Эти вездесущие фракталы! Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭТИ ВЕЗДЕСУЩИЕ ФРАКТАЛЫ!

Искусств не надо и наук. В стремлении к подлинному знанью Ты сердце научи, мой друг, Вниманию и пониманью.

Уильям Вордсворт (пер. с англ. И. Меламеда)

Маргарита Ивановна Турбина,

редактор редакционно-издательского отдела Институт а мерзлотоведения им. П.ИМельникова СО РАН.

Какие же они вездесущие, если мы их не видим! - воскликнет удивленный читатель. В том-то и дело, что видим, но не знаем, что это - они, фракталы. Тем не менее мы живем «... с фракт альными артериями неподалеку от фракт альных речных систем, собирающих влагу со склонов фракт альных гор под фракт аль-ными облаками и катящих свои воды к фракт альным берегам морей и океанов. Но, как мольерову мещанину во дворянстве, нам не доставало надлежащей прозы - сущест ви-тельного фрактал и прилагательного фрактальный, которые мы обрели благодаря Бенуа Мандель-броту» [2, стр. 18-19]. Именно он, французский математик и наш современник, сумел взглянуть на окружающие нас предметы несколько иначе: «Почему геомет рию част о называют ''холодной и сухой''? Одна из причин - ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя изобразить с

М. И.Турбина

помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии - прямолинейным... Природа демонст рирует не просто более в ысокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масшт абов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач.

Существование т аких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться изучением тех форм, которые Евклид от ложил в ст орону из-за их ''бесформенности'' - исследо-ват ь, так сказать, морфологию ''аморфного''. Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют т ого, чт о мы видим или ощущаем» [3, стр. 13].

Математики, действительно, иногда развлекались подобным образом. Так, например, немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815-1897) впервые построил «странные» функции, которые хотя и непрерывны, но ни в

На фото вверху - «обдуваемое вет ром» дерево Пифагора [1, стр. 73].

одной точке к ним невозможно провести касательную. Он просто хотел показать своим скептически настроенным коллегам, что такие функции существуют! Реакция ученого мира была неоднозначной. Выдающийся математик Шарль Эрмит писал коллеге Томасу Стилтьесу в 1893 г.: «Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных» [4, стр. 494]. Но другие авторитетные ученые высказывали соображения, что недифференцируемые функции можно применять для решения некоторых научных проблем статистической механики и других физических задач, связанных, в частности, с броуновским движением. В 1906 г. французский физик Ж. Перрен предвосхитил современное отношение к математическим «монстрам» подобного рода, как их называли, предположив, что они являются общим правилом, а гладкие кривые (рис. 1, а) - интересным, но весьма частным случаем [3].

д

b

Рис. 1. Строение гладкой и фрактальной кривых в окрест ности некот орой т очки: a - гладкая кривая имеет касательную прямую (изображена штриховой линией); b - фрактальная кривая имеет в качест ве касательной (изображена штриховой линией) криволинейный конус [4, стр. 498].

В то время это была очень смелая мысль, а теперь мы называем такие кривые недифференцируемых функций просто фракталами (рис. 2) вслед за Б. Мандельбротом, который «... в одиночку спас наиболее хрупкие функции теории множеств и наиболее ''пыльные''1 множества от почти полного забвения, поместив их в самый центр нашего повседневного опыта и предст авлений» [2, стр. 18].

Известный физик-теоретик Я.Б. Зельдович выражает свое отношение к проблеме так: «С т очки зрения современной науки функция без производной вовсе не абст рактное понятие из арсенала коварных вопросов на экзамене по математическому анализу, а т раект о-рия броуновской частицы. Из-за своей изрезанности она должна рассмат риваться как ''т олст ая'' линия, фракт аль2... само описание фракталей очень близко к примеру Вейерштрасса недифференцируемой нигде функции. Оказывает ся, Вейерштрасс, в сущности, владел понятием фракт аля, хотя и не подозревал об

эт ом! В арсенале математики нашелся и аналитический аппарат для описания т аких негладких объект ов» [4, стр. 494-495] (см. рис. 1, Ь).

