Энергетические особенности регулируемого электропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

3. Поляков В.Н., Шрейнер Р.Т. Экстремальное управление электрическими двигателями: моногр. / под общ. ред. Р.Т. Шрейнера. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2006. 420 с.

O.A. Kuznetsova

THE MULTICRITERION CONCEPT OF ENERGY EFFICIENT MODES OF ELECTRIC DRIVE

The basic elements of the multicriterion concept of energy efficient modes of electric drive's operation is described.

Key words: optimal control, electric drive, the criteria for evaluating effectiveness.

Получено 24.12.11

УДК 519.6

О.А. Кузнецова, канд. техн. наук, доц.,(4872) 35-54-50, o.a.kuznetsova@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РЕГУЛИРУЕМОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Рассмотрены особенности динамической системы электропривода с учетом нескольких критериев.

Ключевые слова: электропривод, динамическая система, уравнения, параметры

С точки зрения рассматриваемой проблемы энергосбережения и ресурсосбережения совершенство технологического процесса, связанного с электроприводом исполнительного органа (ЭП ИО), определяется сопутствующими потерями энергии. Эти потери определяются характером протекающего процесса, свойства которого зависят не только от принятых конструкторами параметров и технологической схемы ЭП ИО но, что необходимо также учитывать, и от применяемого принципа управления технологическими процессами. Это указывает на важную связь между термодинамическим совершенством технологических процессов и качеством управления соответствующими объектами.

Таким образом, возникает сложная проблема формирования единого целостного подхода, который обеспечивает дальнейшее развитие теории оптимизации и оптимального управления ЭП ИО, а также дальнейшую разработку практических методов энерго- и ресурсосберегающего управления.

Свойства динамической системы электропривода исполнительного органа

Рассмотрим нелинейную управляемую систему ЭП ИО, динамика которой описывается уравнениями Лагранжа

----= Q + Y X E (j = 1, 2,..., n (1)

dt dq. dq. *J Y Y Y (j) J W

где q = q(q15..., qn) - обобщенные координаты системы; n - число ее степеней свободы; Qj включает внешние и внутренние силы, в том числе неконтролируемые возмущения; Ey(.) учитывает дополнительные связи; L -

г

функция Лагранжа.

Преобразования уравнения Лагранжа за счет умножения на dqj и

суммирования по J [1] приводят к виду

^fj+s<?xJj- (2)

Если для уравнения (2) принять следующие обозначения

H = Y — - L, Q = -dL -Yx E ,

j dq. ' ^ dt Y

то получим соотношение

dH = YQjdqJ + Q,dt, (3)

которое остается верным при любой функции L(qj,q, t).

Если Qt = 0, то уравнение (3) принимает следующий вид

dH = W (d), (4)

где W(d) =Y Qjdq..

Таким образом, для натуральной склеромной системы (4) есть уравнение энергии, согласно которому изменение полной энергии H равно элементарной работе W(d) сил Q..

Если Qt = 0, dH=0, то имеем обобщенный интеграл энергии, или интеграл Якоби

H = const ,

В частном случае для натуральной консервативной системы имеем обычный интеграл энергии

T + V = const,

выражающий закон сохранения энергии электромеханической системы. Критерии удельного действия

Процедуры оптимизации и поиска оптимального управления предусматривают предварительную оценку динамики оптимизируемого объекта.

При оценке движения электропривода в целом или механической части электропривода целесообразно принимать динамический критерий,

увязывающий массу, движение и действующие силы, т. е. вытекающий из дифференциальных уравнений движения системы и начальных условий.

Наиболее общей мерой движения может служить действие, содержащее все сведения об инерции, движении и силах, приложенных к механической системе, являющееся критериальным и математической основой при оценке ЭП ИО.

При использовании действия в качестве критерия динамического совершенствования ЭП ИО введем в рассмотрение понятие критериального действия, определяемого в виде

(5)

I = | Fdt,

где t0, ^ - начальный и конечный моменты времени движения; F - мера движения или воздействия системы или ее узла; t - текущее время.

Критериальное действие определяет затраты механических средств за интервал времени или за цикл. Под затратами механических средств следует понимать затраты энергии-времени, количества движения-времени, принуждения-времени, импульса силы, механической работы. Эти затраты расходуются не только на создание полезного эффекта, но и на износ, вибрацию, шум и т.п.

По сравнению с известными действиями по Гамильтону - Остроградскому и по Мопертюи - Лагранжу - Якоби класс критериальных действий может быть расширен путем введения в качестве подынтегральной функции F всех известных в механике мер движения и воздействия.

Критериальные действия не предназначены для получения из них дифференциальных уравнений движения механических систем. Приведем основные критериальные действия на основании работ [2, 6, 7].

В зависимости от вида подынтегральной функции F получены критерии, которые оценивают причины износа, возникновения сил инерции, импульсных нагрузок и т.д. Им присвоены имена ученых, использовавших соответствующие подынтегральные функции.

