Евклидова кривая в сопровождающем репере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

ЕВКЛИДОВА КРИВАЯ В СОПРОВОЖДАЮЩЕМ РЕПЕРЕ

© А.И.Долгарев

Строится сопровождающий репер евклидовой кривой, не зависящий от ее параметризации. Используется каппа-функция евклидова вектора. Исследуется связь каппа-функции некоторых векторов с кривизнами кривой. Рассматривается евклидова кривая в ее сопровождающем репере. Найдено ускорение Кориолиса движущейся материальной точки по любой траектории. Приведены примеры.

Ключевые слова: сопровождающий репер, каппа-функция евклидова вектора, вектор ускорения Кориолиса.

В евклидовом пространстве Е3 выбрана система отсчета В = (О, /, ], к). Материальная точка М = (х, у, г) единичной массы движется в пространстве Е3 под действием некоторых сил по законам Галилея-Ньютона. В каждый момент времени I точка М занимает положение т = Т) = ^, х(1), у(^), г^)). Тем самым рассматривается событие т = т(1). Линия

ф) = (*, х(*), у(г), гЦ)), г е I с Я называется мировой линией движущейся точки М . Закон движения точки М , т.е. траектория ее движения, является пространственной составляющей события т(^) и описывается векторной функцией

) = (х(*), у(*), гЦ)).

Евклидовы кривые г (^) изучает евклидова геометрия, мировые линии событий т(() изучает геометрия пространства-времени Галилея. В классической механике, т.е. механике Галилея-Ньютона, считается, что траектория движущейся точки является евклидовой кривой, параметр точки есть время. Скорость движения есть первая производная по времени закона движения:

V (/) = г'(/), ускорение движения есть вторая производная закона движения: a (/) = т”($). Пространственная составляющая производной т(0 совпадает с Г (I) . Движение материальной точки изучается обычно в неподвижной системе отсчета, но используя подвижную систему отсчета выявляют одну из важных составляющих ускорения движения - ускорение Кориолиса. Подвижным репером евклидовой кривой - траектории движения - является ее сопровождающий репер. Ниже мы находим подвижный репер траектории движения точки, не прибегая к естественному заданию закона движения, находим траекторию в подвижном репере и вычисляем ускорение Кориолиса.

1. Сопровождающий репер

1.1. Идея построения сопровождающего репера

Ортонормированный сопровождающий репер регулярной евклидовой кривой принято строить в ее естественной параметризации. Рассматривается кривая і

г (5) = (х(ї), У^), 2(5)), 5 є 1о с Я ,

5 естественный параметр - длина дуги линии I от некоторой ее фиксированной обыкновенной точки Р . Производные г, г вычисляются в точке Р . Единичный вектор касательной к I обозначается через ґ. Дифференцируя функцию Г (5), получаем единичный вектор Г,

Г = 1, Г = ґ .

Так как производная вектора постоянной длины

перпендикулярна этому вектору, имеем ґ ^ 7.

Единичный вектор п направления 7 называется единичным вектором главной нормали кривой I. Записываем:

7 = г = к1п , п ± 7; (1)

скалярный множитель к1 называется первой кривизной (просто кривизной) линии I .

Теперь в точке Р линии I имеется два взаимно перпендикулярных единичных вектора 7 и п - вектор касательной и один из векторов нормали, которую считаем главной. Получены оба вектора в результате дифференцирования функции Г(5), описывающей кривую I. Векторы

7 и п движутся вдоль кривой вместе с точкой Р по кривой, являются векторами сопровождающего репера кривой ВР . Третий единичный вектор репера ВР, перпендикулярный векторам ґ и п , есть вектор бинормали Ь = 7 х п .

Репер ВР = (Р, 1, п, Ь) сопровождает точку Р при ее движении по линии I. Положение касательной к линии I не зависит от ее параметризации. В произвольной параметризации линии I, заданной в ортонормированном репере В = (О, /, у, к)

евклидова пространства Е3 векторной функцией г (г) = (х(), у(г), г(г)), г е I с Я, (2)

имеем

г' = |г'|Г . (3)

Векторы 1, п вместе с точкой Р порождают соприкасающуюся плоскость линии I: а =< Р, 1, п >=< Р, г, г >. Выполняется свойство

< Р,г',г” >=< Р,Г,п >, т.е. положение соприкасающейся плоскости кривой I не зависит от ее параметризации. Нормаль соприкасающейся плоскости а кривой I определяется вектором г' х г". Поэтому единичный вектор бинормали линии I есть г' х г”

(4)

Ь =-,

ґ =-,

11 = ]й[ ’ (7)

если задан изменяющийся вектор й = й (ґ). В [1: 59-61] и в [2] рассмотрены соответственно 2мерные векторы и векторы произвольной размерности. Для вектора (7) выполняется следующее свойство.