Рис. 2. Фрактальная кривая, единообразно устроенная в широком диапазоне масштабов [4, стр. 496].

Итак, фрактал... Этот неологизм был введен Б. Мандельбротом в 1975 г., когда у него возникла необходимость дать название своей первой публикации по фракталам. Но это не стало проблемой для ученого: «У римлян была поговорка, согласно которой ''назвать - значит узнать'': Nomen est numen. До т ого, как я принялся за изучение ... множеств, они были не настолько важны, чт обы т ребовать для себя особого термина. Однако по мере т ого, как, благодаря моим усилиям, теряли клыки и покорялись классические чудовища, и поднимали головы новые монст ры, все более очевидной ст ановилась необходимость как-то их всех называть. Вообще, мне ка-жет ся, чт о подходящий неологизм, как правило, удобнее, чем новое значение и без того затертого до дыр термина... я выбирал для создания новых терминов, в основном, малоиспользуемые латинские и греческие корни... Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить! Специальными терминами ст али у меня т акие, например, слова, как "пыль", "творог" и"сыворотка"...

Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответ ствующий глагол frangere переводит ся как ломать, разламывать, т.е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно - и как кстати! - будет предположить, чт о, помимо значения ''фрагментированный''..., слово fractus должно иметь и значение ''неправильный по форме'' - примером сочет ания обоих значений может служить слово фрагмент » [3, стр. 17-18]. «Однако я не стал приводить математическое определение, чувствуя, чт о эт о понятие, как и хорошее вино, т ребу-ет выдержки, прежде чем оно будет ''разлито по бутылкам''. Все фигуры, которые я исследовал и называл фракталами, в моем представлении обладали свойством быть ''нерегулярными, но самоподобными''

' Пыль Кантора. Подробнее см. далее в тексте.

2 В некоторых работ ах использует ся несколько иная транскрипция термина - фракталь. См., например, [5].

(см. рис. 2 - М. Т.). Слово ''подобный''... всегда находит -ся в согласии с удобным и широким толкованием слова ''похожий''» [6, стр. 137].

Для описания самоподобных объектов Мандельброт использовал (1975 г) дробную размерность, введенную Феликсом Хаусдорфом (1868-1942) в 1919 г Познакомившись случайно с представлением о размерности Хаусдорфа, ученый понял, что фактически всегда работал с различными формами более общей концепции того, что он называл «фракт альной размерностью» [6].

Понятие дробной размерности весьма непросто. «Для подавляющего большинства действующих математиков оно... было весьма т уманным, хотя одновременно и классическим - для нескольких работавших с ним (т.е. с Хаусдорфом - М. Т.) ученых. И если бы мне, -вспоминает Б. Мандельброт, - не удалось развить эти знания и инт уицию, кт о знает, может быть и не было бы фракт альнойгеомет рии» [6, стр. 139].

Оригинальные идеи Ф. Хаусдорфа были существенно развиты впоследствии математиком Абрамом Безико-вичем (1891-1970). Он доказал возможность существования дробной размерности. Она стала называться размерностью Хаусдорфа - Безиковича.

В 1977 г. Мандельброт провозгласил существование множеств с дробной размерностью и предложил пробное определение фрактала: «Фракталом называет ся множество, размерность Хаусдорфа - Безиковича кот орого строго больше его т опологической размерности» [7, стр. 19]. Однако оно требует объяснения использованных в нем терминов. В дальнейшем Мандельброт заменил это определение другим: «Фракталом называет ся структ ура, сост оящая из част ей, кот орые в каком-т о смысле подобны целому» [Там же] 3.

Интересно отметить, что термин «фрактал» вводится Мандельбротом как бы фрактально. Он «... задает ''затравку'' - первые (пусть и неверные) определения, а потом запускает механизм их итерации, изменений. И пытается описать то, что при этом получается, какие интерпрет ации при эт ом появляют ся» [8, стр. 3]. Ученый предложил способы отождествления (узнавания) различных математических и природных форм как фрактальных, пользуясь методами компьютерной визуализации, аналогий, применяя метафоры. Расширив таким путем «затравочное» определение, он распространил понятие «фракталы» на различные области знания, что способствовало «... самоорганизации нового понятия» в научном сообществе [Там же]. Оно захватило воображение ученых и стимулировало появление работ, в которых фракталы рассматривались с самых неожиданных позиций.

