CC BY
95
так что
sinb
> n
Sin c
12 .
(22)
Это равенство и представляет собой закон преломления: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно относительному коэффициенту преломления двух сред, на границу раздела которых падает луч.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, принцип Ферма позволяет доказать закон преломления и отражения.
А.С. Парахин
Курганский государственный университет, г. Курган, Россия
ИЗЛОЖЕНИЕ ВОПРОСА «ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ» В МЕХАНИКЕ
Аннотация: При изложении вопросов, связанных с понятием энергии, обычно любое соотношение по превращению энергии называют законом сохранения энергии. Это точка зрения верна, если под энергией понимать любой вид энергии. Если же при толковании того или иного соотношения, связанного с энергией, оставаться в рамках одного раздела физики (механики, молекулярной физики, электричества и т.п.), то уместнее использовать название закона изменения энергии того или иного вида, т.к. это более общее название. В данной работе рассмотрены изменения и сохранения кинетической и полной энергии. Показано при каких условиях закон изменения энергии переходит в закон сохранения энергии.
Ключевые слова: закон изменения энергии, кинетическая энергия, полная энергия.
ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОМ ЭНЕРГИИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим закон изменения кинетической энергии материальной точки в механике. Обозначим
Рг, г > Тп (1)
- силы, действующие на материальную точку, п - количество сил, приложенных к материальной точке. Согласно второму закону Ньютона
D П D ma >0 F .
(2)
Здесь т - масса материальной точки, а - её ускорение. Предположим, что за некоторый малый промежуток времени й материальная точка переместилась, её радиус - вектор изменился на йг . Умножим скалярно (2) на йг.
m(a,dr) > 0 (F, dr).
(3)
i >1
Выражение справа от равенства представляет собой элементарную работу, совершённую всеми силами, действующими на материальную точку на перемещении
йг.
п В 0
О > ал (4)
г >1
Выражение слева преобразуем следующим образом
В В аВ В В ¿В
т(а, ¿г ) > т(—,йг ) > т(йу,—) > й1 й1
A.S. Parakhin
Kurgan State University, Kurgan, Russia
2 2 > m(dv,v) > md(^) > d(—> dK. (5)
PROBLEM PRESENTATION: ENERGY CHANGE LAW IN MECHANICS
Abstract: In presentation of the problems connected with concept of energy, usually any ratio on energy transformation is called the law of conservation of energy. This point of view it is true if under energy to understand energy of any kind. If while interpreting this or that correlation connected with energy to remain within the limits of one section of physics (mechanics, molecular physics, electricity, etc.), then it is more appropriate to use the name of the law of change of energy of this or that kind since it is a more general name. The work considers changes and conservation of kinetic and total energy are considered. It is shown under which conditions the law of change of energy turns into the law of conservation of energy.
Keywords: the law of change of energy, kinetic energy, total energy.
ВВЕДЕНИЕ
При изложении вопросов, связанных с понятием энергии, обычно любое соотношение по превращению энергии называют законом сохранения энергии. Это точка зрения верна, если под энергией понимать любой вид энергии. Если же при толковании того или иного соотношения, связанного с энергией, оставаться в рамках одного раздела физики (механики, молекулярной физики, электричества и т.п.), то уместнее использовать название закона изменения энергии того или иного вида, т.к. это более общее название.
где у - скорость материальной точки в данный момент времени, К - кинетическая энергия материальной точки. Тогда выражение (3) можно записать с помощью понятия кинетической энергии
йК > йЛ. (6)
Это выражение можно назвать законом изменения кинетической энергии материальной точки. Он гласит: изменение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно элементарной работе всех сил, действующих на материальную точку. Эту форму записи условно назовём закон изменения кинетической энергии материальной точки в элементах.
Проинтегрируем (3) по некоторому конечному перемещению
r2 DD Г2 П D d m(a,dr) > 0 (Fj,dr)
D
rl
(7)
rl
i >1
Слева в данном случае стоит выражение для изменения кинетической энергии материальной точки на некотором конечном перемещении
В В
г2 г2
т(а,йг) > йК > ЕК
X
D
rl
X
D
rl
(8)
Так что выражение (7) представляется в виде
Б г2
П Б б ЕК >х О .
(9)
1
¡>1
Это выражение также представляет собой закон изменения кинетической энергии материальной точки, но записанный в интегральной форме. Он гласит: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором конечном перемещении равняется полной работе всех сил, действующих на материальную точку на данном перемещении.
Поделив обе части выражения (6) на $ , получим
йК > йА йг йг
Работа, совершаемая силами в единицу времени, называется мощностью этих сил. Так что
ёК йг
> N
(11)
йК йг
> 0 I К > евтг
г2
П Б б
х О (рг'йг) > 0
Г1
¡>1
то кинетическая энергия материальной точки в конце этого перемещения равна кинетической энергии материальной точки в его начале
ЕК > 0 I К2 > К1.