Свойство 1. Производная единичного вектора й° направления, определяемого изменяющимся вектором и = и (ґ), такова

(и°) =

Ґ

и

М. VI I/

-к(й) §, к(й) = |(й °) ' |,

(8)

§| = 1, (м°)' 1 м° .

Величина к(й ) называется каппа-функцией (к — функцией) вектора и = и(ґ).

# Производная вектора постоянного модуля перпендикулярна исходному вектору, поэтому

(и °)

(й°) ' 1 м° . Единичный вектор § есть

|г х г |

Воспользуемся изложенной идеей для построения сопровождающего репера линии I в ее произвольной параметризации (2). Равенство (3) означает

г

(5)

(и °)

значит, к(и) = |(й°) ' |. #

Если вектор и 2-мерный, и = (м1,м2), то, по [1: 60],

Дифференцируя единичный вектор касательной

(5), получаем вектор, сонаправленный единичному вектору п главной нормали линии, а единичный вектор бинормали получаем по (4).

Формула (1) является одной из формул Фре-не евклидовой кривой, еще одна формула Френе есть

Ь = -к2п , (6)

где к2 вторая кривизна, т.е. кручение кривой I.

Формулы (1) и (6) определяют кривизны к1 и к2 евклидовой кривой. Их величины от параметризации кривой не зависят.

1.2. Дифференцирование единичного евклидова вектора

Каппа-функция вектора

В некоторых случаях полезно иметь производную единичного евклидова вектора, который рассматривается как единичный вектор направления, определяемого ненулевым вектором и : й = \й\й°, |й°| = 1. Т.е. полезно дифференцировать вектор

( -

М. VI I/

и и — и и

и и — и и

1 Л

таким образом,

к(й) =

1 12 11 2

и и — и и

и и

М и,

V II I I/

( 2 1 и и

\и\ \и.

V II I I/

(9)

Свойство 2. В евклидовой плоскости (О,і, у ) вектор § получается по единичному вектору й° направления й, см. (8), в результате кратчайшего поворота вектора й° на 90° в направлении от вектора і к вектору у . Дифференцирование единичного вектора и ° приводит к повороту вектора й° до положения вектора § и умножает вектор § на к — функцию вектора и.

# Свойство установлено в [1: 61]. # Четырехкратное дифференцирование й° дает вектор, коллинеарный вектору й .

Свойство 3. Производная единичного вектора й° направления й есть вектор

3

2

2

(й°) =

й '|й| — й (йй' )

13

(10)

Вектор (й°) получен в [2].

Свойство 4. В базисе (и, й') вектор й° имеет разложение

(

(й°) =

ии и

\й\3 \й\3

(11)

к(й) =

г М. VI I /

и х и 1_| 2

(12)

ва:

г"\г'\2 — г'(г'г")

г

VI I/

к(г') =

г і

|г' х г" 1^,12

(13)

# Равенства получаем соответственно по (10) и (12). #

Вектор в числителе равенства для 7 в (13)

Г\г'\2 - Г (Гг'')

рассматривается в [3: 32; 4: 102; 5: 98-102]. Появляется вектор в результате вычисления двойного векторного произведения г' х (г' х г") . Но нигде не упоминается и не используется вектор вида г" = к(г"")п и каппа-функция евклидова вектора.

Свойство 8. Вектор 7 является вектором соприкасающейся плоскости а линии (2) в произвольной параметризации.

