CC BY
30Естественные р-логики
Н.Е. ТомовА
abstract. In this paper the notion of p-logic is generalied and the class of natural p-logics and it's functional properties are considered. It is shown that paraconsistent logic P1 and paracomplete logic I1 are funclionally equivalent. In conclusion natural p-logics are presented as a lattice.
Ключевые слова: трехзначные логики, p-логики, естественные p-логики, решетка естественных p-логик, функциональные свойства p-логик
B работе [3] по аналогии с понятием р-алгебры и дважды р-алгебры вводится понятие р-логики и дважды р-логики. P-логика задается связками V, Л, ], дуальная р-логика — связками V, Л, \. V и Л есть обычные max (дизъюнкция) и min (конъюнкция), а ] и \ задаются следющими таблицами:
р ]р \р
1 0 0
1 2 0 1
0 1 1
Логика со связками V, Л, ] и \ есть дважды р-логика.
В данной статье обобщается понятие р-логики и рассматривается класс естественных р-логик, подробно исследуются функциональные свойства этого класса систем.
При определении класса естественных р-логик ключевую роль играет заданный нами в [4] класс естественных импликаций.
Посредством импликации1 следующим образом определим дизъюнкцию:
х V у =щ (х Уг у) ^ у (1 < г < 28).
1 Здесь и далее импликации с указанными номерами см. в [4].
Б pезультате получаем 18 уникальных дизъюнкций. Далее опpеделим двойственную связку — конъюнкцию:
Ж Л* у ~ Ж Уг ~ у) (1 < г < 18).
Таким образом, имеем 18 естественных р-логик (логик со связками {Уг, Лг, ]}, где (1 < г < 18)) и соответственно 18 естественных дуальных р-логик (логик со связками {Уг, Лг, [}, где (1 < г < 18)). Приведем таблицы истинности, соответствующие дизъюнкциям и конъюнкциям естественных р-логик, и перенумеруем их.
1
0
1 0
1
0
1 1 0 0 1 0 000
11
I 0 I 0
1 I 0 0 I 0 000
V3 1 1 0 л3 1 1 0 V4 1 1 0 л4 1 1 0
1 1 2 0 111 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 2 2 и 0 0 0 1 1 2 0 111 10 1 10 0 1 1 2 0 110 0 10 0 0 0
0
1
0
1 0
1
0
11
00 00
110 110 000
1
1
0 2 00
1
10
2 1 0 0 0 0
0
1
0
1 0
1
0
11 11 10
100 000 000
11 11 10
0
2 0
0 0 2 000
1
0
0
1
1
0
00
0
1 2
1 1 2 2
1
0
1
1 1 10
100
0 11
и 2 2
0 0 0
1
1
2
2
0
V
л
V
л
1
1
1
1
1
0
0
0
0
5
5
6
6
V
л
V
л
1
1
1
1
0
0
0
0
7
7
8
8
V
л
V
л
1
1
1
1
0
0
0
0
9
9
10
10
0
0
V
л
V
л
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
I 1 10
100 0 I 0 000
11 01 00
0
11 0 1 2 0 0 0
0
1
0
0
1
0
I 1 01 10
100 010 0 I 0
I 1 01 10
0
10 0 1 2 0 I 0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
I 1 00
110 0 I 0 000
1
1
I 1 00
1
1
0 2 00
11
11
I2
I2
V
л
V
л
1
1
1
1
0
0
0
0
I3
I3
I4
I4
V
л
V
л
1
1
1
1
0
0
0
0
I5
I5
I6
I6
V
л
V
л
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
I7
I7
I8
I8
0
V
л
V
л
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
Обратим внимание на то, что среди естественных р-логик присутствует р-логика со связками V3 и Л3. Заметим, что V3 и Л3 есть обычные max (дизъюнкция) и min (конъюнкция), т.е. V3, Л3, 1 есть р-логика, описанная в [3]. В этой же работе показано, что трехзначя логика Лукасевича Lз есть дважды р-логика, т.е. в нашем обозначении логика со связками V3, Л3, ], \.
Рассмотрим функциональные свойства полученного класса естественных р-логик, а также выясним, какие известные трехзначные логики им соответствуют.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Естественные р-логики со связками V1, Лг, 1 и Vг, Лг, \, где (1 < i < 18 и i = 3), функционально эквивалентны.
