CC BY
4
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 5.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-57-71
Энтропия для некоторых моноидов натуральных чисел1
Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный университет; Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: nikolai. dobrovolsky@gmail. com
Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru
Аннотация
В абстрактной теории чисел и её приложениях к статистической физике важную роль играет понятие энтропии. Так как энтропия равна логарифму функции распределения, то изучение поведения энтропии моноида равносильно решению обратной задачи для этого моноида.
В работе рассмотрены вопросы об асимптотики энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией.
Во-первых, задача решена для двух моноидов типа геометрическая прогрессия.
Во-вторых, полученные результаты относительно энтропии для моноидов с произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа ц па основании полученного ранее авторами решения обратной задачи для моноидов этого типа.
Наконец, для произвольного основного моноида М(Р(д)) типа ц па основании решения обратной задачи, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида М(Р(д)), исходя го асимптотики распределения псевдопростых чисел Р(д) типа ц, получены оценки для энтропии.
Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида М(Р(д)) типа д и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама.
Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Введено новое понятие С логарифмической 0-степенпой плотности.
Показано, что любой моноид М(Р(д)) для последовательности псевдопростых чисел Р(д) тип а ц имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного основного моноида М (Р(д)) тип а
Показано, что если С логарифмическая 0-степепная плотность для основного моноида М (Р(д)) тип а д существует, то в = 2 и для константы С справедливы неравенства
3 1п q ^ ^ ^ ^ д/ 3 1п д *
Для основных моноидов М(Р(д)) типа ц остается открытым вопрос о существовании С логарифмической ^-степенной плотности и величине константы С.
Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение, экспоненциальная последовательность простых,
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ № 22-21-00544
основной моноид М(P(q)) типа q, С логарифмическая 0-степенная плотность, энтропия моноида натуральных чисел, энтропия моноида натуральных чисел с весовой функцией.
Библиография: 34 названий. Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Энтропия для некоторых моноидов натуральных чисел // Чебышевский сборник, 2022, Т. 23, вып. 5, С. 57-71.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 5.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-57-71
Entropy for some monoids of natural numbers2
N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State University; Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: nikolai. dobrovolsky@gmail. com
Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru
Abstract
In abstract number theory and its applications to statistical physics, the concept of entropy-plays an important role. Since entropy is equal to the logarithm of the distribution function, studying the entropy behavior of a monoid is equivalent to solving the inverse problem for this monoid.
The paper considers questions about the asymptotics of entropy for some monoids of natural numbers and monoids of natural numbers with a weight function.
First, the problem is solved for two monoids of the geometric progression type.
Secondly, the results obtained with respect to entropy for monoids with an arbitrary-exponential sequence of primes of type q are based on the solution of the inverse problem for monoids of this type obtained earlier by the authors.
To solve this problem, we consider two homomorphisms of the main monoid M(P(q)) of type q and the distribution problem reduces to the additive Ingham problem.
It is shown that the concept of power density- does not work for this class of monoids. A new concept of C logarithmic 0-power density is introduced.
It is shown that any monoid M(P(q)) for a sequence of pseudo-simple numbers P(q) of type q has upper and lower bounds for the element distribution function of the main basic monoid M(P(q)) of type q.
It is shown that if C is a logarithmic 0-power density for the main monoid M (P(q)) of the type q exists, then 8 = 2 and for the constant C the inequalities are valid < C < •
The results obtained are similar to those previously- obtained by the authors when solving the inverse problem for monoids generated by an arbitrary- exponential sequence of primes of type q.
2 Acknowledgments: This work was prepared under a grant from the RSF № 22-21-00544.
For basic monoids M(P(q)) of the type q, the question remains open about the existence of a C logarithmic ^-power density and the value of the constant C.
Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of the monoid of natural numbers, Euler product, exponential sequence of primes, the basic monoid M(P(q)) of type q, C logarithmic 0-power density, entropy monoid of natural numbers, entropy monoid of natural numbers with a weight function.
Bibliography: 34 titles. For citation:
N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "Entropy for some monoids of natural numbers", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 57-71.
