Формирование эталонных волновых фронтов элементами компьютерной оптики Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

М.А. Голубу Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер

ФОРМИРОВАНИЕ ЭТАЛОННЫХ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ ЭЛЕМЕНТАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

1, Проблема создания волновых фронтов

Сферические и плоские волновые фронты естественным образом формируются в оптических системах, состоящих из линз, призм, сферических зеркал, а также пробными стеклами. Создание эталонов волновых фронтов более сложной формы наталкивается на значительные трудности.

В работах по компенсационным объективам [1, 2] сообщается о получении волновых фронтов в виде поверхностей вращения второго порядка. Однако создание компенсационного объектива является уникальной задачей для каждого типа волновых фронтов. Асферические волновые фронты высших порядков, а также фронты без круговой симметрии, по-видимому, вообще не могут быть сформированы компенсационными объективами практически приемлемой сложности. В [3-7] для создания осесимметричных асферических волновых фронтов используются специальные кольцевые дифракционные решетки с дифракционной эффективностью не выше 401. В [8-15] показана возможность создания асферических фронтов с помощью бинарных синтезированных на ЭВМ голограмм. Однако при этом в требуемой волновой фронт дифрагируется лишь незначительная часть энергии освещающего пучка, соответствующая первому порядку дифракции, большая доля элементов разрешения голограммы идет на передачу несущей пространственной частоты, а относительное отверстие волнового фронта ограничено наложением высших дифракционных порядков.

В [9 , 16-19] предложены методы, алгоритмы и апробирована технология компьютерной оптики для создания фазовых компенсаторов с зонированным микрорельефом непрерывного профиля, имеющих энергетическую эффективность приближающуюся к 100%.

В данной статье обобщается цикл работ, рассмотренных в [9, 16-19] I по созданию осесимметричных и неосесимметричных эталонных волновых фронтов с помощью фазовых элементов компьютерной оптики ОКО) без опорного пучка. Описаны компенсаторы, формирующие внеосевые сегменты осесимметричного волнового фронта. Теоретически исследованы

зависимости точности формирования эталонного волнового фронта от его физических параметров, а также от числа уровней градаций фазы и пространственного разрешения синтезированного компенсатора.

2, Расчет плоского компенсатора

Формирование эталонного волнового фронта а будем производить из светового пучка Е согласно оптической схеме (рис. 1), основным элементом которой является компенсатор К с зонированным прозрачным микрорельефом, выполненным по технологии компьютерной оптики на плоской подложке.

Задачей плоского компенсатора К является создание постоянной фазы на поверхности волнового фронта а, вершина которого отстоит на расстояние I от К (см. рис. 1). Гладкий эталонный волновой фронт а зададим уравнением

Н = х£й (1)

с гладкой (непрерывно дифференцируемой) функцией ■f, МО) = 0. Здесь х = (х, у) декартовы координаты проекции точки Оба на плоскость П проходящую через верши-ну Од параллельно компенсатору; Ь - область значений х, соответствующая формируемому сегменту фронта о. Н - алгебраическое расстояние от вво до П, выбираемое отрицательным, если П лежит за в по ходу лучей. Ось выходит из центра 0 по ходу лучей. Освещающий пучок Е зададим длиной волны X, распределением интенсивности Хо^и) и эйконалом фо(и) в рабочей области в плоскости компенсатора (К/и=(и,у) - декартовы координаты в плоскости компенсатора). Чисто фазовый плоский оптический элемент-компенсатор К будем характеризовать фазовой функцией ф(и) [16, 17]. При создании компенсатора фазовая функция приводится к интервалу [О, 2п(т)] и реализуется в виде фазового микрорельефа (m=const - натуральное число, для киноформов т=1).

Рис. 1. Геометрия преобразования волнового фронта компенсатором

Геометрооптичес кое уравнение компенсатора имеет вид

кфо(и) + ф(и) + kl(x) = ф0 5 const; к = , (2)

где 1_(х) - расстояние от компенсатора до фронта о вдоль луча с направлением 1)

N = а . (3)

ортогональным к поверхности (1).

1_>0, если луч проходит о после К. В силу (3)

1_ = [ I + Оч/Г^ТР, (4)

а координаты точки и на К и точки х на а связаны уравнениями соответствия

и = х + [I + Нх>]Ух-Кх). (5)

Области в и С должны быть также связаны соответствием, как и и х. Фазовая функция компенсатора согласно (2) и (4) определяется по формуле

ф(и) = фо~к { [ (7) ] У\ + ¡>^<х)]2 + ф0(и» , (6)

где координату х следует находить путем решения уравнений (5) при заданной координате и.

Заметим, что при наличии вращательной симметрии волнового фронта а и освещающего пучка формулы (5) и (6) переходят в результаты работы [16].

3, Спектральные свойства компенсаторов

Синтезированный по технологии компьютерной оптики компенсатор представляет криволинейную фазовую дифракционную решетку со сложными топологией и профилем штрихов.

Зафиксируем геометрию волнового фронта а и изменим рабочую длину волны с расчетного значения Х0 до значения Х^Х0 . Поскольку изменение эйконала компенсатором не зависит от X, то фазовая функция ф(Х) компенсатора, необходимая для формирования а на длине волны X, связана с фазовой функцией ф на Х0 соотношени-

Ф(Х) = Х0/Хф

(пространственный аргумент и в этом параграфе опускаем).

При освещении синтезированного как ЭКО компенсатора излучением с Х?*Х0 сформированный волновой фронт отличается от заданного. Погрешности обусловлены двумя основными факторами:

1) изменением оптической разности хода через компенсатор вследствие дисперсии коэффициента преломления;

2) нарушением условия соответствия фазы и синфазности зон ЭКО.

Погрешности первого типа родственны хроматическим аберрациям обычных пропускающих оптических элементов. Если ЭКО имеет одну зону, то и для него дисперсия показателя преломления является единственной причиной аберраций.

Второй фактор является специфичным именно для ЭКО, в которых максимальное значение оптической разности хода должно соответствовать фазе 2тш для расчетной длины волны Х0 (т=1, 2, ...). При изменении длины волны даже при пренебрежимо малой дисперсии показателя преломления условие соответствия фазы нарушается. Очевидно, что синфазность зон будет снова появляться, если максимальное значение разности фаз для используемой длины волны X близко либо к 2тхш, либо к 4тхт, бпт, ... и т.д.

