CC BY
107
НАУКА И ПРАКТИКА
В.П. Шенягин
ЭВОЛЮЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И РОСТКИ ГАРМОНИИ (часть 2)
Гармоничное распределение организационно-экономического потенциала промышленного предприятия
Ростки теории искусства финансовой деятельности предприятия. Управление - это не только наука, но и искусство как попытка человека имитировать красоту природы. Красота управленческой деятельности предприятия может отражаться в ее планах, в т.ч. финансовом планировании и финансовой отчетности. Бухгалтерский баланс с позиции искусства можно представить как выражение красоты финансово-экономической деятельности компании. Для этого необходимо создать эталонный, совершенный, гармоничный баланс, основные части которого будут сочетаться между собой и общим целым в определенных пропорциях. Такая задача получила название «теория искусства финансовой деятельности организации» и изложена Л.Ф. Суховой (2007) и Л.Н. Кирилловой (2010) на примере структуры баланса, базирующегося на соотношениях параметров его основных разделов в классической, золотой пропорции.
Формирование и управление организационно-экономическим потенциалом предприятия на основе теории гармонии. Принцип золотого сечения возможно и целесообразно использовать в качестве фактора управления организационно-экономическим потенциалом предприятия. Назначение сложных исследований и преобразований в одном: привести их к неожиданно или ожидаемо простому выводу, открыть природные законы соотношения целого и его частей, многообразия рекуррентных последовательностей, сущностно-тождественных отношений, модели инверсии, что позволяет сделать гармономика, или теория гармонии, за которой будущее. Более детально о некоторых проявлениях гармонии в сфере экономики изложено в авторской статье в № 2(30) «Экономического журнала» (2013).
С целью оптимизации использования организационно-экономического потенциала предприятия W проведем его декомпозицию, разбив, например, на 8 элементов-потенциалов, что предприняли И.П. Дежкина и Г.А. Пота-шева1, опираясь на формирование иерархической структуры целого подобно треугольнику Паскаля путем разбиения монады в классической золотой пропорции с коэффициентом ф = 1,618..., на что указывает А.И. Иванус.
W = aA + bB + ^ + dD + eE + ^ + gG + hH, где A - производственный потенциал, характеризуемый, например, показателем «прочие операционные доходы (расходы)»;
B - трудовой потенциал (основная и дополнительная заработная плата производственных рабочих с начислениями);
C - ресурсный потенциал (сырье, основные материалы и полуфабрикаты);
D - рыночный потенциал (коммерческие расходы);
E - инновационный потенциал (прочие производственные расходы);
F - научно-технический и технологический потенциал (расходы по подготовке и освоению производства);
G - инвестиционный потенциал (нераспределенная прибыль как показатель бухгалтерского учета или остаточный доход и экономическая добавленная стоимость как показатель финансово-управленческого учета);
H - стратегический потенциал (управленческие расходы);
a, Ь, c, d, e, / g, h - доля (вес) каждого вида потенциала в общем организационно-экономическом потенциале предприятия.
Потенциал W нормирован к единице: a + Ь + c + d + e + / + g + h = 1.
Распределение потенциала на основе классического золотого сечения. Разовьем подход И.П. Дежкиной и Г. А. Поташевой с целью выявления гармонии между элементами потенциала при его структурировании на основе иных золотых пропорций. Но вначале, опираясь на их работу, в верхней части табл. 1 с округлениями до сотых долей приведем веса элементов потенциала предприятия, распределенного в классической золотой пропорции.
Таблица 1. Распределение организационно-экономического потенциала социально-экономической системы на основе первого и второго золотого сечений
Шаг декомпозиции Доля (вес) видов потенциала
Первая (классическая) золотая пропорция
0 1
1 0,62 0,38
2 0,38 0,24 0,24 0,14
3 0,24 0,14 0,14 0,10 0,14 0,10 0,10 0,04
Вторая золотая пропорция
0 1
1 0,59 0,41
2 0,35 0,24 0,24 0,17
3 0,21 0,14 0,14 0,10 0,14 0,10 0,10 0,07
Доля видов потенциала W a Ь а 1 е / г h
Выделим особенности весов на третьем шаге декомпозиции. Относительно центра наборы весов из трех величин, включающие 0,14 и 0,10, асимметричны. Крайние же значения близки к взаимно обратным, т.е. инверсны: 1 / 0,240«04.
