Функциональная взаимовыразимость регулярных логик Клини Текст научной статьи по специальности «Математика»

Функциональная взаимовыразимость регулярных логик Клини

Е.Ю. Комендантская

abstract. We consider the family of regular 3-valued logics, two of which were introduced by Kleene under the names "strong" and :4veak" logics, and the two others have recently emerged. These newly emerged "Kleene" logics — Lisp and TwinLisp — are of particular interest. We consider algebraic properties of these two logics and show that there is a partial ordering (D-containment) under which the four Kleene logics form a lattice.

Ключевые слова: трехзначные логики Клини, промежуточные регулярные логики.

1 Вступление

Идея создания многозначных регулярных логик принадлежит С. Клини [4|. Главное их достоинство — простота pi естественность в применении к логической формализации частичпо-ре-курсивпых функций, т.е. функций, чьи значения могут быть тте всюду определены. Регулярность является необходимым условием для того, чтобы пропозициональные связки были частичпо-рекурсивпыми операторами. Очевидная pi прямая связь логик Клрпш с теорргей вычислимых функций является их уникальной чертой. Позднее эта логики были применены pi в программировании [9, 11].

Мы предварим эту статью1 кратким пояснением о том, что Клрпш вкладывал в понятая «логика» pi «регулярность» в данном контексте. В своей знаменитой книге [4] он определил две

'Эта сатья подготовлена по материалам моей дипломной работы «Регулярные Логики Клини» [5, 13J защищенной нэ* кафедре логики МГУ. Я благодарна А.С. Карпенко за научное руководство и В.М. Попову за подробные обсуждения нескольких предварительных версий этой работы.

регулярные логики — «слабую» и «сильную». Его определение этих логик заключалось в описании Pix связок с помот,ыо истинностных таблиц. То есть в данном контексте логика — это набор истинностных функций. Простой взгляд па определения этих функций убедит читателя в том, что при одном выделенном истинностном значении 1 у этих логик пет тавтологий: любая связка дает значение ^ при значении аргументов 2- Поэтому логики Клини так никогда и не получили прямой аксиоматической или секвенциальной формулировки и, в этом смысле, стоят в стороне от многозначных логик Лукасевича, которые могут быть аксиоматизированы, а значит — осмыслены с точки зрения теории доказательств. Такова была цепа естественной вычислительной применимости логик Клини. Рассматривая эти логики, нам не остается ничего иного как разделить с Клини его понимание термина «логика». Заметам, что различные модификации логик Клини (в основном в стиле модальных логик) получили разнообразные аксиоматические и секвенциальные формулировки [10, 12, 15].

Регулярность Клини определяет так. Таблицы для пропозициональных связок нужно выбирать регулярными в следующем смысле: данный столбец (строка) содержит 1 в строке (столбце) для 2 только при условии, что этот столбец (эта строка) состоит целиком из 1; аналогично для 0. Это операциональное определение может быть проанализировано в общепринятых теоретических терминах монотонности и нормальности.

Многозначная истинностная функция является нормальной, если таблица истинности для этой функции полностью совпадает па классических истинностных значениях 1,0 с распределением значений в классической логике. Функция F является монотонной, если для всякой пары значений ob, таких, что a < Ъ, соблюдается неравенство F(a) < F(Ъ).

Условимся, вслед за Клини, считать, что трехзначные функции рассматриваемых логик должны принимать пеклассическое значение 2 как минимум на одном из распределений значений. То есть мы не рассматриваем связки, содержащие в качестве значений только классические значения 1 или 0. В этом случае регулярность трехзначной логики Клини равнозначна нормальности и монотонности логики на порядке ^ < 0 ^ < 1, где 0 и

1 несравнимы. Такие свойства легко объяснимы в терминах рекурсивных функций: главное значение имеет то, остановилось ли вычисление значения рекурсивного предиката, и тогда при остановке мы получим 1 или 0 — что именно, это не важно с вычислительной точки зрения. Важность будет иметь тот факт, если вычисление не остановится и значение будет не определено.