Критериальное действие:

оценивает конструкции связей, структуру и износостойкость механической системы (!ГС Гаусс);

характеризует напряженность динамического режима системы, действие сил инерции (^ - Аппель);

определяет затраты потенциальной энергии-времени; оценивает затраты механической работы, и в частности работы сил и инерции; затраты свободной и полной энергии-времени (^ - Лагранж, \Ц - модуль Лагранжа,

|я| - модуль Гамильтона);

выражает затраты количества движения-времени во всех видах

N зв

движения звеньев ^ системы (1Д - Декарт);

J=1

оценивает затраты механической работы, и в частности работы сил и инерции (1К-П - по Кориолису - Понселе)

Критериальные действия можно вычислять для электромеханической системы в целом, а также разделить по частям системы или обобщенным координатам как для всего цикла, так и по этапам. Размерность критериального действия (5) зависит от размерности подынтегральной функции F и показывает, затраты каких механических средств (работы, импульса силы, энергии-времени, принуждения-времени, количества движения-времени) определяет данное критериальное действие.

Для сравнительной оценки различных электромеханических систем вводится показатель "удельное действие" - критериальное действие, отнесенное к единице полезного эффекта:

t^

к = (1/а) I = (1/а) | Fdt (6)

t о

где а - полезный эффект системы на интервале времени или за цикл. Их названия соответствуют перечисленным выше критериальным действиям.

Если в удельном действии по Кориолису - Понселе Кк _ П принять в качестве эффекта за цикл а полезную механическую работу, то Кк_П = 1/п, где п - КПД системы.

Для сопоставления разнотипных электромеханических систем введены безразмерные удельные действия Кб. Они вычисляются по формуле (6), в которой в качестве эффекта а приняты минимально возможные (полезные) затраты механических средств [7]. Эти затраты определяются вариационным путем как минимум функционала

tl ~

а = | F(q, д, д, t )dt

t о

при заданных граничных условиях д0,до), д1,д1).

Для решения вариационной задачи определения полезных затрат механических средств можно использовать уравнения Эйлера - Лагранжа - Пуассона

дF/дq _ (d|dt)(д^/дд)+ {с12/dt2 )(Э^/Эд')= 0.

Здесь F(t) - функция минимального действия, имеющая то же содержание, что и функция F (^ в выражении (5). Она выражает принуждение, энергию, количество движения, силу или мощность рабочего звена.

Безразмерные удельные действия - это числа, показывающие, во сколько раз затраты системой определенных механических средств I превышают полезные затраты а . Значение полезных затрат а может служить эталоном для сопоставления с ним реальных механических систем.

199

Таких уравнений столько, сколько обобщенных координат имеет упрощенная электромеханическая система для определения полезных затрат a. Решив эти уравнения, получим функции q(t), которые после подстановки в интеграл

н ~

a = | Fdt

t0

определят минимально возможные (полезные) затраты механических средств за цикл.

Проведенные исследования, связанные с оптимизацией электрического привода с учетом нескольких критериев, показывают, что зависимости критериального действия (удельного действия) стремятся к своим минимальным значениям, т.е. к предельно допустимому варианту [4]. Анализ исследований электропривода крановых механизмов [3,7] установил, что критериальные действия имеют одинаковый закон изменения при совершенствовании ЭП ИО как при эволюции системы на значительном интервале времени, так и при оптимизации. Исследования критериальных действий позволяют выполнить энергетический баланс ЭП ИО [9,4]. Одинаковая закономерность изменения критериальных действий позволяет определять коэффициент готовности ЭП ИО не из статистических данных, а по расчетам критериальных действий.

Энергетические критерии оптимального управления

В классической науке таким фундаментальным, обобщающим понятием является гамильтониан, который представляет собой полную энергию системы, что целиком описывает ее динамику. Этот подход в той или иной мере обязательно присутствует в теориях и методах современной науки, он до сих пор имеет первостепенное значение как база для разработки новых концептуальных подходов. Наиболее ярко гамильтонов подход проявился в знаменитом принципе максимума Л.С. Понтрягина [8] современной теории оптимального управления.

Предположим, что технологический процесс в соответствующем объекте описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

X ^) = / (х, u), (7)

где х - п - мерный вектор координат состояния; u - m - мерный вектор управления, m < п .

Считается, что уравнения (7) удовлетворяют известным условиям существования и единственности решений. Поставим теперь проблему оптимального управления. Требуется найти допустимое управление u, переводящее объект (7) из некоторого начального состояния х(0) в конечное х(Г) и минимизирующее на траекториях движения критерий качества в виде функционала

Т

I =|/0(х,и)dt,

(8)

0

где Т - время перехода, которое может быть фиксированным или нефиксированным.

