ; dJJ = o)z • sing. dt dt z

Систему уравнений (6) необходимо дополнить явным видом выражений для моментов крена - ^Мх и тангажа - АМг, действующих на ВС в спутном следе.

В момент времени г на г-ю «полосу» у-й аэродинамической поверхности Х. действует подъемная сила, пропорциональная приращению местного угла атаки на данной «полосе»

Щ (г) = q • Яу [- (а + а0)- - (а0 )]• = q • Я. • са. • а. (г),

где Я. - площадь «полосы»; а0 - стационарное значение угла атаки, ( V (х г (руд)/ Л

а = аг^\ у вс' '/ I - дополнительный эффективный местный угол атаки, порож-

1р

(гп2ол )/ 2 - динамическое давление; с1 . =-(а0) -

денный полем скоростей спутного следа; q = \рУтл) 2 - динамическое давление; с1 .

а ёа

коэффициент (наклон) подъемной силы для аэродинамических поверхностей.

Под действием дополнительной подъемной силы возникают дополнительные моменты крена и тангажа, которые в общем виде можно записать как

ётг. =-Х • q • Я. ■ с1а1 •а. V^ (7)

где Ху - расстояние от точки приложения сил до центра масс ВС2, для момента крена - координата вдоль оси 02 вс, для момента тангажа - 0Хвс.

Отметим здесь, что согласно [11], аго = а. для горизонтального оперения (ГО) при нулевом положении органов продольного управления определяется как

аг.о. =(1 -ea)•a,

где еа - осредненный угол скоса потока за крылом в области ГО, при полете без механизации при а < 20 (что соответствует полету по маршруту) величина е0 близка к нулю, значение еа достигает 0.5...0.6 [11].

Дополнительно необходимо учесть Кго - коэффициент торможения потока в области ГО,

значение которого (ГО расположено на киле) на дозвуковых скоростях полета Кто » 0.95 [11].

Ввиду того, что «угол поперечного V» для всех рассматриваемых аэродинамических поверхностей полагается равным нулю, а также их симметричности относительно плоскости 0X2, при N , (7) для крыла или ГО можно переписать в виде

1У

т. (, х, г,р, у, д, у, д) = ^ • Я. • са. | ё%Хг] а. (, х, г, р, у, д, у д). (8)

Дополнительные моменты можно представить, как сумму моментов, действующих на крыло и на ГО [15]. Тогда возмущающий момент крена, действующий на ВС2, можно записать в виде

и

АМх (г, х, г, р, у, д, у, д) = q■

'к/

8 • с1аК | ёг^г^ ак (г, х, г, р, у, д, у, д) +

-V

' ' / -1 , (9)

'го/ /2

+ 8г.о. • с1аг,0. • Кг.о. (1 еа) {ёг • г • (ак (г, х, г, р, у, д, у, $))

-Ьо/

/2 _ где 1К и 1го - размах крыла и ГО; 8к и Яго - площадь крыла и ГО; с1к и с1аго - коэффициенты подъемной силы для крыла и ГО.

Аналогично, возмущающий момент тангажа, действующий на ВС2 в спутном следе, можно записать в виде

DMz (t, х, z, j, g, J, g, J) = q-

/2

Sк • j dz • хк z (z) • a (t, х, z, j, g, J, g, J)

+

+ S2 0. • Ca,0. • Kro (1 - eJ jdz • хг о z (z) • (a (t, х, z, j, g, J, g, J))

(10)

Здесь хк z (z) = bA -1 1 bA + |z| • tg(%к) | + хцм , где bA - срединная аэродинамическая хорда крыла;

% - угол стреловидности крыла, хцм - расстояние от начала связанной с ВС2 системы координат

до задней кромки крыла; %к - угол стреловидности крыла; хгог (z) = -{ь - |г| • tg(%го)), Ь - плечо

ГО (длина проекции на продольную ось ВС отрезка, соединяющего центр масс ВС и точку, лежащую на Н САХ ГО (фокус ГО)) [11]; %го - угол стреловидности ГО. С учетом (9) и (10), систему (6) можно переписать в следующем виде

dax q

dt J

SK • с1ак jdz • z • a (t, x, z, j, g, J, (Ox, w ) +

+ Sr.o. • Ca,o. • Kо (1 - e J jdz • z • (a (t, x, z, j g, J, ( ( ))

(11)

dwz _ q

dt J

/ 2

SK • с1ак j dz • xK z (z) • a (t, x, z, j, g, J, g, J)

+

2

+ S,o. • c^. • Кго (1 -£a) j dz • x_. z (z) • (a (t, x, z, j, g, J, g, J))

dg

-j- = (x -( • sin g' tgJ; dt

dJ

— = w • sin g.

dt z

_*k

ro

k

Jo

Для численного интегрирования выражений, стоящих в правых частях уравнений системы (11), был использован адаптивный метод квадратур. Система (11) решалась методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

На рис. 5 (а-г) представлены результаты численного моделирования при влете ВС2 вдоль "правого" вихря ВС1, в качестве ВС1 выбран Boeing 747-400, ВС2 - Airbus A320-200.

