ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ: СЛУЧАЙ СУММИРУЕМЫХ КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 3 (2023). С. 100-108.

УДК 517.956

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ: СЛУЧАЙ СУММИРУЕМЫХ КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ

А.Б. МУРАВНИК

Аннотация. Изучается задача Дирихле в полупространстве для эллиптических уравнений, содержащих, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига, действующие по тангенциальным (пространственноподобным) переменным, т.е., независимым переменным, изменяющимся на всей вещественной оси. Краевая функция задачи предполагается суммируемой, что в классическом случае дифференциальных эллиптических уравнений соответствует ситуации, в которой возможны только решения с конечной энергией.

Рассматриваются два (принципиально различных) случая: случай, в котором исследуемое уравнение содержит суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига, и случай, когда оно содержит их суммы (т.е. является уравнением с нелокальными потенциалами). Для обоих типов задач строится интегральное представление решения указанной задачи в смысле обобщенных функций, доказывается его бесконечная гладкость в открытом полупространстве (т.е. вне краевой гиперплоскости) и доказывается его равномерное стремление к нулю (а также равномерное стремление к нулю любой его производной) при стремлении к бесконечности времениподобной переменной (т.е. единственной независимой переменной, изменяющейся на положительной полуоси). Скорость этого стремления к нулю — степенная; порядок степени равен сумме размерности пространственноподобной независимой переменной и порядка производной решения.

Излагаются наиболее общие (на текущий момент) результаты: сдвиги независимых переменных допускаются в произвольных (тангенциальных) направлениях, а там, где сдвигов несколько, на их величины не накладывается никаких условий соизмеримости.

Таким образом, так же как и в классическом случае, задачи с суммируемыми краевыми функциями принципиальным образом отличаются от изученных ранее задач с существенно ограниченными краевыми функциями: последние, как установлено ранее, допускают решения, не имеющие предела при стремлении времениподобной переменной к бесконечности, а наличие или отсутствие такого предела определяется условием стабилизации Репникова-Эйдельмана.

Ключевые слова: эллиптические дифференциально-разностные уравнения, задачи в полупространстве, суммируемые краевые функции.

Mathematics Subject Classification: 35R10, 35J25

А.В. Muravnik, Elliptic differential-difference equations in half-spaces: case of summable

functions.

© Муравник А.Б. 2023.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках государственного задания (соглашение № 175-03-2020-233/3, FSSF-2023-0016). Поступила 21 марта 2023 г.

1. Введение

Традиционно, краевые задачи в полупространстве считаются естественными для нестационарных уравнений: единственная независимая переменная, меняющаяся на полуоси, естественным образом трактуется, как время, все остальные независимые переменные считаются пространственными, а данные, заданные на границе области (т.е. на гиперплоскости, ортогональной указанной полуоси), трактуются, соответственно, как начальные данные. Однако и для эллиптических уравнений хорошо известны корректные задачи в полупространстве. Более того, во многих таких случаях пространственная переменная, выбранная указанным выше способом (т.е. само уравнение не меняется, а всего лишь нарушается его изотропность в области), приобретает так называемые временипо-добные свойства: в частности, разрешающий оператор обладает полугрупповым свойством и имеет место стабилизация решений при стремлении вышеуказанной времениподобной переменной к бесконечности.

Для классического случая дифференциальных эллиптических уравнений описанное явление известно не менее шести десятилетий (см., напр., [1], [2]), Относительно недавно выяснилось (см, [3]), что оно характерно и для дифференциально-разностных уравнений, т.е., для случая, когда на неизвестную функцию, кроме дифференциальных операторов, действуют еще и операторы сдвига.

