CC BY
10
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ МЕХАНИКИ В ОБЩЕМ КУРСЕ ФИЗИКИ
Буркова Елена Геннадьевна
старший преподаватель МГТУ им. Н.Э. Баумана, г. Москва
АННОТАЦИЯ
Несмотря на практически двухвековую историю понятий работы и энергии, в изложении соответствующего раздела общей и даже теоретической физики присутствуют значительные различия, имеющие порой принципиальный характер.
Целью настоящей работы было предложить способ построения данного раздела, который по количеству используемых понятий и доказываемых теорем был бы оптимальным, а сами определения и формулировки корректными и продуктивными.
Для достижения данной цели автором проделан сравнительный анализ учебной и справочной литературы, а также обобщен личный педагогический опыт.
В результате разработан план построения раздела «Механическая работа и энергия», изложены ключевые моменты основных формулировок, наиболее важные из них приведены дословно. Результаты работы приведены в настоящей статье.
Проведенный автором анализ и предложенная методика могут быть полезны преподавателям физики в вузах, для выработки собственного стиля изложения данного раздела общего курса.
ABSTRACT
Despite almo& two centuries of the hi^ory of concepts of work and energy, in the presentation of the relevant section of General and even theoretical physics there is a significant differences, sometimes having a principled character.
The aim of this work was to propose a way to build this section, which by the number of used concepts and prove theorems would be optimal, and definitions and formulations correct and efficient.
To achieve this aim, the author has done a comparative analysis of educational and reference materials, and generalized personal teaching experience.
As a result developed a plan to design section «Mechanical work and energy», set out the key points of the basic formulations, the mo& important of them presented verbatim. The results of the work reported in this article.
The analysis and proposed methodology can be useful to teachers of physics in universities, to develop their own &yle of presentation of this section of the General course.
Ключевые слова: механическая работа, энергия, кинетическая энергия, поле сил, стационарное поле, потенциальная сила, консервативная сила, потенциальная энергия, энергия тела в поле, механическая система, потенциальная энергия системы, механическая энергия, замкнутая система, внешние тела, внутренние тела, внешние силы, внутренние силы, консервативная система, теорема о кинетической энергии, теорема о потенциальной энергии, теорема о механической энергии, Закон сохранения механической энергии.
Keywords: mechanical work, energy, kinetic energy, force field, Sationary field, potential force, conservative force, potential energy, body energy field, mechanical sy^em, the potential energy of the sy^em, mechanical energy, a closed sy^em, exterior body, the inner body, external forces, internal forces, conservative sy^em, the theorem of kinetic energy, a theorem on potential energy, the theorem of mechanical energy, the law of conservation of mechanical energy.
Вводные замечания
Во многих российских вузах общий курс физики занимает промежуточное положение между курсом физики в школе и курсом теоретической физики, к которому студенты приступят после освоения общего курса. Он позволяет студентам младших курсов увидеть и лучше прочувствовать возможности появившегося в их распоряжении аппарата высшей математики, прежде всего, математического анализа. С его помощью удается в гораздо большей степени, чем в школе, приблизить физические модели к реальности, а также значительно расширить круг изучаемых явлений. В результате оказывается возможным описание на языке формул многих принципиальных вопросов современной теоретической физики, которые в школьном курсе могли быть изложены лишь качественно, либо без обоснования (распределение Максвелла, второй закон термодинамики, формула Планка и т. д.). В то же время надо помнить, что студенты младших курсов — это вчерашние школьники, многие из которых аппаратом высшей математики до поступления в вуз
практически не владели (умение вычислять производные элементарных функций, без понимания того, что такое производная, вряд ли можно назвать владением). С другой стороны, ключевые понятия математического анализа на идеологическом уровне, по сути, знакомы школьникам из курса физики и даже усвоены ими, хотя бы потому, что они знают, что такое мгновенная скорость и умеют вычислять перемещение в неравномерном движении. Просто им не всегда называли вещи своими именами. Исходя из этого, в процессе чтения общего курса физики имеет смысл иногда давать определения на двух языках: математически формальном и физически наглядном, отражающем ту же суть, но в более доступной для непосредственного восприятия форме.
