CC BY
18
УДК 621.926
Эволюция межфазной поверхности тепломассообмена в барботируемом слое
В.П. Жуков1, Е.В. Барочкин1, А.Ю. Ненаездников 2, А.Н. Беляков1, А.Н. Росляков1 1ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»,
Иваново, Российская Федерация 2ОАО «Северсталь», Череповец, Российская Федерация E-mail: zhukov-home@yandex.ru
Авторское резюме
Состояние вопроса; Процессы движения газа и тепломассообмена в баботируемом слое жидкости традиционно рассматриваются раздельно, хотя их взаимное влияние весьма существенно.
Методы и материалы: Для описания процессов тепломассообмена в барботажной ступени предложено использовать кинетическое уравнение Больцмана.
Результаты: На основе уравнения Больцмана разработана математическая модель процессов движения и тепломассообмена, получено численное решение уравнения.
Выводы; Предложен новый подход к моделированию совмещенных процессов тепломассообмена в барботируемом слое жидкости.
Ключевые слова: межфазная поверхность, тепломассообмен, эволюция поверхности, уравнение Больцмана.
Evolution of heat and mass transfer interphase surface in bubbling layer
V.P. Zhukov1, E.V. Barochkin1, A.Y. Nenaezdnikov2, A.N. Belyakov1, A.N. Roslyakov1 1 Ivanovo State Power University, Ivanovo, Russian Federation 2 OSC «Severstal», Cherepovets, Russian Federation E-mail: zhukov-home@yandex.ru
Abstract
Background: The processes of gas flow and heat transfer in the liquid bubbling layer are traditionally considered separately, although their mutual influence is of great significance.
Materials and methods: The authors propose the Boltzmann equation to describe the processes of heat and mass transfer in bubble stage.
Results: The authors present the mathematical model of motion, and heat and mass transfer based on the Boltzmann equation and numerical solution to the equation.
Conclusions: The authors propose a new approach for modeling the combined processes of heat and mass transfer in the liquid bubbling layer.
Key words: interphase surface, heat and mass transfer, evolution of the surface, the Boltzmann equation.
В процессе барботирования слоя жидкости пузырьками газа одновременно могут протекать процессы теплообмена, массообмена и смешивания. Интенсивность большинства процессов в слое барботируемой жидкости определяется площадью поверхности раздела фаз: чем больше эта площадь, тем интенсивней протекают процессы. Межфазная поверхность в слое может варьироваться за счет изменения размеров пузырьков, их гибели или рождения. Модели, описывающие эволюцию межфазной поверхности, позволяют ставить и решать задачи расчета и оптимального управления технологическими процессами в барботажных аппаратах, что является весьма актуальным для энергетики и смежных отраслей промышленности [1, 2].
На первом этапе исследования рассматривается задача формирования межфазной поверхности в слое жидкости для одиночного пузырька газа, на втором этапе предлагается
обобщение задачи на случай барботирования через слой жидкости ансамбля пузырьков с заданными начальными свойствами.
Постановка и решение задачи теплообмена при движении пузырька в жидкости. Задача движения и теплообмена для одиночного пузырька в слое жидкости рассматривается в одномерной постановке в системе координат, представленной на рис. 1,а. На глубине Л0 от поверхности жидкости образуется пузырек радиусом г0 с температурой газа Т0. Считается, что на пузырек при его всплытии кроме силы Архимеда и силы тяжести действует также сила гидродинамического сопротивления. Уравнение движения пузырька вдоль оси х под действием перечисленных сил записывается в виде
тх = -тд - Гс + Гд.
После деления уравнения на массу пузырька получаем
•• Fc Fa
x - -g —c +—, m m
(1)
где д - ускорение свободного падения; т - масса газа в пузырьке; тд - сила тяжести; Рс - сила сопротивления; РА - сила Архимеда.
Сила сопротивления, отнесенная к массе пузырька (второе слагаемое в правой части уравнения (1)), для сферического пузырька находится из выражения [3]
F
3 Pж cf
(2)
т 8 рг г
где V - скорость пузырька газа радиусом г рг и рж -плотности газа и жидкости соответственно; сг = /(Ре) - коэффициент сопротивления в функции от числа Рейнольдса [3].
¿ZZZA
/ /
/ /
/
/
/
/
/
/
/
/
O
а)
б)
Рис. 1. Схема сил, действующих на пузырек газа в жидкости (а), и расчетное фазовое пространство (б)
Выражение для силы Архимеда (третье слагаемое в правой части уравнения (1)) записывается в виде
Fa - g - Рж g
m Vp Pг ’
(З)
где Уг - объем пузырька газа.