Интерес к таким (и, более широко — функционально-дифференциальным) уравнениям в частных производных проявляется в настоящее время во всем мире (начиная с пионерской работы [4]), Это обусловлено как их многочисленными приложениями, не покрываемыми классическими моделями математической физики, так и чисто теоретическими причинами: нелокальная природа таких уравнений порождает принципиально новые эффекты, не возникающие в классическом случае дифференциальных уравнений, а различные методы исследований, доказавшие свою эффективность в теории дифференциальных уравнений, оказываются неприменимы (напр., это относится ко всем методам, основанным на принципе максимума, поскольку, в отличие от дифференциальных уравнений, исследуемое уравнение связывает значения искомой функции в разных точках); соответственно, нужно развивать качественно новые методы (см, [5]-[8] и имеющуюся там библиографию).

Как в дифференциальном, так и в дифференциально-разностном случае, задачи в полупространстве (это относится и к эллиптическому, и к параболическому типам), разделяются на следующие два класса: задачи с ограниченными краевыми функциями и задачи с суммируемыми краевыми функциями. Эта (естественная) разница в постановке задач принципиальна — она порождает решения с принципиально различными наборами свойств, В частности, постоянные решения возможны только у задач первого из этих классов, С другой стороны, только решения с конечной энергией возможны у задач второго класса. Иными словами, необходимое и достаточное условие стабилизации Репникова-Эйдельмана, согласно которому решение может иметь предел (вообще говоря, отличный от нуля), а может и не иметь его, имеет место только для задач первого класса, У задач второго класса решение всегда имеет нулевой предел, а исследование в основном сосредотачивается на скорости убывания решения.

На текущий момент изучение задач второго из указанных классов несколько отстает. Цель настоящей работы — упорядочение изложить результаты, полученные для указанных задач (т.е., для задач с суммируемыми краевыми данными) к настоящему времени. Статья организована следующим образом. Задачи для уравнений, содержащих сум,мм дифференциальных операторов и операторов сдвига, и для уравнений, содержащих их суперпозиции, изучаются отдельно — обоснованность такого подхода, порожденного нелокальной природой указанных операторов, установлена при предыдущих исследованиях

дифференциально-разностных уравнений всех типов, В каждом из двух указанных разделов вначале подробно решается модельная задача, а затем излагаются результаты для максимального (на текущий момент) ее обобщения,

2. Уравнения с суперпозициями операторов

В полупространстве |(х, у) х Е Кга, у > о| рассмотрим задачу Дирихле для следующего модельного уравнения

иХ1Х1 (х, у) + аиХ1Х1 (х1 + к,Х2,... ,хп, у) + ^ ^ (х, у) + иуу (х, у) = 0,

3=2

где |а| < 1, а К — произвольный вещественный параметр.

При указанном ограничении в Мга корректно определены следующие функции:

:= 'id4 + 2 am¡ cos h

W) + |£|2 + a£2 cos

2

W) - ^|2 - ag cos

Справедливо следующее утверждение. Лемма 2.1. Если |а| < 1, то функция

£ (х, у) := / e-yGl «> cos [х • £ - у G2(0] ^

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

корректно определена в полупространстве Rra х (0, и удовлетворяет (е классическом смысле) уравнению (2.1).

Доказательство. Для доказательства первого утверждения леммы подкоренное выражение в (2.3) оценивается снизу через (1- |a|)|£|2, а для доказательства второго его утверждения функции (2.3) и (2.4) представляются в виде р(£) cos#(£) и р(£) sin#(£) соответственно, где

«0= [(|í|2 + <2^,,)2 + Й2й sin2 h6] ^ ^Utg Р.»)

Lv J 2 ^|2 + a^2 cos i

ж

Учитывая множество значений арктангенса, мы заключаем, что |#(£)| < —, а значит, cos $(£) > 0, a cos 2 #(£) > 0, откуда следует, что

cos

т = \

1 + cos

^arctg

а^2 sin |?|2+а?2 cos h4í

Тогда, применяя формулу arctgx = arccos

л/Г+ж2

получаем, что

cos 9(0 = —

sin ( )

1+

1

а2Ц sin2

(|£|2 + a£2 cos hei)2J

1

п

2

1

Теперь мы можем подставить функцию (2,5) в уравнение (2,1):

SXjXJ (х, у) = - / e3e-yGl{^ cos [х • С - yG2(£)] d£, j = M,

Rn

Syy(x,y) = J [Gfó) - G2(0] cos [x • £ - j^)] d£ (2,7)

R"

- 2 y G1(e)G2(C)e-yGl(?) sin [ж • £ - yG2(0] d£.

