CC BY
41
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородско го университета им. Н. И. Лобаче вского, 201 1, Ns 3 (2), с. 33-35
УДК 534.1
ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ В МАТЕРИАЛЕ
© 2011 г. О.В. Артамонова1, В.И. Ерофеев1,2, В.П. Ромашов1
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 2Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
erfD4@sinn.ru
Поступила в редакцию 28.02.2011
Показано, что самосогласованная математическая модель, включающая в себя уравнения теории упругости и кинетические уравнения для плотностей различных типов точечных дефектов, может быть сведена к нелинейному эволюционному уравнению, объединяющему в себе известные уравнения волновой динамики: Кортевега-де Вриза-Бюргерса и Клейна-Гордона.
Ключевые слова: эволюционное уравнение, упругая среда, точечные дефекты.
При воздействии на материал лазерного излучения или потока частиц (например, при ионной имплантации) в нем создаются точечные дефекты (вакансии, межузлия) [1]. Прохождение интенсивной продольной акустической волны способствует изменению в областях растяжения и сжатия энергии активации образования точечных дефектов, приводя к их пространственному перераспределению. Дефекты, мигрирующие по материалу, рекомбинируют на различного рода центрах. Роль таких центров могут играть дислокации, примеси внедрения и др.
Волновые эффекты в ансамблях дислокаций изучались в работах [2-5].
В [6] показано, что задачу о распространении акустической волны в материале с точечными дефектами следует рассматривать как самосогласованную, включающую в себя, наряду с динамическим уравнением теории упругости, кинетическое уравнение для плотности дефектов.
В [7] исследовано взаимодействие нелинейной волны деформации с полем концентрации точечных дефектов (вакансий, межузлий), приводящее как к рассеянию волны, так и к изменению энергии активации образования дефектов и их пространственному перераспределению.
При этом предполагалось, что основными процессами, определяющими поведение дефектов, являются процессы генерации, рекомбинации и диффузии. Объемная взаимная рекомбинация разноименных дефектов не учитывалась.
Учтем далее объемную взаимную рекомбинацию разноименных дефектов.
Самосогласованная задача, включающая в себя динамическое уравнение теории упругости и кинетическое уравнение для плотности дефектов, примет вид [2]:
д2У _ 2 ди ди д2Ц _
д/2 1 дх2 р дх дх2
А +— ^ |Ан— ц ІО,-
З ) ¥ дпу у 3 ) дпі
----------------- ---------------(1)
р дх р дх
дпу ди д 2пу (2)
—— - q0 + Ч& — + Ву—Т^— Ру пу - РіУ пі , (2)
д/ дх дх
дщ ди д2 п, (3)
— - Ц0 + Яе — + О2—Р,- Пі -Р уі Пу • (3)
д дх дх2
Здесь и(х,і) - продольное перемещение частиц материала (волна считается плоской); П (х,ґ) - объемная концентрация точечных дефектов (/ = V - для вакансий, j = і - для межуз-
„ч ІХ + 2ц
лий); с1 =------------скорость, с которой распро-
V Р
странялась бы продольная волна в материале, если бы в нем отсутствовали дефекты; А, ц - константы Ламе; р - плотность материала; рдт - коэффициент нелинейности: рдт = ЗА + 6ц + + 2А + 6В +2С; А, В, С - модули Ландау третьего порядка; О- - дилатационный параметр, характеризующий изменение объема материала при образовании в нем одного точечного дефекта. Для вакансий О- < 0, для межузлий О- > 0. Через q0 обозначен темп генерации точечных дефектов в
34
О.В. Артамонова, В.И. Ерофеев, В.П. Ромашов
отсутствие деформации; второе слагаемое в правой части (2) представляет собой деформационную поправку в генерацию дефектов; Д - коэффициент диффузии дефекта типа у; в] - скорость рекомбинации на стоках. Через Р;Т и ри обозначены скорости взаимной рекомбинации дефектов типа «межузлие-вакансия» и типа «ва-кансия-межузлие», соответственно.