Непременным условием пропорции является наличие двойственности, необходимым условием - инверсия частей. Этому условию отвечает группа золотых ^-пропорций, открытых автором и опубликованных в 1997 г., которые также независимо открыла В. Шпинадель (1998), назвав их металлическими 1 - пропорциями. Названия «первая золотая», «вторая золотая», «третья золотая» пропорции и т.д. более удобны и предпочтительны по сравнению с термином «металлические», поскольку последние ограничены в переборе названий в терминах «золотая», «серебряная», «бронзовая» и иные пропорции.
Золотые пропорции являются положительными корнями (большие 5п и
малые - пропорции) =---------------—----- и $п = —П + ^ + ^ уравнений соответственно вгп - тп -1 = 0 и-----+ тп -1 = 0, где п - целые положи-
тельные числа, включая ноль.
Большие и малые пропорции для различных п создают два ряда чисел:
1; 1,6180339 ; 2,4142135...; 3,3027756...; 4,2360679...; 5,1925824...; ...;
ч ; •••;«;
1; 0,6180339.; 0,4142135.; 0,3027756.; 0,2360679.; 0,1925824.; ...; 4 ; •••; °. (1)
Произведения соответствующих числовых рядов равны единице, числа взаимообратные, т.е. инверсны, их мантиссы равны между собой, разность чисел равна величине п. Числа, характеризующие золотые константы, созданы по образу и подобию классической золотой пропорции. Понятие обратной величины относится к числу основных в корневой структуре теории чисел. Оно необходимо и для сведения операции деления к процедуре умножения на обратную величину. Благодаря этим условиям константы 8п схожи с классической золотой пропорцией ф = 51. Г.Б. Аракелян отмечает, что «существование семейства констант, родственных с золотой константой, скорее подчеркивает, чем принижает, ее значимость, поскольку ф1 = ф является первенцем, а потому и уникумом этой бесконечной последовательности чисел» (Аракелян Г.Б. Математика и история золотого сечения. 2013, с.140, на правах рукописи). Однако члены золотого семейства целесообразно обозначать не символами ф1, ф , ф3,..., фп сохранив обозначение ф только за классической золотой пропорцией, а в виде ^, з2, 53,..., ^п.
Распределение потенциала на основе второй золотой пропорции. Осуществим декомпозицию потенциала, базируясь на второй золотой константе 52 = 2,414... или серебряной пропорции, в терминологии В. Шпинадель (табл. 1). Единичное целое на первом шаге декомпозиции структурируется из величин 1:2,414 » 0,41 = 52 и 1 - 0,41 = 0,59, каждую из которых на втором шаге разобьем на две части, в том числе 0,41 / 2,414 » 0,17 и 0,41 - 0,17 = 0,24. Аналогично проведя декомпозицию на третьем шаге, получим веса для 8 элементов единичного организационно-экономического потенциала, например, 0,24 / 2,414 » 0,10 и 0,24 - 0,10 = 0,14.
На последнем шаге декомпозиции веса 6 элементов потенциала из 8 при распределении их на основе как первой, так и второй золотой пропорции полностью совпадают. При этом веса а и к крайних элементов производственного А и стратегического Н потенциала отличаются несущественно, составляя доли 0,24 и 0,21, а также 0,04 и 0,07, абсолютно отличаясь на
0,03, или 3%, что близко к идеальной асимметрии
Сказанное объясняется следующим обстоятельством. Декомпозиция на основе первой и второй золотых пропорций на первом шаге приближенно характеризуется величинами 0,6 и 0,4, или 60% и 40%. Примечательно, что в (1) первая малая золотая пропорция 0,618 задает большую часть потенциала при меньшей 0,382, а вторая золотая пропорция 0,414 - меньшую часть при большей 0,586. Удивительно, но в этом смысле первая и вторая золотые пропорции являются инверсными .