График угловой скорости тангажа

График тангажа

lili -

-тангаж -максимальный тангаж -минимальный тангаж -макс, тангаж/у г. с к. тангажа -мин. тангаж/у г. с к. тангажа

-

i 1 1 i i 1

-

-уг. ск. тангажа -макс, тангаж/у г. с к. тангажа -мин. тангаж/у г. с к. тангажа

i i i Í

1.5 2 2.5 t.ceK

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

t.COK

Рис. 5. Результаты численного решения системы (11): а - крен; б - угловая скорость крена; в - тангаж; г - угловая скорость тангажа

Заключение

a

г

в

В работе предложен подход к моделированию воздействий спутного следа на ВС, попавшее в него, при вынужденной эволюции пространственного положения последнего. Применение данного подхода позволило сформулировать задачу о динамике ВС в спутном следе как динамическую самосогласованную задачу.

В рамках решения сформулированной задачи рассмотрена модель динамики ВС в спутном следе. Результатами расчета модели являются зависимости углов крена и тангажа, а также соответствующих угловых скоростей как функции времени. Показано, что при неблагоприятных условиях влета в спутный след, наступление АП становится неизбежным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ярошевский В.А., Бобылев А.В., Гайфуллин А.М., Свириденко Ю.Н. Влияние вихревого следа на динамику полета пассажирского самолета // Полет. 90 лет ЦАГИ. - 2008. - С. 93-99.

2. Bobylev A.V., Vyshinsky V.V., Soudakov G.G., Yaroshevsky V.A. Aircraft Vortex Wake and Flight Safety Problem // Journal of Aircraft. Vol. 47, № 2, March - April 2010. - 663 - 674 pp.

3. Хаустов А.А. Модель эволюции спутного следа воздушного судна при полете на крейсерском режиме // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2012. - № 184. - С. 118 - 122.

4. Золотухин В.В. Моделирование вихревых следов в задачах управления воздушным движением // Программные продукты и системы. - 2011. - № 1 (93). - С. 126 - 129.

5. Ivenina E.M., Kuznetsov V.L. On wake vortex risk modeling, ICAO SASP-WG/WHL/12-WP26, Santiago, Chile 5 - 16 November, 2007.

6. Woodfield A.A. En-route encounters with Wake Vortices, and the implications of Reduced Vertical Separation Minima (RVSM) (EUR RVSM PROGRAMME Response). Woodfield Aviation Research Report No. 9901, March 1999.

7. Speijker L.J.P. Risk based decision support for new air traffic operations with reduced aircraft separation. PhD Dissertation, Delft Institute of Applied Mathematics, National Aerospace Laboratory NLR, 2007.

8. Kuzmin V.P. Estimation of wake-vortex separation distances for approaching aircraft, Trudy TsAGI, Vol 2627,

1997.

9. Хаустов А.А. Динамика крена воздушного судна в спутном следе // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - № 150. - C. 11-18.

10. Судаков Г.Г. Математические модели и численные методы расчета характеристик спутных следов и их воздействия на самолет: дис. ... д-ра техн. наук. - М., 2005.

11. Ефремов А.В., Захарченко В.Ф., Овчаренко В.Н. и др. Динамика полета: учебник для студентов высших учебных заведений / под ред. Г. С. Бюшгенса. - М.: Машиностроение, 2011.

12. Гельфанд И.М., Шапиро З.Я. Представления группы вращения трехмерного пространства и их применения // Успехи мат. наук. - 1952. - Вып. 1 (47). - Т. У11. - С. 3 - 117.

13. Роджерс Д.Ф. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс / пер. с англ. Ю.П. Кулябичева, В.Г. Иваненко. - М.: Машиностроение, 1980.

14. Воробьев В.Г., Кузнецов С.В. Автоматическое управление полетом самолетов: учебник для вузов. - М.: Транспорт, 1995.

15. Stewart E.C. A Parametric Study of Accelerations of an Airplane Due to a Wake Vortex System NASA/TM-1999-208745, May 1999.

THE SELF-CONSISTENT PROBLEM OF AIRCRAFT DYNAMICS IN WAKE VORTEX

Kuznetsov V.L., Khaustov A.A.

The self-consistent problem of aircraft dynamics in wake vortex in a cruise flight is examined. An approach to modeling the effects of wakes on the aircraft during a forced evolution of the spatial position of aircraft. As the dynamic parameters are considered roll and pitch angles. It is assumed that the output of these angles and corresponding angular velocities beyond the permissible region give rise to an accident.

Key words: wake vortex safety, wake vortex, aircraft flight dynamics, strip theory method, self-consistent problem.

Сведения об авторах

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов, УВД, методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах.

Хаустов Александр Александрович, 1986 г.р., окончил МГТУ ГА (2009), аспирант МГТУ ГА, руководитель группы оценки операционных рисков Отдела управления рисками Инспекции по безопасности полетов ОАО «Авиационная компания «Трансаэро», автор 7 научных работ, область научных интересов - оценка рисков для безопасности полетов, организация воздушного движения.