CC BY
35
УДК 681.53
Н. М. Олиферович, Д. А. Гринюк, И. О. Оробей, И. Г. Сухорукова
Белорусский государственный технологический университет
DEADBEAT РЕГУЛЯТОР С ПРОГНОЗИРУЕМЫМ УРОВНЕМ СИГНАЛА
УПРАВЛЕНИЯ
В статье рассматриваются различные алгоритмы для расчета параметров настройки апериодического цифрового (deadbeat) регулятора. Данный регулятор имеет высокое быстродействие, однако требует возможности формирования большого управляющего воздействия.
Основное внимание при разработке алгоритмов расчета уделено возможности построения deadbeat регулятора для стабилизации технологических параметров в условиях ограничения на управляющее воздействие. Предложена методика расчета настроек deadbeat регулятора при условии формирования максимально возможных управляющих импульсов на начальной стадии отработки сигнала задания. Проанализирована зависимость максимально возможного управляющего воздействия от времени дискретизации при различных вариантах удлинения переходного процесса.
На примере показаны временные зависимости переходных процессов и управляющих воздействий работы регуляторов, которые были синтезированы на основании разработанных алгоритмов расчета с различным временем переходного процесса и временем дискретизации. Проведен анализ влияния выбора структуры на устойчивость. Устойчивость анализировалась как с помощью вариации параметров объекта, так и путем оценки запаса устойчивости по амплитуде и по фазе с помощью диаграммы Боде. Сделан вывод об усилении устойчивости (робастности) с увеличением количества тактов переходного процесса. Отмечены ограничения в применении разработанных алгоритмов расчета на практике.
Ключевые слова: цифровой регулятор, апериодический регулятор, робастность.
N. M. Oliferovich, D. A. Hryniuk, I. O. Orobei, I. G. Suhorukova
Belarusian State Technological University
DEADBEAT CONTROLLER WITH PREDICTABLE LEVEL OF CONTROL
SIGNAL
This article considers various calculating algorithms for the settings of an deadbeat controller. This controller has a high speed, but it requires the possibility of high control action forming.
The main attention in the development of calculation algorithms is given to the possibility of a deadbeat controller constructing for stabilization of process parameters in conditions of limitation on the control action. We propose a technique for calculating the settings of the deadbeat controller under the condition that the maximum possible control pulses are formed at the initial stage of the reference signal. The paper analyzes the dependence of the maximum possible control action on the sample time under different variants of the transient process elongation.
We provide examples of the time dependences of the transient processes and control actions of the controllers, which were synthesized on the basis of the developed calculation algorithms with different transient time and sampling time. The influence of structure selection on stability is analyzed. Stability was analyzed both with the help of variation in the object's parameters, and by estimating the stability margin in amplitude and phase using the Bode diagram. The conclusion is made about the increasing the stability (robustness) with the increasing the number of transient process steps. We have noted the limitations in the application of the developed calculation algorithms in practice.
Key words: digital controller, deadbeat controller, robustness.
Введение. В современных системах управления практически все алгоритмы реализуются в цифровом виде. В то же время, за редким исключением, при стабилизации технологических параметров используются аналоговые методы синтеза.
На сегодняшний день базовым алгоритмом стабилизации технологических параметров является пропорционально-дифференциально-интегральный (ПИД) закон регулирования. Чаще всего этот алгоритм реализуется в различных
вариациях с использованием программируемых логических контролеров (ПЛК). Иногда для этих целей используются отдельные модули или микропроцессорные регуляторы. Во всех случаях, за исключением ПЛК, время квантования является фиксированным параметром и устанавливается производителем. ПЛК обладает более широкими возможностями по стабилизации технологических параметров. Если в старых системах цифрового управления
время квантования являлось фиксированным параметром, то программное обеспечение современных ПЛК легко может быть оптимизировано под конкретную задачу управления и во многих случаях перенастраиваться. Современные ПЛК интегрированы в системы управления SCADA (Supervisory Control And Data Acquisition) и MES (Manufacturing Execution System), которые обладают еще большими возможностями по прогнозированию и адаптации работы алгоритмов управления для конкретного технологического процесса.