Отметим, что только первая золотая пропорция-сечение в ряду (1) задает большую часть единичного целого 0,618, все остальные золотые пропорции формируют меньшую часть: 0,414; 0,302; ...; 5п. При этом самую большую величину меньшей части целого задает вторая золотая пропорция. Можно предположить, что первая классическая золотая пропорция условно олицетворяет идею (идеал) (0,618 / 0,382 » 0,6/0,4, или в процентах 60/40), вторая золотая пропорция - реальность (материю, энергию) (0,414 / 0,586 » 0,4/0,6, или в процентах 40/60). Не потому ли вторая пропорция, будучи структурно инверсной к первой, находит наиболее широкое применение в различных областях природы и техники? Неслучайно их сумма близка к целому 0,618 + 0,414 = 1,032, отличаясь на 0,032, или 3,2% - относительную величину идеальной асимметрии. Отмеченное свойство инверсии проявилось при авторском исследовании дробных, золотых и корневых пропорций на обобщенную Парето-оптимальность.
Для выявления более точных отличий значений в табл. 1 выполним декомпозицию, рассчитав величины весов до тысячных долей, отметив при этом точные совпадения весов компонентов на последнем шаге декомпозиции (табл. 2).
Таблица 2. Распределение потенциала на основе первой и второй золотых пропорций с точностью до тысячных долей
Шаг Первая золотая пропорция
0 1
1 0,618 0,382
2 0,382 0,236 0,236 0,146
3 0,236 0,146 0,146 0,090 0,146 0,090 0,090 0,056
Вторая золотая пропорция
0 1
1 0,586 0,414
2 0,343 0,243 0,243 0,171
3 0,200 0,143 0,143 0,100 0,143 0,100 0,100 0,071
Доля а Ь с а е f g Ъ
Золотая пропорция в терминах принципа Парето означает, что меньшая часть величиной 38,2% создает большую часть результата 61,8%, и наоборот.
Распределение потенциала на основе третьей золотой пропорции. Выполним декомпозицию потенциала, базируясь на третьей золотой пропорции, или бронзовой пропорции, по В. Шпинадель (табл. 3). На первом шаге декомпозиции целое структурируется из величин $3 » 0,30 и
1 - 0,30 = 0,70. Каждую из них на втором шаге разобьем на две части, в том числе 0, 70 / 3,302 » 0,21 и 0,70 - 0,21 = 0,49.
Таблица 3. Распределение организационно-экономического потенциала социально-экономической системы на основе третьей золотой пропорции
Шаг Вес потенциалов
0 1
1 0,70 0,30
2 0,49 0,21 0,21 0,09
3 0,34 0,15 0,15 0,06 0,15 0,06 0,06 0,03
На последнем шаге декомпозиции наборы из величин 0,15 и 0,06 также асимметричны относительно центра данных. Веса при третьей золотой пропорции еще более тяготеют к инверсии. Близкими к инверсии оказываются не только крайние значения весов 1 / 0,34 » 0,03, но и 1 / 0,15 » 0,06,
что указывает на глубокое проникновение принципов гармонии в структуру потенциала предприятия.
Поскольку весовые коэффициенты потенциалов, структурированных по второй золотой пропорции, близки к весам, рассчитанным на базе классического золотого сечения, и учитывая, что вторая золотая пропорция проявляется в естественных науках более часто, целесообразно предложить формирование организационно-экономического потенциала именно на ее основе (табл. 2).
IV = 0,2 А + 0.143/5 + 0.1436 + ОМ) + 0,143 А’ + 0.1/-’ + 0,16' + 0.071Н. (2)
Каждый из потенциалов в свою очередь может характеризоваться 3 ключевыми показателями, согласно исследованиям И.П. Дежкиной и Г.А. Поташевой, сведенными в табл. 4, несколько изменив веса.