Как считает известный норвежский физик Енс Федер, строгого и полного определения фрактала до сих пор нет. Первое определение Мандельброта исключает многие существующие фракталы. Второе, хотя и содержит существенный отличительный признак - самоподобие в разных масштабах, - но не дает возможности оценить размер исследуемого объекта, например, величину обла-

ков, если мы не будем использовать какую-то дополнительную информацию. Но данное определение особо и не нужно, поскольку в научной среде уже родилась практика применения этой категории [8]. Современные математики пользуются определением самоподобных множеств, предложенным Дж. Хатчинсоном. Оно считается строгим [9].

Понятие дробной размерности, несомненно, удивит и многих из нас, ведь мы привыкли к топологической целочисленной размерности: линии - 1, плоскости - 2, объема - 3. Но представьте себе, что существуют образования, о которых можно сказать, что они уже не линии, но еще не плоскости, уже не плоскости, но еще не объемы. Трудно вообразить такое? Тогда давайте сотворим нечто подобное. Возьмем, например, лист бумаги (размерность плоскости - 2) и скомкаем его. Что получится? Некое образование - уже не плоскость, но и не вполне объем! Математически доказано, что этот складчатый объект имеет дробную фрактальную размерность (примерно 2,5), которая показывает, как он заполняет трехмерное пространство. Количественную меру подобных неидеальных объектов (извилистого контура, морщинистой поверхности, трещиноватого или пористого объема) предложил, как отмечалось, Феликс Хаусдорф.

Интересен факт, что и само понятие размерности относительно. Б. Мандельброт очень наглядно показал это на примере с мухой, разглядывающей клубок шерсти с разного расстояния. На большом расстоянии она видит точку (топологическая размерность 0), с меньшего расстояния - диск (2). Подлетев еще ближе, муха обнаруживает шар (3). Из-за большого расстояния все неровности кл убка сглаживаются, и размерности топологическая и Хаусдорфа - Безиковича совпадают. С совсем близкого расстояния муха уже различает гладкие нитки клубка, то есть определенным образом сложенные кривые (топологическая размерность 1). А сидя на клубке, она видит пушинки, входящие в нить, то есть ощущает фракталь-ность шерстяной нити. Таким образом, размерность зависит от точки зрения наблюдателя и разрешающей способности его глаз или прибора [10].

Дробная размерность оказалась применимой к множеству объектов, построенных математиками в конце XIX - начале XX вв. Покинув прочную основу традиционной геометрии, они создали удивительный мир фрактальных объектов с необычными названиями: пыль Кантора, кривые Пеано (заполняющие плоскость), снежинка фон Коха, дракон Хартера-Хейтуэя, ковер Серпинского, губка Менгера и др. Эти и подобные им математические монстры порождаются очень важным свойством, характерным практически для всей Природы в разных ее масштабах - самоподобием, или инвариантностью относительно преобразований масштаба.

Идея самоподобия достаточно стара. Еще в XVIII в. существовала теория преформации (предварительного формирования или предобразования организма). Но она не получила развития, так как не выдержала конкуренции со стороны учения об эпигенезе4. Поэтому самоподобные структуры на долгое время исключили из рас-

3 B. Mandelbrot, частное сообщение (1987).

4 Эпигенез - учение, согласно которому в процессе зародышевого развития происходит постепенное и последовательное новообразование частей зародыша из бесст руктурной субстанции оплодотворенного яйца. Эпигенетические предст авления складывались главным образом в 17-18 вв. (У. Гарвей, Ж. Бюффон и особенно К.Ф. Вольф) в борьбе с преформизмом [11, стр. 1566].