Rn

Учитывая неотрицательность cos26l(£), из равенства

2Gi(e)G2(e ) = P2(e)sin20(e)

выводим, что

2GiK)G2K) = = / ^ Sin "'i = <2 sin

V1+tg W(0 ^|2 + cos hCi)2 + £ (a sin hCi)2

a

G¡(0 - G2(0 =P2(0 cos 20(0 = P2(0^1 -

=p2(0^=1 = И2 + <2 cos h£i,

и (c;Vi + tg2 2 в® ^ Si ^

откуда следует, что

n

^"X i X

"Yh^xj Xj (x, y) + Syy (x, y) + aSXlXl (xi + hk ,X2,...,xn, y) i=i

+ ^ + < 2 cos К i

3=i

e-yGi() cos [ж •C-y G2(£M

- a J e2 sin h£ie-^Gl(« sin [x • £ - yG2®] ^ - a J -yGl(C) cos [x • £ - yG2® + ^i] ^

Rn Rn

= a J e2 cos h^e-^Gl(« cos [x • £ - Л®] ^ -a J g sin h£ iesin [x •£- j^)] d£

R" R"

- a /^i2 cos h£ie-yGl(i) cos [ж • £ - yG2(0] ^ + ai£2 sin e-yGl(i) sin [ж • £ - ^(0] = 0.

□

Пусть теперь щ G Li(Rra). Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если и0 Е ^^^ и |а| < 1, то функция

и(х, у) = ! 8(х - ^ у)М0<% (2-8)

Rn

бесконечно дифференцируема е Rn х (0, и удовлетворяет уравнению (2,1) в этом, полупространстве.

Доказательство. Учтем Лемму 2,1 и промажорируем саму функцию 8(х, у) и ее производные произвольного порядка:

оо

[ £Ге=-1-- [ 1пГе-Ы(1'Ц = ^ [ рт+п-1 е-рйр =

У (1 — Ы)^Ут+Ч ут+п У ут+п

R™ Rn 0

□

Найденная мажоранта дает и асимптотическую оценку решения и всех его производных:

Теорема 2.2. Если и0 Е Ь1(Ша), то решение (2,8) и любая его производная бесконечно дифференцируемы, в Rn х (0, +ж) и каждая из этих функций стремится, к нулю при у ^ +ж равномерно по х Е Rn.

Максимальное обобщение уравнения (2,1), достигнутое на сегодняшний день (насколько известно автору) — следующее (см, [9]):

п п

Х5 (х, у) +иуу(х, у) + а^иХ:1 Х5 (х + Н, у) = 0, (2,9)

3 = 1 3 = 1

где Н^ := (hj1,..., Н^, ] = 1, п, — произвольные векторы из Rn. В этом случае на коэффициенты уравнения накладывается условие

а0 := тах 1 < 1, (2,10)

3 = 1,п

а функции С1 и С2 определяются следующим образом:

С1(0 = р(0со8в(0, с2(0 = р(0^в(0, (2.11)

где

р(0

(га \ 2 /га \

ici2 + Y, cos hi < j + (S sin hi • y

га

E «iC2 sin hj • С

в(0 = 1 arcts 3 1

-----0 га

2 ici2 + cos hrc

(2.12)

3=1

В этом случае утверждения теорем 2,1-2,2 выполняются и для уравнения (2,9),

3. Уравнения с суммами операторов В полупространстве |(x, у) x E Rn,y > о| рассмотрим модельное уравнение

га

uXlXl (x, у) - au(xi + h,X2,... ,Хга, у) + YjUxi xi (x, у) + иуу (x, у) = 0 (3.1)

3=2

при условии, что

2 . , о < а< —, (3.2)

h

В этом случае введем

Р(0= (id4 + 2а\^\2 cos Ki + а2)4, д($ = 1 arctan ^^COt^ , (3'3)

2

4

а функции G{ i }(£) и, соответственно, £ (ж, у) по-прежнему определяются формулами

(2,11) и (2,5) соответственно.

