CC BY
30
М.А. Голуб, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер
ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ ДЛЯ КОРРЕКЦИИ АБЕРРАЦИЙ ИЗОБРАЖАЮЩИХ СИСТЕМ
Существенное расширение возможностей коррекции сферической и полевых аберраций объективов дают оптические системы с фазовыми слоями [1, 2]. Однако нанесение фазовых слоев по зонам с требуе1*йлм рельефом до последнего времени наталкивалось на значительные сложности, преодолеваемые с появлением современной технологии компьютерной оптики для синтеза корректоров волновых фронтов [з]. Возможности изготовления осесимметричных голографических оптических элементов рассмотрены в работах 1*> 5]. В данной работе для, вообще говоря, неосесимметричных корректоров рассматривается влияние дискретизации и квантования фазы корректора на качество формирования изображения. В качестве примера приведены оценки числа Штреля и разрешения синтезированного корректора аберраций одиночной линзы. Для упрощения формул расчеты проводятся в случае бесконечно удаленного объекта.
1. Пусть некоторый тонкий оптический элемент установлен в области в плоскости и=(и, V), а изображение формируется в области Б плоскости х=(х, у), от-
стоящей на расстояние fQ.
Введем угловые координаты объекта 0=(О , д ),
х у
=sin0
v _____ , О =sin0_,
X 1 у 2
(1)
где тх/2 - 01 , п/2 - - углы луча с осями и и v соответственно. Обозначим
b(u, О) функцию пропускания тонкого оптического элемента по эйконалу, т.е. b(u, д) дает изменение оптической длины пути луча при прохождении ТОЧКИ U под
углом
ъ.
Геометрический центр или гауссово изображение точки 5 бесконечно удаленного
предмета находится в точке
(2)
где
V£ о М-з*
(3)
- радиус опорной сферы Гаусса.
Используя уравнение эйконала [б], нетрудно получить для вектора поперечной
аберрации соотношение
0+У Ыи, О)
И(и, §)=и - х& +
(4)
Л-[5+7 Ь(и, З))]2 '
1* Э V
где V (аїї '
Волновая аберрация, как известно [6, 7], восстанавливается по формуле
- Iй--
В (и, 5) = В0 + — / х( и', $)аи*,
е -о
(5)
где интеграл берется по любой кривой, проходящей через ТОЧКИ ио и и.
Легко видеть, что в параксиальном приближении, когда § — О, /V Ь/«1, имеем
к (и, О)-и + і0УЬ(и, Ъ) ,
0 и
то есть
(6)
и2 —
В (и, Ъ) = в0 + + ь (и, д).
(7)
Таким образом, параксиальная волновая аберрация тонкого элемента совпадает с функцией пропускания Ь(и, д) этого оптического элемента по эйконалу, из которой вычтена функция пропускания (-иа/21:0) параксиальной линзы.
2. Пусть тонкий оптический элемент состоит из тонкого объектива с фокусным расстоянием ± (например, одиночная линза или склейка), с синтезированным корректором (см. рисунок). Если Ь (и,
состыкованного вплотную
для
В, (и, 3) = -Ьл(и, &),
V/ ПОЛУЧИМ ураВпспИб
(8)
при некотором 5 для всех и.
1 х
• •
^(и, Ф) для осесиммет
рИЧНЫХ
в.(и, э) = ь, + |в(НІ)3 + с<§-)2 + _ ЕІІіВ. . (9)
к ко 4 а2 аЭш 2 в2 а2 д3а 0 а3
ш ш ш
где В, С, Б, Б, Г - аберрационные коэффициенты/ соответствующие сферической
аберрации, астигматизму, кривизне поля, дисперсии, коме; 20^ - максимальный
угол поля зрения.
При применении методов компьютерной оптики корректор характеризуется дис-
кретной структурой с N х отсчетами, разрешением
(10)
и числом ш0 двоичных разрядов, используемых для кодирования одного отсчета. При этом пропускание корректора по эйконалу имеет М=2 0 градаций. Дискретизация по аргументам и квантование по уровням являются для синтезированных корректоров специфичными принципиально неустранимыми эффектами, определяющими их предельные
характеристики
3. В силу отличия реальной волновой аберрации корректора В^(и, 3) от требу емой согласно уравнению (8) система из объектива и синтезированного корректора является не полностью скоррегированной и имеет остаточную аберрацию:
В(її, 5) » (и, 3) - В^(и, 3). (11)
При этом функция рассеяния точки (ФРТ) меняет свой вид по сравнению с ФРТ идеальной безаберрационной системы. В частности, интенсивность I в центре х^ круж1 ка рассеяния становится меньше в
5ш = То раз интенсивности
ІП = /Ео/2 а*‘
(12)
(13)
безаберрационной системы а размер Л кружка рассеяния по уровню 0<д<1 ста-
новится больше, чем соответствующее значение
2п
До « 2Ед1- , К - &
(14)
т
безаберрационной систекы (например, £ = 2,73; £ = 0,94). При малых оста-
0/0
точных аберрациях, как известно, [б]:
Бш = ехр(-к2В2) = 1-к2В2, где В- - среднеквадратичная аберрация.