Руководствуясь данным принципом, приступим к изложению основной темы нашей статьи.
Механическая работа и энергия в учебниках общего курса физики
Понятия работы и энергии имеют практически двухвековую историю, они прочно устоялись в классической ме-
ханике. Казалось бы, таким должно быть и их изложение, поэтому чего-то интересного и принципиально нового тут не найти. Тем не менее, этот раздел дает нам пример удивительного разнообразия его изложений. Так, к примеру, в учебнике И.Е. Иродова «Основные законы механики» [4], не считая вспомогательных утверждений, формулируется порядка десяти основных теорем, где тщательно и скрупулезно рассматриваются всевозможные ситуации и системы, формулируются соответствующие им утверждения. Несколько меньшее количество основных утверждений содержится в задачнике того же автора. С другой стороны, в учебнике А.А. Детлафа и Б.М. Яворского [2] основных теорем всего лишь две, точнее одна и ее следствие. Это явно противоположный подход, причины которого легко выявить: в качестве основной и единственной теоремы автор формулирует теорему о механической энергии, все же остальное доказывается по ходу, либо сводится к определению (теорема о потенциальной энергии).
Некоторые утверждения относительно области применения законов сохранения способны, по крайней мере, вызвать вопросы. Так в учебнике А.Н. Матвеева мы читаем: «Энергия, импульс и момент импульса системы материальных точек сохраняют свое значение для замкнутых систем, т. е. в том случае, если нет внешних сил и моментов внешних сил. Если имеются внешние силы, то энергия, импульс и момент импульса системы изменяются. В неинерциаль-ных системах отсчета наряду с «обычными» силами действуют силы инерции. Эти силы всегда являются внешними по отношению к рассматриваемым телам... Однако нет никаких препятствий включить силы инерции в число сил системы и считать после этого систему замкнутой» ([6], с. 411). Но отличительной особенностью сил взаимодействия тел системы друг с другом является то, что их сумма всегда равна нулю. Включив силы инерции в число внутренних, мы эту закономерность нарушим, и тогда равенство суммы внутренних сил нулю придется вводить как дополнительное требование к закону сохранения импульса. Что же касается сил внешних, то для системы как раз не имеет значения, есть ли у них источники в виде реальных физических тел, или это силы инерции. Поэтому, предпочтительней было бы считать силы инерции внешними. И если теперь оптимальным образом определить замкнутую систему, а именно, потребовать, чтобы сумма всех приложенных к ней внешних сил равнялась нулю (при этом они могут действовать и даже быть приложенными к разным телам) то импульс такой системы будет сохраняться. И наконец, насколько вообще замкнутость системы необходима для сохранения ее механической энергии? Этот вопрос порождает множество недоразумений, его мы подробно осветим ниже.
В завершение беглого обзора отметим еще одно замечание автора учебника: «Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.3) (определение работы силы, — курсив наш) справедлива не только для частицы, но и для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под dr (или ds) следует понимать именно перемещение точки приложения силы Е Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам» [4, с. 85]. На самом деле, как раз следование этому «обстоятельству» приводит к результатам, если не ошибочным, то, по меньшей мере, бесполезным. Можно провести пальцем по столу. Точка приложения силы, при этом, переместилась. Тогда, согласно комментарию автора, сила терния, прило-
женная к столу, выполнила над столом работу. Причем она является единственной силой выполнившей над столом работу. Но приведет ли эта «работа» к изменению кинетической энергии стола? Вопрос, разумеется, риторический. Тогда, мы «теряем» теорему о кинетической энергии, что делает определение работы силы (механической работы) непродуктивным. Чтобы избежать подобного промаха, следует говорить о перемещении не точки приложения силы, а материальной точки, к которой приложена сила, то есть реального физического объекта. В таком случае его кинетическая энергия, разумеется, изменится.
Возможный способ построения раздела «Механическая работа. Энергия»
Последовательность изложения материала, в общих чертах, может быть следующей:
1. Формулируется определение механической работы однородной и неоднородной силы.
