Эволюция функции цены американского опциона на акции с выплатой дивидендов в модели диффузии со скачками Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.12737/25053

1Хуссейн С., PhD, 2Али Ф., PhD, 1 Хуссейн З., PhD, 3Рехман Н., PhD, 4Зуев С.В., канд. физ.-мат. наук, доц., 4Бендерская О.Б., канд. экон. наук, доц.

1 Университет COMSATS, Абботабад, Пакистан 2Колледж NAMAL, Мианвали, Пакистан 3Открытый Университет Аллама Икбаль, Исламабад, Пакистан 4Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

ЭВОЛЮЦИЯ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНА НА АКЦИИ С ВЫПЛАТОЙ ДИВИДЕНДОВ В МОДЕЛИ ДИФФУЗИИ СО СКАЧКАМИ*

tausef775650@yahoo.co.in, sergey.zuev@bk.ru

Настоящая работа посвящена анализу и изменениям функции цены (премии) американского опциона на акции с выплатой дивиденда, построенной по модели диффузии со скачками. Получен и исследован эквивалентный вид функции. Кроме того, исследуются вариационные неравенства, удовлетворяющие этой функции. Полученные результаты могут быть использованы для нахождения оптимальной стратегии хеджирования и определения оптимальных границ торговли связанными опционами.

Ключевые слова: американский опцион, модель диффузии со скачками, пуассоновский процесс, локальная непрерывность Липшица, слабые производные.

Введение. Вопросы оценки цены американских опционов и корпоративных обязательств существенно развивались с момента появления классической работы Ф. Блэка и М. Шоулса [1]. Было предложено множество функций для расчета цены европейского опциона (см., например [1], [3], [11], [13] и ссылки в них), тогда как американский опцион в этом смысле до сих пор открыт для исследований, что вызвало большое количество работ как по численным, так и по аналитическим методам.

В статье [9] задача американского опциона решается должным образом, используя системы вариационных неравенств, а также исследуется численными методами на основе методов конечных элементов и разностных производных. В [9] предложено решать задачу цены американского опциона с помощью решения системы вариационных неравенств, эквивалентность которой исходной задаче установлена посредством некоторых необходимых условий. В [9] авторы полагаются на взаимосвязь между вариационным неравенством и оптимумом момента остановки (исполнения опциона) в теории американского опциона.

В работе [14] исследована функция цены американского пут опциона в модели диффузии со скачками. Построена взаимосвязь между задачей оптимального момента остановки и смешанной краевой задачей для параболического интегро-дифференциального уравнения. В нашей статье рассматривается американский опцион в общем виде (как пут, так и колл) и,

кроме того, мы используем чисто вероятностный подход для представления результатов.

В статье [21] решается система вариационных неравенств и исследуется американский пут опцион посредством некоторых взвешенных пространств Соболева. В работе [6] широко используются свойства регулярности американского пут опциона для получения ошибки хеджирования в случае рассмотрения опциона в дискретном времени. Эти результаты развиваются в [7] на случай опционов пут и колл на акции без выплаты дивидендов. Некоторые дополнительные свойства американского опциона можно обнаружить в работе [16], где рассматривалось влияние валютного курса. В [8] опубликованы результаты исследований свойств регулярности функции цены американского пут опциона в модели диффузии со скачками. Для более детального рассмотрения свойств функции цены американского опциона можно адресовать читателя к работам [4], [2], [3], [11], [12], [5] и [19]. В книге [20] рассматриваются модели скачков, которые стали привлекать особое внимание в последние годы.

В литературе показано, что американский колл опцион на акции, в случае отсутствия выплаты дивидендов, эквивалентен соответствующему европейскому колл опциону (см., например, [18], с. 111). По нашим сведениям, никем не исследована функция цены американского опциона (включая как пут, так и колл опционы) на акции, курс которых, как и выплаты дивидендов по ним, испытывают случайные скачки. Заме-

тим, что наличие дивидендов будет генерировать отличие между американским и европейским опционами. Мы рассмотрим акции с выплатой дивидендов, курс которых испытывает резкие колебания в силу каких-то неопределенных факторов, и исследуем вариации функции цены американского опциона. Будем считать процентную ставку и волатильность детерминированными липшицевыми функциями времени, а функцию выплат - произвольной ограниченной снизу выпуклой функцией. Используем чисто вероятностный подход для того, чтобы получить строгую оценку слабых производных первого и второго порядков от функции цены американского опциона. Результаты могут быть использованы для исследования равномерных приближений к оптимальной стратегии хеджирования, свойств регулярности оптимальных границ торговли для указанного типа опционов (примеры подобных свойств регулярности рассмотрены в [6], [7] для изучения ошибок хеджирования в дискретном времени для американского опциона, а также в [15] для анализа оптимальных границ торговли пут опционом американского типа).