Количественное рассмотрение влияния несоответствия фазы на функционирование киноформа проведено в [20] для т=1. Однако качество работы оценивалось там по точности формирования заданной интенсивности в плоскости объекта. При исследовании же компенсатора существенна точность формирования фазового распределения, определяющего форму волнового фронта.

(6) и (5), не зависит от длины волны, а фазовая функция приведена к интервалу

'(О, 2пт) для Х0 , то фазовый сдвиг при Х^Х0 равен в каждой точке и

Ф(Х) = стоа2т1(пф, (7)

где

с - ЗГ • таЬ" ; ДП(Х) = С8)

п (X) - показатель преломления материала микрорельефа зон компенсатора; тос12тхтср ~ ф по М°ЯУЛЮ 2пт.

Функция комплексного пропускания компенсатора

Т (X) = ехрОФ(Х)) (9)

периодична по ф с периодом 2тш и, следовательно, может быть разложена в ряд Фур ье:

I

Т(Х) = £ а. ехрП - ф), (10)

I т

I =-»

а^ = бтпс(1-тс)(-1)1ехр(пптс), (11)

соответствующий различным дифракционным порядкам [21, 22], Причем согласно равенству Парсеваля

00

2 |а112=1. (12)

1 =-»

Дифракционный порядок номер I по (10) обеспечивает фазовую функцию

ф(° = Г и ТЯГ" (Р(Л) • С13)

т ша0

Наиболее интенсивным согласно (11) является порядок с номером 1=\>, ближайшим к тс, т.е.

• Шхгг =

где де[- ^, •£■], причем V зависит от X. В порядке V действует фазовая функция ФЫ = "Г ф = (15)

,, _ vX _ Ап (X) 1

и - 1й7 ~ дптхтт • 771 • (16)

V

Заметим, что при любых X (любых Д, V)

исГ1 Лп(Х> . пДп(Х) !

и£[3 Ап (X ) ' Дп (X ) " (17)

г2 Ап (X) . -|Ап (X)

Таким образом, в самом интенсивном \>-м порядке при измененной по сравнению с расчетной длине волны X вместо ф(А.) действует линейно искаженное в у. раз фазовое пропускание, дающее деформированную форму волнового фронта,

4, Характеристика точности эталонного волнового Фронта

В силу несовершенства технологии формирования микрорельефа, наличия дифракции и рассеяния света в среде компенсатора, ограничения числа уровней градаций фазы и разрешения по поверхности компенсатора вместо требуемой фазовой функции

А

Ф (6) реализуется фазовая функция ф. Соответственно вместо эталонного волново-

А

го фронта а формируется волновая поверхность о в некоторыми искажениями формы

по сравнению с ст, определяющими качество ст. Ниже формируются удобные при работе с ЭКО количественные характеристики отличия о от о как в каждой точке, так и в целом.

Хотя компенсатор для фронта ст рассчитывался методами геометрической оптики, волновая поверхность формируется дифракционно и может не быть геометрооптиче-

А

ским фронтом. Механизм формирования о описывается в общем случае суперпозицией многих дифракционных порядков [21, 22].

В данной работе предлагается оценивать качество компенсатора прямым сравнением световых полей, соответствующих о и ст, в виртуальном двухлучевом интерферометре, выставленном на полосы бесконечной ширины с разностью фаз тс в плечах.

Введем обозначения я, 1, ф для комплексной амплитуды, интенсивности и эйконала эталонного светового поля, соответствующего волновому фронту ст, а также

аналогичные обозначения С, I, ф, соответствующие ст:

I = Iи|2, ф = 1 агди;

« , * 1

I = IУI , Ф = а гди.

При заведении ы и 0 в плечи виртуального интерферометра сформируется разностное световое поле с комплексной амплитудой и-и и интенсивностью

т = |С-к|2. (18)

Л А Л

В качестве аргументов для и, I, и, I, ы-и, 1 будем использовать координаты

точки в декартовой системе с центром 0 (см. рис. 1). При этом точки плоскости

компенсатора К имеют координаты (и, V, 0) = (и, 0), точки волнового фронта о - координаты (х, у, 1 + 'П = (х, I + 1:(х))/ а точки плоскости П - координаты <хп, уп, I) = (хр, I). Причем по условию

Ки, 0) = 1о(и), ф(и, 0) = Ф0(и) + ¿ф<и), (19)

Ни, 0) = 10(и), ф(и, 0) = ф0(и) + | ф(и), (20)

Ни, 0) = I Си) • /»зтп'И^ - Ф<">

(21)

I 2

А

Поскольку 1 Схп, I) обращаются в ноль при и = то нормированная величина 1(хп, I)

к(хп) = - е [о, 1] (22)

Кхп, I)

л

может служить характеристикой отличия ст от ст в каждой точке сегмента й волнового фронта.

Для построения усредненных характеристик отличия ст от ст в целом могут ис-

А А

пользоваться интегральные световые потоки разностного поля и-и, поля и, проходящие через сегмент 0 фронта ст:

Ф0 = / Нхп, 1)а27п, (23)

°П

Ев = / 1(хп, 1)Ь2ТП, (24)

°П

а также соответствующие полные световые потоки

Ф = / / Нхп, 1)а2хп/ (25)

-оо -оо 11 II

р _ 7 7 ?<•- 7 7 Нхп/ оа27п (26)

Е ~ Нхп, I)а хп / / п' п

-оо-оо П' II _ оо — оо

(^П - проекция О на плоскость П, осуществляемая лучами).

Заметим, что комплексная амплитуда и близка к нулю вне области Ор сегмента а. Поэтому т(7р, = !<х„, I) при ?пе ср и

Ф = ®0 + Е- , (27)

Е = Е0 + Е5, (28)

а величина Е- дает долю светового потока Е, проходящую вне Рр и соответствующую высшим дифракционным порядкам.

Усредненными характеристиками качества формирования эталонного волнового фронта о могут служить относительные погрешности

Л = | и Л0 = ^

подсчитываемые по формулам (23), (25), (26), (29) и изменяющиеся в интервале [О, 1].