Теперь, чтобы оценить функцию G\(О снизу, учтем, что значения арктангенса лежат

(ж ж \ ж

— — ,—J, Значит, |0(01 < —, т.е, cos 0(0 > 0 и cos 20(0 > 0, Следовательно,

л/.ч /1 + cos 20(f) 1 cos У(4) можно представить в виде \ -, a cos 20(0 — в виде

2 ' ^ + tan2 20(0

Поскольку

asín

2 0(О = arcta^^—-—,

Ю2 + a cos

имеем равенство

, оа(с, asín /о ^

tan2 0(О = ^^-т-г. 3.4)

|£|2 + a cos

Положительность последнего знаменателя обеспечивается условием (3,2), Действительно, он ограничен снизу функцией одной переменной /(£i) := ^ + a cos Ее производная

, sin ( )

указанной полуоси она ограничена снизу величиной /(0) = а > 0. Наконец, поскольку ( )

Из этой положительности мы делаем вывод, что

un UÍpannicn unj-iaj vjjj HI\.JJ1J'IÎ::J'I псрсмсппии J еду .— Цц шс ■ ^^ ирииашдпал

/'(О) равна 2£i — аЛsin h£i = О ( 2 — аЛ2S' ), а значит, неотрицательна на [0, +œ).

V h6 )

( а2 sin2 hfr V2 = Г

V + [|£|2 + а cos h£i]2 / Vï

cos20(0 = ( 1 + а2 sin2 ^ V* I [К|2 + аCOS ^

[|02 + а cos h£i]V V [ICI2 + а cos h£i]2 + а2 sin2 h£i ю2 + а cos h£i Ю2 + а cos h£i

(3.5)

Vid4 + 2 а|£|2 cos h^ + а2 Р2(0

Тогда cos 0(0 = —т= 2

1 + [CI2 + а cos

Р2(£)

i 2

и, следовательно,

g (о = р(е)—12

1 + Ю2 + а cos hÇi

. + Р2(е)

2 у Р2(0 + + а cos hfr (3 6)

Поскольку

Р4(0 = Ю4 + 2аЮ2 cos ^ 1 + > ICI4 - 2аЮ2 + «2 = Ш2 - «)2, неравенство р2(0 > ICI2 — а выполнено при уеловии, что Ю > -^/â. Значит, при > л/а

(ча\ ^ - I^I2 — а + I^I2 — а it|2

подкоренное выражение в (3,6) ограничено снизу функцией ---= I£I — а.

Используя найденную оценку подкоренного выражения в (3,6), заключаем, что для лю-

руемой функцией е ^|2-а во внешности шара радиуса ^â с центром в начале координат; внутри этого шара она мажорируется тождественной единицей. Таким образом, функция £ (ж, у) корректно определена в Rn х (0, +œ). Формально дифференцируя функцию £ (ж, у) под знаком интеграла (по любой переменной и сколько угодно раз), мы получаем только дополнительные подынтегральные сомножители не более, чем полиномиального роста

обосновывается точно так же, как и в случае самой функции £ (ж, у), только мажоранты заменяются на а^ и Ю^е-^л/^Р-« соответственно (здесь m — порядок производной). Следовательно, указанное выше формальное дифференцирование под знаком интеграла

законно и все производные функции 8 (х, у) тоже корректно определены в полупространстве Ега х (0,

Теперь, учитывая равенства (3,4)-(3,5), получаем соотношения

„2/ЛЧ Г 2д/л\ • 2д/л„2/л\ „„„ од^ Ш2

G?(0 - G¡(0 = р2(0 [cos2 0(0 - sin2 #(£)] = р2(0 cos 20(0 = |£|2 + a cos h^

и

j=!