Следует отметить, что радиус пузырька и плотность газа внутри пузырька меняется за счет изменения давления и температуры газа. Связь параметров пара в пузырьке на первом этапе моделирования описывается уравнением состояния идеального газа
(4)
где Т - температура газа; ц - масса моля газа; Р - универсальная газовая постоянная; Р - давление газа в пузырьке, определяемое суммой давлений над поверхностью жидкости Р0 и давлением столба жидкости
Разность температур жидкости и газа обусловливает теплообмен между ними, который описывается законом Ньютона [4]:
сІО = а(Тж - Т)БС = тгсСТ,
где а - коэффициент теплоотдачи; с - теплоемкость газа; 6О - количество переданной тепловой энергии за время а через поверхность площадью 5.
Для пузырька сферической формы уравнение Ньютона представляется в виде
dT
dt гpгc
Рж - T).
(6)
Плотность газа, согласно (4), выражается как функция температуры и координаты:
(7)
Размер сферического пузырька находится через его объем согласно выражению
г(x,T) - 31
ЗУг (P ( x ),T )
4n
(S)
Система дифференциальных уравнений (1), (6) относительно трех неизвестных функций х(/), v(t), Т(0 для ее численного решения представляется в машинном виде: каждое уравнение разрешается относительно первых производных неизвестных функций, а правые части не содержат производных этих функций:
dx -dt - v,
dv --g - 3 p^ cf
dt S pг(x,T) г(x,T)
dT - За
dt сгг ( x,T )pг ( x,T )
v\v + -
g,
(9)
P - Po + Pжg h - x).
(б)
Формализованная запись системы (9) позволяет получить ее численное решение стандартными методами. В нашем случае для решения системы (9) используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка [5]. Решение системы (9) получено для следующих исходных данных: а = 3000 Вт/м2К, r0 = 0,005 м; рж = 1000 кг/м3; h0 = 1 м; Р0 = 105 Па; с = 1918 Дж/кгК; Тж = 373 К; Тг = 293 К. Результаты решения представлены в виде зависимостей искомых функций от времени процесса: x(t), v(t), T(t) (рис. 2). Анализ полученных данных показывает, что для условий, характерных для атмосферных деаэраторов, температура газа и скорость пузырька практически мгновенно за время 10-3 и 10-4 с соответственно достигают установившихся значений. Расчетный анализ также показал, что при нагреве пузырька газа от 20 до 100 оС и подъеме его при этом на 1 м размер пузырька увеличивается на 18 %, а площадь межфазной поверхности - на 39 %.
x
v
Постановка и решение задачи теплообмена и массообмена при движении пузырька в жидкости. Анализ полученных результатов показывает, что в условиях атмосферной деаэрации температура газов внутри пузырька быстро устанавливается и достигает температуры насыщения. Для перегретого пара в ходе теплообмена температура практически мгновенно достигает температуры насыщения, а затем начинается конденсация пара. В качестве второй задачи исследования рассматривается задача движения отдельного пузырька пара в слое жидкости с учетом тепло- и массообмена при конденсации пара в пузырьке. При уменьшении массы и размера пузырька скорость пузырька изменяется, но остается равновесной, согласно экспериментальным данным [4].
2
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1
100
50
Рис. 2. Зависимости координаты пузырька газа, скорости его движения и температуры газа от времени с учетом теплообмена
Задачу эволюции межфазной поверхности с учетом конденсации пара сформулируем следующим образом. Пусть пар в состоянии насыщения подается в слой жидкости на глубине ho от свободной поверхности. Обмен тепловой энергией между пузырьком и жидкостью проходит при постоянном значении температуры пара и приводит к его конденсации. В силу интенсивного перемешивания барботируемого слоя температура жидкости считается постоянной во всех точках, то есть аппарат является реактором идеального перемешивания.
Приведенные рассуждения позволяют принять следующие допущения при решении задачи:
• давление пара в пузырьке мгновенно выравнивается и становится равным гидростатическому давлению жидкости в слое;
• температура газа в пузырьке равна температуре насыщения при данном давлении (Tn = const);
• скорость пузырька практически мгновенно становится равной равновесной скорости пузырька такого же размера (v = v(r)).