Таблица 4. Ключевые показатели блоков потенциала предприятия и их веса
Потенциал Доля Показатель Вес
1 2 3 4 5 6
А Производ- ственный 0,2 Промышленно-производственный потенциал А 0,45
Основные производственные фонды А2 0,35
Технология производства А 0,2
В Трудовой 0,143 Фонд заработной платы промышленнопроизводственного персонала В 0,55
Фонд материального поощрения В2 0,3
Затраты по обучению кадров В3 0,15
С Ресурсный 0,143 Сырье Л 0,15
Основные материалы ^2 0,6
Полуфабрикаты ^3 0,25
Б Рыночный 0,1 Аналитический потенциал С1 0,3
Производственный потенциал С2 0,15
Коммуникативный рыночный потенциал С3 0,55
Е Инноваци- онный 0,143 Затраты по рабочим, принятым для освоения в серийном производстве Е1 0,5
Фактические затраты на НИОКР Е2 0,35
Незавершенное производство на начало периода Е3 0,15
1 2 3 4 5 6
Научно- Прирост физического объема ВВП при интенсивном развитии производства в году 1 0,6
F технический и технологический 0,1 Дополнительный прирост, полученный вследствие изменения отраслевой структуры затрат живого труда в году 1 Fг 0,25
Экономия или перерасход затрат труда 0,15
Наибольший из математических ожиданий интегральный эффект по вероятностным распределениям 0,35
О Инвестици- онный 0,1 Наименьший из математических ожиданий интегральный эффект по вероятностным распределениям 0,35
Норматив для учета неопределенности эффекта ^3 0,3
Н Стратегиче- ский 0,071 Показатель соответствия организационно-экономического потенциала целям предприятия по формированию элементов потенциала Н 0,4
Издержки, связанные с адаптацией организационно-экономического потенциала Н2 0,2
Предусмотренный вариант Н3 0,4
В результате (2) примет вид
Ж = 0,2(0,45Л, +0,354 + 0,24) +0,143(0,555, +0,35, + 0,155,) + +0,143(0,15С, +0,6С2+0,25С3) + 0,1(0,ЗД + 0,155>2 + 0,555>3) + +0,143(0,55, +0,355, +0,1553) + 0,1(0,65, + 0,255, +0,1553) + +0,1(0,356, + 0,3562 + О,ЗС3)+ 0,071(0,4Я, + 0,2Я, + 0,4Я3) =
= 0,09 Д + 0,074 + 0,044 + 0,0795, + 0,043В2 + °,02 Щ +
+0,021С, +0,086С2 +0,036С3 +0,035, + 0,0155, + 0,02553 + +0,0725, + 0,055, +0,02153 +0,06^ +0,0255, +0,01553 +
0,035С, + 0,0356, +0,036, +0,028Я, +0,015Я2 +0,028Я3
Проверка показывает, что сумма весов всех 24 разновидностей потенциалов (показателей) равна единице.
Вывод. Приведенные результаты дают возможность предприятиям в зависимости от их особенностей структурировать и оценивать свой организационно-экономический потенциал на основе пропорционального гармонического распределения весов по видам потенциалов, рассчитанных на основе золотых пропорций, и управлять ими. Данные веса, полученные чисто теоретически, следует считать эталонными. Они требуют практической проверки на близость эталону и выявления видов предприятий той или иной отраслевой и функциональной направленности, характеризуемых предложенными распределениями весов, фаз их жизненного цикла и иных особенностей. Пошаговый метод декомпозиции потенциала на основе золотых пропорций дает возможность логично рассчитать его весовые коэффициенты, получив идеализированную модель организационно-экономического потенциала предприятия с явными признаками гармоничности множества внутренних процессов функционирования и развития, а также внешних воздействий. Метод позволяет акцентировать управленческие решения на 8 задачах как видах потенциалов. Предпочтение отдается простым в структурном отношении моделям, поддающимся декомпозиции на уровне иерархии по принципу золотых пропорций. Такие структуры относятся к классу оптимальных по критериям устойчивости, гармоничности и экономичности затрат на их реализацию. В отдельных случаях они позволяют избавиться от нелинейных форм, сведя решения к линейному виду. За счет гармоничности возникает эффект создания нового свойства, обеспечивающего при оптимальных затратах рост устойчивости предприятия к воздействию негативных внешних и внутренних факторов. Такое предприятие можно назвать «гармоничным».
Но для реализации и дальнейшего развития изложенного, равно как и для решения аналогичных задач необходимы современные знания математических основ гармонии. Приведем результаты некоторых авторских поисков в данной области.
К вопросу о математических основах гармонии
Рациональная и иррациональная составляющие золотых пропорций. В основе золотых пропорций лежат инверсные числа и = 1/у„. Их произведение равно единице: 8п Ип = 1. Гармония предполагает также взаимодействие с прямыми и обратными величинами. Такими параметрами являются, например, срок окупаемости и ставка процента, мультипликатор и коэффициент капитализации, период времени и частота гармонического процесса.
