CC BY
14
7. Гуськов С.И. Менеджмент и маркетинг физкультурно- оздоровительных услуг в зарубежных странах// Менеджмент и экономика физической культуры и спорта, 1994, №3 - с. 98-103
8. Мазилкина Е.И. Маркетинговые коммуникации: Учебно-практическое пособие / Е.И. Мазилкина. - М.: Дашков и К, 2016. - 256с.
9. Миронова Л.А. Роль маркетинговых коммуникаций в развитии видов спорта// Креативная экономика, 2015, №8, с. 23-43
10. Понявин А.В. Олимпийский маркетинг // Маркетинг в России и за рубежом. - 2002, №6 - с. 88-102
11. Степанова О.Н. Принципы маркетинга и управления маркетинговой деятельностью в системе физической культуры и спорта // Теория и практика физической культуры. - 2004-№ 3 - с. 100-9
12. Стеганцов А.М. Спортивный маркетинг - явление или фантом? // Спорт-магазин, 2014. - с. 23
13. Явленин И.А. Спортивный маркетинг: принципы позиционирования профессионального спортивного клуба. [Электронный ресурс] http://www.advertology.ru/article58278.htm
УДК 51
Лавровская А.В. студент 4 курса
Институт математики, физики и информатики ФГБОУ ВО «Красноярский государственный педагогический
университет им. В.П. Астафьева» Россия, г. Красноярск
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В РЕШЕНИИ ПОСЛЕДНЕЙ ЗАДАЧИ КИМ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ) Аннотация: В статье рассматриваются элементы теории чисел, которые присутствуют в решении последней задачи № 19, предлагаемые на Едином государственном экзамене по математике профильного уровня. Представлена девятнадцатая задача с досрочного варианта ЕГЭ 2016 года по математике (профильный уровень) и рассмотрены применения элементов теории чисел в её решении.
Ключевые слова: элементы теории чисел, задача № 19, профильный уровень по математике, Единый государственный экзамен (ЕГЭ).
Lavrovskaya A. V., student 4th year, the Institute of Mathematics, Physics and Informatics FGBOU IN "Krasnoyarsk State Pedagogical University. V. P. Astafieva "
Russia, Krasnoyarsk ELEMENTS OF THE THEORY OF NUMBERS IN SOLVE THE LATTER PROBLEM KIM EGE IN MATHEMATICS (PROFILE LEVEL) Annotation: The article deals with the elements of the theory of numbers, which are present in the solution of the latter problem number 19, proposed on the
Unified State Exam in mathematics profile level. Presented nineteenth problem with the early version of the exam in 2016 in mathematics (profile level) and considered the application of the elements of number theory in her decision.
Keywords: elements of the theory of numbers, the task number 19, profile level in mathematics, the Unified State Examination (USE).
Элементы теории чисел - один из интереснейших разделов математики. Изучать этот раздел школьники начинают, как только переступили порог начальной школы. На первом уроке математики, в пятом классе, знакомятся с таким понятием, как натуральное число. Весь теоретический материал из раздела теории чисел (числовые множества, понятие делимости, свойства делимости, простые числа, составные числа, и т. д) в школьном курсе математики, дается в разных классах, то есть дискретно.
Разработчики контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена по математики (профильный уровень) предлагают школьникам решить задачу № 19, в решении которой присутствуют элементы теории чисел.
Задача №2 19 (ранее - задача С6) это последняя задача в профильном ЕГЭ по математике и относится к высокому уровню сложности, за правильное решение которой предусмотрено четыре первичных балла. Сама задача содержит в себе три задания. В демонстрационном варианте КИМ ЕГЭ 2017 года по математике (профильный уровень) предусмотрены следующие критерии оценивая за выполнение каждого задания в задаче № 19 (рис. 1)
Содержание критерия Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4
Верно получены три из перечисленных (см критерий на 1 балл) результатов 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результата 2
Верно получен один ш следующих результатов: — обоснованное решение пункта <7, — обоснованное решение пункта 6, — искомая оценка в пункте в; — в пункте в приведен пример, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1
Решение не соответствует ни одному ш критериев, приведённых выше 0
Макс гшал ьный баи 4
Рис. 1 Содержание критерия Что необходимо знать выпускнику школы, чтобы решить эту необычную, нестандартную и не простую задачу? Для этого необходимо знать элементы теории чисел из различных разделов математики школьного курса и уметь математически рассуждать. В этой задаче отсутствует шаблонное решение, то есть заранее нельзя спланировать ход решения, как это делается в других тестовых задачах КИМ ЕГЭ. Она требует нестандартного подхода, так как её нельзя решить по алгоритму, но без базовых знаний не обойтись.
