CC BY
20
шнЕРШшРЕтурсшшБЕШШЕтИЕШшэнЕРШяэФФЕшаштишЬ 29
УДК 681.2
Энергосберегающий пропорционально-интегральный регулятор
М. К. Хубеев,
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизации технологических процессов
химико-технологического факультета
В статье предлагается энергосберегающий пропорционально-интегральный регулятор, который уменьшает число изменений сигналов управления, увеличивает запас устойчивости, повышает точность автоматического регулирования и способствует экономии энергоресурсов. Главное достоинство энергосберегающего ПИ-регулятора - уменьшение числа изменений сигналов управления. Его алгоритмы апробированы на математических моделях объектов регулирования, отличающихся линейной частью и относительным запаздыванием.
Ключевые слова: регулирование, передаточная функция, регулятор, энергосбережение.
В настоящее время для регулирования технологических параметров широко используются ПИ-регуляторы. Обычно на промышленных предприятиях число ПИ-регуляторов намного превосходит количество пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) регуляторов, так как первые более просты в настройке и обладают большей помехоустойчивостью. Этот факт свидетельствует о важности разработки энергосберегающего ПИ-регулятора (ЭПИ-регулятора).
В [1] отмечено: «...попыток заменить экспертный, имеющий более чем вековую историю, ПИД-алгоритм... было великое множество. Тем не менее, ни один из них не получил применения». С полным основанием данную фразу можно отнести и к ПИ-алгоритму. Поэтому разработка регулятора, превосходящего по основным техническим характеристикам ПИ-регулятор, весьма актуальна.
Рассмотрим систему автоматического регулирования с ПИ-регулятором, выходной сигнал которого представим в виде
где I - время;
I е М N - множество натуральных чисел; £¿-^1= Н- период квантования;
£м(у- измеренное значение ошибки регулирования;
eu(ti)=e(ti)+vi,г(ti)=g(ti)-x(ti) - ошибка регулирования;
g(t¿) - задающее воздействие;
- выходной сигнал объекта регулирования (ОР);
V е V, V - множество ошибок измерений;
кп,ки и 7г - настроечные параметры регулятора,
г,.
1 г
1о
В системе автоматического регулирования с электродвигательным исполнительным устройством применяют пропорционально-дифференциальный регулятор, который легко получить из ПИ-регулятора. Для такой системы важным показателем является число изменений сигнала управления на выходе регулятора пСу, так как величина этого показателя практически пропорциональна затратам энергии и ресурса исполнительного устройства [2]. Для уменьшения числа изменений сигнала управления ограничивают величину минимального изменения сигнала управления Аи на выходе регулятора, что приводит к снижению точности системы. Поэтому рекомендуется выбирать Аи не больше, чем величина люфта « исполнительного устройства. С учётом этого выходной сигнал ПИ-регулятора изменяется только при выполнении условия
аЪв(и(- и^^)) > Аи, (2)
где Аи < «.
Система автоматического регулирования также характеризуется:
1) суммарным по модулю изменением сигнала на выходе регулятора их. С увеличением их возрастает суммарный ход штока исполнительного устройства, тем самым снижается ресурс устройства;
2) запасом устойчивости. Для его оценки можно использовать следующие подходы:
- при теоретическом анализе системы определяются запасы устойчивости по модулю и фазе [3]. Выполнить такую оценку для предлагаемого регулятора, содержащего нелинейные элементы, достаточно сложно;
- при расчёте параметров настройки регуляторов определяют границы области устойчивости в пространстве параметров настройки регуляторов [1]. В работе предполагается, что настройки сравниваемых регуляторов уже выбраны и они одинаковы. Поэтому такой подход неинформативен;
- оценивают изменение А параметра ОР p, которое приведёт к потере устойчивости, p е P, где P -множество номинальных значений параметров ОР. Обозначим c = А/p, c е C. Эта величина является частной характеристикой запаса устойчивости. Именно такой подход использован в данной работе;
3) точностью регулирования. В качестве показателя точности регулирования принят квадратичный интегральный показатель [3]
СО
/=js2(t)dt. (3)
о
Чем меньше величина квадратичного интегрального показателя, тем выше точность регулирования.
Для обеспечения энергосбережения использована информация, которая известна в момент времени tj. Тогда, выделяя (в необходимых случаях) переменные, относящиеся к ЭПИ-регулятору верхним индексом «Э», алгоритм его функционирования представим в виде
где km - постоянные коэффициенты, kme N;
j = i, i - 1, ... i - 4.