смотрения. Но идея самоподобия оказалась живучей! Именно к ней обратился математик Б. Мандельброт и обнаружил возможность построения целого мира самоподобных структур, которые не претерпевают значительных изменений при рассмотрении их, например, через микроскоп с различным увеличением. В среднем эти структуры выглядят сходным образом на разных масштабах, так как состоят из одних и тех же основных элементов, определяющих дробную, или фрактальную, размерность. Именно в этом и заключается связь между самоподобием и дробной размерностью: с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности [12]. И сделать это, оказывается, довольно просто. Оно получается, если повторять некую операцию снова и снова с уменьшающимся масштабом. Такая неоднократно применяемая операция (итерация) может быть геометрической, алгебраической или символической [2].

В качестве примера можно привести кривую, описанную шведским математиком Хельге фон Кохом еще в 1904 г. (рис. 3, а) и носящую его имя [13]. В основе ее лежит построение равносторонних треугольников на средних третях прямолинейных отрезков. Длина кривой при каждом шаге увеличивается в 4/3 раза. Таким образом, после бессчетного количества итераций она оказывается бесконечной. К этой кривой ни в одной точке нельзя провести касательную. Ее фрактальная размерность - 1,26. Применив такое построение к равностороннему треугольнику и представив себя внутри него, можно оказаться как бы на острове, имеющем конечную пло-

Рис. 3. Кривая (а) и снежинка (Ь) Коха, дракон Харт ера-Хейт уэя (с) и алгорит мы их построения [12]; остров Коха, ориентированный внутрь треугольника (б) [1, стр. 29].

щадь и бесконечную, как это ни удивительно, длину побережья! Этот парадокс шокировал математиков. Кривую Коха они характеризовали как «чудовищную», а остров Коха 5 Мандельброт назвал «химерическим» [7].

В реальности, если мы, находясь на каком-либо острове, захотим обойти его по береговой линии, нам не придется, разумеется, брести бесконечно долго. Но протяженность нашего пути будет гораздо больше, чем длина побережья этого острова, измеренная по карте с помощью курвиметра, например. Нам предстоит «почувствовать ногами» всю его изрезанность (заливчики, бухты большие и малые, каньоны, мысочки и др.) и даже обходить, возможно, встретившиеся на пути большие валуны.

Анализ известных способов оценки длины береговой линии приводит к заключению, что длина ее - понятие «... весьма скользкое, и голыми руками его неухватишь. Какой бы мет од измерения мы ни применяли, результ ат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, чт о удобнее всего счит ать ее бесконечной. Следовательно, если кому-нибудь вздумает ся сравнивать различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю неприменимо» [3, стр. 46]. Б. Мандельброт не только констатирует этот факт, но и утверждает, что, например, «... кривая Коха являет ся грубой, но математически ст рогой моделью береговой линии» [Там же, стр. 62].

Многочисленные примеры попыток измерить длину реки, побережья, путь частицы при броуновском движении или оценить размеры других нерегулярных образований показывают необходимость использования для подобных практических задач нетрадиционных методик. В противном случае характеристика объекта становится ненадежной, зыбкой, зависящей, в частности, от размера измерительного инструмента и выбранного масштаба. Именно в такую неопределенную ситуацию попал отличавшийся оригинальностью мышления Льюис Фрай Ричардсон6 (1881-1953), когда попытался уточнить длину береговой линии Британии способом, применяемым для оценки гладких кривых. Она оказалась бесконечной! Сейчас-то мы знаем, что адекватно описать подобную линию можно кривой дробной размерности - фракталом.

В 1961 г. в работе Ричардсона, опубликованной после его смерти, Мандельброт обнаружил формулу, по которой была вычислена длина западного участка Британского побе-реж ья и ис п ано- п о рту гальс кой границы [1]. Заинтересовавшись этим вопросом, он привел свою оценку дробной размерности для некоторых береговых линий: почти единица для сравнительно гладкого южного побе-

Эту фигуру называют еще снежинкой Коха (рис. 3, Ь).

6Л. Ричардсон еще в 1920-х годах размышлял о предсказании погоды. Он изучал турбулентность в жидкостях, вытряхивая целый мешок белых цвет ов в воды канала, и задавался вопросом «Имеет ли ветер скорость?» в одноименной статье 1926г. [14].

режья Африки; 1,3 - для западного побережья Великобритании и рекорд-ная отметка 1,52 - для изрезанного фьордами побережья Норвегии [10].