Помимо сильной рт слабой регулярных логик Клрпш, существуют еще две промежуточные трехзначные регулярные логики. Таблицы для конъюнкции и дизъюнкции одной pi3 iipix были предложены Фиттингом [8], он назвал ее Lisp. В параграфе 2 мы определим эту логику и введем еще одну, новую, промежуточную логику TwinLisp. Мы доказали в [5], что эти четыре логи-kpi — единственно возможные трехзначные регулярные логики Клрпш. В параграфе 3 мы рассмотрим Pix свойства в сравнении друг с другом.

Значительная часть интереса к логрткам хулртттрт вызвана, тте только свойствами каждой из них, по и тем, как этрт логики соотносятся друг с другом (см. [5, 11J). В параграфе 4 мы обсудим, какие взаимоотношения могут быть установлены между прортз-вольнымр! многозначными логиками. С самого начала высказывалось несколько предположений о взамосвязрт логик Клрпш. Так, Клрпш предположил, что его сильная логика является самым сильным регулярным расширением классической логики. Фиттипг предположил, что любая промежуточная регулярная логика будет иметь средние значения между сильной и слабой логиками Клрпш.

В параграфе 5 мы однозначно ответам па вопрос о том, какого рода включение возможно между этими логиками. Мы покажем, что семейство трехзначных регулярных логик Клрпш образует рептетку по отношению D-вклточетшя, т. е. по отношению функциональной выразимости связок. Также мы формально докажем, что сильная логика Клрпш является супремумом, а слабая логика Клрпш — ипфипумом в этой рептетке; а две логи-

Lisp TwinLisp между iiPiMPi в строго определенном смысле.

2 Регулярные Логики Клини

Все регулярные логики Клитти разделяют одно классическое свойство, а именно: в каждой из них множества связок {—, V} (равно как и {—, Л}) являются функционально полными. То есть связки Л, = выражаются посредством {—, V} с помощью классических определений:

Р Л Я = —(—Р V —Я);

Р Э Я = —Р V О;

Р = Я = (Р э Я) Л (Я Э Р).

Поэтому мы не будем следовать традиции и определять все о связок. Вместо этого ограничимся тремя: —, V, Л, взяв третью Л

Сильная логика Клини К3 [4] была предложена первой:

р ~ р

1 0

1 1

2 2

0 1

V 1 2 о

1 1 2 0 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 о

Л 1 1 2 0

1 1 1 2 0

1 2 1 2 1 2 0

0 0 0 0

Другой пример регулярных трехзначных таблиц — это так называемые слабые связки Клини—Бочвара [1, 4], которые определяют логику К^. Они получаются путем заполнения символом 2 всех столбцов и строк, где хотя бы один раз встречается

символ ±.

р ~ р

1 0

1 1

2 2

0 1

и 1 2 о

1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 о

п 1 2 о

1 1 2 0 1 2 о 1 1 1 2 2 2 0 2 о

В логике Ызр [8] (Кр) оценка сложного выражения ведется по простым выражениям, входящим в пего. Например, мы оцениваем выражение Р Лр Я слева направо, так что предложение РР

то работа по приписыванию значений останавливается и всему выражению Р Лр Я приписывается значение «ложь». Если

Р имеет значение «истина», то далее проводится приписывание значений Я, и значение Я становится значением всего выражения Р Я. Это ассиметричная или позиционная логика. Например, если Р ложно, а Я не определено (2), то выражение Р Я будет ложным, а Я Ар Р примет значение 2-

Связки логики Ыбр, условимся обозначать ее Кр, могут быть представлены следующим образом.

p ~ p

1 0

1 1

2 2

0 1

V^ i 2 о

1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 i 2 о

A^ i 2 о

1 1 2 0 1 2 о i i i 2 2 2 0 0 0

Следующую промежуточную логику мы назовем «двойник Lisp», или TwinLisp (Kij~): истинностные функции этих двух логик взаимовыразимы. Несмотря па это, Pix рептеточттые свойства различны.

p ~ p

1 0

1 1

2 2

0 1

V i 2 о

1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 2 i 2 о

A i 2 о

1 1 2 0 1 2 о ± 1 0 2 2 u 0 2 о

Итак, мы определили 4 регулярные логики Клитти. Две из них были ОПрвДвЛвНЫ хл-ЛИНИ, ОДНЕ1 (Lisp) — Фиттингом, и одна впервые вводится в данной статье, см. также [о]. Мы показали в [о], что все эта логики нормальны, монотонны па порядке

2 — 0 2 — 1' и РегУляРны- Более того, мы показали, что эти четыре логики — единственно возможттпые нормальные монотонные трехзначные логики па заданном порядке истинностных значений.