В формуле (4) неизвестны преобразование j и km. Следовательно, задача синтеза ЭПИ-регулятора может быть сформулирована следующим образом. Необходимо найти преобразование j и значения km, которые обеспечат существенное уменьшение отношения пЭу/псу для заданных параметров объекта регулирования (P), для настроечных параметров регулятора (kn, ku, h и А u), для случайного возмущающего воздействия (f е F, где F - множество возмущающих воздействий), для интервала времени (At е T, где T - множество интервалов времени) и для ошибок измерений (n е V, где V - множество ошибок измерений) при ограничениях u|< u^, с^р > скр, I3 < I, h < hmax, где hmax - максимальная величина такта квантования.
Данная задача, скорее всего, аналитического решения не имеет. Поэтому исследована возможность применения ситуационного подхода.
Сущность предлагаемой методики заключается в следующем. Бесконечное множество ситуаций S разбито на три группы.
К первой группе отнесены ситуации s е Sb Si с S, в которых на очередном такте квантования управляющее воздействие изменять нецелесообразно. Тогда формула (4) примет вид
u3(tf)=u3(Vi). (5)
Рассмотрим пример такой ситуации.
Пусть в момент времени ti выполняется условие (2) и
sign ejiti) П sign eJVi) л sign eJVi) П sign ejt^), (6)
где sign - операция определения знака числа; л - логическая операция «И».
При V = 0 такая ситуация встречается крайне редко, следовательно, целесообразно предположить, что она возникла из-за ошибок измерений. Поэтому управляющее воздействие определяется по соотношению (5), тем самым псу уменьшается на одну единицу по сравнению с ПИ-регулятором.
Управляющее воздействие не изменяется также в случаях, когда можно за счёт этого обеспечить уменьшение суммарного изменения сигнала на выходе регулятора или повысить запас устойчивости.
Основные преимущества энергосберегающего (ЭПИ) регулятора формируются в ситуациях « е £2, £2 с £, относящихся ко второй группе.
Пусть в некоторый момент времени Щс возникла ситуация « е £2, тогда в течение I тактов квантования управляющее воздействие формируется по соотношению (4) при кт>1. Для определения числа тактов I использована функция Q(ti)=q(гu(tвiе), еи(^+;),..., £и(Ч+1)), значение которой в момент времени е обнуляется. При выполнении условия Q(t¿)>qрасч, где qрасч - расчётное значение, формирование управляющего воздействия по уравнению (3) прекращается и начинается очередной анализ ситуации. Расчётное значение qрасч определяется программно. Преобразование ф имеет вид
и3(Ц+1)=и(Ц)+кт-(и(Ц+1)-и(Ц)). (7)
В этом уравнении коэффициент кт характеризует степень изменения управляющего воздействия по сравнению с ПИ-регулятором. В алгоритме ЭПИ-регулятора принято т = 3, конкретные значения коэффициентов выбираются в зависимости от особенностей ситуации.
К третьей группе отнесены ситуации « е £3, £3 с £, в которых на очередном такте квантования управляющее воздействие изменяется по ПИ-алгоритму, то есть в соответствии с формулой (1). К ним относятся ситуации, когда использование уравнения (5) может привести к существенному снижению точности, а условия для использования соотношения (7) не выполняются.
Алгоритм регулятора содержит порядка 200 логических операторов, с помощью которых сформированы логические условия, позволяющие в каждом такте квантования выбрать одно из трёх уравнений (уравнения 1, 5 и 7) для расчёта управляющего воздействия.
Логические условия устанавливают соотношения между значениями ошибок регулирования (за 5 тактов квантования), управляющими воздействиями (за 3 такта квантования) и другими параметрами, характеризующими процесс регулирования. Они позволяют идентифицировать ту или иную ситуацию. Эти условия достаточно сложны. Так, одна из ситуаций « е £1 содержит 13 логических операторов, а для выявления одной из ситуаций « е £2 необходим анализ 24 логических операторов.
Ввод в действие ЭПИ-регулятора предполагается осуществлять следующим образом. Производится настройка канала регулирования с ПИ-регулятором, после этого выполняется переключение на ЭПИ-
регулятор. Введение дополнительных настроек не предусмотрено.