2 G1 (0G2(0 = 2р2(0 cos2 0(0 sin2 0(0 = p2(£)sin20(£)p2(£)tan2 0(£)cos2 0(0 = a sin h£b Тогда, применяя равенства (2,7), вычисляем лапласиан функции (2,5):

п Г í п \

Y SXiXi (x, у) + 8УУ(х, у) = j í - Y S + Id2 + a cos h^ j e-^Gl(« cos [x ■ £ - yG2(0] d£

Rn \ 3=1 /

-a J sin hCi e-yGl^ sin [x ■ £ - yG2(0] d£

Rn

=a J e-yGl(?) ( cos [x ■ £ - yG2(£)] cos i - sin [x ■ £ - yG2(£)] sin h£i)d£

R"

=aj e-yGl(?) cos [(x ■ £ + h^) - yG2(£)] d£

Rn

=a Íe-'-i«) cos [(x + h,x„ - ■■ ,x„) ■ Í - Л«)] d£ = a8(x + h,x',

где х' = (х2,..., хп) € К"-1, а значит, при условии (3,2) функция (2,5) удовлетворяет уравнению (3,1),

Теперь используем найденные выше мажоранты подынтегральной функции в (2,5) и ее производных для того, чтобы оценить сверху саму функцию (2,5) и ее производные:

|£Ге-»Gl(«) cos [x ■ £-!,G2(f)]df

J kT,+ J ire

B(2^a) S,n\B(2^a)

<

ICImdC

B(2^E)

+

S,n\B(2^a)

--: С (a) + С (a, y),

где В (г) — шар радиуса г с центром в начале координат. Таким образом, при выполнении условия (3,2), утверждения теорем (2,1)-(2,2), в которых р(0 и 0(0 заданы формулами (3,3), справедливы и для уравнения (3,1),

Максимальное обобщение уравнения (3,1), достигнутое на сегодняшний день (насколько известно автору) — следующее (см, [10]):

"YhUxi xi (x, У) - au(x + h, у) + uyy (x, у) = 0,

3 = 1

где h — произвольный век тор из Rn, удовлетворяющий неравенству

(3.7)

ж

0 < a | h |2 < —.

1 1 - 4

(3.8)

Для такого уравнения функции G и G2 и, соответственно, ядро 8 по-прежнему определяются соотношениями (2,11), однако сами функции р(0 и 0(0 вводятся следующим образом:

р(0 = (|£|4 + 2а|£|2 cos h • £ + а2)1 0(0 = 2 arctan [^[2<+3inC0S fa • С' (3'9)

Если условие (3,8) выполняется, то утверждения теорем 2,1-2,2 справедливы и для уравнения (3,7),

4. Построение ядра Пуассона

Покажем, как найти вид ядра Пуассона 8, свертками с которым являются построенные в настоящей работе решения, на примере модельного уравнения (2,1), Для этого, наряду с указанным уравнением, рассмотрим краевое условие

и\ = ио(ж), ж е Мга, (4.1)

I у=0

и к задаче (2,1), (4,1) применим (формально) преобразование Фурье по (n-мерной) переменной ж. Получим следующую начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:

0 = + -lHlу 6 (0, (42) гГ(0;О=«о(О' (4-3)

Это — не задача Коши: порядок уравнения — два, а начальное условие только одно. Характеристическое уравнение полученного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (зависящего от n-мерного параметра О имеет два корня

±\/l£|2 + <2е-iHl = ±\/l£ l2 + а С2 cos h£ i - а г£? sin h£ i = ±р (cos 0 + i sin 0), ( ) ( )

Решаем задачу (4,2)-(4,3), подходящим образом выбираем «свободную» произвольную постоянную (она появляется за счет того, что количество начальных условий меньше порядка уравнения) и применяем (формально) к полученному решению обратное преобразование Фурье, Получаем свертку граничной функции с функцией