Доказательство. Функциональная эквивалентность логик со связками Vг, Лг, 1 и Vг, Лг, \, где (1 < i < 18 и i = 3) следует из соотношений (1)-(3):
(1) i е {1, 4, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
\Р =df 1(Р лгllP), 1р =Щ \(р Уг \\р);
(2) г е {2, 5}
\Р =df 1((р Уг 1р)ЛгЦр), 1р =df \((р лг \р) Уг \\р);
(3) \р =df 1(р V6», 1р =df \(р Л6 \р).
Утверждение доказано.
д.Е.Б.
Таким образом, поскольку логики со связками Уг, Лг, 1 и Уг, Лг, \, где (1 < г < 18 и г = 3), функционально эквивалентны, достаточно будет рассмотреть логики со связками Уг, Лг, 1. Далее, нам понадобится следующее утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Б естественных р-логиках со связками Уг, Лг, 1, где г е {1, 2, 6, 8, 9,10,12,13,14,15,16,18}, выразимо отрицание — .
Доказательство. Б силу ранее доказанного утверждения 1 доказательство утверждения 2 следует из соотношений (1)—(4):
(1) г е {1, 2, 9,15,16}
- р =df \р лг (1р Уг р);
(2) г е {8, 10, 12, 14, 18}
- р =df (р Уг \р)Лг1р;
(3) - р =df (р У61р) Л6 \р;
(4) - р =df 1р Л13 (\р V13 р). Утверждение доказано.
д.Е.Б.
Перейдем к рассмотрению взаимоотношений между естественными р-логиками.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Р-логики со связками Уг, Лг, 1 (г е {4, 5, 7}) попарно функционально эквивалентны.
Доказательство. При доказательстве будем учитывать ранее доказанное утверждение 1.
Сначала покажем эквивалентность логик со связками V5, Л5, ] и V7, Л7,\. Это верно, в силу следующих соотношений:
(1) р V7 д =в/\\р V5 \\д,
р Л7 д =Df (р V5 р) Л5 (д V5 д);
(2) р V5 д =щ \\р V7\\д,
р Л5 д (р V7 р) Л7 (д V7 д).
Далее покажем, что логика со связками V7, Л7, \ функционально эквивалентна логике со связками и V4, Л4, Это справедливо в силу следующих соотношений:
(1) р V7 д =щ \\р V4\\д,
р Л7 д =Df (р V4 р) Л4 (д V4 д);
(2) р V4 д =Df (("\д Л7\\р) V7 \\д) V7 \\р,
р Л4 д =Df ((Ид Л7 \д)Л7\\р) V7 (р Л7 д).
Таким образом, утверждение доказано.
д.Е.Б.
Заметим, что паранепротиворечивая логика Р1 [10] есть логика с исходными связками \ и —7. Оказалось, Р1 можно представить в терминах естественных р-логик.
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Логика Р1 есть р-логика со связками V7, Л7,
Доказательство. Покажем, что логика со связками \ и - 7 функционально эквивалентна логике со связками V7, Л7, \. Это справедливо, поскольку имеют место следующие соотношения:
(1) р V7 д =Df ((р —7 д) —7 д),
р л7 д =Df 1 (Ир —7 д) или р Л7 д =Df \ (1р V7\д);
(2) р Я =df (1 (р V7 р)) V7 (я V7 я).
Утверждение доказано.
д.Е.Б.
Б работе [11] исследуется так называемая трехзначная пара-полная логика I1, дуальная к Р1. Это логика с одним выделенным значением и с исходными связками 1 и ^5. Как и Р1, логика I1 представима в терминах естественных р-логик.
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Логика I1 есть р-логика со связками V5, Л5,1.
Доказательство. Покажем, что логика со связками 1 и ^5 функционально эквивалентна логике со связками V5, Л5,1. Это справедливо, поскольку имеют место следующие соотношения:
(1) р V5 Я =df ((р ^5 Я) ^5 Я),
р л5 Я =df 1(11р ^51д) или р Л5 Я =dfК^5^);
(2) р ^5 д =df (1 (р V5 р)) V5 (д V5 д).
Утверждение доказано.
д.Е.Б.
Таким образом, следствием доказанных утверждений 3-5, является тот факт, что логики Р1 и I1, ранее рассматриваемые в литературе исключительно как дуальные по отношению друг к другу и совершенно различные, с функциональной точки зрения представляют собой одну и ту же логику.
Заметим, что кроме Р1 и I1 появилась некоммутативная функционально эквивалентная им логика со связками V4, Л4,1, которую обозначим посредством Т8.