Ниже мы приводим основную формулировку нашей модели и обозначаем некоторые предварительные результаты. Далее с помощью системы вариационных неравенств исследуются вариационные свойства и свойства регулярности функции цены американского опциона. В за-

ключении приводятся результаты и библиографические ссылки.

Формулировка и предварительные результаты. Рассмотрим вероятностное пространство (Ц, 7, Р), на котором определим стандартное броуновское движение В — пуас-соновский процесс N = (ЛГ^о^т с интенсивностью А и последовательность независимых равномерно распределенных случайных величин на интервале (—1, со) с конечными моментами. Положим, что временной горизонт Т конечен, и и -алгебры, генерируемые, соответственно, посредством В,АГ и ¡Ц0:>1- являются независимыми. Обозначим через Р-дополнение естественной фильтрации величин СвД и (10 где, как и ранее, I > 1 и О < t < Т.

На фильтрованном вероятностном пространстве (Ц Т,Трассмотрим финансовый рынок с двумя активами: денежной единицей с курсом в момент t и акциями с выплатой дивиденда со значением цены на момент £. Цены акций будем считать испытывающими скачки, пропорциональные в случайные моменты = 1,2,..., которые соответствуют моментам скачков в пуассоновском процессе.

Активы А^ и ¡- удовлетворяют следующим обыкновенному и стохастическому дифференциальным уравнениям, соответственно (см. [12]):

где является точной нижней гранью множества {5Г}, и мы предполагаем, что Ь(х) есть определенный Т-измеримый процесс, г (О -детерминированная процентная ставка (зависящая от времени), (?(£) - размер дивиденда, сг(0

(1) (2)

- волатильность акций. Положим далее, что функции Ь (0, г (0с? (У).. есть непрерывно дифференцируемые функции времени, удовлетворяющие следующим требованиям:

(3)

где з, £ 6 [О, Г] и т, о , а, а, к есть некоторые по- Решение стохастического дифференциаль-

ложительные константы. ного уравнения (2) имеет вид (см. [20]):

В [12] показано, что дисконтированная цена

акций = е ~ ■1 '■"■■^".Я является мартингалом,

если и только если выполнено условие г г

_'::.:;:.= _':■■:. - - -.5 .;':(4)

о о

В этой краткой статье мы анализируем функцию американского опциона с произвольной неотрицательной выпуклой функцией выплат д(_х), х > 0, удовлетворяющей соотношению

; £ : ^ Е1 .V > С (5)

где д' \;х ±) есть правая/левая производная от д (V) и с - определенная положительная постоянная.

Положим без ограничения общности, что д (О) = д($ +). Типичные примеры этого семейства функций - американские опционы, как колл, так и пут, с выплатами д (д~) = (я — Ь )+ и д(_х) = (Ь — х) +, соответственно, где I - цена исполнения.

Далее мы представим некоторые предварительные и важные для лучшего понимания результаты, а также обозначим наши основные выводы.

В первую очередь, важно напомнить, что функция > 0 , 0 < t < Т, цены амери-

канского опциона может быть рассмотрена как функция, характеризующая соответствующую задачу оптимальной остановки (см., например, раздел 2.5 в [11]). В частности,

(6)

где множество 31 ^ есть множество всех моментов остановок таких, что т < £ < 7\ и стохасти-

ческий процесс 5и(£,:г).т < I < Т, удовлетворяет уравнению (2), то есть

с начальным условием 5;-(£,д:) = х,х> 0.

(7)

Единственное сильное решение (7) представляется в виде (5и (£, х)г г< - < г- гДе

Условие (4) приводит это решение к виду

Введем новый стохастический процесс С^иСЪ такой что

где -оо < у < оо, г < и < Г, 1/£ Е (-1, оо),

Предложение 1. Очевидно, что х] = ехр[Х^Ь, 1п х)], t < и < Т, х > О, (8)

и для произвольного момента остановки т, : < т < 7, имеем

где -ф(у) = д(_еуУ —со < у < со, есть новая функция выплат.