# Для линии г (г) в произвольной параметризации (2) векторы г" и г (г) неколлинеарны, это хорошо видно по (3). По (11) имеем в базисе (г' х г”)

ґ =

с гг (г)2 ^

V'|3 , \~!|3

V I г | /

# Это другая запись разложения (10). # Базис (й, й' ) является подвижным, компоненты вектора й есть функции параметра ґ.

Из свойств 4 и 2 следует Свойство 5. В плоскости векторов й, й' вектор производной (10) получается в результате поворота единичного вектора й° направления й на 90° в направлении от вектора й к вектору й'. #

Свойство 6. Каппа-функция вектора й вычисляется по формуле

# Модуль вектора производной (и°) можно вычислить, находя скалярный квадрат вектора (10). # Вычисления проведены в [2].

Свойство 7. Пусть и = г' (г), где г (г) есть функция, задающая евклидову линию (2) в произвольной параметризации. Справедливы равенст-

Соприкасающаяся плоскость линии (2) есть <г=< Р, г' , г” > . Только при условии г' 1 г" векторы 7 и Г коллинеарны. #

1.3. Сопровождающий репер кривой

Рассматриваем евклидову регулярную кривую (2) в произвольной параметризации. Это означает: г Ф д и векторы г, г" неколлинеарны. Пусть Р обыкновенная точка кривой. Вектор ґ сопровождающего репера ВР линии (2) рассматриваем в виде (5). Положение касательной не зависит от параметризации кривой. Согласно общей идее построения сопровождающего репера ВР линии, см. п.1.1, единичный вектор п главной нормали кривой отыскивается в результате дифференцирования единичного вектора касательной к кривой. Значит, и положение главной нормали не зависит от параметризации кривой.

Свойство 9. Производная единичного вектора касательной равна

7 = к(г')п . (14)

# Как уже отмечено, положение главной нормали регулярной кривой не зависит от ее параметризации, и единичный вектор п главной нормали кривой есть единичный вектор направления, определяемого вектором ґ . По свойству 1, выполняется (14). #

Свойство 10. Единичный вектор п главной нормали кривой (2) задается разложением

г"|г'|2 — г' (г'г" )

п =

(15)

# Вектор п , по свойству 9, равен

п =

к(г)

с использованием второй формулы в (13), имеем п =

\г'\7

г х г

откуда по первой формуле в (13) получается (15).

#

Свойство 11. Для единичного вектора бинормали кривой (2) выполняется (4).

# Третий вектор Ь сопровождающего репера ВР линии (2) находится как вектор ґ х п = Ь .

Вычисляем по (5) и (15):

- г г г

ґ х п = 1—т х ----V-1

— г'(г'г") г' х г"

г | г ||г х г | г х г |

что совпадает с (4). # Этим подтверждатся и правильность равенства (14).

Свойства 9 и 11 приводят утверждению Теорема 1. Сопровождающий репер

В р = ( Р, ґ, п, Ь) кривой (2) не зависит от параметризации кривой. Его векторы есть результат нескольких дифференцирований векторной функции, задающей кривую (2), и равенства (4). #

2. Кривизны линий и каппа-функция евклидова вектора 2.1. Соотношения между кривизной, кручением евклидовой линии и каппа-функцией евклидова вектора

Полученные в пп.1.2 и 1.3 свойства регулярной евклидовой кривой позволяют установить указанные соотношения.

Теорема 2. Кривизна к1, кручение к2 регулярной евклидовой кривой (2) выражаются через каппа-функцию евклидовых векторов следующими соотношениями

к1 =

к(г')

± к2 =

к(г' х г")

(16)

г | г |

# По свойству 7 выполняется второе равенство в (13) и кривизна евклидовой линии в произвольной параметризации равна

\г' х г"\

к1 =

Отсюда следует первое из равенств в (16).

Имеет место формула Френе Ь = -к2п , т.е. производная Ь' единичного вектора бинормали Ь независимо от параметризации линии есть

Ь' = -к2п .

На основании (4) по (8), считая и = г' х г", имеем

Ь' = -к(г' х г")п .

Здесь § = п . По свойству 6,

к^ ^ |(?' х г") х (г' х г") ' |

Ь = -к(г хг )п = -1------------2----- .

г х г

Так как (г' х г" ) ' = г' х г'", то

г х г”) х г х г") ' = (г' х г") х (г' х Тт) =

г (г'г'Г) — г (г "г г) = г'(г'г"Г).