Погрешность характеризует чисто ошибку формирования сегмента 0 фронта о. Погрешность г| дополнительно включает долю энергии освещающего пучка, следующую в высшие дифракционные порядки вокруг о.

Введем также понятия уклонений волнового фронта. Для этого заметим, что в частном случае гладкой геометрооптической поверхности о,мало отличающейся от а, имеют место соотношения

|Нхп, I) - Нхп, I) |«1(хп, I), (30)

НТр, 1> = 1<*П' 1) • ^з1па[|е(хп)], (31)

где величина

е(хп) = ф(хп, I) - Ф(хп, I) (32)

представляет собой уклонение о от о, отсчитанное по нормали к а, проходящей через точку (хр, I) (см. рис. 2). В общем случае для волновой поверхности о формально введем понятия уклонения е(хр) о от о формулами (31), (18) в каждой точке Хр. Понятие среднего уклонения ев а от а в пределах сегмента 0 введем по аналогии, заменяя в (31> интенсивности на соответствующие световые потоки: пё

Ф0 = Е0 .451па(-^-Н.) . (33)

(При геометрооптической поверхности о, мало отличающейся от а, величина е^

Л

представляет среднеквадратичное нормальное уклонение а от а в пределах сегмента 0) .

В силу (27), (28) и (33) имеет место оценка

ё^ё, (34)

где е представляет собой характеристику, усредненную по всему волновому фронту Ф = Е.4з1па(^-) (35) *

Для световых потоков Ф и Е можно записать закон сохранения, следующий непосредственно из уравнения Гельмгольца:

оо

Ф г I / Ихр, Ос)2хп = Л (и, 0)с)аи, (36)

оо оо л

Е 5 = ■Г1(и/ (37)

С

Применение (36) и (37) к оценке (35) позволяет выразить уклонение е непосредственно через фазовую функцию компенсатора:

" < I = —а г с п Г /81па(*222)&(и)ааи] 3' (38)

~ п 1 б 1

где

Формула (38) дает оценку сверху точности уклонения Ер волнового фронта а от эталона а непосредственно через невязку фазовой функции компенсатора и верна для любой технологии изготовления компенсатора как тонкого оптического элемента. В следующем разделе производится конкретизация оценки (38) для ступенчатого микрорельефа с ограниченным пространственным разрешением, характерного для технологии компьютерной оптики [16, 17].

5. Влияние дискретизации и квантования фазовой функции компенсатора на точность эталонного волнового фронта

Наличие конечного числа М градаций высоты микрорельефа и ограниченное пространственное разрешение 6и х технологии компьютерной оптики [17] порождают квантование по уровням и дискретизацию по аргументам для фазовой функции компенсатора, приведенной к интервалу значений [О , 2тш), ш = 1,2, ... .

Влияние квантования фазовой функции обычно исследуется по интенсивности различных дифракционных порядков [21, 22]. Совместный учет дискретизации и квантования фазы в известных работах [23, 21)] выполнялся лишь для внеосевых бинарных голограмм.

Оценим совместное воздействие дискретизации и квантования компенсатора с дифракционным фазовым микрорельефом на качество волнового фронта, пользуясь выше в веденным дополнительно усредненным по ансамблю шумов квантования критерием уклонения е. Компенсатор, синтезированный методами компьютерной оптики, имеет дискретную структуру, содержащую не более N х N2 ячеек разрешения И, к^ размера 6и х каждая. Здесь и - множество номеров (.у, к) ячеек раз-

А

решения, попадающих в область 6. В каждой ячейке фазовая функция <р прини-

мает постоянное значение Ф}|</ получаемое путем квантования по М уровням отсчета

функции ф в центре ячейки Причем значения фj к выбира-

ются из конечного множества

2ттш М •

(ф

ф = ) -р; ),

О, М-1} ; , д

(40)

Оценку уклонения е (38) будем производить в предположении, что: размеры ячейки малы по сравнению с характерным интервалом изменения фазы; шаг квантования д мал по сравнению с 2пш, так что можно применить статистическую модель квантования [23]. При этом для фиксированной ячейки можно разложить ф по

степеням (и-Р . , )

) к

ф(и)

иев,-

ф(^к) + (и - 1;к>Уиф(Е.к), (А1)

¿к' \ = е(и) г е(^к>, (иеб^),

а величины шумов квантования

V

Ф) к -

(42)

(43)

Рис. 2. К расчету нормального уклонения волновых фронтов

<|е 12> = ^ ,

где <...> - символ усреднения по ансамблю шумов квантования.

Производя вычисление интегралов по и и усреднение <...> в каждой ячейке затем, переходя от полученных интегральных сумм к интегралам и подставляя результат в (38), получим

<е> = - агсвтп тх

где

еа = Р

(1 - 51ПС £)> 2ка М

а 2па М б1

, Эф Эфч

(фи = эТ7 ; - э7) ■

2п

(45)

(46)

(47)

Величина е^ обращается в ноль при М-»» и представляет компоненту среднего уклонения <е> из-за квантования фазы по уровням. Величина е^ обращается в ноль при би, б«-0 и представляет собой компоненту уклонения из-за дискретизации фазы в плоскости компенсатора.

В силу сделанных предположений о малости би, 6у и д можно записать формулы

— 1/2 (46) и (47) в более простом виде при 6u=6v=б: <е> = (еа+8?)

i /«'л.;

77 Н '

ба

= 12 = ^ Лх<х>|аВв<х>аах,

где согласно (6), (3) и

1

(5)

Vе»

Х(х) = ^иф(и) = - уиф Си)

30(х) = ;

Эх

= <2-

Эи ' ЭV

(48)

С49)

С 50)

С 51)

Эи

— - якобиан преобразования (5),

Эх

а вектор и находится по вектору х из уравнений С5).

Полезно учитывать, что при малой асферичности поверхности а, когда ее главные центры кривизны лежат вблизи центра ближайшей сферы, и при постоянной интенсивности 1о освещающего пучка весовые функции (3 и 0о аппроксимируются констан-

р(и) з , В0(х) = , (52)

где |0I - площадь области в.