Уравнение состояния газа (4) с учетом переменной массы газа в пузырьке перепишем в виде
Количество теплоты, переносимое через оболочку пузырька, определяется законом Ньютона (6) с учетом теплоты фазового перехода:
dQ = rpdmr = а(Тж - Tn)Sdt,
(11)
где гр - удельная теплота парообразования.
Решение дифференциального уравнения (11) с учетом сделанных допущений позволяет определить зависимость массы газа в пузырьке от времени:
m(t ) =
dt
(12)
o 3 0 Аз(0_ где коэффициенты A определяются из выраже-
нии
А =
3 Tn
4п h
A2 =
4 na A2
(Tn - Тж),
A3 = [o + Рж9 (ho - x)]
2/3
Результаты расчетных исследований, выполненных согласно модели (12), представлены в виде зависимости относительной массы пузырька от времени при различных значениях температуры жидкости в слое (рис. 3). При малой температуре жидкости наиболее интенсивно происходит теплообмен, конденсация и, соответственно, уменьшение массы газа пузырька. При достижении нулевой массы происходит схлопывание пузырька пара в слое жидкости. При таких режимах абсорбированный газ из пузырьков опять возвращается в слой жидкости, что является недопустимым для процесса деаэрации воды.
Рис. 3. Зависимость относительной массы пара от времени движения пузырька при различной температуре жидкости в барботируемом слое: 1 - 85; 2 - 90; 3 - 95; 4 - 97; 5 - 98, 6 -99 оС
Приведенные результаты расчетного анализа показывают, что при малой температуре масса газа и размер пузырька изменяются ин-
.. «-5 .. «-4 . Л-3 . Л-2 . Л-1 . Л0 . _ 1
10 10 10 10 10 10 10
тенсивно, и следовательно, равновесная скорость пузырька тоже изменяется. В этом случае допущение о постоянной равновесной скорости пузырька вносит существенную погрешность в результаты расчета, особенно при больших шагах по времени. Допустимая погрешность расчета может быть достигнута при использовании ячеечной модели и выборе для нее соответствующего временного шага [7].
Постановка и решение задачи теплообмена и массообмена при движении ансамбля пузырьков в жидкости. При деаэрации жидкости в барботажной ступени практический интерес представляет формирование межфазной поверхности для ансамбля пузырьков. Результаты, полученные для отдельных пузырьков, позволяют оценить применимость сделанных допущений о постоянстве скорости движения пузырька и выбрать временной шаг, при котором сделанное допущение вносит допустимую погрешность.
Для ансамбля пузырьков в барботажной ступени задается исходное распределение пузырьков по размерам. Движение пузырьков и теплообмен приводят к изменению их размера и скорости. Для описания эволюции площади межфазной поверхности предлагается использовать уравнение Больцмана [6, 7], определяющее изменение во времени распределения вещества в выбранном фазовом пространстве. В качестве координат фазового пространства рассматриваются вертикальная геометрическая координата (x), скорость пузырьков вдоль нее (v), которая считается однозначно связанной с размером пузырька r. Вдоль рассматриваемых фазовых координат x, v раздельно анализируются паровая и водяная фазы. В качестве третьей координаты фазового пространства выбрана дискретная координата Ф, показывающая фазовое состояние вещества и принимающая значение 1 для пара и 2 для воды. Таким образом, число координат, по которым отслеживается ход процесса, равно трем. Рассматриваемое фазовое пространство представлено на рис. 1,б. Для всех ячеек фазового пространств, согласно [7], выполняется сквозная нумерация, после чего формируется вектор состояния системы S.
Совокупность процессов теплообмена, массообмена и движения приводит к переходу вещества из одной ячейки фазового пространства в другие. Каждая ячейка, находящаяся внутри выделенного фазового пространства, может обмениваться веществом с соседними ячейками. Если ячейка находится на границе рассматриваемого фазового пространства, то переходы за границу определяются соответствующими граничными условиями. Для определения вероятностей переходов Pij использовался метод конечных объемов [8], который при описании системы позволяет применять аналитические решения частных задач для отдельных подсистем.
Результаты расчетного анализа, выполненного в соответствии с [7], приведены в виде
зависимости относительной площади межфазной поверхности от глубины погружения частиц при разных температурах воды (рис. 4). Результаты анализа согласуются с результатами исследований поведения отдельных пузырьков: при малой температуре жидкости происходит схлопывание пузырьков внутри слоя жидкости и возвращение абсорбированного газа снова в жидкость. Для эффективной организации деаэрации при высоте слоя воды 1 м необходима температура воды более 99 оС.