ПИД-алгоритм имеет ряд ограничений. Существует проблема возникновения интегрального насыщения при ограничении управляющего воздействия, проблема быстродействия, адаптация настроек при изменении динамических характеристик объекта.
При синтезе каскадных систем управления желательно иметь внутренний регулятор, который настроен на апериодический переходной процесс типа deadbeat [1-2]. Это не только обеспечивает высокую скорость внутренней цепи (что является основной задачей внутренних регуляторов), но и облегчает задачу синтеза внешнего регулятора (наличие комплексных корней в объекте усложняет настройку внешнего регулятора). Алгоритмы deadbeat контроллера широко используются в управлении двигателем [3], в модуляции балансировки напряжения [4].
Основная часть. Расчет многих цифровых регуляторов, в том числе deadbeat [1-2], гораздо более алгоритмизирован. Данный регулятор характеризуется высоким быстродействием. Однако это достигается путем формирования высокого значения управляющего воздействия, что сложно реализовать в прикладных условиях. В то же время можно добиться соответствия контроллера технологическим нормам за счет увеличения времени шаговых ответов [5].
Следует отметить, что существуют и другие подходы к проектированию deadbeat регуляторов [6-8]. Однако в прикладных решениях [9] находит большее применение подход из работы [1].
Система управления deadbeat - это, в первую очередь, цифровая система управления. В данной статье рассмотрение синтеза производится на основании функции z-преобразования элементов систем управления. Общая структура системы управления показана на рис. 1.
Рис. 1. Структура deadbeat регулятора: V - сигнал задания; е - сигнал ошибки; и - управляющее воздействие; у - выход системы
Передаточная функция GR(z) регулятора и объекта может быть записана следующим образом [1]
G
(z ) = -ОМ- ; Gp (z ) = A4, (,)
V ' 1 -P(z) PW B(z)
где Q(z), Р. - многочлены передаточной функции регулятора; А{£), В. - многочлены передаточной функции объекта.
Коэффициенты многочленов Q(z), Р(.) для классического deadbeat регулятора могут быть найдены с использованием уравнений [1]:
1
q0 =-
Ъ, + Ь2 +... + Ъп
q, = qoai, F, = qobi,
(2)
где а, Ъ - коэффициенты многочленов функции .-передачи непрерывного объекта А(.), В(.); т - порядок передаточной функции объекта. Коэффициенты многочлена Q(z) можно выразить так:
fqo = u (0)
|q0 = u(()-u(-1), i = 1,..
, m.
(3)
Таким образом, начальное значение управляемой переменной u(0) зависит только от суммы (2) коэффициентов функции z-передачи объекта Ъ.
Основным недостатком deadbeat регулятора является то, что время выборки ts и управляемая переменная u(0) обратно пропорциональны. Значение ts обусловлено величиной показателя umax, которая зависит от различных факторов.
Для решения этой проблемы предлагаются различные варианты, такие как изменение алгоритма расчета. Авторы вводят дополнительный полином для ограниченного вывода [10]. Но могут быть и другие решения. Возможны системы управления с переменным временем выборки ts.
В работе [1] получены выражения для выбора первичного импульса. Расширим его на большее количество тактов.
w
(k) = 1 для k = 0, 1, 2,....
(4)
Для случая Ъ0 = 0 .-преобразования задающей, регулируемой и управляющей переменных имеют следующий вид:
w
(z ) =
1
1 - z
-1
(5)
у (2 ) = у (1)2-1 + у (2 )2-2 + ... + +1
и (2 ) = и (0 ) + и (1)2_1 + ... +
-т . (т+1) 2 + 2 ^ ' + ...
+ и (т)
- т . -(т+1) 2 + 2 ^ ' + ...