Ясно, что соответствующая задача оптимального времени остановки прямо выводится подстановкой (8) в (6) с получением

(10)

с 0 < £ < Т и —м < у < со. Из(6)и(9) по луча- Используем масштабную инвариантность

ем соотношение броуновского движения и преобразуем функцию

1/(£,у) следующим образом (см. [10]):

(11)

U(t,y) = sup Е rea;,,,

\r{v) - --—}dv

-V,

t+T[T -O

+ J Vr -1 ait + v(T - i)}dBv + ln(l + ü¿)

(12)

где 3!ц1 представляет собой множество всех

Лемма 2. Пусть д(х),х > 0, есть неотри-

моментов остановки т с учетом фильтрации цателъная конечная выпуклая функция, удовле-принимающей значения в интервале творяющая (5), тогда новая функция выплат

I-U .

Приходим к следующему результату.

i¡}{у), —со < у < со, является локально липшице-вой, то есть,

Доказательство. Так как д{х) выпукла, то ^СУг) - ^(Уё)! = ^

она локально равномерно непрерывна (см. [17]). се'»!*-!»! \у2 — у1\. Поэтому можем записать □ 8 (у) - 0<Х) = ¡и'(р ±) ° < я < у < °° (14)

Теперь можно записать

Комбинируя (5), (9) и (14) и используя тео- iф(у) = j(ey) - ^(е0) + д(1) < с(еу -+ 1) -f д(1~), рему о среднем значении, получаем где использовано (5) и (14). Далее в этой части

нам понадобится следующая оценка: +^«^(НО-А* + bíl + üi)

Еф(ХТ (tfy)) < cff ( e

+ tfU) < с^+^АЕ^Т + !) +

(15) :

Теперь мы готовы перейти к следующему тимальной остановка является локально лип-предварительному результату. ишцевой по переменным у и t, то есть

Теорема 3. Функция

и{г,у\ 0 < £ < Г,-со < у < со, задачи (10) оп-

(16) (17)

где А и В есть определенные неотрицательные Доказательство. Для любого фиксирован-

постоянные, зависящие от ного т из множества и х,у £ М, по Лемме 2

и Т. можем записать

Отсюда, в силу свойства верхней грани Обратимся теперь к (17). Зафиксируем

(разность верхних граней меньше либо равна т 6= Х0д и, используя (12), запишем верхней грани разности), получаем (16).

где использовано ограничение (15).

Используя теорему о среднем значении, получим

(18)

<

и подобным же образом е+^г-*)

/

г(у) - А^Си,)

< 2 [ г + ЛЕ(и±) +

I (

£ - 5 .

г(у) - ЛЕ (г/д)

Более того, для фиксированного т, 0 < т < 1 и О < з < £ < 1, согласно (3), имеем

(20)

Таким образом, получаем

(21)

Более того, поскольку является по- личин и Л';. - пуассоновский процесс, можем за-

следовательностью независимых равномерно писать распределенных интегрируемых случайных ве-

Поскольку Nt есть возрастающая функция времени ит < 1, получаем

Подставляя (19)-(22) в (18) и принимая во

(22)

Вариационные неравенства. Пусть

внимание то же самое свойство верхней грани, ^ = е- £ КчИ«^ есть дисконтированная цена что было использовано выше, завершаем дока- акций Тогда дисконтированная фунКция цены

зательство. □

В следующей части перейдем к основным результатам статьи.

опциона будет иметь вид

Эта функция имеет класс С- на множестве (см. [12]), и между моментами скачков она удовлетворяет соотношению

(23)

[д& [ дУ

= + I — + I — + а^ав^

О ¿ = 1

(24)

Функция - липшицева первого по-

рядка по х (в соответствии с [12]), а процесс

t о=

м,

¿=1 о -1

(25)

есть интегрируемый мартингал, где есть

закон процесса £/¡,1 = 1,2,...

Из (24) и (25) получаем, что следующее выражение:

есть мартингал, и можно записать (сравните с ^ [9], где рассматривались акции без дивидендов)

везде в (0, Г)х1+,

Согласно нашему предположению, функция д[х) выпукла, поэтому из (6) и (23) следует, что и выпукла по отношению к х (доказа-

тельство похоже на приведенное в [14], и поэтому мы его опустим). Следовательно, для слабой частной производной можем записать

ди2

d2v

(27)

(28)

ди2

везде в (О, Г) х К+.