Для оценки эффективности ЭПИ-регулятора выполнены вычислительные эксперименты для различных моделей ОР. Принято предположение о том, что, независимо от физической природы модели ОР, используются электродвигательные исполнительные устройства. Наиболее распространенными моделями ОР являются апериодические, нейтральные (астатические) и колебательные [3].
Для исследования выбраны модели ОР, передаточные функции которых имеют вид:
1. Шесть апериодических ОР с запаздыванием (ОР1-ОР6), являющихся частными случаями уравнения
схр(-тл);
где к - коэффициент передачи; Т1, Т2, Т3 - постоянные времени; « - оператор Лапласа; t - транспортное запаздывание [3].
2. Астатическое с запаздыванием (ОР7) к
(8)
-ехр(-т.у).
3. Колебательное с запаздыванием (ОР8) к
ехр(-т50,
(9)
(10)
где Т1 = Т, Т2 = 2ХТ, X < 1.
ОР1-ОР6 отличаются значениями постоянных времени и величин транспортного запаздывания. Модели трёх ОР и параметры настройки заимствованы из [1, 2], остальные выбраны таким образом, чтобы исследовать основные типичные случаи. Рассматриваются системы, функционирующие в стабилизирующем режиме (задающее воздействие не изменяется, на объект действует случайное возмущающее воздействие).
Результаты сравнительного анализа системы со стандартным ПИ-регулятором и ЭПИ-регулятором представлены в табл. 1 для трёх ОР: ОР1 является наиболее сложным (третьего порядка); для ОР7 получены наилучшие результаты; ОР6 имеет большое транспортное запаздывание (преимущества минимальны).
Во всех таблицах положительная величина показателя свидетельствует о преимуществе ЭПИ-регу-лятора. Выделены значения величин, на которые имеется ссылка.
Вычислительные эксперименты выполнялись при следующих условиях:
- оптимальные по точности настройки регуляторов выбраны в соответствии с [1];
- возмущающее воздействие на вход ОР получено путём преобразования дискретного нормально распределённого случайного сигнала с математическим ожиданием, равным нулю, линейным формирующим фильтром второго порядка, частота среза которого равна доминирующей частоте колебаний [1] системы с ПИ-регулятором;
- люфт исполнительного устройства 8 составляет 1 % от диапазона изменения управляющего сигнала и(У;
- шум измерений представляет собой дискретный нормально распределённый случайный сигнал с математическим ожиданием равным нулю и среднеквадратичным отклонением а. В соответствии с современным уровнем техники выбрано 3а = 1 % от диапазона изменения ошибки регулирования е^);
- величина минимального изменения сигнала управления для ПИ-регулятора равна Аи =
- моделирование выполнялось на временном интервале, составляющем 2000 периодов колебаний на доминирующей частоте системы с ПИ-регулятором, что позволило получить близкие к вероятностным результаты. Знак • в формуле (3) заменён величиной этого временного интервала;
- период квантования Н выбран равным среднему значению из общепринятого диапазона, составляющего 0,05-0,1 от величины запаздывания.
Проведём краткий анализ полученных результатов.
Значение числа изменений сигнала управления, например 42 %, означает, что на выходе ЭПИ-регулято-ра сигнал управления изменяется в 1,42 раза реже, чем на выходе ПИ-регулятора. Следовательно, примерно в 1,42 раза уменьшаются затраты энергии и увеличивается ресурс исполнительного устройства.
Значение суммарного изменения сигнала на выходе регулятора, например 4 %, означает, что объём работы, выполняемый исполнительным устройством, уменьшается в 1,04 раза, тем самым экономится его ресурс. Отметим, что данная харак-
Таблица 1
Сравнительная оценка системы с ПИ- и ЭПИ-регуляторами в расчётном случае
Результаты моделирования, %
№ Объекты регулирования Число изменений сигнала управления Суммарное изменение сигнала на выходе регулятора Запас устойчивости Точность регулирования
1 ОР1 42 4 25 12
2 ОР2 67 13 40 18
3 ОР3 27 2 25 14
теристика является интегральной, положительный эффект обусловлен принципом действия регулятора, поэтому результаты всегда положительны.