Вернувшись к рассмотрению фрактальных фигур, мы обнаружим, что изменение алгоритма их образования позволяет получить большое разнообразие объектов. Например, в известном нам случае острова Коха построение внутрь исходного треугольника дает существенно иную картину (рис. 3, а). Применив иной алгоритм, мы увидим дракона Хартера-Хейтуэя (рис. 3, с). Он представляет собой «... своеобразную гирлянду в форме двухсторонней спирали, состоящую из подобных друг другу спиралевидных звеньев, непрерывно уменьшающихся в размерах от центра к периферии» [12, стр. 29].

Одним из наиболее важных источников самоподобия являются канторовы множества, которые Георг Кантор (1845-1918) изобрел только для того, чтобы убедить скептиков в существовании множеств нулевой меры с несчетно бесконечным числом членов. Однако многие математики, в том числе и сам Кантор, в течение некоторого времени сомневались, что такое «безумное» множество точек может существовать. В письме к немецкому математику Дедекинду (1831-1916) ошеломленный своими поразительными находками Кантор восклицает: «Я это вижу, но я в это не верю!» [3, стр. 40].

Чтобы показать парадоксы бесконечности, он ввел фигуру (1883 г.), названную Б. Мандельбротом канторо-вой пылью. «Эт о множество имело нулевую меру (т .е. пущенная наугад ''ст рела''вряд ли ''поразила'' бы какой-либо из его элементов), но в то же время содержало так много чисел, что могло бы с полным правом называться несчетным, как множество всех вещественных чисел между 0 и 1 [2, стр. 220]. Процесс построения классической пыли Кантора весьма прост. Единичный отрезок разбивается на три равные части, затем удаляется средняя часть, находящаяся между точками 1/3 и 2/3 (рис. 4, а). Подобная процедура применяется к каждому из двух оставшихся отрезков и так далее до бесконечности. «... суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так как мы исключили в результате длину, равную 1:

пи пп

Рис. 4. Начальные этапы построения пыли Кант ора (а), салфетки (Ь) и ковра (с) Серпинского.

«Толстые» (закрашенные) участки исчезают при переходе к предельной фрактальной кривой, а полный периметр дыр в объекте становится бесконечным [7].

Кривые Серпинского использовались в качестве моделей ряда систем, носителями которых служат самоподобные фрактальные решетки [Там же].

Пространственный аналог ковра Серпинского называется губкой Менгера (рис. 5). Она создается разбиением исходного куба сначала на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной 1/ 3, и удалением 7 кубиков (в том числе одного центрального). Если такую процедуру продолжить до бесконечности, то получается самоподобный объект с фрактальной размерностью 2,7268 [12]. На рисунке 6 показана форма внутренней области губки Менгера.

12 4 I г . 2 4 ^ 1

- + —н---... = -! + —+ — +...

- 31 3 ^ > 3

I

— = 1-

Следовательно, возникшее множество представляет собой бесконечное число изолированных т очек...» [12, стр. 17]. Его фрактальная размерность - 0,6309.

Оказалось, что канторовы множества могут быть почти идеальными моделями для большого числа явлений реального мира - от гелеобразования, полимеризации и коагуляции в коллоидной физике и химии до нелинейных систем в разделах современного естествознания [2]. Пыль Кантора, например, Мандельброт использовал для моделирования стационарного шума в телефонии [3].

Обобщая множество средних третей на плоские фигуры, получим салфетку и ковер Серпинского (рис. 4, Ь, с), построенные в 1915 г. польским математиком В. Серпинским. Сам термин «ковер» принадлежит Ман-дельброту [15]. Это примеры простых самоподобных фракталов. Этапы их построения понятны по рисунку. Бесконечное число операций порождает фрактальные кривые с размерностью 1,5849 и 1,8928, соответственно.

Рис. 5. Губка Менгера [fractals.nsu.ru].

а

Ь

с

Построение самоподобных фигур оказалось увлекательным занятием. Одним из первых рассмотрел такие объекты Том Леви (1886-1971). Во время второй мировой войны А.Е. Босман (1891-1961) впервые «вырастил» дерево Пифагора (рис. 7), используя для этого обычную чертежную линейку. Рисунок показывает, что квадраты «держат на себе» равнобедренные треугольники, от которых «произрастают» более мелкие квадраты [1]. «Вместе прямоугольный треугольник, два квадрата на его катетах и квадрат на гипотенузе дают геомет рическое пред-ст авление теоремы Пифагора» [Там же, стр. 46].