Если связать параметры волнового фронта с характеристиками компенсатора, полученные оценки позволяют вычислить точность ё формирования волнового фронта имеющимся компенсатором, а также выяснить заранее, до осуществления попытки реального физического изготовления компенсатора, можно ли его получить с заданной точностью ё<едоп. Кроме того, оценки (45) - (49) позволяют осуществить выбор проектных параметров технологии компьютерной оптики (б, И и др.) по требуемой точности едоп создания эталонного волнового фронта.

6, Формирование волновых фронтов с малым относительным отверстием

Для гладких волновых фронтов о (1), удовлетворяющих условию параксиального приближения,

можно упростить уравнения для фазовой функции ф и точности е путем разложения их в ряд Тейлора. Здесь 2А х 2В - размеры прямоугольного сегмента 0 фронта о по осям х, у соответственно; I? п , - главный радиусы кривизны в вершине 0о; введем также размеры 2а х 2Ь светового отверстия 6 компенсатора К, связанные с А, В уравнениями вида (5). В данном пункте будет использована скалярная форма записи (и, V) = и; (х, у) = х и обозначения 1 fy, ^у и т.п. для производных от f .

Для упрощения записей направим оси х, у из вершины В0 по пересечению главных нормальных сечений а с касательной плоскостью ков вершине й0 , т.е. поло-

но,о) = о ^(о,о) = о (54)

f у (0,0) = 0 ^у(0,0) = о

Если функция f имеет непрерывные производные по крайней мере до порядка п0,

то в силу (53) функции f и ф целесообразно разложить в ряды по степеням х, у и и, V соответственно.

Их, у) = 2° 1г Е О ♦ 0((х + у)п° + 1), (55)

п = о п! П

фСи, V) = ^ 2 + 0((и + У)По + 1), (56)

п = о V— о '

где - биномиальные коэффициенты;

п0 - порйдок приближения;

О(^) - символ величины того же порядка малости, что и В силу условий (54) получаем

*оо=°: *о1-*,о-°5 *11=0- (57)

По формулам дифференциальной геометрии с учетом (57) главные радиусы кривизны в точке (х, у) = (0,0) равны

о ___!_. о =__1_ (58)

2 о 0 2

Если кроме того имеет место разложение освещающего пучка

ф0(и, V) = -Ц- Е с^ф п_ + 0((и + уп° + 1), (59)

п = 0 п" V=° П V'Г^~V

ТО формулы (5), (6), (57) и (58) позволяют установить связь между коэффициентами:

<Р00 " <Ро " к(Фоо+1)' Ф01 = -кФ01 ; Ф10 = к<р10;

(60)

<Р2о = кС^гт- - Ф20); Ф02 = кС^ - Ф02>/ С61)

Ф11=-кф11

ш = к

(1 ïïT)2(1 - с5

Ф = к 1 2

:

Ф = к

(1 "

i ®оз = к

- ф

О 3

Заметим, что решение уравнения (5) можно представить в виде

1

Г

1 -

I

+ 0((u + v) )

+ 0((u+v)3)

(63)

(64)

Уклонение е волнового фронта также может быть выражено через коэффициенты параксиальной фазовой функции (56). Например, формулы (46), (49) в приближении (52) принимают вид

б2

11 ,тХч г

е = ïïV' +

а Ь 1/2]

/ /сФ2 + ф2)аиау

48abk2 -а -Ь

а в параксиальном приближении (53) получаем (при п =3) оценку

1 .<{£>» + -&_Гф2

! L 1 I

1 2 M

12 k-

+ ф2 + |-(ф2 + ф2 ) + £-(ф 0 1 3 2 0 11 3 *

,1/2

Р2 + Ф2 )] 0 2 1 J; ,

(65)

(66)

где коэффициенты Фс1, ф0, Ф10» Ф20» Ф02< Ф определяется по формулам (60) - (61).

Заметим, что при используемом порядке аппроксимации (п0=3) можно в формулах (65) и (66) заменить (см. рис. 1 и уравнения (5) и (64)

u = А ( 1 - ■£-); Ь = ВС 1 - i ).

(67)

7, Осесимметричные компенсаторы

Осесимметричные компенсаторы, формирующие волновые фронты вращения, являются непосредственными аналогами компенсационных объективов и рассмотрены в [16, 18]. В данном пункте соответствующие формулы выводятся как частный случай изложенной выше общей теории. При этом для ради ально-симметричных функций от г = lui = v^u2+v2 и р = |х| = Ух2+ у2 будем применять те же символы, что и для соответствующих функций от и, х.

Пусть волновой фронт о является поверхностью вращения диаметра D с уравне-

z = f(p), 0<р< D / 2 , (68) а освещающий пучок имеет радиально-с имметричную интенсивность IQ(r) и эйконал

ф0(г). Переходя в уравнениях (5) и (6) к полярным координатам

х = pcosa, у = psina (69)

u = rcosg, v = rsing, (70) нетрудно получить [16, 18] соотношения

а-^3, (71)

г = р + [I + f (p)i.f' (р) , (72)

Ф(г) = Ф0-к[[L + f(р)] ./l + [f'(р)]2 + ф0(г)]/

(73)

Таким образом, для нахождения фазовой функции в точке г достаточно решить относительно р одно нелинейное уравнение (72) и подставить результат в (73). Заметим, что диаметр компенсатора с! и диаметр волнового фронта 0 согласно уравнению (72) связаны с I:

I = - . (74)

2 2^|)

В параксиальном приближении, когда

|«1 (75)

к

и соответственно

й4Г«1, (76)

можно представить f и Фо коэффициентами разложений в ряд Тейлора

Пр) = - р2 + ¿у ^р* + ¿у fвp6 + 0(р8), (77)

фо(г) - фо - гг ф*г2 + ir V + ¿i Vе + 0(гв)'

(78)

где R - радиус кривизны в вершине волнового фронта о. При этом решение уравнения (72) представляется в виде

р = р ( г) = -—- r+i-pr3+lTpr5+ 0(г7) , (79)

1 - J^ j • з Ь • з

R

Р, ----¡-(1 + i R2Lf4), (80)

R2(1 -i)* 3

R

P5 = -—-г-(1 ♦ ' R2 l f ) + (^ - lV. (81)

5 R*(1 - i)7 7 " (1 - i)6 R R R

(82)

Согласно (73) - (81) разложение фазовой функции

ф(г) = фо + 1 ф2г2 + |у фцг" + фвг6 + 0(г8) имеет коэффициенты «а = к[-Ф2+ ¿l]

3(2 - -Ь f

* R3(1 - i)» (1 - i)»

R К .