Теперь

| Ь' \=к(г' х г") = 1

|г ' х г" |

Вычислительная формула для кручения евклидовой линии:

к2 =

г х г

хи =

Сравнивая ее с предыдущим равенством и учитывая знаки кручения, получаем вторую формулу в (16). #

Следствие. В случае задания евклидовой кривой в естественной параметризации выполняются равенства

к1 = к(г), ±к2 = к(г х г).

# Так как |г| = 1, то (16) превращаются в указанные равенства. #

2.2. Кривая 3-мерного пространства-времени Галилея

Линейное пространство Ь3 над Я становится галилеевым векторным пространством в результате определения галилеева скалярного произведения векторов. Пусть х = (х,у, г),

и = (и,V,w) - векторы из Ь3. Их галилеевым скалярным произведением называется число [хи, еслих Ф 0, или и Ф 0;

[уу + zw, если х = и = 0; галилеев скалярный квадрат вектора равен

_2 I х2, еслих Ф 0;

х = 1 2 2

[у + г , если х = 0; галилеева норма | х | вектора х равна:

П х |, если х Ф 0;

\ х | = 1 I----

[уу2 + г2,если х = 0.

Введено галилеево скалярное произведение векторов в [1: 46]. Модуль вектора х есть

| х \ =^х . Векторы х, и перпендикулярны, если

хи = 0 . Ь3 с галилеевым скалярным произведением называется галилеевым векторным пространством и обозначается у3 . Компонента х вектора (х, у, г)= х называется временной, компоненты у, г называются пространственными. Векторы (х, у, г), х Ф 0 называются галилеевыми, векторы (0, у, г) с нулевой временной составляющей называются евклидовыми. Согласно определению галилеева скалярного произведения векторов, всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Галилеев вектор е = (1,0,0) является единичным, оболочка

V1 = < е > есть 1-мерное евклидово подпространство в V]3. Евклидовы векторы (0, у, г) составляют 2-мерное евклидово подпространство

V2 в V'I3. Галилеево векторное пространство V3 является прямой суммой евклидовых пространств V3 = V1 + V2.

Аффинное пространство A3, в линейном пространстве Ь3 которого введено галилеево скалярное произведение векторов, называется 3мерным пространством-временем Галилея и обозначается Г3. Регулярная кривая в естественной

Г3

описывается

галилеевой векторной функцией

у (г) = (г, х(г), у(г)), г е I с И, (17)

Ее касательный вектор в любой обыкновенной точке Р является единичным:

г(*) = т = (1, х( г), у (г)), |Т = 1,

вектор второй производной евклидов:

?(г) = (0, х (г), у (г)),

он перпендикулярен вектору первой производной, у(1) ^ У . Модуль 1^1 вектора второй производной называется кривизной линии (17), кДО = \у\, к1 =д/х2 + у2 , )> 0. (18)

Единичный вектор п направления у(г) называется единичным вектором главной нормали линии (17),

п = •1(0, х, у), к1

выполняется равенство

у(г) = к^)п, \п\ = 1.

Как в п.1.2, полагаем

у = к(у)Ь ,

где к(^) есть каппа-функция евклидова вектора у . В соответствии с (8),

к2 = к(у) =

_ ху—ху

Ь =

0, —

.. .. ^

У х

(19)

Величина к2 = к(у) называется кручением линии (17).

Теория кривых пространства-времени Галилея Г3 изложена в [1: 32-34, 46-79]. Кривая (17) считается регулярной класса С3: у Ф о , векторы у, у неколлинеарны; каждая точка Р регулярной кривой (17) обыкновенна. Сопровождающий репер линии (17) есть ВР = (Р,т, п, Ь). Плоскость

< Р,т, п >=< Р,у,у > называется соприкасаю-

щейся. Положение касательной прямой и соприкасающейся плоскости линии (17) не зависит от

ее параметризации. Плоскость V =< Р, п,Ь > является нормальной для (17). Это евклидова плоскость пространства-времени Галилея. Через каждую точку А = (а, Ь, с) пространства Г3 проходит единственная евклидова плоскость, она представляет собой множество точек-событий М = (а, х, у), одновременных с событием А . При движении точки Р по линии (17) ее нор-

Г3

XX

параллельно самой себе.

Теорема 3. Кривизна к1 и кручение к2 галилеевой кривой является каппа-функциями векторов у и у соответственно:

к = К(у), к2 = к(у).