1. Введение
Рассмотрим частный случай арифметической полугруппы из работы [28]. Будем называть арифметической полугруппой прямую сумму С = фZ+ счетного числа экземпляров полугруппы Z+ = {0,1, 2, * * *} неотрицательных целых чисел вместе с гомоморфизмом д : С —> N в мультипликативный моноид N натуральных чисел таким, что число
(я) = е О : д(д) < (1)
элементов д е С, для которых д(д) не превосходит х, конечно для любого х е N. Будем обозначать ^'-ю компоненту элемента д е С через ду Таким образом, д = ^°=1 д^где 'Р(з) = (0, 0, * * *, 1, 0, * * *) (в позиции стоит единица, а остальные компоненты равны нулю), ] = 1, 2, * * * — образующие полугруппы С. Как отмечается в работе [28], фактически сумма конечна, так как у любого д е С лишь конечное число ненулевых компонент.
Гомоморфизм д арифметической полугруппы С в мультипликативный моноид N имеет
вид
те
%) = Пх?, где =9Ш > 1, хз (2)
3=1
Ясно, что образ М = д(О) является моноидом натуральных чисел.
В работе [15] начато систематическое изучение дзета-функций моноидов натуральных чисел и законов распределения простых элементов в этих моноидах.
Если, следуя за Б. М. Бредихиным, рассмотреть дзета-функцию гомоморфизма д арифметической полугруппы С:
с(^и = Е шг = Е ^,
деС \ теМ
где весовая функция к(т) — число прообразов д в арифметической полугруппе С у натурального числа т е М, то мы приходим к новому понятию — дзета-функция моноида с весовой функцией. Такая конструкция встречалась ранее в работе [15], когда раскладывалось в ряд Дирихле произведение Эйлера моноида М без однозначного разложения на простые элементы. Нетрудно видеть, что можно задать сюръективный гомоморфизм арифметической полугруппы С на N с неединичной весовой функцией. Например, д(£>(23-1)) = д(р(23)) = Р^ Рз — ^'-ое простое число (] = 1, 2, * * *). Если V(т) — количество всех простых делителей в разложении числа т на простые делители, то к(т) = 2У (™) в этом случае. Аналогичные примеры можно построить для любого моноида М натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы.
Отметим ещё одно важное обстоятельство, как будет видно из дальнейшего, образы абстрактных простых чисел из С не обязаны быть простыми элементами в моноиде М = д(С).
В работе [28] рассматривается важная для статистической физики характеристика энтропии &(х) = 1п А^-^(х) и изучается её асимптотика.
Обобщая эту ситуацию, можно для любого моноида М натуральных чисел рассмотреть функцию им (х) = ^т^м т<х 1 распределения элементов моноида М и функцию энтропии &м (х) = 1п им (х). Чтобы различать энтропию арифметической полугруппы С с гомоморфизмом 9, мы будем писать &м,д(х) = 1п9(х), где М = д(С).
Цель данной работы — рассмотреть вопрос об асимптотики энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией.
2. Моноид типа геометрическая прогрессия с весовой функцией
Пусть д ^ 2 — натуральное число и М\(д) = {1, д,д2,..., ср,...} — мультипликативный моноид, геометрическая прогрессия со знаменателем д, и М2(о) = {1, О2, Ц4, Ц6 ...} — мульти-пликативныи моноид, геометрическая прогрессия со знаменателем д2.
Обозначим через р\(п) количество решений в неотрицательных целых числах х\, Х2, • • •, хг, .. .диофантова уравнения
п = 1 ■ Х\ +2 ■ х2 + ... + г ■ хг + ...,
а через Р2(п) количество решений диофантова уравнения
п = 2(1 ■ х\ + ... + г ■ хг + ...).
Ясно, что р2(2п) = рг(п) и р2(2п + 1) = 0. Положим
РЛХ) = ^2 'Р\(п), Р2(Х) = ^2 Р2(п).
п<х п<х
Очевидно, что
Р2(х)= £ Р!(п) = Рг[|) .
2п<х
В первом случае гомоморфизм д\ арифметической полугруппы С в мультипликативный моноид N имеет вид
те
дг(д) = П ^93, гДе ^ = дг(р{з)) ^ 1, \3 (3)
3 = 1
и хотя бы одно = 1, а во втором случае гомоморфизм &2 арифметической полу группы С в мультипликативный моноид N имеет вид
те
д2(д) = П Я2Х]91, где д2Хз = д2(ри)) > 1, \3 (4)
з=г
и хотя бы одно = 1.