2. Формулируется определение кинетической энергии и доказывается теорема о кинетической энергии (для материальной точки и системы).
3. Формулируются определения: потенциальной и консервативной силы, потенциальной энергии. Доказывается теорема о потенциальной энергии (для материальной точки и системы).
4. Формулируются определения механической энергии и неконсервативной силы, доказывается теорема о механической энергии.
5. Формулируется определение консервативной системы, доказывается закон сохранения механической энергии.
Таким образом, получилось три теоремы и одно следствие — закон сохранения механической энергии. Каким образом количество необходимых утверждений стало возможным сократить?
Начать анализ имеет смысл с определения потенциальной и консервативной силы. Часто эти понятия практически не различают. В вузе, конечно, имеет смысл указать на их различие. И тут как раз стоит поговорить на двух языках. Речь идет о понятии потенциальной силы (потенциального поля сил). С одной стороны, стоит указать формально на то, что в определении потенциальной силы работа должна вычисляться при фиксированном значении времени. С другой стороны, можно отметить, что «реальная» ситуация выполнения такой работы — очень быстрое (мгновенное) движение частицы в поле потенциальной силы — настолько быстрое, что во время движения поле можно считать стационарным (скорость подобного движения частицы ничем не ограничена, оно может быть чисто воображаемым). Именно такое мгновенное движение предполагается при определении потенциальной энергии посредством работы потенциальной силы, как для материальной точки, так и для системы. В таком случае консервативным можно назвать стационарное потенциальное поле силы. Мы не приводим здесь соответствующих определений отдельно, они есть в приведенных источниках. Отметим лишь случай системы, поскольку он может представлять некоторую трудность для усвоения (опять же, с проблемой строгого определения студент младших курсов столкнется здесь, скорее всего, впервые). Сбивает с толку то обстоятельство, что, поскольку материальные точки в системе являются источниками сил друг для друга и могут двигаться в выбранной системе отсчета, порождаемые ими поля сил представляются, как минимум,
нестационарными. Проблема решается, если потребовать, чтобы при проверке на потенциальность конкретной силы, приложенной к конкретной точке системы, не только движение данной точки было мгновенным, но и все остальные внутренние тела оставались неподвижными. Последнее условие необходимо выдвинуть и для определения консервативной силы в системе, но перемещение тела, к которому она приложена, теперь, разумеется, не обязано быть мгновенным. Таким образом, вопрос сводится к случаю одной частицы в поле, а консервативная сила в системе — это аналог стационарной потенциальной (то есть опять же, консервативной) силы для частицы в поле. Но слово «стационарная» в системе, по упомянутым выше причинам, явно «не звучит», поэтому можно его не использовать.
Далее, при определении потенциальной энергии системы, на наш взгляд, следует особо подчеркнуть, что здесь существенно положение каждого тела, другими словами, нам нужно задать конфигурацию системы. И тогда потенциальная энергия системы будет определена как работа приложенных к ней потенциальных сил при мгновенном переходе системы из данной конфигурации в нулевую. Здесь стоит также отметить, что скорость распространения взаимодействий, в таком подходе мы считаем бесконечной, то есть, он имеет границы применимости.
Отметим теперь ключевое, на наш взгляд, обстоятельство. Для определения потенциальной энергии системы не имеет никакого значения, являются потенциальные силы внутренними, или внешними. Вот здесь вскрывается первая причина неоправданно большого количества теорем в некоторых учебниках. Их авторы делят потенциальные силы на внешние и внутренние. Соответствующее деление претерпевает также потенциальная и механическая энергия системы: теперь она может быть собственной, во внешнем поле и, наконец, полной. Провести подобное деление при желании, конечно можно, но нам не видится, чем оно могло бы помочь при решении конкретных задач. Минусы же наоборот видны, и это помимо увеличения числа теорем. Очень простой пример: материальная точка в поле тяжести. Если мы не включаем Землю в систему (а делать это, как правило, нет никакого смысла) то при «разделительном» подходе у тела не будет сохраняться собственная механическая энергия, но будет сохраняться его механическая энергия во внешнем поле тяжести и полная механическая энергия. И, чтобы быть корректными, нам необходимо тогда указать, о какой именно энергии в каждом конкретном случае идет речь. Но чем это может помочь при решении задачи?