Б статье [9] указано, что логики Р1 и I1 являются комбинацией двух изоморфов2 классической логики С2, содержащихся в В3, однако, поскольку эти логики функционально эквивалентны, справедливо говорить о том, что логика Р1^1) содержит два изоморфа классической логики С2.
2Адаптиpуя теpминологию Д.А. Бочваpа [1] к языку настоящей pаботы,
под тpехзначным изомоpфом С2 понимается фpагмент тpехзначной логики
по классу тавтологий, совпадающий с С2. Подpобно об изомоpфах см. [2].
Далее, рассмотрим другой класс естественных р-логик. Для удобства обозначим р-логику со связками V8, Л8, \ как логику Т7. Тогда можем указать целый класс р-логик, эквивалентных Т7.
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Р-логика со связками VЛг, \ (г € {1, 2, 6, 10,12,13,18}) функционально эквивалентна логике Т7.
Доказательство. Учитывая ранее доказанное утверждение 2 и определение конъюнкции в р-логике, при доказательстве эквивалентности соответствующих р-логик достаточно показать взаимовыразимость дизъюнкций соответствующих р-логик. При доказательстве также будем учитывать следствие из доказанного утверждения 1, т.е. тот факт, что в р-логиках со связками Vг, Лг, где (1 < г < 18 и г = 3) выразимо отрицание \.
(а) Покажем, что р-логика со связками Vг, Лг, \ (г € {10,12,13, 18}) и логика Т7 функционально эквивалентны. Это имеет место в силу соотношений:
(1) р V10 д =Df р V811 д,
р V8 д =Df ((р V10 \\д^101\д);
(2) р V18 д =Df р V8 ((11 д Л8Цр) V8 \\д), р V8 д =Df (р V18 \\д^18Цд);
(3) р V12 д =Df ((р V8 д) Л8 (1д V18 \\р)) V8 \\д, р V8 д =Df (р V12 д^1211 д;
(4) р V12 д =Df \\д V13 ((д V13 р) Л13 (1д V13 \\р)), р V13 д =Df (д V12 р) V12 (р V12 д).
(б) Далее покажем, что р-логика со связками Vг, Лг, 1 (г € {1, 2, 6}) и логика Т7 функционально эквивалентны. Это имеет место в силу соотношений:
(1) р V1 д =Df (11рЛ21д) V2 (р V2 д), р V2 д =Df (\\р V111q) Л1 (р V1 д);
(2) р V2 Я =Df Я V6 (р V6 я),
р V6 д =Df ((д V2 р) л2 (1д V2 ГГя)) V2 ГГр;
(3) р V8 д =Df р V6 ((Гд Л611р) V6 (1р Л611д)), р V6 д =Df ((р v81g) V8 Гр) л8 (ГГд V8 ГГр).
Очевидно, доказательство утверждения 6 следует из доказанных положений (а) и (б).
д.Е.Б.
Далее,
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Р-логика со связками V, Л'1,1(г € {9,14, 16}) есть трехзначная логика Лукасевича Ь3.
Доказательство.
(а) Сначала покажем, что р-логики со связками V9, Л9,1, V14, Л14,1 и V16, Л16, 1 попарно функционально эквивалентны. Учитывая определение конъюнкции в р-логике и то, что в указанных р-логиках выразимы ~ и Г (утверждения 1,2), доказательство положения (а) следует из соотношений (1)
и (2):
(1) р V9 д =щ (р V16 д) V16 (11 д Л16 Гр), р V16 д =Df д Л9 д) V9 (р V9 д);
(2) р V16 д =Df ((р V14 д) V14 (Цр Л14 Гр)) V14 д,
рv14д =Df ((рv16ГГд)V16(дV16ГГр))л16((ГГял1611р)V16 (1д V16 Гр)).
(б) Докажем, что, например, р-логика со связками V16, Л16,1 есть Ь3.
Это справедливо, с одной стороны, в силу функциональной предполноты Ьз, с другой стороны, в силу того, что посредством связок V14, Л14,1 определима импликация логики Лукасевича (в нашем обозначении ^з)3.
р ^з д =Df ((- р л14 д) V14 (11 д V14 Гр)).
3Для доказательства достаточно опpеделить импликацию Лукасевича,
ч /14 -14 т
поскольку известно, что в логике со связками V , Л , \ вьфазимо отpица-
ние Лукасевича ~ (доказанное pанее утвеpждение 2).