Нетрудно видеть, что функция распределения А^-(х) для гомоморфизма д арифметической полугруппы С в мультипликативный моноид N заданного соотношениями (3), выражается через число решений в целых неотрицательных числах д\, д2, ■ ■ .неравенства
те ,
£ а, а < ^ ■ И
3 = 1
Рассмотрим простейший естественный случай, когда А^ = ] (] = 1, 2,...). В этом случае мы приходим к задаче Харди-Рамунаджана (см. [29], стр. 164).
Пусть п — натуральное число. Обозначим через р(п) количество решений в неотрицательных числах х\, Х2,- ■ •, хг, • • .диофантова уравнения
п = 1 ■ х1 + 2 ■ х2 + ... + г ■ хг +____
Теорема 1. При п ^ ж имеет, место асимптотическая формула
Пл/ 2П I - „ I 1
Ясно, что для нашего случая имеем равенство
ln X ln q
(х) = £ p(n).
n=1
Нам потребуется следующая аддитивная теорема Ингама (см. [29], стр. 180), которую мы приведём в сокращённой форме.
Теорема 2. Пусть 0 < Л1 < Л2 < ... — данная последовательность вещественных чисел, причём
N('и) = ВиР + R(u), В> 0, д> 0, где N(u) — количество чисел Л„, не превосходящих и, и
и
J = blnu + с + о(1)
0
при и ^ ж. Для вещественного I пусть будет р(1) — количество решений уравнения
I = Г1Л1 + Г2Л2 + ...
в целых rv ^ 0.
u
Р (и) = Y, V(l),
1<и
где суммирование ведется по дискретному множеству чисел I, для которых р(1) = 0. Тогда, при и ^ ж
1
^2 Рсм-(2К,(Ь+1 )(1-«)-Ь £ (Ми)а
Р(u) ~ V^Ty ef'M- 2 и 2)( )-2еi
где
д i а = д^ду, M = (ВдГ(д + 1)С(д + 1))1.
Теорема 3. При х ^ ж справедливы соотношения
1 , ^ (х)--1 е^Ш, ^ М(х)= Г 1пх
р1(х) ~ о /к— ' ПТ~
2irV 2х ' 1 2irJ 2
+ 1,
1п
SMi(q),di(х) = 1n Nl^(х) - 1n21 - , &м1(ч)(х) ~ 1п1Пх'
Доказательство. Положим = и (и = 1,2,...), тогда N (и) = [и], Щи) = [и] -и, В = р = 1,а = \,М = ((2) = ^ и (см. [29], стр. 181)
[ ^^¿у = - 11пи - 11п2тт + о(1).
,] V 2 2
0
Таким образом, Ь = - с = - 2 1п2и. Поэтому по аддитивной теореме Ингама получим
Т>(\ {1\ 2 -^ -1 *(2 1 -У!
Р\ (х) = Р(х) - I — ) е 2 х 2 е V 6 ) = -——е V !
2тгл/2х
Отсюда следует, что
^ А(х)(х) = Рг(
, , ц , . , . 21пх 1 1пх
(х) = 1п^ (х)(х) - ^-— - \п2к - - Ы2—.
_ , . , . гц , . , . 21пх 1 , 1пх
&М1(д),д1 (х) = 1п (х)(х) - Ы2Ж - 2
Утверждения для функции распределения и для энтропии моноида М\ (д) очевидны. □ Теорема 4. При х ^ ж справедливы соотношения
Р2(х) - ^е^, (х) е-^, иМ2ф) = Г 1пх
21Гл/х ' 2 2тг ы х
V 1п д
2 1п
+ 1,
ц 1 1п х 1 1п х 1п х
&М2 (д),д2 (х) =1п (х) 3— - \п2Ж - , &М2 (д)(х) = 1п»М2 (д)(х) - 1п .
Доказательство. В силу предыдущей теоремы имеем:
р2(х)=р1 а) - ^ ,
ММ = р1 (^) - ^,
V 1п Ч
&М2 (д),д2 (х) =1п (х)(х) -Ъ^Пх - 1п2ъ - ^1п1Пх.
Утверждения для функции распределения и для энтропии моноида М2 (д) очевидны. □
3. Моноид с экспоненциальной последовательностью
В работе [15] дано следующее определение экспоненциальной последовательности простых чисел.
Определение 1. Пусть д^ 2 произвольное натуральное число, тогда бесконечная последовательность простых чисел р\ < р2 <■ • • < рп <■ ■ ■ называется экспоненциальной типа д, если выполняются соотношения д ^ р\ < д2, ди < ри < д"+1 ( V ^ 2).