на, а на других отрицательна, причём суммарная отрицательная работа на всём перемещении по абсолютной величине равна положительной работе, то суммарная работа на этом перемещении равна нулю, а кинетическая энергия приобретает в конце перемещения такое же значение, как и в его начале.
ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Предположим теперь, что часть сил, действующих на материальную точку, консервативна, другая часть -неконсервативна.
Б пк Б У Б
Р >О 'О
(10)
Это также закон изменения кинетической энергии, но записанный в дифференциальной форме. Он гласит: скорость изменения кинетической энергии материальной точки равна мощности всех сил, действующих на материальную точку.
Из закона изменения кинетической энергии материальной точки следует закон сохранения кинетической энергии материальной точки. В этом смысле закон изменения кинетической энергии материальной точки является более общим, чем закон сохранения кинетической энергии материальной точки. В том случае, когда система сил, действующих на материальную точку, скомпенсирована или силы отсутствуют вообще, результирующая мощность равна нулю, скорость изменения кинетической энергии материальной точки согласно (11) равна нулю
(15)
¡>1 ¡>1
В таком случае элементарная работа в (6) представится в виде суммы двух слагаемых
йА > йАк , йЛп, (16)
одно из которых - работа консервативных, второе -неконсервативных сил. Работа консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии силового поля, соответствующего данным консервативным силам
йАк > .йи.
(17)
(12)
а следовательно, кинетическая энергия материальной точки остаётся величиной постоянной. Это и есть закон сохранения кинетической энергии материальной точки. В данном виде он предполагает неизменной кинетическую энергию во время всего движения материальной точки. Из интегральной формы записи закона изменения кинетической энергии материальной точки следует более общий закон сохранения кинетической энергии. Если работа всех сил на некотором перемещении равна нулю
(13)
(14)
В этом виде закон сохранения кинетической энергии не предполагает постоянства кинетической энергии на всём перемещении. На отдельных участках перемещения кинетическая энергия материальной точки может меняться, если на этих участках работа сил отлична от нуля. Но если работа сил на одних участках положитель-
В таком случае закон изменения кинетической энергии в элементах для материальной точки запишется следующим образом
йК > .йи , йАп. (18)
Перенеся первое слагаемое справа в левую часть, получим
йК , йи > й(К ,и) > йАп. (19
Выражение, стоящее в скобках, называется полной энергией материальной точки
Е > К ,и. (20)
Из (19) следует
йЕ > йАп. (21)
Это равенство и носит название закона изменения полной энергии материальной точки в элементах. Оно гласит: изменение полной энергии материальной точки на элементарном перемещении равно элементарной работе всех неконсервативных сил, действующих на материальную точку. Аналогично преобразовывается закон изменения кинетической энергии материальной точки в интегральной форме
ЕЕ > Ап. (2)
Это есть закон изменения полной энергии материальной точки в интегральной форме: изменение полной энергии материальной точки на конечном перемещении равно работе всех неконсервативных сил, действующих на материальную точку на этом перемещении.
Наконец, меняется и закон изменения кинетической энергии в дифференциальной форме
йЕ
-Ц > Nn , (
переходя в закон изменения полной энергии материальной точки в дифференциальной форме: скорость изменения полной энергии материальной точки равна мощности всех неконсервативных сил, действующих на материальную точку.
СЕРИЯ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ», ВЫПУСК 3
71
Неконсервативные силы могут быть 2-х видов.
1.Силы, работа которых Атр всегда отрицательна; назовём их неконсервативными силами типа сил трения.
2. Силы, которые выполняют всегда положительную работу Атаи,; назовём их силами типа сил тяги. В таком
J ¡Илей
случае изменение полной энергии материальной точки будет зависеть от соотношения сил трения и тяги
ЕЕ > Атр , А
тяги ■ (24)
1. Если силы тяги преобладают над силами трения
Атр = Атяги , (25)
то результирующая работа будет положительной
Атр ' Атяги ? 0 (26)
и изменение полной энергии материальной точки также будет положительным. В этом случае полная энергия материальной точки будет возрастать. Однако это не значит, что энергия берётся ниоткуда, просто энергия немеханических видов (например, тепловая) переходит в механический вид энергии.
2. Если силы трения преобладают над силами тяги
А
тр
? Атяги , (27)
то результирующая работа будет отрицательной
Атр ' Атяги = 0 . (28)
По этой причине изменение полной энергии материальной точки будет отрицательным, полная энергия будет убывать. Это не означает исчезновение механической энергии, она просто переходит в другие виды энергии (например, в тепло).
3. Если силы типа сил трения компенсируются силами типа сил тяги
|Атр| > Атяги (29)
или на материальную точку силы вообще не действуют, то полная работа неконсервативных сил будет равна нулю, нулю будет равно и изменение полной энергии материальной точки, т.е. полная энергии материальной точки будет сохраняться.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, закон сохранения полной энергии материальной точки является следствием более общего закона изменения полной энергии материальной точки.