Таким образом, утверждение 7 доказано.
д.Е.Б.
УТВЕРЖДЕНИЕ 8. Р-логики со связками V11, Л11,1 и V17, Л17, 1 функционально эквивалентны.
Доказательство. Доказательство утверждения следует из соотношений:
(1) р V11 д =Df р V17 (д V17 р), р Л11 д =Df д Л17 (р Л17 д);
(2) р V17 д =Df ((р V11 д) Л11 д) V11 р, р Л17 д =Df ((р Л11 д) V11 д) Л11 р.
Утверждение доказано.
д.Е.Б.
Для удобства р-логику со связками V11, Л11,1 обозначим Т5. Р-логику со связками V15, Л15,1 обозначим Т6.
Таким образом, класс естественных р-логик разбивается на пять подклассов: это р-логики, функционально эквивалентные логике Лукасевича Ьз, р-логики, функционально эквивалентные логике Сетте Р1, р-логики, функционально эквивалентные логикам Т5, Т6, Т7 соответственно. Связки конъюнкции и дизъюнкции в Т7 и Т6 являются некоммутативными. Интересно, что для логики Т5 получили два эквивалентных построения с некоммутативными связками (V17, Л17) и коммутативными (V11,
Л11).
Заметим, что таблицы для связок V11, Л11 логики Т5 встречаются в работе [5], где приводится классификация трехзначных логик значения, исходя из свойств соответствующих им универсальных алгебр. Логика со связками V11, Л11 относится к классу слабых исчерпывающих логик значения.
В работе [7] описаны 11 предполных классов логики Бочвара Вз и логика Т6 является одним из них. Заметим, с этой точки зрения, логика Р1 есть класс всех внешних функций. Покажем, что это так.
В работе [8] В.И. Шестаков определяет штрих Шеффера 7 для внешних связок Вз
7 1 1 2 0
1 0 0 0
1 2 0 0 1
0 0 1 1
Это множество связок он обозначает как Б1. Тогда докажем следующее утверждение:
УТВЕРЖДЕНИЕ 9. Логика Р1 есть Б1.
Доказательство. Докажем функциональную эквивалентность Р1 и Б1.
Очевидно, связки Р1 есть внешние связки Б1, т.е. они определимы посредством штриха Шеффера 7.
Далее посредством связок логики Р1 определим штрих Шеф-фера 7. Согласно ранее доказанному утверждению 4, логика Р1 есть логика со связками V7, Л7, Г, также в Р1 выразимо отрицание 1 (доказанное утверждение 1). Тогда определить штрих Шеффера можно следующим образом:
р^д =Df (1р л7 Гд) V7 (Гр Л71д). Утверждение 9 доказано.
д.Е.Б.
Здесь стоит отметить, что класс внешних связок был впервые выделен в 1938 г. Д.А. Бочваром [1]. Как только что указывалось, специально этот класс рассмотрен в [8]. Здесь же представлены нормальные формы для Б1. Далее, в работе В.К. Финна [7] описаны все предполные классы Б1 — семь классов.
При изучении функциональных свойств р-логик относительно логики Р1 справедливо следующее утверждение:
УТВЕРЖДЕНИЕ 10. Р1 функционально вложима в некоторую р-логику со связками V, Л, 1, если р-логика обладает следующими свойствами:
(1) р-логика функционально эквивалентна дважды р-логике (т.е. в р-логике выразимо отрицание \);
(2) связки V, Л являются С-расширяющими, т.е. сохраняются классические значения, когда аргументы принимают значения из множества {0,1}.
Доказательство. Для доказательства утверждения покажем, что посредством связок V, Л, 1 выразимы связки логики Р1. Очевидно, достаточно показать, что выразимы V7, Л7.
р V7 д =Df 11рVl1g,
рл7д =Df ГГрлГГд.
Утверждение 10 доказано. д.Е.Б.
Очевидными следствиями утверждения 10 являются следующие: (1) Р1 С Ьз; (2) Р1 С Т7; (3) Р1 С Т6; (4) Р1 С Т5.
Далее покажем, что логики Т5 и Т6 функционально независимы, т.е. Т5 С Т6 и Т6 С Т5.
Т6 С Т5, так как согласно утверждению 2 в Т6 выразимо отрицание в то время как посредством связок Т5 отрицание ~ определить невозможно4. С другой стороны, как было ранее упомянуто, логика Т6 есть предполный в Вз класс функций. Из построения нормальных форм (/-7-с.д.н.ф.) для логики В3 [6] следует, что, например, дизъюнкция V11 логики Т5 не определима в В3, а значит, ее нельзя определить и с помощью связок Т6. Таким образом, Т5 С Т6.