# Галилеевы векторные функции дифференцируются как евклидовы векторные функции. Поэтому для единичного галилеева вектора у (г ) = т имеет место равенство (10). Выполняются Т = у, \у\ = 1,уу = 0 . (Скалярное произведение

галилеева и евклидова векторов равно нулю.) Первое из равенств таково:

т =

7\г\2 — Г Ш) =У_ = ..

И1 " И~у'

А так как Т = к(Т)п и \у\ = |-т| = к1, то к1 = к(у) . Второе из рассматриваемых равенств введено в

(19). #

Каппа-функция галилеева вектора, рассматриваемая в доказательстве теоремы 3 в [1] не содержится. Следствие из теоремы 2 и теорема 3 выявляют общее свойство кривизн евклидовых и галилеевых линий, как каппа-функций соответствующих векторов.

По вычислительным формулам кривизны к1 и кручения к2, см. (18) и (19), составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений

Гх2 + у2 = к2(г),

-'ху = к2(г )к2(г);’ решением которой являются функции х(г), у (г) пространственной составляющей функции (17). Линия пространства-времени Галилея функциями к1 = к1(г) > 0, к2 = к2(г), называемыми галилеевыми натуральными уравнениями этой линии, определяются однозначно, с точностью до положения в пространстве-времени, [6].

2

3. Кривая в сопровождающем репере

3.1. Разложение вектора г(ґ) по векторам

сопровождающего репера Ве

Для регулярной евклидовой кривой I, заданной в произвольной параметризации (2) векторной функцией

г(ґ) = (х(ґ), у(ґ), 2(ґ)), ґ є I с Я ,

выше получен сопровождающий репер ВР =

(Р, ґ, п, Ь), Р есть точка кривой. Как отмечено в п.1.3, это тот же сопровождающий репер линии

І, который получается для нее в ее задании в естественной параметризации. Единичный вектор ґ касательной есть, согласно (5): г' 1

t =-

К x ", У ", z").

-У

Единичный вектор п главной нормали линии I в параметризации (2) находится в результате дифференцирования единичного вектора 7 , п.1.2, и, по (15), п.1.3, равен

г"И2 — г' (г'г")

п = 1 ' ---—---.

\Р\г' х г''\

Единичный вектор Ь бинормали линии I есть г г' х г"

Ь = ■;------т

(20)

и есть единичный вектор нормали соприкасающейся плоскости линии I. Найдем разложение

вектора г (ґ), заданного в репере В = (О, і, у, к), годографом которого является линия I, по единичным векторам ґ, п, Ь репера ВР . Справедлива следующая

Теорема 4. Разложение вектора г(ґ), заданного посредством (2) в репере В = (О, і, у, к), по векторам 7,п,Ь репера ВР есть:

Гр (ґ) = хґ + упп + гьЬ =

= (х (ґ), уп (ґ), 2Ъ (ґ)); компоненты этого разложения равны скалярным произведениям векторов:

х, = г (ґ)Г, Уп = г(ґ)п, 2ь = г(ґ)Ь . (21)

# Указанные скалярные произведения векторов и являются, как известно, проекциями вектора г (ґ) на векторы 7, п, Ь . #

Линия I параметризацией (2) задана в репере В = (О, і, у, к). В этом же репере задано и разложение (20) вектора г (ґ) по векторам ґ, п, Ь сопровождающего репера ВР = (Р, ґ, п, Ь). Репер В Р может быть получен из репера В следую-

щим образом. Сначала как единое целое репер B поворачивается вокруг неподвижной точки O до

совмещения векторов i и t , j и n , к и b (эти реперы одинаково ориентированы), затем репер BO = (O, t, П, b), в результате параллельного перенесения OP совмещается с репером BP . Это происходит в случае всякого положения точки P на линии l.

Разложение (20) называем заданием линии l в ее сопровождающем репере.

3.2. Некоторые линии в сопровождающем репере

Окружность. В репере B = (O,i, j) плоскости E2 окружность радиуса а описывается векторной функцией

r (t) = (a cos t, a sin t), t e[0,2^).

Вектор производной равен:

Г (t) = (-a sin t, a cos t), единичный вектор касательной есть

t = (- sin t ,cos t) .