Рассмотрим на примере последнюю девятнадцатую задачу с досрочного варианта ЕГЭ 2016 года по математике (профильный уровень), (рис.2)
19. Множество чисел назовём хорошим., если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {100: 101: 102; ...: 199} хороши?
б) Является ли множество {2; 4: &: ...: 2_0С} хорошим?
в) Сколько хороших четырёх элементных подмножеств у мно-
Рис.2 Задача № 19
Ответим на вопросы:
а) Является ли множество {100; 101; 102; .„199} таким, что его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел?
Решение: пусть первое множество будет таким {100; 199} - сумма первого и последнего элементов равна 299. Во второе множество включим элементы {101; 198}- сумма этих элементов тоже равна 299.
Продолжаем. Будем выбирать во множествах элементы, равноотстоящие от наибольшего и наименьшего из чисел: 299 299 299
л л л
{100; 199; 102; 197;... 148; 151} - в первом множестве,
299 299 299
Л Л Л
{101; 198; 103; 196;... 149;150 } - во втором множестве.
Итого, получили два пятидесятиэлементных множества с одинаковой суммой чисел в каждой из них.
Ответ: Да, является.
б) Является ли множество {2;4;8;...2200}, каждый из которых степень
числа
2 (21 ,22 , 23 ,.2200} таким, чтобы его можно было разбить на два множества с одинаковой суммой чисел?
Здесь не удастся построить пример. Приведем доказательство того, почему это невозможно. Объяснений привести можно несколько, но ограничимся двумя.
Первое объяснение: Разобьём элементы {2;4;8;...2200} на два множества. В одно из них обязательно попадет число 2.
{2;4;8;16;32;...2200}
/ \
{2;8;...}и {4;16...} Рис.3
Заметим, что все числа в исходном множестве, кроме числа 2, кратные 4 (рис. 3). Значит, сумма этих чисел тоже будет кратна 4. Это означает, что сумма элементов второго множества, которое не содержит число 2, кратна 4. А первое множество, которое содержит число 2 не кратно 4, так как число 2 не кратное 4. Из этого следует, что суммы равны не будут. Поэтому исходное множество не разбивается на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
Второе объяснение: Одно из двух множеств, которое хотим построить, будет число 2 в двухсотой степени (2200). Но, построить такие множества с одинаковой суммой чисел нельзя, так как 2200 больше чем сумма всех остальных элементов множества (рис.4).
2200>21+22+23+24+... 2199 Рис. 4
Поясним, почему это равенство верно. В правой части видим сумму членов геометрической прогрессии с первым членом 2 (Ь =2) и знаменателем 2 (д=2). (рис.4).
Формула геометрической прогрессии: 5П = Ь1-, то есть
ч-1
2199 _ ^
2200 > 21 + 22 + 23 + 24 + - + 2199 = 2-= 2200 _ 2
2 _ 1
Рис.5
Видим, что левая часть этого равенства действительно больше правой
2200> 2200- 2 (рис.5). Следовательно, если разбить данное множество на два подмножества, то всегда то множество, которое будет содержать последний элемент 2200 ,по сумме будет больше. Поэтому исходное множество не разбивается на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
Ответ: Нет, не является.
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у исходного семиэлементного множества {3;4;5;6;8;10;12}?
Для ответа на этот вопрос, заметим, что хорошим четырехэлементным подмножеством исходного множества является:
{3;4;5;12} / \ {3;4;5} {12} Рис. 6
Это подмножество из четырех элементов разбивается на два множества (рис.6). Причем сумма чисел в первом множестве равна сумме чисел во втором множестве. Это пример хорошего четырехэлементного подмножества у исходного множества. Причем это единственный пример, когда наше четырехэлементное подмножество разбивается на множества из трёх и одного
элементов. Почему единственный? Потому, что взяли три самых маленьких множеств {3;4;5} и одно большое {12}.
В каком ещё случае сможем получить хорошие четырехэлементные подмножества? Когда они содержат четыре числа и разбиваются на два двухэлементных подмножеств. Например, сумма чисел первого и последнего множеств равна 9, второго и третьего тоже 9 (рис.7).