Особенности фрактальных структур могут показать пути перехода от абстрактных представлений к обнаружению новых явлений Природы или созданию материалов с необычными свойствами. Например, губка Менгера наводит на мысль о возможности построения тела с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности. Сама Природа очень удачно использует фрактальные структуры при сборке своих конструкций. Однако она создает свои творения по «капризу», который сродни случайности как малому возмущению в ее созидательном процессе. Именно это и необходимо учитывать при моделировании природных объектов. «Обдуваемое ветром» дерево Пифагора (см. рис. на стр. 108) образовано внесением случайности при присоединении уменьшенного фрагмента ствола [1]. Выглядит оно более реалистично, чем дерево, построенное Босманом с помощью квадратов и треугольников (см. рис. 7), относимых Галилео Галилеем (1564-1642), в числе других геометрических фигур, к буквам языка, на котором описывается, как он считал, Природа. И только через 350 лет мы вышли за пределы такого представле-

Рис. 7. Дерево Пифагора, построенное А.Е. Босманом [по 1, стр. 45].

ния благодаря Б. Мандельброту, который предложил по-новому рассматривать давно известное, например, различные типы размерностей, парадоксы измерения и другое. Он пишет: «Я намерен показать, чт о за упомянутыми безумными творениями лежат необъятные миры, которых так и не увидели ни их создатели, ни несколько поколений последователей» [3, стр. 17]. И действительно, в вышедшей в 1977 г. книге «Форма, случай и размерность» Б. Мандельброт убеждает нас, что, используя понятие о фрактальных множествах, можно не только объяснить, но в некоторых случаях и предсказать экспериментальные результаты, полученные в разных областях: космология, теория турбулентности, химическая кинетика, физика полимеров, теория протекания, физиология, теория роста городов и др. [5].

(Продолжение следует) Лит ерат ура

1. Морозов А.Д. Введение в теорию фракт алов. 2-е изд., доп. - Москва-Ижевск: Инстит ут компьютерных исследований, 2002. -160 с.

2. Шрёдер М. Фракт алы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 528. с.

3. Мандельброт Б. Фракт альная геомет рия природы / Пер. с англ. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

4. ЗельдовичЯ.Б., СоколовД.Д. Фракт али, подобие, промежуточная асимптотика // УФН. - 1985. - Т. 146, вып. 3. - С. 493-506.

5. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Парадоксы хаоса //Знание - сила. -1993. - № 3. - С. 63-61.

6. Мандельброт Б.Б. Фракт алы и возрождение теории итераций // Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем/Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. - С. 131-140.

7. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. -254 с.

8. Тарасенко В.В. Метафизика фрактала. -http://synergetic.ru/sections/fractai/?r=2&a=3

9. Власова А. Понятие «фракт ал». - http://www.uni-dubna.ru/kafedr/mazny/ponyatie.htm

10. Данилов Ю. С. Фракт альность // Знание - сила. -1993. - № 5. - С. 94-100.

11. Совет ский энциклопедический словарь. - М.: Изд-во «Совет ская энциклопедия», 1981. -1600 с.

12. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракт алы и муль-тифракт алы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичес-каядинамика», 2001. -128 с.

13. Пот апов А.А. Фракт алы в радиофизике и радиолокации. - М.: Логос, 2002. -664 с.

14. Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки / Пер. с англ. - СПб.: Амфора, 2001. - 300 с.

15. Кроновер Р. Фракт алы и хаос в динамических системах / Пер. с англ. - М.: Пост маркет, 2000. - 350 с.

16. Газале М. Гномон. От фараонов до фракт алов / Пер. с англ. - Москва-Ижевск: Инстит ут компьютер-ныхисследований, 2002. -272 с.

Рис. 6. Фрактальная

внутренняя область Губки Менге-ра (третий этап построения) [16, стр. 243].1