(6)
(7)
Разделив уравнения (6) и (7) на (5), получим: У (2 )
™ (2 ) и (2)
w
(2 )
= р2-1 + ^2 2"2 + ... + Рт2~т = Р (2); (8)
= до + Я12-1 + ... + Ут2 ~т = 2 (2 ). (9)
Условие построения апериодического регулятора независимо от количества заданных тактов не меняется:
Ь 2- + ... + Ьт2~т = Р 2- + ... + р'т+1 2"(т+1)
1 + а, 2 +... + ат2
^ I ... до + д12 ... + дт2
Условие для получения значений коэффициентов запишем в виде:
- для двух тактов задания первоначальных значений
Р = (Р\ 2+ ... + р 'т 2~т )( - 2)( - 2) ^
2 (о + ... + д\2~т )(-2"1 )( - 2- ) '
(11)
- для трех тактов задания первоначальных значений
р =(р 1 2+ ... + р 'т 2 ~т ) ( - 2)
2 (д 'о +... + д'т2~т) "(а! - 2-1)'
(а3 - 2-)
X/-•
(аз - 2-)
... х
(12)
Сокращение одинаковых множителей приводит к единому результату:
Ъ 2~1 + ... + Ът2~т _Р\2- + ... + Рт2
1 + а12 1 +... + ат2
т „I , , „I _-т
д 0+... + д т2
-. (13)
Для получения расчетных коэффициентов необходимо сопоставить коэффициенты с одинаковыми степенями свободы:
= щ 'о; р '1 = Ъд 'о; ''2 = а2д'о; р'2 = Ъ2д'о;
дт = атд'о; рт = Кд'о.
(14)
. (1о)
Тогда для двух тактов задания первоначальных значений получим:
до = а1а2д о;
д1 =а1а2 д 1 -(а1 +а2 )д 'о; д2 =а1а2 д \ -( +а2 )д\+д 'о;
... (15)
дт =а1а2 д 'т-1 -(а1+а2 )д т+д 'т-2;
дт+1 =(а1 + а 2 )д 'т + д 'т-1;
дт+2 = д т ; р =а1а2 р
р2 =а1а2 р '2 -(а1 +а2 )р
рз =а1а2 р 'з-(а1 +а2 )р '2+р 1;
... (16)
рт =а1 а2 р 'т-1 -( а1 +а2 ) р 'т + р 'т-рт+1 =(а1 + а 2 )р 'т + р 'т-1; рт+2 = р т .
Для варианта трех тактов задания первоначальных значений приведем выражение только для знаменателя.
до = дЛ1д о;
д1 = дЛд \- дл 2 д 'о;
д2 = дЛд '2- 2 д \+зд
дз = д^д 'з- д^ д\+длз д \- д 'о; (17)
дт+ 2 = дЛ 21 т - 1 т-1; дт+з = -д т ,
1л1 = а1а2 аз;
дй 2 = а1а2 + а1аз + а2аз; (18)
1лз = а1 + а2 + аз. С другой стороны, из условия обеспечения наилучшего быстродействия мы можем иметь ограничение на управляющее воздействие, тогда будем искать выражение параметров управления исходя из того, что: - для одного такта задания
где
и^ = и(о)= и(1);
для двух тактов задания
и8Р = и(о)= и(1) = и (2) для трех тактов задания
и^р — и
= и(о)= и(1) = и (2) = и(з).
(19)
(2о)
(21)
Тогда формула для двух тактов задания преобразуется к виду
Ч0 — и8р, ?1 — 0;
42 — %Р (а2 -а12 ) + А;
43 — иР (а3 - а2 а1 ) + а1^2;
Чт — %Р (ат - ат-1а1 ) + ат-2А ;
Чт +1 — %Р ( - ата1 ) + атчА;
Чт+2 —
где
(22)
ат°2;
Р1 —
Р2 — %Р (Ъ2
Рз — Ч?Р (Ъ3
Р4 — %Р (Ъ4
- ¿2 а1) + Ъ1А;
- Ь3а1
+ ¿2 А;
(23)
т-2А;
Рт — и£Р (Ът - Ът-1а1 ) + Ъ, Рт+1 — %Р ( - Ъта1 ) + Ът-1А;
Рт+2 —
где
А — Чс
"и5Р + а1и5Р ; ЧС
ЪтА,
1
I Ък к—1
(24)
Рт — %Р (Ът-3 - а1Ът-4 + Ът-5Е1 ) - Ъ Е ;
Рт+1 — %Р ( - а1Ът-3 + Ът-4Е0 - Ъ Е ; т-5 0>
Рт+2 — %Р ( Ът-3 Е1 ) - Ът-4Е0;
Рт+3 — - Ъ Е т-3 0■>
Е0 — и5Р (1 - а1 + а12 - а2 )-Чс ; Е — а12 - а2.