е-уЖ)сов0(0 cos^ • f - ур(0 sin 0(0],

т.е. в точности с подынтегральной функцией интеграла (2,5),

5. Выполнение граничного условия

Чтобы доказать, что функция (2,8) принимает граничное значение и0(ж) на гиперплоскости (у = 0} в смысле обобщенных функций, используем ту же схему, что и в [11, Замечание 2]. А именно, краевая задача понимается в смысле Гельфанда—Шилова (см, [12, §10]), решение ищется в классе обобщенных функций (n-мерной) переменной ж, завися-

положительной полуоси и непрерывных по нему в начале координат (см., напр., [13, §9, п, 5]), Таким образом, вне граничной гиперплоскости построенное решение является гладким (классическим), при этом краевое условие (4,1) понимается как предельное соотношение и(, у) ^ и0 в топологии обобщенных функций переменной ж при стремящемся к пулю

Таким образом, справедливы следующие утверждения.

Теорема 5.1. Если u0 G L1(Rra) и выполняется условие (2,10), то функция (2,8), где функции G1(£) и G2(£) заданы, равенствами (2,11), а функции р(£) и 9(£) заданы, равенствами (2,12), удовлетворяет задаче (2,9),(4,1) в смысле обобщенных функций (по Гельфанду-Шилову), бесконечно дифференцируема, в полупространстве е i" х (0, и вместе с каждой своей производной стрем,ится, к нулю при у ^ равномерно по x G ira.

Теорема 5.2. Если u0 G L1(ira) и выполняется условие (3,8), то функция (2,8), где функции G1(£) и G2(£) заданы равенствами (2,11), а функции р(£) и 9(£) заданы, равенствами (3,9), удовлетворяет задаче (3,7),(4,1) в смысле обобщенных функций (по Гельфанду-Шилову), бесконечно дифференцируема в полупространстве в i х (0, и вместе с каждой своей производной стремится к нулю при у ^ равномерно по x G ira.

Благодарности

Автор выражает благодарность участникам Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа — 2022» за полезные обсуждения его доклада, способствовавшие лучшему пониманию полученных результатов, их дальнейшему развитию и улучшению их изложения.

Автор глубоко признателен А,Л, Скубачевекому за постоянное внимание к работе,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е.М. Stein, G. Weiss. On the theory of harmonic functions of several variables. I:The theory of Hp spaces // Acta Math. 103:1-2, 25-62 (I960).

2. E.M. Stein. On the theory of harmonic functions of several variables. II: Behavior near the boundary // Acta Math. 106:3-4, 137-174 (1961).

3. A.B. Muravnik. Nonlocal problems and functional-differential equations: theoretical aspects and applications to mathematical modelling // Math. Model. Nat. Phenom. 14:6, 601 (2019).

4. P. Hartman, G. Stampacchia. On some non-linear elliptic differential-functional equations // Acta Math. 115:1, 271-310 (1966).

5. A.L. Skubachevskii. Elliptic functional differential equations and applications. Basel-BostonBerlin: Birkháuser (1997).

6. A.JI. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. /// СМФН. 26, 3-132 (2007).

7. А.Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. II // СМФН. 33, 3-179 (2009).

8. А.Л. Скубачевский. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // УМН. 71:5, 3-112 (2016).

9. V.V. Liiko, A.B. Muravnik. Elliptic equations with arbitrarily directed translations in halfspaces // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics 43, 64-77 (2023).

10. A.B. Muravnik. Elliptic equations with general-kind nonlocal potentials in half-spaces // Lobachevskii J. Math. 43:10, 2725-2730 (2022).

11. А.Б. Муравник. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения в полупространстве ¡I Математ. заметки. 108:5, 764-770 (2020).

12. И.М. Гельфаид, Г.Е. Шилов. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши // УМН. 8:6, 3-54 (1953).

13. Г.Е. Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука. 1965.

Андрей Борисович Муравник,

Российский университет дружбы народов,

ул. Миклухо-Маклая, 6,

117198, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]