,c 90(2 -

фв = + -—1— + -Г— + (83)

6 R (1 - i)5 R5(1 - i)7 к R

15(5 - i) 10RC2 - jj> f„ + -£_ f + _ R f2--í__

R2(1 - i)7 * (1 - i)7 " (1 - i)6

Точность E создания волнового фронта вращения оценивается по формулам (49) и (82)

и выражается через коэффициенты (83). Например, в приближении (52) получаем удобную расчетную формулу

J_,mA42 . 62d2, , А d2 m ,„ ^ _d*_ , . d'

1/2

{■reC^) + + J7T ф2фц + Ф2 + —— Ф2Ф6)} ■ (84)

12 M 96k2 a g-27 * 1 5 • 27 2 6

В качестве примера рассмотрим компенсатор, формирующий асферический волновой фронт вращения второго порядка, задаваемый уравнением

р2 = -21Н - (1-е2Н2, (85)

где е - эксцентриситет. Освещающий пучок Е создается точечным источником, расположенным в точке с координатой (-50) на оптической оси. Здесь

Г = - , f = - (1 -е2)2 ^ (86)

I*3 6 R5

Ф0 - 0; ф2 = 1- , ф, = ^ ; фб = , (87)

о Э Б

о о

и по формулам (82) - (84) можно подсчитать фазовую функцию ф и уклонение е волнового фронта. Представляют интерес два случая: компенсатор "сфера - поверхность второго порядка" с источником с 50 = и компенсатор "плоскость - поверхность второго порядка" с 50 = Таблицы 1, 2 и 3 показывают зависимость е от М и N=01/6 для случаев компенсаторов "сфера - параболоид" (гиперболоид, эллипсоид) соответственно для Л = 0,63 мкм; 0 = 0,2 м; I? = 1 м.

Графики и изолинии уклонения е показаны на рисунках 3 и 4 для 50 = 1?-1. и на рисунках 5 и 6 для плоского освещающего пучка с 50=«>. На рисунках 4 и 6 штриховкой отмечены области, где требуемая точность не достигается.

Таблица 1

Значения е для случая компенсатора "сфера - параболоид" (е = 1)

N м 256 512 1 021» 2048 4096

4 X . X X X X 375 ТПТ 13 13,7 тц

8 XXX X X ю 1 7 23 2% 73

256 X X X X X 11 21 Тз 1Гб Т7з

Таблица 2

Значения е для случая компенсатора "сфера - гиперболоид" С е = 1,3)

N М 256 512 1 024 2048 4096

4 XXX X X 6 9,5 12 13 Т7

8 XXX X X 6,2 12 19 25 30

256 XXX X X «Г1» 13 2% 51 102

Таблица 3

Значения е для случая компенсатора "сфера - эллипсоид" (е=0,7)

М 256 512 1 02 't 2048 | i*096 1

k X TT X TT X 13,7 X IT X TS

8 X 17 X 23 X TZ X 27 X TZ

256 X 22 X И X 91 X 1 82 X 36^

е = 5

6=2,5 мкм е= 1 О

6=2,5 мкм

е = 30

6=2,5 мкм

0,2 О,'» 0,6 0,8 1,0 £

К

Рис. 3. Погрешность дискретизации компенсатора "сфера - поверхность второго порядка" (0 = 0,2 м; Л= 0., 6 3 2 8 мкм; 6=25 мкм; М«25б)

е= 1

6=25 мкм е = 2

6=2,5 мкм

Рис. U. Область значений параметров е и D/R волновых фронтов второго порядка, формируемых из сферического фронта (D=0,2 м; Х=0,6238 мкм;

М=2 56)

Рис. 5. Погрешность дискретизации компенсатора "плоскость - поверхность второго порядка" (0=0,2 м; Х=0 ,6328 мкм; М=256)

Рис. 6. Изолинии уклонения для волновых фронтов второго порядка, формируемых из плоского фронта (0=0,2 м; Х=0,6328 мкм;

6=25 мкм; М=256

8, Формирование волновых Фронтов высших порядков

Уравнение поверхностей вращения п-го порядка, используемых в оптике, имеет вид п

р2 = - £ ар*Р. (88)

р=1

Поскольку дифференцированием (88) нетрудно выразить производные ^ и f" как функции от 1, то (72) превращается в уравнение связи r=r(f), (73) дает фазовую функцию ф в зависимости от f. Таким образом, решая уравнение г = гИ) относительно по заданному г можно определить ф=ф(г(0).

6 качестве примера неалгебраической поверхности вращения высших порядков рассмотрим поверхность зеркала, периферийные кольцевые зоны которого являются частями параболоидов вращения с различным фокусом. В [18] показано, что форма

2=,Кр) такого зеркала, фокусирующего плоский осевой пучок света в тонкий осевой цилиндр длины к, определяется дифференциальным уравнением

_Р___~21 ' (р)

и(3/2)2 + ир) + Го 1 "

(89)

где Ро - параксиальный фокус, й - диаметр зеркала. Очевидно, что при выполнении условия 0/Р0<<1 решение уравнения (89) хорошо аппроксимировать несколькими членами разложения (77), в котором

1Ц = —1- ; , _J- к---11- С«-)2 . (90)

2Ро>2 Р0 24Р>2 Ро ЗРо0" Р0

Фазовая функция ф и уклонение е могут оцениваться по формулам (82) - (84). В табл. 4 приведены значения е для различных 6 и М (при с! = 25,6 мм, к = 5 мм, О = 130 мм, ?0 = 500 мм, X = 0,6328 мкм и сферическом освещающем пучке с 80»й-1>.