Теорема 4. Отображение ^(^дг) = хУ&>х)

является локально липшицевым по х, то есть для всех 0 < £ < Т, 0 < х,у < оо, имеем

(29)

и локально липишцевым по t, то есть для где А и В такие же, как в Теореме 3. О < 5 < £ < Т,х > 0; справедливо Доказательство. Используя (11), запишем

kft,*) - <

Вхе

2|1гЫ

|t-s|,

(30)

%>T~t С )

Используя (15) и (16), а также теорему о среднем значении, приходим к (29).

Подобным же образом, используя (11) и (17), придем к (30). □

Предложение 5. Слабая частная производная д ^ функции (6) удовлетворяет по отношению к переменной х следующей локальной оценке:

х*

dzV{t, х)

дх2

< —--,х >0,0 <t<T,

VT-t

где Dj, Dz и D3 есть неотрицательные посто- Доказательство. Используя (23), неравен-

янные, значения которых зависят от ства (27) и (28), и заменяя х выражением г, д, a, c,g(i),k,Т, А,Е\U±E((l + Ü,)г) и

■.-' ■■ ...... получаем систему неравенств

dt

дх

дх:

-i

Л j (v(t,x(l + z)) - V{t,x)) dh(z) < 0 на [0,7") X Ж, d2V(t,x)

Также, используя (11), получаем

(31)

дх'-

■ > 0,х > 0.

(32)

С учетом последних соотношений, неравенства (31) дают

Доказательство следует отсюда после применения (15) и Теоремы 3. □ Прежде чем перейти к локальной оценке

Гёльдера, докажем следующую лемму.

Лемма 6. Функция ле) = х для

всех 0 < < £2 ^ Т,х > 0 удовлетворяет соотношению

где Н > 0.

Доказательство следует из записи разности

для

любого положительного у, а затем - инте- tob (trx), 0 < t < Т, х > 0, Используя эту непре-

грирования по у от х до х + k.

□

рывность, приходим к следующему результату. Из Теорем 3, 4 и Предложения 5 можно Теорема 7. Функция уО., х) - х для

дх

увидеть, что частная производная

функ- всех 0 < ^ < £г < Т, х > 0 по отношению к ар-ции (9) локально непрерывна по паре аргумен- гумен ту £ удовлетворяет следующего локальной

оценке Гёльдера степени /¿:

где положительная функция £г(Х) зависит от Доказательство. Используя локальную не-

параметров т,а,а,с,д(Х),к,Т,Л модели, а прерывность функции соотношения (32)

также от ЕЕ((1 + Е^)г) и

и Предложение 5, можем записать

dV(t,x) dV(t,y)

х

дх " ду где D4 = D3 + А и 0 < t < Т, 0 < х < у < оо.

<

D±+ D2ex + D4e

2|liiz|

x Vr -1

I" -I- (34)

Применяя неравенства (30) и (34) в Лемме 6, найдем

Выберем h = С411— £ih, и тогда из последней оценки получим \у(£.г,х) - y(.tvx)\

D, + D, дх + в(х + irVrVM'+^l Ч-Яи*11"1 +

——----с* + —---

с*

Ii; - ej:.

Минимальное значение величины С*, которая является функцией х и зависит от констант в правой части этого неравенства, может быть найдено из этого соотношения. На этом доказательство закончено. □

Заключение. В настоящей статье описана функция цены американского опциона (как пут, так и колл) на акции с выплатой дивидендов в модели диффузии со скачками. Эта функция была преобразована в эквивалентную форму. Доказано, что функция в новой форме является локально липшицевой по пространственной переменной, а также допускает оценку Гёльдера степени 'А Построенная функция имеет слабые частные производные 1-го порядка по времени и 1-го и 2-го порядка - по пространственной координате. Вторая слабая частная производная найденной функции является локально ограниченной.

* Авторы выражают благодарность за финансовую поддержку Комиссии по высшему образованию Пакистана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // The Journal of Political Economy. 1973. V. 1. P. 637-654.

2. Chiarella C., Kang B. The evaluation of American compound option prices under stochastic volatility and stochastic interest rates // The Journal of Computational Finance. 2011. V.14. № 9. P. 121.

3. El Karoui N.E., Jeanblanc Picqu M., Shreve S.E. Robustness of the Black and Scholes formula // Mathematical Finance. 1998. V. 8. № 2. P. 93-126.