{3;4;5;6}
{3;6} {4;5} Рис. 7
Заметим, что среди семиэлементного множества {3;4;5;6;8;10;12}, два числа 3 и 5. Эти числа нечетные. В четырехэлементном подмножестве, которое хотим разбить на два множества, не может быть только одно из этих нечетных чисел. То есть, не может быть только число 3 или число 5. Если нечетное число будет только одно, предположим число 3, а остальные числа будут четные, то сумма чисел будет нечетной. И тогда разбить на два множества не удастся. Предположим, что только одно нечетное число 5 и три четных числа 4;6;8 составили четырехэлементное подмножество {4;5;6;8}. Тогда сумма этих четырех чисел будет нечетной - 4+5+6+8=23. Отсюда следует, что нечетное число, на два множества с равными суммами поделить нельзя так, как нечетное число нацело поделить не получится. Значит, нечетные числа 3 и 5, либо одновременно должны принадлежать множеству из четырех элементов, либо во множестве их нет.
Рассмотрим, когда числа 3 и 5 принадлежат четырехэлементному подмножеству (рис.8). Какие числа еще могут быть? Сумма чисел 3 и 5 равна 8. Может ли сумма оставшихся чисел в семиэлементном множестве -4;6;8;10;12, тоже в сумме дать 8? Нет, не может.
{3;5;_;_} Рис. 8
Значит, оставшиеся два элемента должны быть такими, чтобы разность их была равна разности между числами 5 и 3, то есть равна двум. Тогда они будут дополнять элементы 3 и 5, соответственно, до равных сумм. (Рис.9)
{3;5;6;8} {3;5;8;10} {3;5;10;12}
/\ / \ /\ {3;8} {5;6} {3;10} {5;8} {3;12} {5;10}
Рис. 9
Итак, четырехэлементных подмножеств, которые разбиваются на два двухэлементных подмножества, и содержат числа 3 и 5 - четыре (рис.7 и рис.9).
Осталось рассмотреть случай, когда числа 3 и 5 не входят в четырехэлементное подмножество. В этом случае оно состоит из чисел 4;6;8;10;12. Чисел пять, выбрать из них надо четыре.
Пусть этими числами будут 4 и 6. Разность между ними равна двум,
сумма их десять. Дописать ещё два числа с суммой десять не удастся. Значит, дописываем два числа с разностью два. Эти числа 8 и 10; 10 и 12; 6 и 8 (рис. 10).
{4;6;8;10} {4;6;10;12} {6;8;10;12}
/ \ / \ / \ {4;10} {6;8} {4;12} {6;10} {6;12} {8;10}
Рис. 10
Полностью разобрали все возможные варианты и выписали все хорошие подмножества из исходного семиэлементного множества (рис.6. рис.7. рис.9. рис.10).
Ответ: 8 четырехэлементных подмножеств. Задача полностью решена. Ответ: а) Да; б) Нет; в) 8.
При решении такой задачи одиннадцатиклассники должны осознавать, что на поставленные вопросы недостаточно ответить «да» или «нет». При ответе «да, является» необходимо привести подтверждающий пример, а при ответе «нет, не является»- подтвердить это утверждение доказательством.
Таким образом, на данном примере убедились, что решение задачи № 19 КИМ ЕГЭ по профильной математике основано на элементах теории чисел (числовые множества и их элементы, делимость, признаки и свойства делимости, простые и составные числа, последовательности и прогрессии, и т. д). Для успешного её решения не требуется знаний формул, которые изучаются в 10- 11 классах. Материал относится к темам шестого класса, когда изучается делимость чисел и девятого класса, когда изучается последовательности и прогрессии.
Использованные источники:
1. Зубарева И.И. Математика. 5 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович.- 14-е изд., испр. и доп. - М. : Мнемозина, 2013. - 270 с.
2. Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ. 2017. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ. 2017. URL: http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory (дата обращения 19.10.2016).
3. ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101. URL : https://math-ege.sdamgia.ru/test?id=9836233&print=true&svg=0 (дата обращения 19.10.2016).
4. Зубарева И.И. Математика. 6 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович.- 14-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2014. - 264 с.
5. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е изд. стер. - М. : Мнемозина, 2010. - 224 с.