и
В силу постулата Бертрана, доказанного П. Л. Чебышёвым (см. [32]), для любого ц ^ 2
В работе [15] было дано определение
Определение 2. Для любого множества А натуральных чисел дзет,а-функция £(А|а) определяется равенством
(( А|а) = £ (а = а + % 1,а>аА). (6)
х
хеА
Если множество А конечное, то равенство (6) задает дзета-функцию £(А|а) на всей комплексной а-плоскости. Если множество А бесконечное, то равенство (6) задает дзета-функцию ((А|а) только при а > а а при этом обязательно в точке а = а а будет полюс первого порядка и 0 ^ а а ^ 1, так как это следует из свойств дзета-ряда для дзета-функции ((а) (см. [30], [32]). Отметим, что при а > а а ряд абсолютно сходится, а при а ^ ао для любо го ао > а а ряд равномерно сходится.
Пусть РЕд = {р^, р^,..., Рп ^,...} — экспоненциальная последовательность простых чисел типа ц и М(РЕд) — моноид натуральных чисел, образованный с помощью РЕд. В работе [15] доказана следующая теорема.
Теорема 5. Для любого д ^ 2 и любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕд = {р^,... ,Рп\ ...} типа д дзета-ряд для, дзета-функции ((М(РЕд))|а) абсолютно сходится, для, любого а в полуплоскости а > 0 и равномерно в полуплоскости а ^ а0 ао > 0
В работе [21] была высказана гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функции ((М(РЕд))|а), которая была доказана в работе [18]. Тем самым было установлено, что для
а > 0
М( А)
превосходящих ж, которое будем обозначать через жрщ)(—)• В общем случае это непростая задача, однако для случая любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕд = {р ^,р^,...,Рп \ ...} типа д и моноида М(РЕд) можно дать удовлетворительный ответ.
Теорема 6. Для любого 2 и любой экспоненциальной последовательности простых чисел РЕд = {р^, р(\ ..., рП\ ...} типа д для, количества простых элементов в моноиде М(РЕд), не превосходящих х, справедливо равенство
жРЕч (х) = £х - °РЕя(х),
где 0 < вРЕч (х) = {- ^} + {^ } < 2 при qn ^х< qn+1.
Теорема 6 непосредственно связана с тематикой работ Б. М. Бредихина [2]-[10]. Следуя этим работам, определим функцию им( РЕд) (х) с помощью равенств:
VМ (РЕд )(х) = £ 1.
пеМ (РЕд ),п^х
В работе [26] решена обратная задача для функций им (ре )(х) и им (рст )(х), т. е. нахождение асимптотики для этих функций, зная асимптотики для функций жрЕд (х) и (х). Доказана следующая теорема.
Теорема 7. При х ^ те справедливо соотношение
1пим{РЕ)(х) .
Отсюда сразу получается асимптотика для энтропии
6м(РЕ)(х) = 1п»М(РЕ)(х) ~ Т^П^Х.
4. Основные моноиды типа С1
М(Р(д)), в котором все простые элементы суть псевдопростые числа образующие множество Р(д) = {ЧпРп\п ^ 1} рп — п-ое простое число, справедливы следующие теоремы.
Теорема 8. Существует п\ = п\(д) ^ по такое, что при х ^ дП1п\ 1пп\ справедливы оценки для жм(р(9))(х)-'
. . 1пх — 1п1пх + 1п1пд — 1п(1п1пх — 1п1пд) . ..
жм(Р(1))(х) =-- + в(х)' \°(х)\ ^ 1.
Теорема 9. Областью голоморфности дзета-функции ((М(Р(д))\а) является а-полу-плоскост,ь а > 0.
Целью данной работы будет решение обратной задачи для произвольного основного моно-
5. Вспомогательные леммы
М
простые элементы, Р(М) — множество его простых элементов и функции им (х), жр(м)(х) заданы равенствами
"м (х) = 1, жР (М )(х) = 1.
пем,п^х геР (м ),г^х
Лемма 1. Справедливо равенство
' + ^^ ^^ ^ х
1 и геР (М ),г^х
Доказательство. См.[26] □
Лемма 2. Пусть д ^ 2 и РЕЯ = {р^,... ,Рп\ ...} —■ экспоненциальная последова-
,з
X
им (х)1пх = ! им (и) и + ^ ^ т (х) 1пг. (7)
1 — рр) =ех* ("ь^т— + ^Цк2(р^ — КЧ1 — РР,
где х ^ р^ > 1.