Если имеется только статическая деформация и = и(х), то система уравнений (1), (3) сведется к одному уравнению, описывающему динамику точечных дефектов:
-
р^
р,
(5)
Первое приближение по е приводит к эволюционному уравнению относительно п0:
д
^ дп0 дп0 д2п0 д3п0
—0 + а п0 —0 + а2----^ + а3 —^ + а4 п0
д^дп 10 д^ 2 д^2 3 д^3 40
Л
У
Здесь приняты обозначения:
(6)
д 2Пу д/2
с, р
-
Р,
Л'
'¡V
д 2-г/
дх2
- +
V ри
-ру
с, р
3
Qv -
>ди„
Л
У_
р ¡V у
Рv
+ (р, + ^ - рvД )—Т + д/
/ ^ ч дV ^ ^ д4иV
+ ГД + Д,)—+ Д Д--------V +
v V ,;дх2д/ ' V дх4
—е(р,-р¡V — + 3^ -
Рv
•’-•V У
с, р
ДЧе| *■+з ц
2
QV-^
. V Р-г У
с, Р
= (Р,-Р-г ) —о + —
V Р N
дх
2
--
-(-V )2 =
(4)
Решение уравнения (4) ищем в виде асимптотического разложения п по малому параметру: Пу = п0 + п + к, где << 1. Введем при этом новые переменные: ^ = х - С ; п = ~х. Такой выбор переменных объясняется тем, что возмущение, распространяясь со скоростью с вдоль оси х, медленно эволюционирует в пространстве из-за нелинейности, дисперсии и диссипации.
В нулевом приближении по ~е получим выражение для скорости:
а =-
V
8 с1 р
р, Д - Др \Х + 2 ц с1р | 3
а =■
Ду + Д
2е! Р,-Ду 1
с,р ^ 3
^у--ву-. у ву у
а = ■
- Д Д
2~
а = -
Р;Д - ^ ^ + 2 Ц с, р V 3
Р,- + Р, - РVД
Рк
Л
г
Р;у У
р,-
Л
а,-^
. г Р', У
рЛ
Р^Ру
V ркг
-рИ
2в
р<- % Га+^3 ц
с, р V 3
с|(-в- (х+1
Ргк У ^ о Л
у
р.
'¿у у
2в
р1^у 2~^~ I ^+Тц с/ р V 3
а-1^
в
р
ргт
¿у у 2
I в N
., (7)
Т 6 3 2с1 р е
ргвг - (а+^3 И
с2р I 3
-
Рг
- (Р,-Р,т)
( о 2 ^
2РС/
Яо +—— ^8
в
а =■
Д яе
р, Ду
С/2р I 3
2
(
Пу —
Л
7
ргу у
Ру
2
= аъПо + а6по + а
-V +
ц
Р
N
2
а, =
Р
5
N
2
д
а =
6
в
£
Заметим, что в уравнении (6) слагаемые с коэффициентами а1 и а6 обусловлены наличием нелинейности; слагаемые с коэффициентами а2 и а4 отвечают за диссипативные процессы;
слагаемые же с коэффициентами а3 и а5 отвечают за дисперсионные процессы.
Если в рассматриваемой системе диффузия преобладает над рекомбинацией дефектов, то уравнение (6) преобразуется в уравнение Кор-тевега-де Вриза-Бюргерса:
dno
0П
dn0
+ axn0----------+ a2
д2ш±+a3 д2т±=о. (8)
Если же, наоборот, в системе рекомбинация дефектов преобладает над диффузионными процессами, то эволюционное уравнение (8) преобразуется в уравнение Клейна-Гордона с диссипативными слагаемыми:
д
дп
Л
(9)
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант № 09-08-00827) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.).
Список литературы
1. Мирзоев Ф.Х., Панченко В.Я., Шелепин Л.А. Лазерное управление процессами в твердом теле // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 1. С. 3-32.
2. Ерофеев В.И. Самомодуляция акустической волны в твердом теле с дислокациями // Письма в Журнал технической физики. 2008. Т. 34. № 4. С. 3236.
3. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит, 2009. 320 с.
4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В. Нелинейная стационарная акустическая волна в твердом теле с дислокациями // Журнал технической физики. 2010. Т. 80. № 4. С. 149-151.
5. Сарафанов Г.Ф. Коллективные и волновые эффекты в ансамбле дислокаций при пластической деформации металлов. Нижний Новгород: Изд-во «Литера», 2010. 360 с.
6. Мирзоев Ф.Х., Шелепин Л.А. Нелинейные волны деформации и плотности дефектов в металлических пластинах при воздействии внешних потоков энергии // Журнал технической физики. 2001. Т. 71. № 8. С. 23-26.
7. Ерофеев В.И., Артамонова О.А. Влияние точечных дефектов в материале на распространение нелинейной акустической волны // Труды XXII Сессии Российского акустического общества и Научного совета по акустике РАН. М.: ГЕОС, 2010. Т. 1. С. 158-159.
2
+ а4п0
= а 5п0 + а6п0
EVOLUTION EQUATION FOR DESCRIBING POINT DEFECT NONLINEAR DYNAMICS IN
MATERIALS
O.V. Artamonova, V.I. Erofeev, V.P. Romashov
It is shown that a self-consistent mathematical model that includes elasticity theory and kinetic equations for different types of point defect densities can be reduced to a nonlinear evolution equation, which combines well-known equations of wave dynamics: Korteweg-de Vries-Burgers and Klein-Gordon equations.
Keywords: evolution equation, elastic medium, point defects.