Таблица 4

Значения е для различных б и М

N М 512 1 024 2048 4096 8192

4 X X X X X 3 5,7 9 12 13

8 X X X X X 3,1 6 11 ТЗ 22

256 X X X X X 3,1 £7Т 1 2 25 33

9, Формирование неосесимметричных волновых фронтов

Приведенные в разделах 2-4 общие соотношения позволяют рассчитать фазовую функцию ф компенсатора и уклонение е для волновых фронтов, не являющихся поверхностями вращения.

В качестве простого примера поверхности волнового фронта, не имеющей вращательной симметрии, приведем эллиптический параболоид

у> = - + йе-

(91)

(92)

Для него связь координат х и и дается уравнениями

I? -1 х 2 а

и = х — + + ^

К,-!- У 2 а V = у _ + _(-_ + 1_)

При сферическом освещающем пучке с

Ф0(и, V) = Л2о + и2 + V2 - 50 (93)

фазовая функция определяется по формуле

Ф(и, V, 0) = Ф„-к[(1 - - + — + + Л2. + и2 ♦ V2 ] , (94)

<:К1 1 I?2 I*2

1 а

где х, у - решение системы алгебраических уравнений (92); 50 - координата точечного источника на оси 2.

Для плоского освещающего пучка следует положить ф0 = О,

Рассмотрим оценку точности е формирования из плоской волны асферического волнового фронта, представляющего сегмент эллиптического параболоида (91) с областью

й = {(х, у) : — + — ^1).

А2 В2

Размеры А, В согласованы с (91), т.е.

(95)

(96)

и соответственно е зависит лишь от А/1?

Согласно (50), (91) и (96) при Фо=0 получаем

~х(х, у) = (£-, ^/Л + — + ^ ,

1 Р2

(97)

1/2

.1 ,тХ,2 б2г, 1 . .. А А2,-,. '

(98)

Значения е в соответствии с (98) приведены в табл. 5.

Значения е (2А = 0,2; I?., = 21?

М = 256; т = 1)

Таблица 5 1 м;

50 мкм 25 мкм 12 мкм 5 мкм 2,5 мкм 1 мкм

0,6328 мкм X X X X X 2 3 б 13 31

10,6 мкм X X X XX 10 21 Т2 100 200

Сравнивая строки табл. 5 видим, что для изготовления хорошего компенсатора данного типа в видимом участке спектра требуются устройства с разрешением 2,5 мкм и выше, в то время как в инфракрасной области уже при разрешении 25 мкм достигается приемлемое качество волнового фронта.

10, Формирование внеосевых сегментов волновых Фронтов вращения

Контроль качества внеосевых сегментов параболических и других зеркал требует создания соответствующих эталонных волновых фронтов. Применение методов компьютерной оптики является, по-видимому, единственным способом изготовления к о м п е н с а т о ро в , формирующих необходимый сегмент без н^ужной остальной части поверхности вращения.

Пусть асферическая поверхность вращения а1 задается уравнением

н1 = Р(р1 ) , р, = Ух2 + у2 (99)

в декартовой системе координат х1у1Н1 (или Р1Н ) с центром 0,6О1 , лежащим на оси вращения 01Н1 (см. рис, 7), где Р (р 1 ) - гладкая (непрерывно дифференцируемая) функция с Р(0) = 0 и постоянным знаком второй производной.

Внеосевой сегмент а поверхности а, характеризуется своими размерами 2АХ2В и центром 0о с координатами р0 , Г С р о) в системе р1Н1. Направим новую индивидуальную оптическую ось Р 0 Н сегмента о по нормали к о, в точке й 0 . Тогда а х а -

Рис. 7. Геометрия формирования эталона вне-осевого сегмента асферической поверхности

рактеризуется углом наклона ае[о, , представляющим угол нормали в точке Рс с осью вращения Р,Н1 и связанным с ро соотношением (см. рис. 7).

»да = -р-(р0)' = йр

(100)

Рассматривая сегмент о как самостоятельный волновой фронт независимый от , введем новую систему декартовых координат х, у, Н с центром , ось Н которой направлена по оптической оси 0оН сегмента а, оси х, у расположены в плоскости П, касательной ков точке Р0, причем ось у параллельна оси у1.

Функция

Н = f(.x, у), (х, у)60 (101)

в силу (99) и согласно построению осей координат является гладкой, удовлетворяет условиям

+ (0,0) = 0; ^(0,0) = +у(0,0) = ^у(0,0) = 0 (102) и определяется неявно уравнением

" " (103)

^ОБа - хэтпа - Р(р ) = Р(\/( + 51па + хсоэа + р0)2+у: (х, у)£0,

где

0 = {(х, у) : IхI < А, I у 15В} V 1У, fХу " производные от

Дифференцируя (103), получаем

р^Бч'па + Р' (о,)х,сова

(104)

М*, у)

р1со$а - Р'(р,)х,втпа

(105)

yF'(Pl) Plcosa - F'(p1)x1sina

где

x, = fsina + xcosa + p0 ; p., = Ух* + y* ;

(107)

Поместим плоский фазовый компенсатор К перпендикулярно оптической оси DQH на расстоянии I от плоскости П (см. рис. 7; 1>0, если точка D0 лежит за К по ходу лучей света). Введем на плоскости К декартову систему координат u, V, оси которой параллельны х, у. Световое отверстие компенсатора выполним в виде прямо-у гол ьни ка

G = {(u, v): lui S а; Ivl < b}. (108)

Теперь можно применить общие формулы (5) и (6) расчета компенсатора с учетом, что в рассматриваемом случае внеосевого сегмента поверхности (99) f определяется путем решения уравнения (103), fx, fy - уравнениями (105) и (106). При выполнении условий (53) параксиального приближения и гладкой функции п.

F(p,) = — Fn(Pl-Po)n + 0((р -р )По+1 n = o n !

коэффициенты разложения (55) определяются по формулам (57) и

f.

= F2cos a, f02

- tga,

(109)

(110)

f30 = (F3 + 3F2cosa si na)cos"a

fai " fi3 = F cos3a + — si na)cosa

Po 2 p2

О

f03 = Oî

f»0 = (F<, " 10F3F2cosa sina + 15F3cos2a sin2a)cos5a

0; 1,

3 2 = 0

[F3cos3a + F cosa(3si n2a-2) + Pn 2

+ 3F2cos"a sina

2 . -, 1 - — sina • —

fo, " 3[Facos5a + i- s i na(cos2a - sin2a)] —

(111)

(112)

В соответствии с (100) и (58) имеем 1

■"tga; Fa = -

э " ; ро R. с о s cl

R t ga.