Центральное место в разделе «Механическая работа» занимает теорема, которую мы называем теоремой о механической энергии. Ее формулировку следует предварить определением непотенциальных сил. Чисто прагматичный подход состоит здесь в том, что под непотенциальной мы подразумеваем силу, мгновенная работа которой не входит в потенциальную энергию системы. Это может случиться потому, что она действительно зависит не только от начального и конечного положения тела, на которое действует (при неизменной конфигурации остальных внутренних тел); в таком случае и потенциальная энергия для данной силы не может быть найдена — подобной функции не существует в принципе. Но может быть и так, что, по тем или иным причинам, мы просто не захотели выяснять, является ли данная сила потенциальной или нет. В таком случае ее вполне можно и даже нужно считать условно непотенциальной. Отме-
тим также, что непотенциальная сила совершенно не обязана быть диссипативной, она может выполнять над системой как отрицательную, так и положительную работу. Также не принципиально, является ли непотенциальная сила внутренней или она является внешней, в том числе, силой инерции. Однако из четырех сил инерции две (поступательная и центробежная) на самом являются потенциальными.
И наконец, на систему могут действовать гироскопические силы, работа которых равна нулю. Как правило — это реакции идеальных связей. Здесь, однако, важен тот факт, что нулю равна именно суммарная работа гироскопических сил, при этом, отдельные из них вполне могут выполнять ненулевую работу. Таким образом, в принципе, не имеет значения, включать гироскопические силы в число непотенциальных или нет, но по традиции их туда включают.
С учетом всего сказанного теорема о механической энергии может быть сформулирована следующим образом.
Изменение механической энергии системы равно сумме работ всех приложенных к ней непотенциальных сил и изменения ее потенциальной энергии, обусловленного нестационарностью потенциальных сил, приложенных к системе:
ДЕ=А +Д Е .
(1)
Однако иметь дело с неконсервативными потенциальными силами студентам придется крайне редко. Поэтому стоит отметить, что практически важное значение имеет «урезанный» вариант теоремы о механической энергии, а именно:
Если все потенциальные силы в системе консервативны, то изменение механической энергии системы равно сумме работ всех приложенных к ней непотенциальных сил:
ДЕ=А
(2)
И, наконец, мы подходим к закону сохранения механической энергии. Он является простым следствием (1), нужно только грамотно определить необходимую для его выполнения систему. Как известно, она называется консервативной. При этом имеет смысл не максимально сузить класс консервативных систем (например, потребовав полного отсутствия неконсервативных сил) а, наоборот, максимально расширить его. К сожалению, во всех источниках, приведенных в списке литературы, в определении консервативной системы имеются, если не недочеты, то, по крайней мере, неудобства. Приведем пример наиболее трудноуловимого из них: «Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы, а все внешние потенциальные силы стационарны» [2, с. 50]. Впрочем, с учетом проделанного нами анализа, недочет в определении может оказаться и не столь уж неуловимым. Конечно же, автор не учел, что внутренние потенциальные силы также могут быть нестационарными. В качестве примера можно рассмотреть систему заряженных тел, с которых заряд постепенно стекает вследствие фотоэффекта. Конечно, можно потребовать, чтобы «сбежавшие» электроны продолжали считаться частью системы, но, тогда в нее необходимо включить и выбивающие их фотоны, а также излучающие эти фотоны атомы, которые в свою очередь берут энергию из каких-то источников и т.д. Насколько это удобно? И, наконец, если мы в данном случае, как раньше, «избавимся» от внешних сил, от этого определение станет лишь проще.
Итак:
Механическая система называется консервативной, если сумма работ всех приложенных к ней непотенциальных сил равна нулю, а все потенциальные силы консервативны.
И, соответственно
Механическая энергия консервативной системы сохраняется.