3 Решеточные свойства регулярных трехзначных логик

Рассмотрим рептеточттые свойства четырех представленных логик.

Итак, логики K3, KW, K^, Kij" идемпотентны:

(a) x V x = x

(Ь) X А X = X

Кз, Кд — коммутативны, но К^ и К^ не коммутативны, т.е. не выполняются соотношения:

(a) X V у = у V X

Так, например, для К^, если X = а у = 1, то X у примет значение 1, а у X примет значение

(b) X А у = у А X

Так, если X = 0 а у = то значение X А~у будет равно О, а у А^ X — 2-

Далее, в Кз, Кд, К^, К^ имеют место законы ассоциативности и дистрибутивности, в Кз, К^, К^ проходит закон поглощения, в Кз и К^ проходит закон Клини. Отметим, что в К^ законы поглощения, а в К^ закон Клини выполняются только при условии, что переставлены местами дизъюнктивные и конъюнктивные члены.

Ассоциативность:

a) X V (у V г) = (X V у) V г

b) X А (у А г) = (X А у) А г

Поглощение в Кз, Кд, К^:

a) X V (X А у) = X

b) X А (X V у) = X Поглощение в К^:

a) (у X) X = X

b) (у X) А^ X = X

Не претерпевают изменения законы дистрибутивности:

(а) X V (у А г) = (X V у) А (X V г)

(Ь) X А (у V г) = (X А у) V (X А г)

Во всех перечисленных логиках сохраняется истинность законов де Моргана, так как для одноместного оператора — (инволюция) выполняются тождества:

— — X = X

— (X V у) =— X А — у

— (X А у) =— X V — у.

А также имеет место закон Клитти:

(К) (X А — X) V (у V — у) = у V — у,

в К^ при условии, что дизъюнктивные члены переставлены местами:

(К') (у А^ - у) ^ (X ^ - X) = у - у.

Таким образом, Ызр и Т-тпЫвр являются некоммутативными алгебрами Клини.

К3

виям алгебры Клитти, в ттей имеют место все вышеперечисленные законы. В слабой логике Клини Кд не имеют места законы поглощения и закон Клини, соответственно Кд является квазирешеткой. В К^, в отличие от Кд, проходят законы поглощения и закон Клитти (в ттих переставлены местами дизъюнктивные члены), но не проходит коммутативность. В К^ имеют место К3

поглощение и закон Клитти без каких-либо изменений.

4 Взаимоотношения

регулярных трехзначных логик

В этом параграфе мы рассмотрим возможные отношения включения тта мттожествах многозначных логик. Мы обоснуем, почему именно Б-включение было выбрано нами для анализа логик Клитти, более того, мы объясним, почему этот род включения наиболее оптимален в данном котттексте.

Одна многозначная логика может содержаться в другой в нескольких разных смыслах [11].

Множество тавтологий логики X может содержать множество тавтологий логики У. В таком случае говорят, что

X Т-содержит Y. Например, большинство многозначных логик Т-содержится в классической.

XY

Y

X

X

Y

Y

XY

ва исключение (suppression)). Например, четырехзначная логика K4 S-содержит K3, а регулярные логики Клини S-содержат классртческуго, в cpi.ttv своей нормальности.

XY

X

Y

ряя в ходе этого процесса какие-либо истинностные зпа-

Y

XY

(identification)).

Существуют алгебраические эквиваленты для некоторых типов включения. Так, X S-содержит Y, если Y является X X Y Y

X

4. D-вклточеттие имеет место, когда все связки одной логики могут быть выражены через связки другой. То есть включение одной логики в другую происходит посредством определения (definition) связок одной через связки другой.

K3

L3 L3 K3

Можно доказать следующие соотношения:

(1) S-вклточепие влечет Т-включение, по не наоборот.

(2) I-вклточетше в общем случае не влечет Т-включения, pi па-оборот.

(3) S-вклгочепие тте влечет 1-вклгочепия, и, обратно, 1-вклточеттие тте влечет S-вклточеттия.

Перейдем теперь к рассмотретппо отношений между регулярными трехзначными логиками.