(27)
Получим выражение для выполнения условий (19)-(21):
- для одного такта задания с учетом формул (7.2)-(7.9) из пособия [1]
— Чс . 1 - а/
(28)
- для двух тактов с учетом формул (22) и (24)
Чс
1 - а1 - а2 - а1
(29)
- для трех тактов с учетом формул (25) и (27) Чс
1 + а1 (а1 - а12 - 2а2 -1) - а2 - а.
-. (30)
Моделирование и оценка робастности.
Для оценки работы синтезированных регуляторов был использован объект с передаточной функцией
Вариант расчета настроек для трех тактов сигнала задания следующий:
40 — иБР;
41 — 0;
42 — 0,
43 — и8Р (а3 - а1а2 + а1 Е1) - Е2;
Чз — и,Р (а, - а1аз + а2Ех) - аК2; (25)
Чт — и5Р (ат - а1ат-1 + ат-2Е1 ) - ат-3Е2 \
Чт+1 — и5Р ( - а1ат + ат-1Е1 ) - ат-2Е2 ;
Чт+2 — %Р ( атЕ1 ) - ат-1Е2 ;
Чт+3 — - атЕ2;
Р1— и5РЪ1;
Р2 — и5Р (Ъ2 - а1Ъ1 );
Рз — и8Р (Ъ3 - а1Ъ2 + Ъ1Е1 );
Р4 — %Р (Ъ4 - а1Ъ3 + Ъ2 Е1 ) - Ъ1Е0;
Р5 — %Р (Ъ5 - а1Ъ4 + Ъ3Е1 ) - Ъ2Е0; (26)
жа (5) —
25 + 1
(10 5 + 1)(7 5 + 1)( + 1) X ехр (-45).
-х
(31)
Влияние времени дискретизации и количества одинаковых управляющих воздействия первых тактов N на максимальное управляющее воздействие при переходном процессе можно видеть на рис. 2-5.
Оценка устойчивости произведена по диаграммам Боде с определением запасов по амплитуде АЛ и фазе Лф (рис. 9-10).
18 х16 14 12 10 8 6 4 2 0
\
\ \
\ N = 0
.................V" \
;Л.......N = 1
ч N \ ЧУ = 2
ч*............ ' '—. 1__
N = з" 1------ -----)-'•-;—-
4 5 6 7
ts, с
Рис. 2. Зависимость первого максимального управляющего воздействия итах от
и
SP
и?Р —
и 10 8 6 4 2 0 -2 -4
0
10
20 30 t, с
40
50
Рис. 3. Переходной процесс сигнала управления и при ^ = 3,7 с
У 1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
N = 0_ / * ч -
...............К= / / / / / / / /
1 1 / / / / / Т= 2...........
1 1 . 1 / 7 / / / ..../.../............ —N = 3
/ / ' / /
4 '¿г
0
5
10
15 20 А с
25
30
Рис. 7. Переходной процесс выходного сигнала у при ^ = 4 с
и 8
6
4
2
0
-2
-4
!
• 1 N = С
• 1 ........N. 2 N = 3
•
1
• 1
0
5
10
15 20
^ с
25
30
Рис. 4. Переходной процесс сигнала управления и при ^ = 4 с
-------
1
! ? 1 . N.........0................... :...........N...........1"
1 уг 1 / ..........2 .V 3
! 1 / у
__Т" _ —
• • __J
■ • ■ —.