Разность инверсных чисел. Из условия ( $п-1/зп=п) следует ква? п + л]п~ +4
дратное уравнение (-1 = 0) с положительными Ящ =-----------
и отрицательными лгИ2
корнями. Условие (5И — 1 / = — п)
■ —2
приводит к квадратному уравнению (5,7 + тп -1 = 0) с корнями _ — /7 — ГГ ■
-п + у
п+4
п2
соответственно положительны-
ми и отрицательными.
Геометрическое нахождение на числовой оси золотых констант приведено на рис. 2. Подчеркнем еще раз, что результатом разности инверсных чисел значение п является целым положительным числом, включая ноль.
Сумма инверсных чисел. Допустим, что величины $п и Ип нам неизвестны. Предположим, что имеются инверсные числа ^ и $к = 1/$н, произведение которых равно единице: ^ $к = 1 и их мантиссы одинаковы. Положим, что их сумма равна положительному гармоническому числу, различному для разных золотых пропорций $к + $к = к:
5к + 1/^к = к
где к - порядковый номер инверсных гармоничных чисел.
2
Из условия (3) следует: — /?л/г + 1 = 0.
Оба корня уравнения положительные
/г Ч- л/ /г2 — 4
(3)
=
\-4и2-‘
(4)
(5)
Найдем значения Ъ такие, чтобы в (4) и (5) дискриминант ^ п ~ ^ был целым числом для упрощения ситуации путем перехода от иррациональных чисел к рациональным. Требование целостности дискриминанта является основным условием для суммы инверсных чисел. Ему отвечают сле-ттуштттир числа: ^4, л/5, л/8, л/Гз, л/20, л/29,..., к. При этом дискриминант
О = -4 будет равен целым числам, включая ноль: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., п.
Корни (4) примут вид
Корни (5) равны величинам
^4-д/л/4 -4 2-0 ,
зд =----------о--------= ^ = 1 = *о;
Ул/П
2 2 л/Гз-а/7Тз2-4 _ лЯЗ-З
- 0,302 - л'з и т.д.
Условие (3) с учетом (4) и (5) запишется в виде
к + л[к
^4 к — л//?^ —4
— +-----------------
= к.
=1+1=2;
2 2
=1+1=2;
= 1,618 + 0,618 = 2,236;
^=Т8±2 + ^8-2 = 2 2 7и=713±3 + 713-3
2 2
(л/2 +1)+ (л/2 -1)= 2,414 + 0,414 = 2,828 ;
— 3,302... + 0,302... — 3,605... и т.д.
Подчеркнем особенности, выявленные на основании суммы инверсных чисел:
- сумма инверсных значений для нулевой, первой и второй золотых пропорций находится в пределах от 2 до 2,828. Вероятно, по этой причине многие веса при декомпозиции потенциала в табл. 1 и табл. 2 равны между собой;
- сумма инверсных значений первой золотой пропорции не есть число 1 с некоторой мантиссой, а составляет число 2,236, тогда как для всех остальных золотых пропорций сумма равна числу номера пропорции и конкретной мантиссы. Причем величина мантисс сумм инверсных значений с ростом номера золотой пропорции уменьшается в пределе до нуля для п ® да;
- наибольшей мантиссой (0,828) обладает сумма инверсных значений второй золотой пропорции 52+?2 =2,414 + 0,414 = 2,828. Вероятно, именно по этой причине она нашла наибольшее распространение и проявляется в различных областях знаний;
- величины арифметических корней (4) и (5) при сумме инверсных чисел только положительные, в отличие от значений при разности инверсных констант;
- идеальной (равномерной по «качеству» без меньшей части) является инверсия с числами равных мантисс, которая в ряду гармонических иррациональных чисел для И = л/4 принимается в виде начальной точки отсчета гармонического ряда
л/4 + 0 л/4-0
2 2
= 1 +1 = 1,000... +------------= 2,000...
1,000...
Геометрическое построение с помощью циркуля и линейки отрезков, соответствующих золотым константам. Для нахождения оптимального алгоритма построения достаточно преобразовать формулу в виде
Алгоритм оптимального геометрического построения положительных прямых золотых констант на линейной шкале представлен на рис. 1.
Рис. 1. Геометрическое построение положительных прямых золотых констант
Подготовительная работа:
- выбрать прямоугольную систему координат на плоскости, образуемую двумя взаимно перпендикулярными осями координат, пересекающимися в точке 0 - начале отсчета. На каждой оси выбрано положительное направление. Ось абсцисс играет роль числовой прямой, на которой необходимо построить отрезки прямой линии, изображающие искомые числовые интервалы;
- на оси ординат отложить отрезок единичной длины, выделив точку 1.