При этом, приравнивая световой поток, проходящий через кружки рассеяния безаберрационной и рассматриваемой систем получаем Д * Д, 1
(15)
(16)
ш
В случае параксиального приближения остаточная аберрация является невязкой ку-
методами
[з]
В2 = + — /ЛЬ|и, 5)/2с12и,
12М2 12 С
где б * шах(6 , ^а).
Проводя простые, но громоздкие выкладки для случая аберрации третьего
по-
В2 =
формул
(17) получим
12М2
О1* ,02+20С-2С2
+ —(
ш
I2
6а2 18 д2
V т
2Са
В(С-1-Р) , 5Е
3
6
(18)
Е
д® 6 ш
4
Рассмотрим пример. Корректор аберраций к тонкой плоско-выпуклой линзе с ра-
ционных коэффициентов тонкой
Г
лем преломления п. Используя формулы ДЛЯ ли н зы, получим
в2 =
X
12М2
6
6
1
4f5+v
32(1^)4 £
12(1^) £
ш
(2чл>) 2+1 а
16
где V = ^ ;
£
(19)
(20)
£ =
1
п-1
(21)
Формулы (12)-(18) и, в частности, формула (19) позволяют связать параметры дискретизации корректора (б и М), параметры оптической системы (поле зрения От, относительное отверстие 2а/£о, фокусное расстояние £о, X, п) с такими характеристиками качества оптической системы, как угловое разрешение &/£0 и число Штре ля 8ш. Приведенные в табл. 1, 2 расчетные данные позволяют проследить зависимость характеристик оптической системы с корректором от всех параметров и дать рекомендации по выбору разрешения устройства формирования фотошаблона, а также правильно подобрать количество бинарных масок (М-1), используемых при фотолитографическом изготовлении плоского корректора аберраций. Например, из табл. 1 видно, что для получения углов поля зрения до 30° с угловым разрешением 1,5*
Таблица 1
мкм
Ь/£
0,92е
0,951
0,99*
8* 0,93 О «* 00 00 } 0,79
Д, мкм 13,1 13,4 14,2
В А/ 24 1 Х/17 Х/13
(дт = 30°, 2а/£ = 1:5, М=8, £ =50 мм)
1,17'
0,58
16,7
1,48’
0,36
21,1
2,48*
0,13
35,8
Таблица 2
М
ш
Д, мкм
В
1,38*
0,41
19,9
1,04’ 0,97* 0,95’
0,75 0,84 0,88
14,9 13,8 13,5
Х/12 Х/15 1 Х/17
“ 30°' 2а/£о = 1:5' 6 « 10 мкм, £^ = 50 мм).
при относительном отверстии 1:5 достаточно обеспечить 6=25 мкм и М=8, что соответствует возможностям современной технологии компьютерной оптики. С использованием пакета прикладных программ обработки изображений и цифровой голографии [8] синтезирован плоский корректор аберраций плосковыпуклой линзы с указанными выше параметрами (п=1,6).
Литература
1. Слюсарев Г.Г. / ДАН СССР. 1957. Т. 113. С. 780-783.
2. Miyamoto К. JOSA. 1961. Vol. 51, N 1. Р. 21-24.
3. Голуб М.А., Живописцев Е.С., Прохоров А.М., К а р п е е в С.В., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. /
ДАН СССР. 1980. Т. 251, № 6. С. 1104-1108.
4. Г а н М.А. // Оптика и спектроскопия. 1979. Т. 47, вып. 4.
С. 759-763.
5. Бобров С.То, Г р е й с у х Г.И., Прохоров М.А., Туркевич Ю.Г., Шитов В.Г. // Оптика и спектроскопия.
1979. Т. 46, вып. 1. С. 153-157.
6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.
720 с.
7. Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. М.:
АН СССР. 1952. Т. 2. 568 с.
8. Пакет прикладных программ обработки изображений и цифровой голографии. Программы синтеза искусственных оптических элементов / Под ред. В.А. Сойфера. Куйбышев: КуАИ, 1984. 40 с.