(113)

Для задач фокусировки параллельных пучков света, а также в Фурье-каскадах оптической обработки информации [25] особый интерес представляют внеосевые сегменты параболоида вращения

F(p,) = - £ .

Для него

2R

Ра Р

■"о = " 2R ; " " R

F2 " * ïï i Fm =

(114)

где R - радиус кривизны a в вершине D., на оси вращения.

Согласно (113)

R1 = --- ; R2 = -— . (116)

cos3a cosa

Уравнение (103) разрешается аналитически относительно f и

f(x у) = 2 * ZRxsina cos2a - y3sin3a cos'a _ xsina cos3a + R (117)

sin3a cosa sin3a cosa

а центр сегмента имеет координаты

р0 = Rtga; F(P(}) = - | tg2a. (118)

Фазовая функция может определяться согласно (5) и (6). Далее по формулам (110) - (112) и (115) получаем

- - »f.. - - ;

fso _ 3sina cos=a . . „. . sina-cos'a , fO3-0, (120)

R2 R3

, 15sin2a cos2a . . , 3sin3a cos5a

Uo '---- ' f31-f13"°i fa3 ---—-

R3 R

, 3sin3a cos3a f ----- . (121)

R3

Выберем сферический освещающий пучок Е с центром (-S0) на оптической оси сегмента, для которого в параксиальном приближении

^оо - = ф01 " ^О = Фоа - ^ (122)

Фзо = фоз = = =

Подставляя (119) - (122) и (116) в формулы (60) - (63), получаем для коэффициентов фазовой функции

Ф°1 = фю = 0; фи = 0

(123)

•-о • ТГ + r4T>' ф03 = «" i; * r7T>

ЗR этпа

= 0; ф30 = к -2—-- ; (124)

30 С^-П'соза

Р2зт па

ф = к - ; ф = 0.

(Я -1ХР -I)3соза 1 2

Согласно (66) и (123) среднее уклонение £ в параксиальном приближении с по=3 оценивается по формуле

г • . - ' - ^ - ^V].

где а, Ь определяются из (67).

В качестве примера рассмотрим компенсатор, преобразующий плоскую волну

(4— = 0) во внеосевой сегмент квадратного сечения (В = А) . Зафиксируем размер а

компенсатора. Согласно (67) имеем

Ь = —- 81п3а); I = - £>. (126)

cos-a

Из (125) и (126) получаем расчетную формулу ,1 ,тХ,а ^ ¿»А а 1 1 л1/2

- = «тт'Г» + т тт V (2 + ■

Выражение (127) позволяет проанализировать зависимость е от длины волны X,

кА

угла наклона сегмента а и относительного отверстия сегмента —— при фокусиров-

к 1

ке. Кроме того, (127) дает зависимость е от числа ступенек микрорельефа М и

разрешения в плоскости компенсатора б (см. таблицы 6 и 7 и рис. 8). Из табл. 6

п кА

видно, что для формирования сегмента с а=30 , — = 0,2 при Х=0,63 мкм с точ-

Л 1

ностью ~ нужно обеспечить разрешение фотошаблона 6~2,5 мкм при М=8. При

больших б величина е практически не зависит от М, в то время как для получения высококачественных сегментов с е - ^ - выбор М уже существенен (см. табл. 6). Из табл. 7 и рис. 8 видно, что достигнуть высокую точность формирования сегмента все сложнее с увеличением а.

Таблица 6

Значения ё(а=30°; = 0,2; Х=0,63 мкм) К1

м 0,2 0,5 1 2 .5 ] 5 1 0 25 50 1 00

к X пг X 7Т X 1 3 Х_ X I X X 2 1 , 1Х 2,2Х

8 X 23 X 27 X ТЦ X 15 X 9 X X 2 1 , IX 2,2Х

16 X V X ТГ7 х, 35 X 17 X 9 X ^75 X 2 1 , IX 2,2Х

00 X 227 X 91 X X Т5 X 9 X 775 X 2 1 , IX 2,2Х

Таблица 7

_ 11 &

Значения е = 0,2; Х=0,63 мкм; 6=2,5 мкм, м=8)

а, град 0 I '0 20 | 30 1 НО 50 ¿0 1 70

_ X X X X X X X X

е 17 16,7 16 1 5 13 11 7 3

Затем решается система линейных алгебраических уравнений |ихДх + и у Ду = Ди |УхДх + УуДу = ДУ, и операции (129) - (132) повторяются итерационно.

Рис. 8. Графики среднего уклонения внеосево-го сегмента параболического волнового фронта (Л.= 0 , 6 3 мкм , 6=2,5 мкм , М=8)

11, Экспериментальные результаты

Реализация компенсаторов производится по автоматизированной технологии. Разработан комплекс программ на ЕС ЭВМ для синтеза внеосевых компенсаторов.

Система (5) двух нелинейных уравнений для координат (х, у) решается численно методом Ньютона - Рафсона на сетке(и}, )=1,N1, к = 1 ,с шагом Ли = +

Для нахождения следующей точки (х, у) по точке (х^, у^).

(128)

(129)

(130) (131 )

х = х^.+Дх, у = ук + Ду

вначале согласно (5), (103), (105) и (106) подсчитываются производные х у ху х у'

и =1+и+0+ + 12} V = 1 + (1 + т + 12,

х хх х' у уу у

где функция f и ее производные берутся в точке (ху/

При найденных точках Си, V) и (х, у) фазовая функция ф компенсатора под-

считывается по формуле (6), преобразованной к форме, не содержащей вычитания

близких больших чисел.