Производная вектора t является вектором нормали в каждой точке окружности: 7 = (- cos t, - sin t); вектор единичный, поэтому он является единичным вектором нормали П = (-cos t, - sin t).

Вычислим скалярные произведения:

xt = rt = -a cos t sin t + a sin t cos t = 0,

yn = ГП = -acos21 -asin21 = -a.

Тем самым получено разложение вектора r (t) по векторам t , П сопровождающего репера B P = (P, t, П) окружности

rP = (0, - a).

Это разложение записано в репере B = (O, i, j).

При движении точки P по окружности касательная к ней < P, t > равномерно вращается вокруг центра O окружности. Вектор нормали PO = an = (-a cos t, -a sin t) таков, что в каждой точке P окружности выполняется равенство PO = -r (t). Полученное выше значение rn =-a означает, что точка P в репере BO = (O, t, n) имеет вторую координату -a , т.к. векторы PO и r (t) = OP в каждой точке окружности противоположны.

Винтовая линия описывается в репере B = (O, i, j, к) векторной функцией

r (t) = (bt, a cos t, a sin t), t e R .

Вектор производной r (t) = (b, -a sin t, a cos t) вращается вокруг точки O , отсекая на прямой

имеет постоянный модуль r

а

b2 . Еди-

b =

r x r

а

г (а, b sin t, —b cos t).

Получаем скалярные произведения

b2t _

x, = rt = , —, y = rn = -а .

n

Vc

zb = fb =

abt

у/а2 + b2

\

а

, —а

(22)

л - b

< O, n > отрезок yn = —.

n а

ничный вектор касательной есть - 1

t = , = (b, —а sin t, а cos t).

хОТй7

Так как r вектор постоянного модуля, то f ^ f, единичный вектор n главной нормали определяется из равенства f = |f"|n . Имеем: f = (0, —аcost, —аsin t), |f"| = а,

n = (0,—cos t,—sin t).

Для получения единичного вектора b бинормали находим: f x f" = (а2, оЪ sint, -оЪ cos t),

I f' x f"I = а^Іа2 + b2 . Значит,

f x f" а

Для циклоиды f = (а(Ь — sin t), а(1 — cos t))

имеем

f' = а((1 - cos t),sin t)= а^т2 — ,sin t),

f" = а (sin t,cos t).

Находим

If' I = 2а sin—,

2

^ 1 f t . t t =—\ cos—,—sin—

21 2 2

t . t n = \ cos—,—sin—

2 2

поэтому

(24)

Таким образом, винтовая линия в сопровождающем репере ВО = (0,1, п, Ь) описывается векторной функцией

Ь 2г аЬг

Вторая компонента вектора гР постоянна, поэтому линия гР плоская, она лежит в плоскости уп = —а, уравнение которой задан в подвижном репере В0 . Плоскость, в которой лежит линия (22), вращается вокруг точки О - начала репера. В соответствии с обозначениями (20), гр (?) = (^, уп, ).

Это плоскость < О, Г, Ь >, параллельная спрямляющей плоскости сопровождающего репера винтовой линии. В плоскости < 0,7, Ь > уравнение линии (22) таково:

гЬ = Ьх, (23)

а

и линия (22) есть прямая, проходящая через начало координат О, угловой коэффициент пря-Ь

мой равен —.

а

Итак, точка Р винтовой линии движется по прямой (23) в плоскости < 0,7,Ь >, плоскость

Вычисляем: x, = at sin—, yn = a I t cos-2 sin — I.

t 2 | 2 2)

В сопровождающем репере BP = (P, 7, n) данная

циклоида имеет вид:

rP = x/ + УпП =

= (a(b - sin t), a(1 - cos t)) .

Функция rP (24) - разложения вектора, задающего циклоиду в сопровождающем репере, совпадает с функцией r , задающей циклоиду в репере B = (O, i, j).

Эллипс задается функцией r =(a cos t, b sin t), a > b . Производные этой функции: r' = (-asint,bcost), r" = (-acost,-bsint) = -rc .

Обозначим: q = |r'| = Va2 sin21 + b2 cos21 . Теперь: 7 = q4 (-a sin t, b cos t), n = q-1 (-b cos t, -a sin t).