4. Elliot R., Kopp P. Option Pricing and Hedge Portfolio for Poisson Process // Stochastic Analysis and Applications. 1990. V. 8. P. 157-167.

5. Glowinsky R., Lions J.L., Treamoliyeres R. Numerical Analysis of Variational Inequalities. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, New York, 2011.

6. Hussain S., Shashiashvili M. Discrete time hedging of the American option // Mathematical Finance. 2010. V. 20. № 4. P. 647-670.

7. Hussain S., Rehman N. Estimate for the discrete time hedging error of the American option

on a dividend paying stock // Math. Inequal. Appl. 2012.V. 15. P.137-163.

8. Hussain S., Rehman N. Regularity of the American Option Value Function in JumpDiffusion Model // Journal of Computational Analysis and Applications. 2017. V. 22. P. 286-297.

9. Israel V.P., Rincon M.A. Variational inequalities applied to option market problem // Applied Mathematics and Computation. 2008. V. 201. № 1. P. 384-397.

10. Jaillet P., Lamberton D., Lapeyre B. Vari-ational inequalities and the pricing of American options // Acta Applicandae Mathematica. 1990. V. 21. № 3. P. 263-289.

11. Karatzas I., Shreve S.E. Methods of mathematical finance. Springer Science and Business Media, 1998.

12. Lamberton D., Lapeyre B. Stochastic Calculus Applied to Finance. UK: Chapman and Hall, 1997.

13. Leduc G. Can High-Order Convergence of European Option Prices be Achieved with Common CRR-Type Binomial Trees? // Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society. 2015. DOI 10.1007/s40840-015-0221 -2. P. 1-14.

14. Pham H. Optimal stopping, free boundary, and American option in a jump diffusion model // Applied Mathematics and Optimization. 1997. V. 35. № 2. P.145-164.

15. Rehman N., Hussain S., Wasim Ul-Haq. Sensitivity analysis of the optimal exercise boundary of the American put option // Georgian Mathematical Journal. 2016. V. 23. № 3. P.429-433.

16. Rehman N., Shashiashvili M. The American Foreign Exchange option in Time-Dependent One-Dimensional Diffusion Model // Appl. Math Optim. 2016. V. 59. № 3. P. 329-363.

17. Royden H.L. Real analysis. New Delhi: Macmillan, Prentice-Hall of India, 1997.

18. Shreve, S.E. Stochastic Calculus for Finance. V. I. New York: Springer, 2004.

19. Shreve S.E. Stochastic Calculus for Finance. V. II. New York: Springer, 2004.

20. Situ R. Theory of Stochastic Differential Equation with Jumps and Applications. New York: Springer, 2012.

21. Zhang X.L. Numerical analysis of American option pricing in a jump diffusion model // Mathematics of Operations Research. 1997. V.22. № 3. P.668-690.

Hussain S., Ali F., Hussain Z., Rehman N., Zuev S.V., Benderskaya O.B.

EVOLUTION OF AMERICAN OPTION VALUE FUNCTION ON A DIVIDEND PAYING STOCK UNDER JUMP-DIFFUSION PROCESSES

This work is devoted to the analysis and evolution of the value function of American type options on a dividend paying stock under jump diffusion processes. An equivalent form of the value function is obtained and analyzed. Moreover, variational inequalities satisfied by this function are investigated. These results can be used to investigate the optimal hedging strategies and optimal exercise boundaries of the corresponding options.

Key words: american option, jump-diffusion model, poisson process, locally lipschitz continuity, weak derivatives.

Хуссейн Султан, PhD, доцент кафедры математики института информационных технологий. Университет COMSATS.

Адрес: Тоуб Кэмп, Абботабад 22060, Пакистан. E-mail: tausef775650@yahoo.co.in

Али Файха, PhD, доцент кафедры электротехнического инжиниринга.

Колледж NAMAL.

Адрес: Мианвали, Пакистан.

Хуссейн Закир, PhD, доцент кафедры математики института информационных технологий. Университет COMSATS.

Адрес: Тоуб Кэмп, Абботабад 22060, Пакистан. E-mail: zakirali@ciit.net.pk

Рехман Назир, PhD, заведующий кафедрой математики. Открытый университет Аллама Икбаль. Адрес: Исламабад, Пакистан.

Зуев Сергей Валентинович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, д. 46. E-mail: sergey.zuev@bk.ru

Бендерская Ольга Борисовна, кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, д. 46. E-mail: obenderskaya@gmail.com