■ •
0
10
20
^ с
30
40
50
Рис. 5. Переходной процесс сигнала управления и при ^ = 8 с
У 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
N. 0
* / / / **
N. 1 „ / * / / . 2
/ /
.....Г............. * ' /Л, ! /А 3
/ / //
/ Л
0
10
20 30
t, с
40
Рис. 8. Переходной процесс выходного сигнала У при ^ = 8 с
Л44 3,5 3
2,5 2
1,5 1
6 t с 7
8 9
10
Рис. 9. Зависимость запаса по амплитуде АА от ^ при разном N
У 1,8 1,6 1,4 1,2 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
N = 0
/ / \
/ Л 2
1 / ......./...../г / • / N ч
.......................... $ ........................*■ < / / г / / * V > \ \ ✓
......................1„, 1 1 ; /./...... • ' ...//............. » \ V ч ' ....... /
....................»""? 1 • ..................1.../, /ч......... ...........N....... \ ч > /
/у^
.............. у
0 10 20 30 40 50 60 70 ^ с
Рис. 6. Переходной процесс выходного сигнала У при ^ = 3,7 с
Л 70 Аф,
град 60 50 40 30 20 10
3456 7 8 ts, с
9 10
Рис. 10. Зависимость запаса по фазе Аф от ^ при разном N
Следует отметить, что при tS меньше величины запаздывания наблюдается неоднозначная зависимость запасов по фазе и амплитуде от tS. При некоторых значениях можно было наблюдать неустойчивый режим работы замкнутой системы.
ПИД-регулятор, настроенный по критерию [11-12]
tf
jt2 |e(t)|dt ^ min, (32)
0
показывал лучший запас устойчивости и по амплитуде, и по фазе (рис. 10) при tS значительно меньше постоянной времени и запаздывания объекта, чем цифровые регуляторы. Однако уже при tS = 1 запас по амплитуде у ПИД-регулятора практически идентичный цифровому регулятору для N = 3.
Критерий (32) был выбран для сравнения по причине того, что его минимизация при настройке ПИД-регулятора для объектов с запаздыванием обычно приводит к переходным процессам, близким к апериодическим [12].
Следует отметить, что для успешного использования немаловажную роль играет порядок передаточной функции объекта [5].
Литература
1. Изерман Р. Цифровые системы управления: пер. с англ. M.: Мир, 1984. 541 с.
2. Plsek S., Matusu R. Application of Adaptive Dead-beat Controller in Drying Process // Procedia Engineering. 2015. Vol. 100. P. 756-764.
3. Deadbeat model-predictive torque control with discrete space-vector modulation for PMSM drives / Y. Wang [et al.] // IEEE Trans. Ind. Electron. 2017. Vol. 64, no. 5. P. 3537-3547.
4. Deadbeat control for a single-phase cascaded H-bridge rectifier with voltage balancing modulation / C. Qi [et al.] // IET Power Electronics. 2018. Vol. 11, issue 3. P. 610-617.
5. Цифровые алгоритмы для управления технологическими процессами / Д. А. Гринюк [и др.] // Информационные технологии и системы - 2013 (ИТС - 2013): материалы междунар. науч. конф., Минск, 23 окт. 2013 г. Белорус. гос. ун-т информатики и радиоэлектроники, Минск, 2013. С. 38-39.
6. Balasevicius L., Dervinis G. Design of the Deadbeat Controller with Limited Output // Electronics and electrical engineering. 2011. No. 4 (110). P. 93-96.
7. Kucera V. Deadbeat Control, Pole Placement, and LQ Regulation // Kybernetika. 1999. Vol. 35, no. 6. P. 681-692.
8. Westphal L. C. Handbook of Control Systems Engineering. New York: Springer Science + Business Media, 2001. 1073 p.
9. Irfan A. Implementation of PID and Deadbeat Controllers with the TMS320 Family. Application report: SPRA083. Texas Instruments, 1997. 59 p.
10. Deadbeat Controller with Two Additional Steps / L. Balasevicius [et al.] // Elektronika ir Elektrotechnika. 2017. Vol. 23, no. 5. P. 11-14.
11. Hryniuk D., Suhorukova I., Orobei I. Non-linear PID controller and methods of its setting // Open Conference of Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream). 2017, P. 1-4. DOI: 10.1109/ eStream.2017.7950327.