Построение золотых констант:
1) на оси абсцисс из начала координат отложить отрезок длиной п/2 условных масштабных единиц, выделив точку п/2;
2) установить одну ножку циркуля в точку п/2 на оси абсцисс, вторую ножку - в точку 1 на оси ординат, тем самым зафиксировав раствором цир-
\п2 ,
куля длину гипотенузы как величину л\— +15
3) отложить длину гипотенузы на числовой прямой поворотом циркуля,
In2
добавив к отрезку длиной п/2 отрезок J------ь 1. Расстояние от начала коор-
4
динат до полученной точки и определяет величину золотых констант
п I п~
Построение классической золотой константы, соответствующее рис. 1, также выполнили С.Л. Василенко и А.В. Никитин (2013).
Приведем оптимальный алгоритм геометрического построения кварты золотых констант, вытекающего из предыдущего построения и не требующего пояснений.
Рис. 2. Геометрическое построение кварты золотых констант
Новое прочтение золотых пропорций как четырех констант с равными мантиссами. Классическая золотая пропорция обращает на себя внимание соотношением 2,618.../ 1,618 = 1,618.__Подобные пары нашлись в
каждой золотой пропорции, правда, не в виде квадратов пропорций
3,414-- = 1,414...; 4?302-" _ 1202...; -,23б- = 1,236...; ...; -^- = l + s
2,414... 3,302... 4,236... s,
Модель становится тождественной отношению четырех чисел в виде
(6)
1 + 5п, яп, 1 + ёп, 1 и имеющих 5 величин: §п, 1, 1 + ёп, яп, 1 + $п, а также
число п.
Синтез единицы и золотых пропорций. Золотые пропорции (большие и малые) не могут существовать без единицы. Поэтому они (и есть именно пропорции) проявляются лишь в компании совместно с единицей, выполняющей роль меры как нормированной величины числа и единицы длины отрезка.
Синтезируем единицу и золотые пропорции, получив длины отрезков, равно как и собственно числа (1 + яп) и (1 + ^п). Организуем отношение (1 + sn) к некоторому числу такое, чтобы оно было равно (1 + ^п). Таким
отношением будет------— =----+1 = 1 + 5И , соответствующее (6) и (7).
Отсюда следует возможность получения тетрады отрезков, находящихся в гармонических отношениях (рис. 3), в виде
ЛР _АС _ Л2 +4-(и-2)
~вБ~^в~ 2
, т.е.
1 + 1+^(7 , —
------- =--------^- = 1 + л„
Рис. 3. Синтез единицы и п золотой пропорции при создании п золотой тетрады
Величина отношения отрезков
Так, для второй золотой пропорции изображение примет вид, как на рис. 4, где
АИ АС 1 + я2 1 + ^ , _ 3,414 1,414 ....
-----=------, т.е. ------ =------^ = 1 + я9 ИЛИ —--------= -------= 1,414.
ВП АВ эо 1 2,414 1
Рис. 4. Синтез единицы и второй золотой пропорции при создании второй золотой тетрады
Золотые тетрады. Математическое изящество и числовая красота чисел (6) раскрывается при рассмотрении тетрады констант конкретных золотых пропорций при сведении их в табл. 5.