УТВЕРЖДЕНИЕ 11. Логика Т5 функционально вложима в логику Т7.
Доказательство. Для доказательства достаточно посредством связок V1, Л1,1 определить дизъюнкцию V11. Это можно сделать, например, так:
р V11 д =Df (р V1 д) V1 р. Утверждение 11 доказано. д.Е.Б.
4Свойства V, Л логики Т5 таковы, что (1) они пpинимают значение 2
только в одном случае — пpи значении аpгументов 2; (2) XVх = х и хЛх = х.
Таким обpазом, посpедством связок V, Л, \ опpеделить ~ нельзя.
УТВЕРЖДЕНИЕ 12. Логика Т6 функционально вложима в логику Т7.
Доказательство. Для доказательства достаточно посредством связок V1, Л1,1 определить дизъюнкцию V15. Это можно сделать, например, так:
р V15 д =Df (11р Л11д) V1 д. Утверждение 12 доказано. д.Е.Б.
С другой стороны, свойства связок логики Т7 таковы, что Т7 не вложима ни в Т5, ни в Т6.
Т7 С Т5, так как согласно утверждению 2 в Т7 выразимо отрицание в то время как было ранее указано, посредством связок Т5 отрицание ~ определить невозможно.
Т7 С Т6, поскольку Т6 С В3, и из построения нормальных форм (/-7-с.д.н.ф.) для логики В3 [6] следует, что, например, дизъюнкция V1 логики Т7 не определима в Вз, а значит, ее нельзя определить и с помощью связок Т6.
Далее, в силу функциональной предполноты логики Ьз верно, что Т7 С Ь3. Однако Ьз не вложима в Т7, в противном случае, в Т7 была бы выразима, например, сильная регулярная дизъюнкция V. Возьмем в качестве исходных связок Т7 связки V1, Л1,1.
Имеем: 0 V 1 = 1 V 0 = 2 V 2> = 2. Свойства связок V1, Л1 таковы, что невозможно определить такую связку Vх, чтобы 0 Vх 1 = 2 Vх 0 = 2 или 1 Vх 1 = 2 Vх 1 = 1. Подобные рассуждения дают основания говорить, что Ьз С Т7.
В результате, класс естественных р-логик образует решетку по отношению функционального вложения одной логики в другую, и в качестве элементов решетки выступают трехзначные логики — логика Лукасевича Ьз, логика Сетте Р1, а также новые логики Т5, Т6, Т7:
L з
о
T7
i6 P1
Рис.1. Решетка естественных р-логик Литература
[1] Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функциональого исчисления // Математический сборник. 1938. Т. 4. № 2. С. 287-308.
[2] Девяткин Л.Ю. Многозначные изоморфы классической пропозициональной логики. Дис. ... канд. филос. наук. М., 2008.
[3] Карпенко А.С. Р-логики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. (Материалы X Общероссийской научной конференции, 26-28 июня 2008 г., Санкт-Петербург.) СПб., 2008. C. 278-280.
[4] Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования. Вып. 16. М., 2010. С. 233-258.
[5] Финн Б.К., Аншаков О.М., Григолия Р.Ш., Забежайло М.И. Многозначные логики как фрагменты формализованной семантики // Семиотика и информатика. 1980. Вып. 15. С. 27-60.
[6] Финн Б.К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном мире. Философия и логика. М.: Наука, 1974. C. 398-438.
[7] Финн Б.К. О критерии функциональной полноты для В3 // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974. C. 194199.
[8] Шестаков Б.И. Об одном фрагменте исчисления Д.А. Бочвара // Информационные вопросы семиотики, лингвистики и автоматического перевода. ВИНИТИ. Вып. 1. М., 1971.
[9] Karpenko A.S. A maximal paraconsistent logic: The combination of two three-valued isomorphs of classical propositional logic // Fronties of Paraconsistent Logic. Baldock: Research Studies Press, 2000. P. 181-187.
[10] Sette A.M. On propositional calculus P1 // Mathematica Japonica. 1973. Vol. 18. № 3. P. 173-180.
[11] Sette A.M. and Carnielli W.A. Maximal weakly-intuitionistic logics // Studia Logica. 1995. Vol. 55. P. 181-203.