При таком подходе консервативная система, разумеется, не обязана быть замкнутой. Это делает формулировку законов сохранения в механике удобной для восприятия; для каждого из них определяется своя система. При этом импульс сохраняется в замкнутой системе тел, а механическая энергия — в консервативной. Похоже, однако, нет общепринятого названия для системы, в которой сохраняется момент импульса. Как правило, ее называют замкнутой, но это, очевидно, не то же самое, что и замкнутая система в законе сохранения импульса (пример: планета в гравитационном поле массивной звезды; момент импульса сохраняется, импульс — нет). Пожалуй, и для такого класса систем название стоило бы придумать.
В статье сделана попытка предложить оптимальный во всех отношениях подход к изложению данного раздела механики в общем курсе физики.
Список литературы:
Воронков И. М., Курс теоретической механики. — М.: Наука, 1964.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: учебное пособие для втузов. — М.: Высшая школа, 1989. — 596 с.
Иродов И. Е. Задачи по общей физике. — СПб.: Лань, 2001. — 416 с.
Иродов И. Е. Основные законы механики. — М.: Высшая школа, 1985. — 248 с.
Кингсеп А. С., Локшин Г. Р., Ольхов О. А. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика, электричество и магнетизм, колебания волны, волновая оптика /Под ред. А.С. Кингсепа. — М.: Физматлит, 2001. — 560 с.
Матвеев А. Н., Механика и теория относительности. М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2003. — 432 с.
Тарг С. М., Краткий курс теоретической механики: Учеб. Для втузов. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.
Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Наука, 1977. — 944 с.
ДУХОВНО-НРАВСТВЕННОЕ ВОСПИТАНИЕ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ЦИКЛА
Гаряев Александр Владимирович
Преподаватель физики ПСВУ ЗАТО «Звездный» Пермского края;
Гаряева Татьяна Петровна
Преподаватель биологии ПСВУ ЗАТО «Звездный» Пермского края
АННОТАЦИЯ
Наук не враг духовности. Наука одно из сильнейших средств, позволяющих отличать правду от лжи, мнимое от действительного, реального от вымышленного. Без этих качеств человек не может называться высоконравственным.
ABSTRACT
Science is not the enemy of spirituality. Science is one of the &ronge& tools to differentiate truth from lies, valid from the false, the real from the fictional. Without these qualities a person can not be called moral.
Ключевые слова: духовность, наука, искусство, научная картина мира, лженаука.
Keywords: spirituality, science, art, scientific picture of the world, pseudoscience.
Слово «дух» родственно слову «дыхание». Мы дышим воздухом - невидимым, но вполне материальным газом. Хотя привычное словоупотребление настаивает на особом смысле слова «духовность», дух тоже материя, как и наш мозг. Наука не враг духовности, напротив: научное знание -глубочайший источник духовного. Когда мы осознаем свое место в бесконечности световых лет и сменяющих друг друга эпох, когда постигаем красоту, тонкость и сложность жизни, нас охватывает восторг, в котором гордость сочетается со смирением - это ли не парение духа! Представление, будто наука и духовность взаимно враждебны, лишь во вред им обеим.
Преподавание (обучение), несмотря на множество разработанных технологий, методик, приёмов было и остается искусством высшего порядка. Содержание преподавания есть достаточно редуцированное научное знание. И как тут
не воскликнуть вслед за Л. Д. Ландау: «Грош цена вашей физике, если она застилает для вас все остальное, шорох леса, краски заката, звук рифм. Это какая-то усеченная физика, если хотите - выхолощенная. Я, например, в нее не верю. Любая замкнутость, прежде всего, свидетельствует об ограниченности. Физик, не воспринимающий поэзии, искусство, - плохой физик».
Как педагогу в своей деятельности пройти между Сцил-лой и Харибдой (миром науки и миром искусства), то есть воздействовать и на разум и на чувства? «Вопрос о соотношении между наукой и образованием далеко не прост. Когда мы говорим о высоком научном уровне изложения учебного материала, то зачастую под этим пониманием сугубо логизированную схему результатов развития науки. Однако при этом в учебниках, как правило, тщательно вытравляют следы реального пути, которым шла наука для получения соот-