Алгоритмы геометрического построения золотых тетрад. Первый алгоритм построения:
1) на числовой прямой с началом 0 (первая необходимая точка А) и шагом 0,5 условной масштабной меры отложим отрезок длиной 1, чтобы получить вторую необходимую точку B;
Таблица 5. Новое прочтение золотых отношений (пропорций) как констант с равными мантиссами
п АВ ВС АС ВЭ ЛИ АО _ АС ВИ ~ АВ АО _ АС ВИ ~ АВ
1 1 0,618 1,618 1,618 2,618 2’618 =1,618 1,618 л/5+1 _ л/5-(—1) 2 2
2 1 0,414 1,414 2,414 3,414 3’414 =1,414 2,414 *-0.л
3 1 0,302 1,302 3,302 4,302 4’302 =1,302 3,302 л/Гз — 1 2
4 1 0,236 1,236 4,236 5,236 5’236 =1,236 4,236 2
5 1 0,192 1,192 5,192 6,192 6Л92 =1,192 5,192 л/29-3 2
п 1 1п 1 + ^п 1 + 1 + Яуі _ 1 + 1 7«2+4-(«-2) 2
2) из точки В восстановим перпендикуляр, на котором отложим отрезок длиной 1, на числовой оси отложим отрезок длиной п/2 условных масштабных единиц, выделив точку (1+п/2);
3) установим одну ножку циркуля в точку (1+п/2), вторую ножку - в точку 1 на перпендикуляре, тем самым зафиксировав раствором циркуля
длину гипотенузы величиной + которую поворотом циркуля отло-
V 4
жим на числовой оси, добавив к отрезку длиной (1+п/2) отрезок величиной
Г2
!—+\, получив третью искомую точку D, расстояние от начала координат
V 4
А до которой равно 1 + ^ +1 = 1 + я,, :;
4) из точки D отложим отрезок длиной п единиц (или отложим дважды отрезок длиной п/2 между точками 1 и (1+п/2) в обратном направлении числовой оси, отметив четвертую искомую точку С, расстояние до которой
У1 \У1 /7 /7 _
из начала координат равно 1 ч- — + д/-^1 ~п = - =\ + яп.
Второй алгоритм построения золотых тетрад:
1) на числовой прямой с началом 0 (первая необходимая точка А) и шагом 0,5 отложим отрезок длиной 1, чтобы получить вторую необходимую точку В;
2) из точки В восстановим перпендикуляр, на котором отложим отрезок длиной 1, и на числовой оси в обоих направлениях отложим отрезки длиной п/2, выделив точку (1+п/2);
3) установим одну ножку циркуля в точку (1+п/2), вторую ножку - в точку 1 на перпендикуляре, зафиксировав раствором циркуля длину гипотенузы, которую поворотом циркуля отложим на числовой оси, добавив к
мую точку D, расстояние от начала координат А до которой равно
4) установим одну ножку циркуля в точку 1- п/2, вторую ножку - в точку 1 на перпендикуляре, зафиксировав раствором циркуля длину гипо-
тенузы величиной — + ], которую поворотом циркуля отложим на оси,
V 4
получив четвертую искомую точку D, расстояние от начала координат А до
Оба алгоритма построения тетрад можно считать оптимальными.
Приведем примеры двух алгоритмов геометрического построения первой (рис. 5) и второй (рис. 6) золотых тетрад.
Вывод. Затронуты математические основы теории гармонии. Углублено понимание роли и проявлений рациональной и иррациональной составляющих золотых пропорций. Сумма инверсных чисел позволила выявить уравнение, корни которого представляют только положительные значения, в отличие от результата при разности инверсных чисел. Начальной точкой отсчета гармонического ряда является .
Найден оптимальный алгоритм геометрического построения с помощью циркуля и линейки отрезков, соответствующих золотым константам, в т.ч. кварты золотых пропорций. Дано новое прочтение золотых пропорций как четырех констант с равными мантиссами. Рассмотрены золотые тетрады, находящиеся в гармонических отношениях, приведен алгоритм их геометрического построения.
,2
отрезку длиной (\+п!2) отрезок величиной л — + 1, получив третью иско-
4
,2
Математика гармонии А.П. Стахова пополнилась новым содержанием, что будет способствовать поиску проявлений гармонии, в т.ч. при решении финансово-экономических и организационно-управленческих задач.
Рис. 5. Геометрическое построение первой золотой тетрады (два алгоритма)
Рис. 6. Геометрическое построение второй золотой тетрады (два алгоритма)
Примечания
1 Дежкина И.П., Поташева Г.А. Гармоничный менеджмент. М.: ИНФРА-М, 2010. Dejkina I.P., Potasheva G.A. Garmonichnii menedjment. M.: INFRA-M, 2010.
2 Шенягин В.П. Триада инверсии в основах мироздания. Математико-философское эссе. Академия Тринитаризма. М., Эл. № 77-б5б7. публ. 18427, 07.01.2014. http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0001/005a/00011319.htm
Shenyagin V.P. Triada inversii v osnovah mirozdania. Matematiko-filosofskoe esse. Akademiya Trinitarizma. М., El. № 77-б5б7, publ. 18427, 07.01.2014.