Запас устойчивости системы автоматического регулирования, например 25 %, означает, что система с ЭПИ-регулятором становится неустойчивой при отклонении параметра ОР1 от номинального значения на величину, в 1,25 раза большую, чем система с ПИ-регулятором (оценка выполнена по величине транспортного запаздывания, которое для большинства ОР имеет минимальное значение с). Увеличение запаса устойчивости системы является значимым преимуществом ЭПИ-регулятора и сохраняется во всех эксплуатационных режимах. Наглядно этот результат демонстрирует рис. 1, из которого следует, что в случае, когда система с ПИ-регулятором близка к границе устойчивости (по значению транспортного запаздывания), в системе с ЭПИ-регулятором амплитуда колебаний сравнительно мала и обеспечивается достаточно высокое качество процесса регулирования, о чем свидетельствует рис. 2.
Точность регулирования, например 12 %, показывает, что значение КИП в системе с ПИ-регулятором в 1,12 больше, чем в системе с ЭПИ-регулятором.
Для остальных пяти ОР получены результаты, которые в основном находятся в диапазоне, представленном в табл. 1.
Рассмотрим особенности функционирования в различных режимах на примере системы с ОР1.
По сравнению со строкой 1 табл. 1 в соответствующих строках табл. 2 изменяются следующие величины:
1. Имеет место такое отклонение коэффициента передачи ОР, которое ведёт к снижению запаса устойчивости системы с ПИ-регулятором на 50 %.
2. Транспортное запаздывание увеличено на значение, соответствующее снижению запаса устойчивости системы с ПИ-регулятором на 50 %.
3. Люфт исполнительного устройства увеличен и составляет 3 % .
4. Шум измерений увеличен в 3 раза. При осуществлении предварительной фильтрации результаты приближаются к значениям, соответствующим строке 1 табл. 1.
5. Параметры настройки регуляторов уменьшены в 2 раза. Из полученных результатов видно, что преимущества ЭПИ-регулятора сохраняются при существенном изменении параметров настройки регуляторов.
Рис. 1. Фрагмент изменения ошибок регулирования в системес ОР1: ПИ1 — ПИ-регулятор; ПИ2 — ЭПИ-регулятор
Рис. 2. Фрагмент изменения ошибок регулирования в системе с ОР1: ПИ1 — ПИ-регулятор при оптимальных параметрах настройки; ПИ2 — ЭПИ-регулятор при параметрах настройки, соответствующих рис. 1
шнЕРШвштурснтБЕШШЕтишшэнЕРШявФФЕшашшшЬ 33
Таблица 2
Сравнительная оценка системы с ПИ- и ЭПИ-регуляторами в различных режимах
Результаты моделирования, %
№ Число изменений сигнала управления Суммарное изменение сигнала на выходе регулятора Точность регулирования
1 51 10 25
2 58 15 39
3 48 3 13
4 35 2 6
5 47 4 12
Из приведённых результатов моделирования можно сделать вывод о существенных преимуществах ЭПИ-регулятора по сравнению с ПИ-регулятором. Преимущества сохраняются в различных режимах эксплуатации. Принципиальным достижением является тот факт, что все преимущества реализуются при положительной величине суммарного изменения сигнала на выходе регулятора.
Комплексное решение задачи по улучшению основных технических характеристик регуляторов определяет практическую ценность работы. Создан регулятор, который гарантированно сокращает энергетические затраты, экономит ресурсы исполнительного устройства, увеличивает запасы устойчивости системы и повышает точность регулирования.
Литература
1. Ротач В. Я. Теория автоматического управления. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. -400 с.
2. Бобриков Н. М., Денисов И. К., Кузнецов С. И., Шубладзе А. М., Гуляев С. В., Шубладзе А. А. ПИД-регу-лятор с минимизацией числа изменений его выходного сигнала / / Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2009. - № 8. - С. 16-20.
3. Беспалов А. В., Харитонов Н. И. Системы управления химико-технологическими процессами. - М.: Академкнига, 2007. - 690 с.
Economical proportional-integrated regulator
M. K. Khubeev,
Perm National Research Polytechnic University, Doctor of Science, professor
In this paper, we propose an energy-saving proportional-integral controller, which decreases a number of control signal changes, increases system's stability, and improves automatic control accuracy, providing energy savings. The main advantage of this PI-controller is ability to reduce a number of control signal changes. Pi-algorithms were tested on mathematical models of control objects having a linear part and a relative delay.
Keywords: control, transfer function, controller, energy-economy.