Итак, были рассмотрены регулярные трехзначные логики K3, KW, K^, K^. Таблицы истинности этих логик таковы, что не может идти речи об S- или 1-вклточении. Однако очевидно, что мы с легкостью находим Т- и D-вклгочепия между регулярными трехзначными логиками.

Обсудим сначала отношение Т-вклточения. Что касается тавтологий, то тпт одна из перечисленных логик не имеет тавтологий при одном выделенном значении. Таким образом, их взаимное Т-вклгочеттие тривиально.

Рассмотрим отношение D-вклгочепия. Как было определено ранее, отношение D-вклгочепия имеет место, если связки одной системы представимы через связки другой. Мы посвятим дальнейшее рассмотрение установлению взаимоотношений D-вклгочеттия между регулярттыми логиками Клитти.

5 D-включение регулярных логик Клини

Одним из первых проблемой перевода связок одной системы в другую заинтересовался В.М.Шестаков [7], его результаты касались определения функционально полных систем связок для трехзначных логик, а также их взамовыразимости. Как известно, вслед за переводами Шестакова появился перевод слабых связок Клитти-Бочвара посредством сильных связок Клитти, осуществленный В. К. Финном [6]:

p П q = (p Л q) V (pA ~ p) V (qA ~ q).

Также было показатто, что хотя слабые связки и выразимы через сильные, тто обратное соотношение тте имеет места. То есть было показано, что между K3 и K^ существует отношение D-

K3

KW, K^, Kij" существует отношение D-включения, и, таким образом, докажем высказанное Фиттиттгом предположение о том, что все регулярные связки, отличные от K3, KW, являются про-

K3 K3W

ТЕОРЕМА 1. Логика Lisp является промежуточной между сильной и слабой логиками Клини, т.е. KW D -включается в K^, a Kr D-включается в K3.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно осу-

Lisp Lisp

Определепия могут быть осуществлены следующим образом:

p П q = (p Ar q) Vr (q Ar p)

p U q = (p Vr q) Ar (q Vr p) p Vr q = p A q) V p p Ar q = p V q) A p.

Итак, Kr может быть выражен а через K3, a KW — через

Kr-

Обратное же не имеет места, иначе можно было бы доказать, что K3 эквивалентна Kr, и KW эквивалентна Kr, а, значит, и то, что K3 эквивалентна KW, что неверно. Q.E.D.

ТЕОРЕМА 2. Логика TwinLisp является промежуточной между сильной и слабой логиками Клини. То есть KW D -включается в Kr, и Kr D-включает ся в K3.

Доказательство. Для доказательства осуществим определения более слабых связок через более сильные pi докажем, что противоположные переводы не могут быть осуществлены.

p П q = (p Ar q) Vr (q Ar p)

p U q = (p Vr q) Ar (q Vr p)

p Vr q = (p A ~ q) V q

p Ar q = (p V ~ q) A q.

Факт, что обратные определения невозможны, доказывается от противного. Если бы K3 можно было выразить через Kr, a Kr через KW, то K3 была бы эквивалентна Kr, и KW эквивалентна Kr, а, значи т, K3 была бы эквивал ентна KW, что неверно. Q.E.D.

Таким образом, Ызр и Т'тЫвр являются промежуточными логиками между сильной и слабой логиками Клитти по отношению Б-включения. Нам осталось показать взаимоотношения этих двух промежуточных логик.

ТЕОРЕМА 3. Логики Ызр и Т'тЫвр функционально эквивалентны. То есть КГ Б-включается в КГ, и К^" Б-включается

е кг.

Доказательство.

Взаимосвязь рассмотренных логик можно иллюстрировать так:

Итак, имеется четырехэлемептпое множество, элементами которого являются рассмотренные трехзначные логики, и для доказательства существования между этими логиками решеточного порядка необходимо доказать существование супремума и иттфипума для любых двух элементов данного множества. Между логиками Кз, К», Кр, К Г было обнаружено отношение порядка по отношению выразимости одного множества связок через другое. Это отношение действительно является отношением порядка, поскольку оно рефлексивно, антисимметрично и траттзитивпо. Обозначим отношение Б-включения как Ис-

Кз

а К» — инфинумом. Итак, для всех рассмотренных логик Кз и

К» „

з являются верхней и нижнеи гранями соответсвенно: легко

проверить, что (УХ(X Кз)) и ( УХ (К» Св X)). Посколь-

К3

рVГд=др рд=дVГр

Аналогично для конъюнкций.