Таким образом, проведенные предварительные расчетные исследования продемонстрировали работоспособность подхода для определения рабочих режимов барботажных аппаратов. Кроме этого, разработанный подход позволяет ставить и решать задачи оптимального конструирования ступеней барботажных аппаратов.
Рис. 4. Зависимость относительной поверхности раздела фаз ансамбля пузырьков от глубины погружения при разной температуре жидкости слоя: 1 - 95; 2 - 97; 3 - 99; 4 - 99,5 оС
Список литературы
1. Теплообменники энергетических установок: учебник для вузов / под общ. ред. Ю.М. Бродова. - Екатеринбург: Сократ, 2003. - 968 с.
2. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидродинамика газо-жидкостных систем. - М.: Энергоиздат, 1958. - 232 с.
3. Мизонов В.Е., Ушаков С.Г. Аэродинамическая классификация порошков. - М.: Химия, 1989. - 160 с.
4. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел В.А. Теплопередача. - М.: Энергоатомиздат, 1981. - 416 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Высш. шк., 1973. - 500 с.
6. Вулис Л.А. Теория и расчет магнитогазодинамических течений в каналах. - М.: Атомиздат, 1971. - 384 с.
7. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Расчет многомерных совмещенных процессов измельчения, классификации в сыпучих средах» № 2010612671 от 19 апреля 2010 года / А.Н. Беляков, В.П. Жуков, А.А. Власюк, А.Е. Барочкин.
8. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики. - Новосибирск: Изд-во НгТУ, 1998. - 120 с.
References
1. Brodova, Yu.M. Teploobmenniki energeticheskikh ustanovok [Heat-transfer device of power installations]. Ekaterinburg, Sokrat, 2003. 968 p.
2. Kutateladze, S.S., Styrikovich, M.A. Gidrodinamika gazo-zhidkostnykh sistem [Hydrodynamics of gas-liquid systems]. Moscow, Energoizdat, 1958. 232 p.
3. Mizonov, V.E., Ushakov, S.G. Aerodinamicheskaya klassifikatsiya poroshkov [Aerodynamic classification of dusts]. Moscow, Khimiya, 1989. 160 p.
4. Isachenko, V.P., Osipova, V.A., Sukomel, V.A. Teplop-eredacha [Heat transmission]. Moscow, Energoatomizdat, 1981. 416 p.
5. Korn, G., Korn, T. Spravochnik po matematike [Mathematics handbook]. Moscow, Vysshaya shkola ,1973. 500 p.
6. Vulis, L.A. Teoriya i raschet magnitogazodi-namicheskikh techeniy v kanalakh [Theory and calculation of
magnetogasdynamic channel flow]. Moscow, Atomizda, 1971. 384 p.
7. Belyakov, A.N., Zhukov, V.P., Vlasyuk, A.A., Barochkin, A.E. Svidetel’stvo o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM «Raschet mnogomernykh sovmeshchennykh protsessov izmel’cheniya, klassifikatsii v sypuchikh sredakh» [Certificate of State Registration of computer program «Calculation of multidimensional combined process of breaking, classification of loose medium»], no. 2010612671, 2010.
8. Royak, M.E., Soloveychik, Yu.G., Shurina, E.P. Setochnye metody resheniya kraevykh zadach matematicheskoy fiziki [Net solution method in boundary value problem in mathematical physics]. Novosibirsk, Izdatel'stvo NGTU, 1998. 120 p.
Жуков Владимир Павлович,
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»,
доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики,
адрес: г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, кор. А, ауд. 202,
телефон (4932) 26-97-45,
e-mail: zhukov@home.ivanovo.ru
Барочкин Евгений Витальевич,
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой тепловых электрических станций, адрес: г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, кор. В, ауд. 408, телефон (4932) 41-60-56, 26-99-31, e-mail: admin@tes.ispu.ru
Ненаездников Александр Юрьевич,
ОАО «Северсталь», инженер,
адрес: 162600, Россия, Вологодская обл., г. Череповец, ул. Мира, д. 30 Беляков Антон Николаевич,
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», кандидат технических наук, докторант кафедры прикладной математики, адрес: г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, кор. А, ауд. 202, телефон (4932) 26-97-45.
Росляков Антон Николаевич,
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», аспирант кафедры тепловых электрических станций, адрес: г. Иваново, ул. Рабфаковская, д. 34, кор. В, ауд. 408, телефоны: (4932) 41-60-56, 26-99-31.