Пользуясь разработанной программой расчета ф(и., V, ) и вспомогательными

3 К

программами пакета прикладных программ [26] на магнитную ленту записывались цифровые коды, управляющие прецизионным фотопостроителем типа Р — 1 700, изготавливался фотошаблон с параметрами: N., = 1^ = 1024 и 6=25 мкм, 2а=25,6 мм, М = 2 5 6 , диапазон оптической плотности 0,2-2,0 единиц По технологии отбеливания изготовлены макетные образцы компенсаторов на плоской подложке с фазовым микрорельефом, предназначенные для формирования (из сферического пучка): внеосевого сегмента параболоида вращения с параметрами 1?=303 мм, а=15°, 2А=2В=Ьо мм,

Х= 0,63 мкм; радиально-симметричных плоских компенсаторов, преобразующих сферический волновой фронт с Л=0,63 мкм в асферические волновые фронты вращения второго и высших порядков.

Проведенное исследование компенсатора "сфера - параболоид" состояло в ин-терферометрическом сравнении восстановленного волнового фронта с поверхностью осевого сегмента параболического зеркала диаметром 100 мм с фокусным расстоянием 173 мм, в лазерном интерферометре типа Тваимата-Грин а (рис. 9).

Анализ полученных интерферограмм показал работоспособность компенсатора.

Рис. 9. Схема интерферометра для исследования компенсаторов

ЛИТЕРАТУРА

1. П у р я е в Д.Т. Методы контроля оптических асферических поверхностей, М,: Машиностроение, 1976. - 264 с.

2. Offner A. A null correction for paraboloidal mirrors // Appl. Opt., 1963, Vol. 2, N 2, P. 153-155.

3. Ларионов Н.П., Лукин А.В., Мустафин К.С. Искусственная голограмма как оптический компенсатор // Опт. и спектр., 1972 , Т. 32, (Г 2, С. 396-399 .

4. Л у к и н А,В., Мустафин К.С. Голографические методы контроля асферических поверхностей // Опт. мех. пром., 1979, №

С. 53-59.

5. I с h i о k a Y., L о h ш а п п A.W. Interferometriс testing of large optical components with circular computer holograms // Appl. Opt., 1972, Vol. 11, N 11, P. 2597-2602.

6. Schwider J., В u г о v R. Testing of aspherics by means of rotational - symmetric synthetic holograms // Optica Applicata, 1976, Vol. 6, N 6, P. 83-88.

7. Коронкевич В.П., Л e н к о в а Г.А., Пальчико-в а И.Г., П о л е щ у к А.Г., С е д у х и н А.Г., Ч у р и н Е.Г., Юрлов Ю.И. Киноформные оптические элементы: методика расчета, технология изготовления, практическое применение // Автометрия, 1985, № 1, С. 4-25.

8. McGovern A.J., W у a n t J.C. Computer generated hologram for testing optical elements // Appl. Opt., 1971, Vol. 10, N 3, P. 619-624.

9. С о й ф е р В.А., Голуб М.А., Храмов А.Г. Синтез и анализ френелевских голограмм на ЭВМ. Материалы десятой Всесоюзной школы по голографии. Л.: ЛИЯФ, 1978. С. 140-151.

10. Birch K.G., Green F.J. The application of computer-generat.n holograms to testing optical elements // J. Phys. D: Appl. Phys., 1972, Vol. 5, N 11, P. 1982-1992.

11. Takahashi Т., К о n n о К., К a w a i M., I s s h i -k i M. Computer generated holograms for testing aspherical lenses // Appl. Opt., 1976, Vol. 15, N 2, P. 546-549.

12. Y a t a g a i Т., S a i t о H. Dualcomputer generated holograms for testing aspherical surfaces // Optica Acta, 1979, Vol. 26, N 8, P. 985-993.

13. P г о w e B. Computer - generated holograms for testing optical element // Optik, 1982, Vol. 63, N 3, P. 203-212.

14. T i z i a n i H.J. Comtact less Optical measuring techniques

in real time // Laser and Optoe I ektron, 1983, Vol. 15, N 4, P. 31 5-324.

15. 0 n о A., W а у a n t J.C. Aspherical mirror testing using CGH with small errors // Appl. Opt., 1985, Vol. 24, N 4, P. 560-563.

16. Получение асферических волновых фронтов при помощи машинных голограмм / М.А. Голуб, Е.С. Живописцев, С.В. Карпеев, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер // Доклады Академии наук СССР, 1 980, Т. 253 , № 5, С. 1104-1108.

17. Сисакян И.Н., Сойфер 5.А. Тонкая оптика, синтезируемая на ЭВМ. - В кн.: Физические основы и прикладные вопросы голографии. Л.: ЛИЯФ, 1984. С. 142-164,

18. Голуб М.А..Прохоров A.M., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Машинный синтез оптических компенсаторов для получения асферических волновых фронтов. Препринт ФИ АН СССР tf 29, М.:

1 981. - 84 с.

19. S i s s a k i a n I.N., S о i f e г V.A. Elements of fine optics generated by computer / Int. Conf. and School "Lasers and Applications", Bucharest, 1982. P. 853-882.

20. Троицкий И.Н., Сафронов A.H., Демин A.A. Киноформ: синтез и применение // Зарубежная радиоэлектроника, 1978, N" 9, С. 3-28.

21. Г а н М.А. Моделирование на ЭВМ голо графи чес кой коррекции аберраций оптических систем // Опт. и спектр., 1976, Т. 41, If 4, С. 652-659-

22. Бобров С.Т., Г р е й с у х Г.И., Туркевич Ю.Г. Оптика дифракционных элементов и систем. Л.: Машиностроение, 1986.

23. G a b е I R.A., Lin В. Minimisation of reconstruction errors with computer generated binary holograms // Appl. Opt., 1970, Vol. 9,

N 5, P. 1180-1191.

24. W у a n t J.C., В e n n e t V.P. Using computer - generated holograms to test aspherie wavefronts // Appl. Opt., 1972, Vol. 11,

N 12, P. 2833-2839.

25. Husain -Abidi A.S., К г i I e T.F. Optics Communications, 1971, Vol. 3, N 6, P. 409-411.

26. Бамбулевич К.Э., Голуб H.A., Казанский Н.Л. Пакет прикладных программ обработки изображений и цифровой голографии. Общая характеристика. Программы синтеза искусственных оптических элементов / Под ред. В.А. Сойфера. - Куйбышев: КуАИ, 1984.