Общий критерий (8) отражает требования минимума энергоресурсов к качеству процессов управления в объекте, обеспечение минимума времени переходных процессов, точности и т.д. Целью управления является проведение технологических процессов с обеспечением допустимого минимума расхода энергетических и материальных ресурсов при достаточной интенсивности протекания процессов в объекте. Общий функционал (8) можно конкретизировать для следующих распространенных частных критериев качества:

1) минимизация расхода топлива или вещества

Т т

11 =|Е , (9)

0 к = 1

2) минимизация расхода энергии

Тт

12 =|Х сук dt, (10)

3) минимизация расхода энергии при высокой точности управления

Т Г т Л

1 з =Л Еакхк+скик ^, (11)

0 V к=1 У

4) минимизация времени переходных процессов

14 =| ^, (12)

Разумеется, что, помимо критериев качества вида (9) - (12), можно построить различные комбинированные критерии, например, включающие в себя критерии 11 (9) расхода топлива и быстродействия 14 (12):

[ Т т ^

15 =Л1 + Ск|и^ ^, и т.д. (13)

V 0 к=1 У

Эти комбинированные критерии будут использоваться при рассмотрении конкретных задач синтеза многокритериальных энергосберегающих законов управления.

С учетом уравнений объекта (7) имеем следующие функции Гамильтона Н [8]:

для 11

Н =/0 (и )у + / (х, и У , У) = -[д/ дх и ) ^ У .

Для определения оптимального управления, согласно принципу максимума, необходимо обеспечить максимум функции Н по управлению. Это означает, что полная энергия системы должна быть наибольшей по сравнению с другими возможными управлениями. Для конкретности пред-

положим, что уравнения (7) являются линейными по управлению и могут быть представлены в виде

x(t) = A(x)+ B(x)и , (14)

где A(x) - функциональная матрица-столбец с элементами /сx\ fi(xl,...,x) f2(xl,к,x), fn(xl,к,x); B(x) - функдиональная матрица размером (n х m) с элементами /n (x1,., xn), i = 1,..., n, j = 1,..., m; и - вектор-столбец с компонентами и1, и2,..., ит .

Уравнениями (14) описывается весьма распространенный класс различных объектов. Тогда для объекта (14) и критериев качества (9) - (12) можно записать следующие условия максимума функции Н:

для I1 максимум Н1 определяется выражением

H = max {и |0 + (y,B(x)и)}, (15)

и е. и тах

откуда оптимальное управление

и(t)= итахdeZ(l B(X)и) •

В данном случае вырожденных и особых режимов не возникает.

Аналогичное выражение можно получить и для критериев (10) -

(13).

Выводы

Приведенные в работе свойства динамической системы электропривода основаны на законе сохранения энергии. Критерии удельного действия позволяют выполнять оценку работы электропривода применительно к различным решаемым задачам многокритериальной оптимизации. На основании закона изменения критерия удельного действия, можно определять надежность системы через коэффициент готовности. Критерии (9) -(13) определяют энергетические процессы управления электроприводом.

Список литературы

1. Булгаков Б.В. Колебания. М. ГИТТЛ, 1954. 892 с.

2. Зоммерфельд А. Механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1947. 392 с.

3. Иорданский Н.Н. Основы теории эволюции. М.: Просвещение, 1979. 190 с.

4. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода: монография / под ред. В.А. Сушкина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 104 с.

5. Казак С.А. Динамика мостовых кранов. М.: Машиностроение, 1968. 332 с.

6. Лагранж Ж. Аналитическая механика: в 2 т. М.: Л.: Гостехтеор-издат, 1950. Т.1. 594 с.

7. Горский Б.Е. , Ловейкин В.С. Применение коэффициентов удельных действий в поисковом конструировании //Горн.,стр. и дор. машины:

202

республ. межвед. науч.-техн. сб. 1981. Вып. 32. С. 80 - 89.

8. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин [и др.] М.: Наука, 1969. 384 с.

9. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. / пер. с англ., М.-Л., Изд-во "Энергия", 1964. 528 с.

O.A. Kuznetsova

ENERGY FEATURES OF CONTROLLED ELECTRIC DRIVE

The features of the dynamic system of electric drive taking several criteria into account are describes.

Key words: electric drive, dynamic system, equations, parameters.

Получено 24.12.11

УДК 519.6

М. В. Демичев, зам. гл. инженера, (4872) 25-53-73 demichev7878@mail.ru (Россия, Тула, филиал ОАО "Квадра" - "Центральный"), О.А. Кузнецова, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-54-50, o.a.kuznetsova@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИОННОГО РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЩЕКОВОЙ ДРОБИЛКИ

Рассмотрено построение модели оптимизационного расчета электромеханической системы щековой дробилки. Модель используется для нахождения оптимальных режимов работы дробилки.

Ключевые слова: щековая дробилка, электропривод, расчетные схемы.

Ежегодно в мире дроблению подвергается более 3 млрд т минерального сырья и других материалов. При этом следует отметить, что процесс дробления характеризуется значительными капитальными и эксплуатационными затратами, доля которых достигает 50...70 % от общих расходов на производство, а также высокой энергоемкостью, составляющей от 7 до 20 кВт-ч/т, и большим расходом легированных сталей.

Щековые дробилки со сложным движением щеки (ЩДС) применяются во многих отраслях промышленности для крупного, среднего и мелкого дробления различных по прочности и хрупкости материалов. Дроблению в них подвергаются железные руды и руды цветных металлов, уголь, известняки и доломиты, строительные горные породы и т.д.

203