Кз

наименьшая верхняя грань, а К3 — наибольшая нижняя грань устанавливается тривиальным образом. Итак, доказано, что логики Клини образуют рептетку.

Заметам, что простое теоретико-множественное объединение и пересечение множеств связок промежуточных логик позволяет нам упорядочить регулярные логики Клини таким образом: К^ и Кр Кз, а Кр П Кр К3. Однако неверно, что Кр У Кр =п Кз, а Кр Р| Кр =п К3. Покажем это.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Через множество связок, полученное путем объединения множества связок логики Кр с множеством связок логики Кр, невозможно получить сильные связки ло-Кз

Доказательство. Допустим, что существует формула, ттред-

Кз

рез связки Кр и Кр. Но, поскольку логики Кр и Кр взаи-мовыразимы, то искомая формула может быть преобразована в формулу, содержащую только связки Кр или Кр. И, таким образом, мы получили бы формулу, с помощью которой мы могли бы доказать эквивалентность системы связок Кр(или Кр) Кз

Утверждение доказано. д.Е.О.

УТВЕРЖДЕНИЕ о. Через множество связок, полученное путем пересечения множества связок логики Кр с множеством связок логики Кр, невозможно получить слабые связки логики Клини К3.

Доказательство. Пересечение множеств связок логик Кр и Кр дает следующее множество связок: {=, Нужно отметить, что эквивалентность в логиках Кз, К3, Кр, Кр определяется с помощью таблиц истинности абсолютно одинаково. То есть искомый перевод Кр П Кр К3 должен был бы заключаться в определении всех связок К3 через {=, Но множество {=, не является полной системой связок даже для классической логики, т. е. любая возможная формула выразимости Л, V или Э через {=, будет проваливаться как минимум па классических значениях. Утверждение доказано. д.Е.О.

6 Заключение

Таким образом, были рассмотрены все возможные регулярные трехзначные логики, их решеточные свойства, в том числе было K3

алгебры Клини, KW — квазирешетку, a Kr и Kr — некоммутативные алгебры Клини. Кроме того, было показано, что множество всех трехзначных регулярных логик образует рептетку

K3

a KW инфинумом. Литература

[1] Бочвар Д. А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. Т. 1. № 2. С. 287-308.

[2] Бочвар Д. А. К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного исчисления // Математический сборник. 1911. Т. 12. № 3. С. 353-359.

[3] Карпенко А. С. Многозначные логики (монография). Логика и компьютер. Вып. 1. М.: ТТаука, 1997.

[I] Клини С. К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.

[5] Лукьяновская (Комендантская,) Е. Ю. Дипломная работа «Регулярные логики Клини». Кафедра логики философского ф-та МГУ, 2003.

[6] Финн Б. К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр// Философия в современном мире: Философия и логика. М., 1971. С. 398-138.

[7] Шсстакив Б. И. О взаимоотношениях некоторых трехзначных логических исчислений//Успехи математических наук. 1961.Т. 19. Вып. 2. № 116. С. 177-181.

[8] Fitting М. Kleene's Three Valued Logics and Their Children // Fundamenta informaticae. 1992. Vol. 20. P. 113-131.

[9] Fitting M. A Kripke-Kleene semantics for logic programs // Journal of Logic Programming. 1985. Vol. 2. P. 295-213.

[10] Fitting M. Tableaux for many-valued modal logics // Studia Logica. 1995. Vol. 55. № 1. P. 63-87.

[II] ffitzler P. and Seda A. Characterizations of Classes of Programs by Three-Valued Operators // Proc. LPNMR'99, LNAT. Vol. 1730. P. 357-371.

[12] Kripke S. A. Outline of a theory of truth // Journal of Philosophical Logic. 1975. Vol. 72. P. 690-716.

[13] Luk.yanovsk.aya E. Kleene Regular Intermediate Three-Valued Logics // Proceedings of Smirnov Readings, 1th Interantional Conference. TPhRAS, 2003. P. 80-82.

[11] Rescher N. Many-valued logics. N.Y., 1969. P. 55-62, 71-76.

[15] Turner R. Truth and modality for knowledge representation. London, 1990.