З3десь и далее, как обычно, ехр(ж) = ех.
Доказательство. См. [26]. □
3. Пусть О 2 и РЕд = [р{ч), р{2ч),
Лемма 3. Пусть О 2 и РЕЯ = [р\ч',рк24',.. .,р<?),...} -
экспоненциальная последова-
ли (реч)(х) < жехр
где х ^ р^ > 1.
(ч)
1п Р1 1п д
4 - ^)
-1
+
Е
1
1
1п(^л2(р 1ч))к
(1п (
-о| ьф - | , №
□
Лемма 4. Пусть 2 и РЕЯ = [р ^, р^,..., рП\...}
экспоненциальная последовательность простых чисел типа д и пч = ж(д) + 1, тогда для любого ] ^ пч справедливо
неравенство д^р^ > При х ^ д«4 справедливо неравенство жм(реч) (х) ^ жм(р(ч))(х).
□
Мы видим, что в данном случае подход Б. М. Бредихина не работает, так как мы заведомо имеем случай для моноидов М(РЕч) и М(Р(д)), когда отсутствует степенная 0-плотность, так как при степенной плотности невозможны асимптотические формулы из теорем 6 и 8.
6. О двух гомоморфизмах основного моноида типа С1
Пусть С — произвольная свободная коммутативная мультипликативная полугруппа с нейтральным элементом е и со счетным числом образующих элементов (1, Ш2, ■ ■ ■, (и, ..., множество которых будем обозначать через 0(С).
Рассмотрим произвольный гомоморфизм N(д) полугруппы С в мультипликативный моноид N натуральных чисел, обладающий тем свойством, что в полугруппе С имеется только конечное число элементов д с N(д) ^ х для любого вещественного х. Обозначим через М его образ. Это будет мультипликативный моноид натуральных чисел М = N (С). Вслед за
С
Сс(а) = £ ^^, а = а + *а>ас,
где ас — абсцисса абсолютной сходимости ряда Дирихле для дзета-функции полугруппы С.
В силу мультипликативности гомоморфизма имеет место разложение в эйлерово произведение
те / 1 \-1
(с(а) = рс(а) = Д (1 - ^^)
в правой полуплоскости а > ас-
Рассмотрим дзета-функцию моноида М = N (С)
((М|а) = £ , а = а + гг, а > ам, «ем
ам М = N (С).
Вообще говоря, (с(а) = ((М|а). Дело в том, что
Сс(а) = У^=У ^-1(П)|,
^ с() hсNa(з) «к * ,
где N-1{п) = {д <Е G\N(д) = п} — прообраз натурального числа п при гомоморфизме N(д) полугруппы G в мультипликативный моноид N натуральных чисел, a \N-1(п)\ — количество
N( )
G
М = N (G).
Следующее важное обстоятельство связано с тем, что Р(М) — множество простых элеМ
образующих элементов полугруппы G: Р(М) С N(Q,(G)).
Напомним, что если через Р(М\а) обозначается эйлерово произведение:
Р(М\")= П I1 - 1'
rep(м) к 7
М
стые элементы справедливо равенство
((М\а) = Р (М\а). Таким образом, возможны следующие ситуации:
/ 1 \-IN-1(г)|
((М\а) = Р(М\а), Р(М\а) = Рс(а)= ft [1 - .
rep(м) ^ '
Рассмотрим в качестве G мультипликативный моноид М(P(q)) — основной моноид типа q, где q ^ 2 — любое натуральное число. Определим два гомоморфизма мультипликативного моноида М(P(q)) в мультипликативный моноид N натуральных чисел:
N -.Nil И (q3v, )/j I =
Ni - М(P(q)) ^ N : Ni )/j J = qE"=ii/j,
N2 : М(P(q)) ^ N : N2! f] (qjPj)/j ) = qE"=i2j/j
Обозначим через М\ (д) образ мультипликативного моноида М(Р(д)) при гомоморфизме N1, а через М2(д) при гомоморфизме N2■ Непосредственно из определения следует, что
Мг(д) = {1, д, д2, д3,...}, М2(д) = {1, д2, д4, д6 ...}.
Отсюда сразу следует, что Р(М1(д)) = {д} и Р(М2(д)) = {д2}.