Получаем: xt = 2q-1(b2 -a2)sin2t, yn =-q~lab .

Эллипс в сопровождающем репере задается функцией:

11 ^(b2 — а2)sin2tF — оЪп I.

(25)

В сопровождающем репере ВР плоская линия окружность, описывается постоянной функцией гР = (0, - а) ; пространственная, а именно винтовая линия, описывается плоской линией (22); циклоида описывается тем же уравнением, что и в фиксированном неподвижном репере. Описание эллипса сложнее, чем в неподвижном репере.

3.3. Вектор ускорения Кориолиса материальной точки, движущейся по траектории

Г (г)

rP =

В движении материальной точки по траектории (2) рассматривается подвижный репер, связанный с точкой [См.: 7: 30]. При этом обнаружено ускорение Кориолиса движущейся точки. Подвижным репером точки является ее сопровождающий репер.

Теорема 5. Вектор ускорения Кориолиса в движении по регулярной траектории (2) равен

ак = 2(-к1 у',/ + (к1х" - к2 )П + к2 у'пЬ ) . (26)

# Согласно [7: 30-33], вектор ускорения Кориолиса есть

ак = 2( х'/' + у'пп' + г'ьЬ'). (27)

Векторы ?,п", Ь' определяются формулами Фре-не

? = к1п, п' = -к/ + к2Ь , Ь' = -к2п ; кривизна к1 и кручение к2 линии (2) в произвольной параметризации равны

|г' х г"\ г' г"г"'

к1 ГЗэ , к2 = 7- .

r х r

Величины x", y'n, z'b находим, дифференцируя скалярные произведения векторов (21). Подставляя формулы Френе в (27), получаем вектор ускорения Кориолиса (26). #

3.4. Ускорение Кориолиса в движении по некоторым траекториям

Окружность в ее сопровождающем репере описывается функцией

rP = (0, - a), см. п.3.2, компоненты xt,yn постоянны. По (26), ak = о, то есть вектор ускорения Кориолиса в движении по окружности является нулевым.

Для винтовой линии r (t) = (bt, a cos t, a sin t)

имеем

значит,

b2t

abt

\

-a,

л/a2 + b2 -y/a2 + b2

4a

2 + b2

, yn = 0, z'b =

ab

4a

2 + b2

По (26) получаем ak = о .

Вектор ускорения Кориолиса в движении по циклоиде r =(a(b - sin t), a(1 - cos t)) равен

^ t . t ^ ( . t 1 t Л _ ^

—sin—t +I sin—tcos— In

2 2 I 2 2 2

к = -

1

. . t 4a sin — 2

Если t = 0, то ak = at; если t = n, то

^ an , - _

ak =—(-t + n).

В движении по эллиптической траектории:

ak = к

b2 - a2 (( b2 - a2

sin2 2t + 2q2 cos2^

W

t +

+ -

b2 - a2

2

ab sin 2tn

i ab

k=—, q = r . q

_ ^ a(b2 - a2) _

Если t = 0, то ak =------------;------n , если t = n, то

b

(b2 - a2)2 4a3

(1 - b2)t.

Известно, что

1. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005. - 306 с.

2. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - №3. - С.2-11.

3. Позняк Э.Г., Шиеин Е.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

4. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гостехиздат - 1956. - 420 с.

5. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. -М.-Л.: Гостехиздат - 1949. - 512 с.

6. Долгарев И.А., Долгарев И.А. Некоторые приложения галилеевых методов. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2009. - №2(9). - С.39-59.

7. Давидзон М.И. Основы механики. - М.: Гардари-ки, 2004. - 314 с.

a2 + b

-I2 + b2

EUCLIDEAN CURVE IN ACCOMPANYING FRAME

A.I.Dolgarev

We construct an accompanying frame of the Euclidean curve, independent of its parameterization. Kappa-function of a Euclidean vector is used. The relation of kappa-functions of some vectors to the curvature of

ak =

rP =

2

b

b

a

the curve is investigated. We examined the Euclidean curve in its accompanying Frame and found Corio-lis acceleration of a moving material point on any trajectory. Examples are presented.

Key words: accompanying frame, kappa-function of a Euclidean vector, acceleration vector of Coriolis.

Долгарев Артур Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета.

E-mail: delivar@yandex.ru