12. Гринюк Д. А., Оробей И. О., Сухорукова И. Г. Модификация интегральных критериев для повышения запаса по устойчивости // Труды БГТУ. 2012. № 6: Физ.-мат. науки и информатика. C.118-121.
References
1. Isermann R. Digital Control Systems. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg GmbH, 1981. 566 p. (Russ. ed.: Izerman R. Tsifrovye sistemy upravleniya. Moscow, Mir Publ., 1984. 541 p.).
ts, с
Рис. 11. Зависимость запасов по фазе и амплитуде для ПИД-регулятора
Заключение. Использование полученных условий (28)-(30) позволяет легко перенастраивать алгоритм работы системы с обратной связью в зависимости от существования ограничений на управляющее воздействие.
Увеличение параметра N позволяет существенно увеличить робастность системы с апериодическим цифровым регулятором.
2. Plsek S., Matusu R. Application of Adaptive Dead-beat Controller in Drying Process. Procedia Engineering, 2015, vol. 100, pp. 756-764.
3. Wang Y., Wang X., Xie W., Wang F., Dou M., Kennel R. M., Lorenz R. D., Gerling D. Deadbeat model-predictive torque control with discrete space-vector modulation for PMSM drives. IEEE Trans. Ind. Electron, 2017, vol. 64, no. 5, pp. 3537-3547.
4. Qi C., Chen X., Tu P. Wang P. Deadbeat control for a single-phase cascaded H-bridge rectifier with voltage balancing modulation. IETPower Electronics, 2018, vol. 11, issue 3, pp. 610-617.
5. Grinyuk D. A., Orobey I. O., Sukhorukova I. G., Oliferovich N. M. Digital algorithms for process control. Materialy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii "Informatsionnye tekhnologii i sistemy - 2013" [Materials of the International Scientific Conference "Information Technologies and Systems - 2013"]. Minsk, 2013, pp. 38-39 (In Russian).
6. Balasevicius L., Dervinis G. Design of the Deadbeat Controller with Limited Output. Electronics and electrical engineering, 2011, no. 4 (110), pp. 93-96.
7. Kucera V. Deadbeat Control, Pole Placement, and LQ Regulation. Kybernetika, 1999, vol. 35, no. 6, pp.681-692.
8. Westphal L. C. Handbook of Control Systems Engineering. New York, Springer Science + Business Media, 2001. 1073 p.
9. Irfan A. Implementation of PID and Deadbeat Controllers with the TMS320 Family. Application report: SPRA083. Texas Instruments, 1997. 59 p.
10. Balasevicius L., Baranauskas V., Dervinis G., Derviniene A. Deadbeat Controller with Two Additional Steps. Elektronika ir Elektrotechnika, 2017, vol. 23, no. 5, pp. 11-14.
11. Hryniuk D., Suhorukova I., Orobei I. Non-linear PID controller and methods of its setting. Open Conference of Electrical, Electronic and Information Sciences (eStream), 2017, pp. 1-4. DOI: 10.1109/eStream.2017.7950327.
12. Grinyuk D. A., Orobey I. O., Sukhorukova I. G. Modification of integral criteria for increasing the margin of stability. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2012, no. 6: Physics and Mathematics. Informatics, pp. 118-121 (In Russian).
Информация об авторах
Олиферович Надежда Михайловна - ассистент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13 а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Гринюк Дмитрий Анатольевич - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Оробей Игорь Олегович - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Сухорукова Ирина Геннадьевна - ассистент кафедры информационных систем и технологий. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Information about the authors
Oliferovich Nadezhda Mikhaylovna - assistant lecturer, the Department of Automation of Production Processes and Electrical Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Hryniuk Dmitryy Anatol'yevich - PhD (Engineering), Associate Professor, Assistant Professor, the Department of Automation of Production Processes and Electrical Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Orobei Igor' Olegovich - PhD (Engineering), Associate Professor, Assistant Professor, the Department of Automation of Production Processes and Electrical Engineering. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Suhorukova Irina Gennad'yevna - assistant lecturer, the Department of Information Systems and Technology. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Поступила 15.05.2018