Определим функции им(р(д))д(х) и им(р(д)),2(х) с помощью равенств:
иМ(Р(д)),1(х) = X] 1, им (Р(д)),2(х) = У! 1
пем (Р(д)),М1(п)^х пем (Р(д)),М2 (п) <х
Лемма 5. Справедливы неравенства:
для любого п € М(Р(д)) имеем N1(п) ^ п ^ ^(п),
иМ(Р(д)),2(х) ^ (Р(д))(х) ^ (р(д)),1(х) □
Лемма 6. Справедливы, равенства
'Ъ
Хпд)> (Р(Ч)),^ ^ 21пд
"М(Р(д)),1(х) = р1 (, VМ(Р(Я)),2(х) = Р1^2^) .
□
Из доказанных лемм и утверждений второго раздела сразу следуют оценки сверху и снизу
(11пх 1 1пх \ , , , чч _ .. ( 21пх 1 1пх\
v ^ — "n2,Г — 2 Ilnхj (1+ "1(х)) * (ро)(х) * а зщ — 1п2ж — 2Ы21Г,) •
•(1 + Ых)),
где в1 (х) ^ 0 02(х) ^ 0 при х ^ <х.
7. Заключение
В работе [6] и ряде последующих Б. М. Бредихин работал с понятием степенной плотности последовательности. Из вышеизложенного видно, что это понятие не работает в случае моноидов, рассмотренных в данной работе . В работе [26] было дано естественное новое определение.
Определение 3. Последовательность М натуральных чисел имеет С логарифмическую 9-степенную плотность, если для функции им(х), заданной равенством
Vм (х) = 1,
пем, п*х
справедливо ра венет во
1пим(х)
х^ж х
1= С С > 0), в> 0).
Из результатов данной работы следует, что энтропия, рассмотренная в разделах 2 и 3 подчиняется закону логарифмической ^-степенной плотности.
асимптотики, а установлены только оценки снизу и сверху.
Таким образом, остается открытым вопрос о существовании логарифмической ^-степенной
С
В заключение авторы выражают свою благодарность профессору В. И. Чубарикову за полезные обсуждения и внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта-Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15-66.
2. Б. М. Бредихин, "Остаточный член в асимптотической формуле для функции ис(х)''\ Изв. вузов. Матем., 1960, 6, 40-49.
3. Б. М. Бредихин, "Элементарное решение обратных задач о базисах свободных полугрупп", Матем. сб., 50(92):2 (1960), 221-232.
4. Б. М. Бредихин, "Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями", Докл. АН СССР, 118:5 (1958), 855-857.
5. Б. М. Бредихин, "О степенных плотностях некоторых подмножеств свободных полугрупп", Изв. вузов. Матем., 1958, 3, 24-30.
6. Б. М. Бредихин, "Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями", Матем. сб., 46(88):2 (1958), 143-158.
7. Б. М. Бредихин, "Пример конечного гомоморфизма с ограниченной сумматорной функцией", УМН, 11:4(70) (1956), 119-122.
8. Б. М. Бредихин , Некоторые вопросы теории характеров коммутативных полугрупп, Труды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. I, Москва, Изд. АН СССР (1956), 3.
9. Б. М. Бредихин , О сумматорных функциях характеров числовых полугрупп, ДАН 94 (1954), 609 - 612.
10. Б. М. Бредихин , О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой, ДАН 90 (1953), 707 - 710.
11. Воронин С. \!.. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.
12. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.
13. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. И., Добровольский Н. И., Добровольский Н. \!.. Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. - С. 6-85.
14. М. Н. Добровольский, И. Н. Добровольский, И. М. Добровольский, И. Б. Кожухов, И. Ю. Реброва. Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23, вып. 3, С. 102-117.
15. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187-207.
16. Добровольский Н. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79-105.
17. Добровольский Н. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142-150.
18. Добровольский H.H. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел / / Чебышевский сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148-163.
19. Н. Н. Добровольский, "Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенных произведений Эйлера", Матем. заметки, 109:3 (2021), 464-469
20. Н. Н. Добровольский. Распределение простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Матем. заметки (в печати).
21. Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. \!.. Балаба И. Н., Реброва И. Ю. Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106-123.
22. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180-196.
23. Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164-179.
24. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2018. - Т. 19, вып. 2. - С. 123-141.
25. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О моноиде квадратичных вычетов // Чебышевский сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95-108.
26. Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для моноида с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сборник, 2020, Т. 21, вып. 1, С. 165-185.
27. Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для основного моноида типа q// Чебышевский сборник, 2022, Т. 23, выи. 4, С. 59-71.
28. Д. С. Миненков, В. Е. Назайкинский, "Замечание об обратной теореме о распределении абстрактных простых чисел", Матем. заметки, 100:4 (2016), 627-629.
29. А. Г. Постников Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
30. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.
31. Э. Трост Простые числа - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. - 136 с.
32. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.
33. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М. - Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.
34. Н. Davenport, Н. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series //J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181-185.
REFERENCES
1. Bombieria E., Ghoshb A., 2011, "Around the Davenport-Heilbronn function", Uspekhi Mat. Nauk, 66:2(398) pp. 15-66.
2. Bredikhin, B.M., I960, "The remainder term in the asymptotic formula for the function ug(x)", Izvestiva vuzov Matematika, no. 6, pp. 40-49.
3. Bredikhin, B.M., 1960, "An elementary solution of inverse problems on bases of free semigroups", matematicheskiv sbornik, 50(92):2, pp. 221-232.
4. Bredikhin, B.M., 1958, "Free numerical semigroups with power densities", Dokladv Akademii nauk SSSR, 118:5, pp. 855-857.
5. Bredikhin, B.M., 1958, "On power densities of some subsets of free semigroups", Izvestiva vuzov Matematika, no. 3, pp. 24-30.
6. Bredikhin, В.М., 1958, "Free numerical semigroups with power densities", matematicheskiv sbornik, 46(88):2, pp. 143-158.
7. Bredikhin, B.M., 1956, "An example of a finite homomorphism with a bounded adder function", UMN, 11:4(70), pp. 119-122.
8. Bredikhin, B.M., 1956, "Some questions of the theory of characters of commutative semigroups", Trudy 3-go Vsesoyuznogo matematicheskogo s'vezda, vol. 1, Moskva, izdatel'stvo akademii nauk SSSR, no. 6.
9. Bredikhin, B.M., 1954, "On adder functions of characters of numerical semigroups", DAN 94, pp. 609 - 612.
10. Bredikhin, B.M., 1953, "On the characters of numerical semigroups with a rather rare base", DAN 90, pp. 707-710.
11. Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.
12. Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.
13. Demidov S. S., Morozova E. A., Chubarikov V. N., Rebrov I. Yu., Balaba I. N., Dobrovol'skii N. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovol'skava L. P., Rodionov A. V., Pikhtil'kova O. A., 2017, "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol. 18, № 4. pp. 6-85.
14. M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. B. Koguhov, I. Yu. Rebrova, 2022, "Monoid of pro ducts of zeta functions of monoids of natural numb ers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 3, pp. 102-117.
15. Dobrovolskv N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with unique factorization" , Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 188-208.
16. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 79-105.
17. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absolute convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 142-150.
18. Добровольский H. H. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Че-бышевский сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148-163.
19. Н. Н. Добровольский, "Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенных произведений Эйлера", Матем. заметки, 109:3 (2021), 464-469
20. N. N. Dobrovol'skii, 2022, "Distribution of simple elements in some monoids of natural numbers", Math. Notes (in print).
21. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018, "About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence of simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106-123.
22. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2019, "Dirichlet series algebra of a monoid of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 180-196.
23. N. N. Dobrovol'skii, N. М. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, А. V. Rodionov, 2019, "Monoids of natural numbers in the numerical-theoretical method in the approximate analysis" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 164-179.
24. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the number of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 123-141.
25. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the monoid of quadratic residues" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 95-108.
26. Dobrovolskava L. P., Dobrovolskv M. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovolskv N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23-62. DOLIO. 1007/978-3-319-03146-0^2.
27. N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2020, "Inverse problem for a monoid with an exponential sequence of Prime numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 165-185.
28. N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "The inverse problem for a basic
29. D. S. Minenkov, V. E. Nazaikinskii, 2016, "Remark on the Inverse Abstract Prime Number Theorem", Math. Notes, 100:4, P. 633-635.
30. Postnikov, A. G., 1971, Introduction to analytical number theory Izd-vo "Nauka" , Moskva, 416 p.
31. Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.
32. Trost E., 1959, "Prime numbers" , Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 136 p.
33. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.
34. Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of L-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, — 204 p.
35. Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math. Soc. Vol. 11. pp. 181-185.
Получено: 5.10.2022 Принято в печать: 22.12.2022
